Đang tải... (xem toàn văn)
D i. nh ngh~ia 1 Da. i l ' u 'o.
Chuong ’’ ˜ ´ ´ ´ ˆ ˆ ` ˆ ˆ ˆ D ¯ AI LU’ONG NGAU NHIEN VA PHAN PHOI XAC SUAT ’ ˜ ˆ ˆ ’ ’ D ¯ AI LUONG NGAU NHIEN 1.1 ˜ a e Kh´i niˆm dai luong ngˆu nhiˆn a e ¯ ’ ’ ’ ´ ´ ˜ ˜ ¯ inh nghia ¯ luong ngˆu nhiˆn l` dai luong biˆn dˆi biˆ’u thi gı´ tri kˆt qua D D ’.’ a e a ¯ ’.’ e ¯o e a e ’ ’’ ˆ ˜ ’ cua mˆt ph´p thu ngau nhiˆn o e e ˜ ˜ a ¯e ı e ¯ ’ ’ a e Ta d`ng c´c chu c´i hoa nhu X, Y, Z, dˆ’ k´ hiˆu dai luong ngˆu nhiˆn u a ’ ’ ´ ´ ´ ´ ´ • V´ du Tung mˆt x´c xac Goi X l` sˆ chˆm xuˆt hiˆn trˆn m˘t x´c xac ı o u ˘ a o a a e e a u ˘ ˜ th` X l` mˆt dai luong ngˆu nhiˆn nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ l` 1, 2, 3, 4, 5, ı a o ¯ ’.’ a e a a a o e’ a 1.2 ˜ D ’ a e ` ’ ’ ¯ luong ngˆu nhiˆn roi rac ˜ a) ¯ luong ngˆu nhiˆn roi rac D ’ ’ a e ` ’ ´ o ˜ ˜ ¯ inh nghia ¯ luong ngˆu nhiˆn duoc goi l` roi rac nˆu n´ chi’ nhˆn mˆt sˆ D D ’.’ a e ¯ ’.’ a ` e a o o ’ ´ ´ ˜ huu han ho˘c mˆt sˆ vˆ han dˆm duoc c´c gi´ tri a o o o ¯e ¯ ’.’ a a ’ ´ ˜ Ta c´ thˆ’ liˆt kˆ c´c gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn roi rac x1 , x2 , , xn o e e e a a ’ ¯ ’ ’ a e ` ’ ´ ˜ Ta k´ hiˆu dai luong ngˆu nhiˆn X nhˆn gi´ tri xn l` X = xn v` x´c suˆt dˆ’ X nhˆn ı e ¯ ’ ’ a e a a a a a a ¯e a gi´ tri xn l` P (X = xn ) a a ´ ´ ´ ´ ´ ´ ˘ • V´ du Sˆ chˆm xuˆt hiˆn trˆn m˘t x´c xac, sˆ hoc sinh vang m˘t mˆt ı o a a e e a u ˘ o a o ’ ˜ buˆi hoc l` c´c dai luong ngˆu nhiˆn roi rac o a a ¯ ’.’ a e ` ’ ´ ´ ’ b) Bang phˆn phˆi x´c suˆt a o a a ´ ´ ´ ´ ´ ’ Bang phˆn phˆi x´c suˆt d`ng dˆ’ thiˆt lˆp luˆt phˆn phˆi x´c suˆt cua dai luong a o a a u ¯e e a a a o a a ’ ¯ ’ ’ ´ a e e a a o e ´ ˜ ` ngˆu nhiˆn roi rac, n´ gˆm h`ng: h`ng thu nhˆt liˆt kˆ c´c gi´ tri c´ thˆ’ x1 , x2 , , xn a e ` o o a a ’ ’ ´ ´ ˜ ’ ¯ ’ ’ cua dai luong ngˆu nhiˆn X v` h`ng thu hai liˆt kˆ c´c x´c suˆt tuong ung p1 , p2 , , pn a e a a e e a a a ’’ ´ ’ ’ ’ a cua c´c gi´ tri c´ thˆ’ a o e ¯´ 27 ´ ´ ˜ Chuong ¯ luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ D ’ ’ a e a a o a a 28 x2 p2 X x1 P p1 xn pn ´ ´ ˜ ` u o Nˆu c´c gi´ tri c´ thˆ’ cua dai luong ngˆu nhiˆn X gˆm h˜u han sˆ x1 , x2 , , xn th` e a a o e ’ ¯ ’ ’ a e o ı ´ cˆ X = x1 , X = x2 , , X = xn lˆp th`nh mˆt nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung ´ ´ o ¯a ¯ ’ ´ ` c´c biˆn o a e a a o o a e ´ ’ ˘ ` ¯o khac tung dˆi n Do d´ ¯o pi = i=1 ´ ` ´ ´ ´ ´ • V´ du Tung mˆt x´c xac dˆng chˆt Goi X l` sˆ chˆm xuˆt hiˆn trˆn m˘t ı o u ˘ ¯o a a o a a e e a ´c th` X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac c´ phˆn phˆi x´c suˆt cho boi: ´ a ´ ˜ ’’ x´c xa u ˘ ı a ¯ ’.’ a e ` o a o a ’ X P 6 6 6 ´ ˜ D ’ a e e a a a ¯o a a ’ ¯ luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc v` h`m mˆt dˆ x´c suˆt 1.3 ˜ a) ¯ luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc D ’ ’ a e e ´ ˜ ˜ ¯ inh nghia ¯ luong ngˆu nhiˆn duoc goi l` liˆn tuc nˆu c´c gi´ tri c´ thˆ cua D D ’.’ a e ¯ ’.’ a e e a a o e’ ’ ´ ` o ´ ’ n´ lˆp day mˆt khoang trˆn truc sˆ o a ¯ˆ e o • V´ du ı ˜ - Nhiˆt dˆ khˆng kh´ o mˆi thoi diˆ’m n`o d´ e ¯o o ı ’’ o ` ¯ e a ¯o ’ ´ - Sai sˆ khi luong mˆt dai luong vˆt l´ o ¯ ’` o ¯ ’.’ a y ’ ´ ´ ’ ` gian giua hai ca cˆp cuu cua mˆt bˆnh viˆn ˜ ’ o e e a - Khoang thoi ’ ’ ’ ´ b) H`m mˆt dˆ x´c suˆt a a ¯o a a ´ ˜ ˜ ¯ inh nghia H`m mˆt dˆ x´c suˆt cua dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc X l` h`m D a a ¯o a a ’ ¯ ’.’ a e e a a ´ moi x ∈ (−∞, +∞) thoa m˜n ’ khˆng ˆm f(x), x´c d nh voi o a a ¯i a ’ P (X ∈ B) = f (x)dx B ´ a o ’ ´ voi moi tˆp sˆ thuc B ’ ´ a ´ ´ T´ chˆt H`m mˆt dˆ x´c suˆt c´ c´c t´ chˆt sau ınh a a ¯o a a o a ınh a i) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, +∞) +∞ ii) f (x)dx = −∞ ´ ˜ ’ Y nghia cua h`m mˆt dˆ a a ¯o ˜ ’ ` ¯i Tu d.nh nghia cua h`m mˆt dˆ ta c´ P (x ≤ X ≤ x + x) ∼ f (x) x a a ¯o o ’ ´ ´ ` Do ta thˆy x´c suˆt dˆ’ X nhˆn gi´ tri thuˆc lˆn cˆn kh´ b´ (x, x + x) gˆn nhu ¯´ a a a ¯e a a o a a a e a ’ ti’ lˆ voi f(x) e ´ ’ ˜ ¯ luong ngˆu nhiˆn D ’ ’ a e 1.4 29 ´ ´ H`m phˆn phˆi x´c suˆt a a o a a ´ ´ ˜ ˜ ¯ inh nghia H`m phˆn phˆi x´c suˆt cua dai luong ngˆu nhiˆn X, k´ hiˆu F(x), D a a o a a ’ ¯ ’.’ a e ı e l` h`m duoc x´c d nh nhu sau a a ¯ ’.’ a ¯i ’ F (x) = P (X < x) ´ ˜ * Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ’ x1 , x2 , , xn th` e a ¯ ’.’ a e ` a a a o e ı ’ ´ F (x) = P (X = xi ) = pi (voi pi = P (X = xi )) ’ xi th` ı x F (x) = f (t)dt = −∞ Vˆy F (x) = a 2.1 0 x − 5x3 tdt + x dt = + − 5t 5t x =1− 5x3 ; x1 ˜ ´ ´ ˆ D˘ ˆ ’ ’ ’ ’ CAC THAM SO ¯ AC TRUNG CUA ¯ AI LUONG NGAU D ˆ NHIEN K` vong (Expectation) y ˜ ¯ inh nghia D ˜ ’ ’’ * Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac c´ thˆ’ nhˆn c´c gi´ tri x1 , x2 , , xn a ¯ ’.’ a e ` o e a a a ’ ´ c´c x´x suˆt tuong ung p1 , p2 , , pn K` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn X, k´ hiˆu ´ ’’ ´ ˜ ’ ¯ ’.’ voi a a a y a e ı e ’ ’ ´ ’’ E(X) (hay M(X)), l` sˆ duoc x´c d nh boi a o ¯ ’.’ a ¯i ´ ˜ ’ ¯ ’ ’ C´c tham sˆ dac trung cua dai luong ngˆu nhiˆn a o ¯˘ a e ’ 31 n E(X) = xi pi i=1 ´ ˜ ’ ’ * Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt f (x) K` vong a ¯ ’.’ a e e o a a ¯o a a y ˜u nhiˆn X duoc x´c d nh boi ’’ ’ ¯ ’.’ cua dai luong ngˆ a e ¯ ’.’ a ¯i ∞ E(X) = xf (x)dx −∞ ´ ´ ˜ ’ ¯ ’.’ • V´ du T` k` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn c´ bang phˆn phˆi x´c suˆt sau ı ım y a e o ’ a o a a X P 10 11 12 12 12 12 12 12 12 Ta c´ o 2 1 E(X) = 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 10 12 + 11 12 = 93 12 = 31 = 7, 75 ˜ • V´ du Cho X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ ı a ¯ ’.’ a e e o a a ¯o f (x) = ´ 2.e−2x nˆu < x < e ´ nˆu x ∈ (0, 2) e / T` E(X) ım ’ Giai ∞ E(X) = xf (x)dx = −∞ x3 x.( x)dx = = ´ T´ chˆt ınh a ` i) E(C) = C, C l` hang a ˘ ii) E(cX) = c.E(X) iii) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) ´ ˜ iv) Nˆu X v` Y l` hai dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp th` E(XY ) = E(X).E(Y ) e a a ¯ ’ ’ a e ¯ˆ a ı ´ ˜ ’ Y nghia cua k` vong y ´ ’’ ˜ ’ ’’ Tiˆn h`nh n ph´p thu Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ’ e a e a ¯ ’ ’ a e a a a o e ´ o a ´ ` x1 , x2 , , xn voi sˆ lˆn nhˆn k1 , k2 , , kn a ’ ’’ a ˜ Gi´ tri trung b` cua dai luong ngˆu nhiˆn X n ph´p thu l` a ınh ’ ¯ ’ ’ a e e x= k1 k2 kn k1 x1 + k2 x2 + + kn xn = x1 + x2 + + xn = f1 x1 + f2 x2 + + fn kn n x n n ´ voi fi = ’ ki n ´ ` l` tˆn suˆt dˆ’ X nhˆn gi´ tri xi a a a ¯e a a ´ ´ ˜ Chuong ¯ luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ D ’ ’ a e a a o a a 32 ´ ´ o ´ ˜ a Theo d.nh nghia x´c suˆt theo lˆi thˆng kˆ ta c´ n→∞ fi = pi V` vˆy voi n du lon ¯i a o e o lim ı a ´ ¯’ ´ ’ ’ ta c´ o x ≈ p1 x1 + p2 x2 + + pn xn = E(X) ´ ´ ´ ´ ˜ ’ ¯ ’ ’ Ta thˆy k` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn xˆp xi’ voi trung b` sˆ hoc c´c gi´ tri a y a e a ınh o a a ’ ˜ quan s´t cua dai luong ngˆu nhiˆn a ’ ¯ ’ ’ a e ˜ ’ ¯ ’.’ Do c´ thˆ’ n´i k` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn ch´ l` gi´ tri trung b` (theo ¯´ o e o y a e ınh a a ınh ´t) cua dai luong ngˆu nhiˆn N´ phan ´nh gi´ tri trung tˆm cua phˆn phˆi x´c ´ ˜ ’ ¯ ’.’ ’ a ’ x´c suˆ a a a e o a a a o a ´ suˆt a 2.2 Phuong sai (Variance) ’’ ˜ ˜ ’ ¯ ’.’ ¯ inh nghia Phuong sai (¯ˆ lˆch b` phuong trung b` D e ınh ınh) cua dai luong ngˆu a ’’ ’’ ` ´ ˜ bang cˆng thuc nhiˆn X, k´ hiˆu Var(X) hay D(X), duoc d nh nghia ˘ e ı e ¯ ’.’ ¯i o ’ V ar(X) = E{[X − E(X)]2 } ´ ´ ˜ * Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ’ x1 , x2 , , xn voi e a ¯ ’.’ a e ` a a a o e ’ ’ ´t tuong ung p1 , p2 , , pn th` ´ ı c´c x´c suˆ ’ ’ a a a ’ n V ar(X) = i=1 [xi − E(X)]2 pi ´ ´ ˜ * Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt f(x) th` e a ¯ ’.’ a e e o a a ¯o a a ı +∞ V ar(X) = −∞ [x − E(X)]2 f (x)dx ` ´ ´ ˘ Ch´ y Trong thuc tˆ ta thuong t´ phuong sai bang cˆng thuc u´ ınh o ’ ’ ’` ’’ ’ e V ar(X) = E(X ) − [E(X)]2 Thˆt vˆy, ta c´ a a o V ar(X) = = = = E{X − E(X)]2 } E{X − 2X.E(X) + [E(X)]2 } E(X ) − 2E(X).E(X) + [E(X)]2 E(X ) − [E(X)]2 ´ ´ ˜ • V´ du Cho dai luong ngˆu nhiˆn roi rac X c´ bang phˆn phˆi x´c suˆt sau ı ¯ ’.’ a e ` o ’ a o a a ’ X P 0,1 0,4 0,5 ’ T`m phuong sai cua X ı ’’ ’ Giai E(X)=1.0,1+3.0,4+5.0,5=3,8 E(X ) = 12 0, + 32 0, + 52 0, = 16, Do d´ V ar(X) = E(X ) − [E(X)]2 = 16, − 14, 44 = 1, 76 ¯o ´ ˜ ’ ¯ ’ ’ C´c tham sˆ dac trung cua dai luong ngˆu nhiˆn a o ¯˘ a e ’ 33 ˜ • V´ du 10 Cho dai luong ngˆunhiˆn X c´ h`m mˆt dˆ ı ¯ ’.’ a e o a a ¯o ´ cx3 voi ≤ x ≤ ’ ´ voi x ∈ [0, 3] ’ f (x) = H˜y t`m a ı ` ´ ˘ i) Hang sˆ c o ii) K` vong y iii) Phuong sai ’’ ’ Giai cx3 dx = c i) Ta c´ = o x4 = Suy c = 81 4 x5 ii) E(X) = x x dx = 81 81 iii) Ta c´ o ∞ E(X ) = 81 c = 2, x2 x f (x)dx = −∞ 4 x6 x dx = 81 81 =6 Vˆy V ar(X) = E(X ) − [E(X)] = − (2, 4)2 = 0, 24 a ´ T´ chˆt ınh a ’ i) Var(C)=0; (C khˆng dˆi) o ¯o ii) V ar(cX) = c2 V ar(X) ´ ˜ iii) Nˆu X v` Y l` hai dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp th` e a a ¯ ’ ’ a e ¯ˆ a ı * V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ); * Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y); * Var(C+X)=Var(X) ´ ˜ ’ Y nghia cua phuong sai ’’ ´ ’ a Ta thˆy X − E(X) l` lˆch khoi gi´ tri trung b` nˆn V ar(X) = E{[X − E(X)]2 } a a ¯ˆ e ınh e ´ ¯ˆ a a a ’ a l` dˆ lˆch b` phuong trung b` a ¯o e ınh ınh Do phuong sai phan ´nh muc phˆn t´n c´c ¯´ ’’ ’’ ’ ˜ ’ dai luong ngˆu nhiˆn chung quanh gi´ tri trung b` gi´ tri cua ¯ ’ ’ a a e a ınh 2.3 ’ Do e e a ¯ ˆ lˆch tiˆu chuˆn ` ˜ ˘ D’ ¯ ’ ınh a e ’’ ’ ’ ¯ ’ ¯ ’ ¯ ’ ’ ¯ on vi cua phuong sai bang b` phuong don vi cua dai luong ngˆu nhiˆn ´ ¯o a a a a ’ ¯ ’ ’ ˜ ` danh gi´ muc dˆ phˆn t´n c´c gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn theo don vi cua Khi cˆn ¯´ a a ’ a e ¯’ ’ ’ ´ ¯o a ¯o e ` n´, nguoi ta d`ng mˆt dac trung moi d´ l` dˆ lˆch tiˆu chuˆn o u o ¯˘ e a ’ ’’ ’ ´ ´ ˜ Chuong ¯ luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ D ’ ’ a e a a o a a 34 ’ ’ ¯ ’ ’ ˜ ˜ ¯ inh nghia ¯ ˆ lˆch tiˆu chuˆn cua dai luong ngˆu nhiˆn X, k´ hiˆu l` σ(X), D Do e e a a e ı e a ˜ nhu sau: duoc d nh nghia ¯ ’.’ ¯i ’ σ(X) = 2.4 V ar(X) Mode ´ ˜ ˜ ¯ inh nghia Mod(X) l` gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn X c´ kha n˘ng xuˆt hiˆn D a a ’ ¯ ’.’ a e o ’ a a e ´ nhˆt mˆt lˆn cˆn n`o d´ cua n´ ´ lon a o a a a ¯o ’ o ’ ´ ’ ´ ´ a ´ ’ ˜ Do ´ ¯ ’.’ a e ` a a ’ a ´ ’ ’ ’ ¯ ˆi voi dai luong ngˆu nhiˆn roi rac mod(X) l` gi´ tri cua X ung voi x´c suˆt lon ´t, c`n dˆi voi dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc th` mod(X) l` gi´ tri cua X tai d´ h`m ´ ´ ¯ ’.’ ˜ nhˆ o ¯o ’ a a e e ı a a ’ ¯o a mˆt dˆ dat gi´ tri cuc dai a ¯o ¯ a ’ ¯ ˜ Ch´ y Mˆt dai luong ngˆu nhiˆn c´ thˆ’ c´ mˆt mode ho˘c nhiˆu mode u´ o ¯ ’ ’ a e o e o o a e` ’ ’’ ’ • V´ du 11 Gia su X l` diˆm trung b`nh cua sinh viˆn truong th` mod(X) l` ı a ¯ e’ ı e ı a ’ ’` ’m m` nhiˆu sinh viˆn dat duoc nhˆt ´ ` diˆ ¯e a e e ¯ ¯ ’.’ a ˜ • V´ du 12 Cho dai luong ngˆu nhiˆn liˆn ı ¯ ’.’ a e e dˆ ¯o f (x) = x − x2 e ´ ´ a tuc c´ phˆn phˆi Vˆy−bun voi h`m mˆt o a a ’ o a ´ nˆu x ≤ e ´ nˆu x > e H˜y x´c d nh mod(X) a a ¯i ’ Giai ’ mod(X) l` nghiˆm cua phuong tr` a e ınh ’’ x2 x2 x2 f (x) = e− − e− = x2 ’ Suy mod(X) l` nghiˆm cua phuong tr` − a e ınh = Do mod(X) > nˆn e ’’ √ mod(X) = = 1, 414 2.5 Trung vi ˜ ˜ ¯ inh nghia 10 Trung vi cua dai luong ngˆu nhiˆn X l` gi´ tri cua X chia phˆn D a e a a ’ a ’ ¯ ’.’ ´i x´c suˆt th`nh hai phˆn c´ x´c suˆt giˆng K´ hiˆu med(X) ´ a ´ o ´ ` o a phˆ a o a a a ı e Ta c´ P (X < med(X)) = P (X ≥ med(X)) = o ´ ˜ ` ¯i ` ’ ⊕ Nhˆn x´t Tu d.nh nghia ta thˆy dˆ’ t` trung vi chi’ cˆn giai phuong tr` F (x) = a e a ¯e ım a ınh ’ ’’ ´ dung, trung vi l` dac trung vi tr´ tˆt nhˆt, nhiˆu tˆt hon ca k` vong, ´ ´ ´ ’ ’ y ` Trong ung a e o ’ ’ a ¯˘ ı o ´ ´ ’ nhˆt l` sˆ liˆu c´ nhiˆu sai s´t Trung vi c`n duoc goi l` phˆn vi 50% cua a a o e o e` o o ¯ ’ ’ a a ´i phˆn a ˆ ´ ˜ ’ ¯ ’ ’ C´c tham sˆ dac trung cua dai luong ngˆu nhiˆn a o ¯˘ a e ’ 35 • V´ du 13 T` med(X) v´ du (12) ı ım ı ’ Giai ’ med(X) l` nghiˆm cua phuong tr` a e ınh ’’ med(X) f (x)dx = 0, hay − e− [med(X)]2 = 0, Suy med(X) = 1, 665 ´ Ch´ y N´i chung, ba sˆ dac trung k` vong, mode v` trung vi khˆng tr`ng u´ o o ¯˘ y a u ’ o ’ ng han, tu c´c v´ du (12), (13) v` t´ thˆm k` vong ta c´ E(X) = 1, 772; mod(X) = ` a ı ˘ Cha a ınh e y o ’ ´ phˆn phˆi dˆi xung v` chi’ c´ mˆt mode th` ´ ¯o ´ ´ ’ 1, 414 v` med(X) = 1, 665 Tuy nhiˆn nˆu a a e e o a o o ı ’ ca ba dac trung d´ tr`ng ¯˘ ’ ¯o u 2.6 Moment ˜ ¯ inh nghia 11 D ´ ´ ˜ ’ ¯ ’.’ * Moment cˆp k cua dai luong ngˆu nhiˆn X l` sˆ mk = E(X k ) a a e a o ´ ´ ˜ ’ ¯ ’.’ * Moment qui tˆm cˆp k cua dai luong ngˆu nhiˆn X l` sˆ αk = E{[X − E(X)]k } a a a e a o ⊕ Nhˆn x´t a e ´ ’ ’ i) Moment cˆp cua X l` k` vong cua X (m1 = E(X)) a a y ´ ’ ’ ii) Moment qui tˆm cˆp hai cua X l` phuong sai cua X (α2 = m2 − m2 = V ar(X)) a a a ’’ iii) α3 = m3 − 3m2 m1 + 2m3 2.7 H`m moment sinh a ˜ ˜ ’ ¯ ’.’ ¯ inh nghia 12 H`m moment sinh cua dai luong ngˆu nhiˆn X l` h`m x´c d nh D a a e a a a ¯i ’’ (−∞, +∞) cho boi tX φ(t) = E(e ) = etx p(x) x +∞ −∞ ´ ` nˆu X roi rac e ’ ´ etx p(x)dx nˆu X liˆn tuc e e ´ T´ chˆt ınh a i) φ (0) = E(X) ii) φ (0) = E(X ) ’ iii) Tˆng qu´t: φ(n) (0) = E(X n ), ∀n ≥ o a ´ ´ ˜ Chuong ¯ luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ D ’ ’ a e a a o a a 36 ´ Chung minh ’ i) φ (t) = d d tX E(etX ) = E (e ) = E(XetX ) dt dt Suy φ (0) = E(X) ii) φ (t) = d d d φ (t) = E(XetX ) = E (XetX ) = E(X etX ) dt dt dt Suy φ (0) = E(X ) Ch´ y u´ ˜ ’ ’’ i) Gia su X v` Y l` hai dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp c´ h`m moment sinh tuong a a ¯ ’ ’ a e ¯ˆ a o a ’’ ´ ’’ ’ ung l` φX (t) v` φY (t) Khi d´ h`m moment sinh cua X + Y cho boi a a ¯o a ’ φX+Y (t) = E(et(X+Y ) ) = E(etX etY ) = E(etX )E(etY ) = φX (t)φY (t) ’ ´ ´ a ` o o ¯ ’ ’ a ¯ˆ a (¯ang thuc gˆn cuˆi c´ duoc etX v` etY doc lˆp) d˘ ’ ´ ´ ˜ a a a a o a a ’ ¯ ii) C´ tuong ung 1−1 giua h`m moment sinh v` h`m phˆn phˆi x´c suˆt cua dai o ’’ ´ ’ ’ ˜u nhiˆn X luong ngˆ a e ’ ’ ´ ´ ´ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ´ ˆ MOT SO QUI LUAT PHAN PHOI XAC SUAT 3.1 ´ ´ Phˆn phˆi nhi thuc (Binomial Distribution) a o ’ ˜ ˜ ¯ inh nghia 13 ¯ luong ngˆu nhiˆn roi rac X nhˆn mˆt c´c gi´ tri 0,1,2, ,n D D ’.’ a e ` a o a a ’ ´ c´c x´c suˆt tuong ung duoc t´nh theo cˆng thuc Bernoulli ´ ’ ’ ´ ¯ ’.’ ı ´ voi a a a o ’ ’ ’ x Px = P (X = x) = Cn px q n−x (2.1) ´ a ´ ´ ´ o ı e goi l` c´ phˆn phˆi nhi thuc voi tham sˆ n v` p K´ hiˆu X ∈ B(n, p) (hay X ∼ B(n, p)) o ’ ’ a o a ´ Cˆng thuc o ’ ´ Voi h nguyˆn duong v` h ≤ n − x, ta c´ e a o ’ ’’ P (x ≤ X ≤ x + h) = Px + Px+1 + + Px+h (2.2) ’ ’ ´ ’ ´ ˜ ’ e e a ’ • V´ du 14 Ty lˆ phˆ phˆm lˆ san phˆm l` 3% Lˆy ngˆu nhiˆn 100 san phˆm ı o ’ a a a a e a ´ dˆ kiˆ’m tra T` x´c suˆt dˆ’ d´ ¯e’ e ım a a ¯e ¯o ’ ´ phˆm i) C´ phˆ a o e ´ ’ ii) C´ khˆng qu´ phˆ phˆm o o a e a ’ Giai ’ ´ ’’ ˜ ` e Ta thˆy mˆi lˆn kiˆ’m tra mˆt san phˆm l` thuc hiˆn mˆt ph´p thu Do d´ ta c´ a o a o ’ a a ’ e o e ¯o o ’’ n=100 ph´p thu e ´ ´ ˜ Chuong ¯ luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ D ’ ’ a e a a o a a 44 ´ ’ a) It hon ph´t u ´ ´ b) It nhˆt 12 ph´t a u ’ Giai ´ ´ ˜ ` a a Goi X l` sˆ ph´t sau gio m` h`nh kh´ch dˆn tram th` X l` dai luong ngˆu nhiˆn a o u a ¯e ı a ¯ ’ ’ a e ’ ´i dˆu khoang (0, 30) ’ c´ phˆn phˆ ¯e` o a o ´ ´ ˜ ` ` a) H`nh kh´ch s˜ cho ´ hon ph´t nˆu dˆn tram giua gio 10 v` gio 15 ho˘c a a e ` ıt ’ u e ¯e a a ’ ’ ’ ’ ´t cˆn t` l` ˜ ` ` giua gio 25 v` gio 30 Do x´c suˆ a ım a a ¯´ a a ` ’ ’ ’ 5 P (10 < X < 15) + P (25 < X < 30) = + = 30 30 ´ ´ ´ ` ıt a ˜ ` a ` b) H`nh kh´ch cho ´ nhˆt 12 ph´t nˆu dˆn tram giua 7gio v` gio ph´t ho˘c a a u e ¯e u a ’ ’ ’ ’ ´ a ım a ` ˜ gio 15 ph´t v` gio 18 ph´t X´c suˆt cˆn t` l` ` ` giua u a u a a ’ ’ ’ 3 P (0 < X < 3) + P (15 < X < 18) = + = 30 30 3.6 ’ ´ Phˆn phˆi chuˆn (Karl Gauss) a o a ’ ´ a) Phˆn phˆi chuˆn a o a ˜ ¯ inh nghia 18 D ˜ D a e e ’.’ ¯ luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc X nhˆn gi´ tri a a ’ khoang (−∞, +∞) duoc goi l` ¯ ’.’ a ’ ´ ´ a c´ phˆn phˆi chuˆn nˆu h`m o a o a e ´t c´ dang mˆt dˆ x´c suˆ o a ¯o a a f(x) √ σ 2π (x−µ)2 f (x) = √ e− 2σ2 σ 2π √1 σ 2πe ` ´ d´ µ, σ l` hang sˆ, ¯o a ˘ o σ > 0, −∞ < x < ∞ o µ−σ K´ hiˆu X ∈ N (µ, σ ) hay (X ∼ N (µ, σ )) ı e ´ b) C´c tham sˆ dac trung a o ¯˘ ’ ´ Nˆu X ∈ N (µ, σ ) th` E(X) = µ v` V ar(X) = σ e ı a ´ Chung minh ’ X´t h`m moment sinh e a +∞ (x−µ)2 φ(t) = E(e ) = √ etx e− 2σ2 dx σ 2π−∞ tX D˘ ¯ at y = x−µ σ th` ı µ µ+σ x ´ ´ ´ Mˆt sˆ qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt o o a a o a a +∞ +∞ y2 √ eµt etx e− dy 2π −∞ φ(t) = 45 = +∞ y −2tσy eµt √ e− dy 2π−∞ +∞ (y−tσ)2 (y−tσ)2 t2 σ σ t2 eµt = √ e− + dy = eàt+ ì e dy 2π−∞ 2π−∞ (y−tσ)2 ’ ´ ´ l` h`m mˆt cua phˆn phˆi chuˆn voi tham sˆ tσ v` a a a ¯ˆ ’ a o a ´ V` f (y) = √ e− ı o a ’ 2π +∞ (y−tσ)2 nˆn √ e e− dy = 2π−∞ Do d´ φ(t) = eµt+ ¯o σ +t2 ´ Lˆy c´c dao h`m ta duoc a a ¯ a ¯ ’ ’ φ (t) = (µ + tσ )eµt+σ t2 , φ (t) = σ eµt+σ t2 (µ + tσ ) Khi d´ ¯o E(X) = φ (0) = µ E(X ) = φ (0) = σ + µ2 =⇒ V ar(X) = E(X ) − [E(X)]2 = σ 2 ’ ´ c) Phˆn phˆi chuˆn h´a a o a o ’ ´ ´ ˜ ˜ ¯ inh nghia 19 ¯ luong ngˆu nhiˆn X duoc goi l` c´ phˆn phˆi chuˆn h´a nˆu n´ D D ’.’ a e ¯ ’.’ a o a o a o e o ’ ´ c´ phˆn phˆi chuˆn voi µ = v` σ = K´ hiˆu X ∈ N (0, 1) hay X ∼ N (0, 1) o a o a ´ a ı e ’ ⊕ Nhˆn x´t a e ´ Nˆu X ∈ N (µ, σ ) th` U = e ı X −µ ∈ N (0, 1) σ ’ d) Phˆn vi chuˆn a a ’ ´ Phˆn vi chuˆn muc α, k´ hiˆu uα , a a ı e ’ ˜ l` gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn U a a ’ ¯ ’ ’ a e ’ ´ ’ c´ phˆn phˆi chuˆn h´a thoa m˜n diˆu o a o a o a ¯ e` kiˆn e P (U < uα ) = α ´ Voi α cho truoc c´ thˆ’ t´ duoc c´c gi´ tri cua uα C´c gi´ tri cua uα duoc t´ a ’ a a ’ ¯ ’ ’ ınh ’ ’ ’ ´ o e ınh ¯ ’ ’ a ˜ ’ ˘ san th`nh bang a ´ ´ ˜ Chuong ¯ luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ D ’ ’ a e a a o a a 46 ´ e) Cˆng thuc o ’ ´ Nˆu X ∈ N (µ, σ ) th` ta c´ e ı o x2 − µ x1 − µ ) − ϕ( ) σ σ ε ii) P (|X − µ| < ε) = 2ϕ( ) σ x t2 a d´ ϕ(x) = √ ¯o e− dt (h`m Laplace) 2π i) P (x1 ≤ X ≤ x2 ) = ϕ( ’ ´ ˜ ’ • V´ du 20 Trong luong cua mˆt loai san phˆm l` dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi ı o ’ a a ¯ ’.’ a e o a o ’.’ ’n voi luong trung b`nh µ = 5kg v` lˆch tiˆu chuˆn σ = 0, T´ ti’ lˆ ’ ´ chuˆ a ı a ¯ e e a ınh e ’ ’.’ ’m c´ luong tu 4,9 kg dˆn 5,2 kg ´ ` ˜ ’ nhung san phˆ a o ¯e ’ ’.’ ’ ’ Giai ’ ’ ’ Goi X l` luong cua san phˆm th` X ∈ N (5; 0, 1) a a ı ’ ’ ’ ´ ` ¯e a Ti’ lˆ san phˆm c´ luong tu 4,9 kg dˆn 5,2 kg l` e ’ a o ’ ’ ’ P (4, ≤ X ≤ 5, 2) = = = = ϕ( 5,2−5 ) − ϕ( 4,9−5 ) 0,1 0,1 ϕ(2) − ϕ(−1) 0, 4772 − (−0, 3413) 0, 8185 f ) Qui t˘c ”k−σ” a ε ´ ´ ´ Trong cˆng thuc P (|X − µ| < ε) = 2ϕ( σ ) nˆu lˆy ε = kσ th` P (|X − µ| < ε) = o e a ı ’ 2ϕ(k) ´ ´ ´ o ˘ Trong thuc tˆ ta thuong d`ng qui tac 1, 96σ, 2, 58σ v` 3σ voi nˆi dung l`: u a a ’ ’ ’` ’ e ´ ´ ´ y ”Nˆu X ∈ N (µ, σ ) th` x´c suˆt dˆ’ X nhˆn gi´ tri sai lˆch so voi k` vong khˆng qu´ e ı a a ¯e a a e o a ’ 1, 96σ; 2, 58σ v` 3σ l` 95 %, 99% v` 99% ” a a a ´ ’ g) Ung dung ’ ´ ˜ C´c dai luong ngˆu nhiˆn sau c´ phˆn phˆi chuˆn: a ¯ ’ ’ a e o a o a ´ a ´ - K´ thuoc chi tiˆt m´y m´y san suˆt ıch e a ’ a ’ ’´ ’ ’ - Trong luong cua nhˆu san phˆm c`ng loai e` ’ a u ’ ’ ´ ’’ ` ˜ - N˘ng suˆt cua mˆt loai cˆy trˆng trˆn nhung thua ruˆng kh´c a a ’ o o e o a ’ a 3.7 ´ Phˆn phˆi χ2 a o ˜ ˜ ’ ’’ ¯ inh nghia 20 Gia su Xi (i=1,2, ,n) l` c´c dai luong ngˆu nhiˆn dˆc lˆp c`ng D a a ¯ ’.’ a e ¯o a u ’ ´ c´ phˆn phˆi chuˆn h´a o a o a o ´ ´ ´ Mˆt sˆ qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt o o a a o a a 47 n ´ Xi2 duoc goi l` c´ phˆn phˆi χ2 (khi−b` phuong) ¯ ’.’ a o a o ınh ’’ ˜ D ’.’ a e ¯ luong ngˆu nhiˆn χ = i=1 ´ voi n bˆc tu K´ hiˆu χ2 ∈ χ2 (n) (hay χ2 ∼ χ2 (n)) a ’ ı e ’ ⊕ Nhˆn x´t a e ´ H`m mˆt x´c suˆt cua χ2 a a ¯ˆ a a ’ c´ dang o x n e− x −1 ´ voi x > ’ n fn (x) = 2 Γ( n ) ´ voi x ≤ ’ +∞ d´ Γ(x) = ¯o (H`m Gamma) a tx−1 e−t dt ´ ´ ’ H`m m^t d x´c su^t cua χ2 voi n b^c a a ^ a a ’ ¯o a tu ’ ´ C´c tham sˆ dac trung a o ¯˘ ’ ´ Nˆu χ2 ∈ χ2 (n) th` E(χ2 ) = n v` V ar(χ2 ) = 2n e ı a Phˆn vi χ2 a ´ ´ ı e Phˆn vi χ2 muc α, k´ hiˆu χ2 , l` gi´ tri cua dai luong χ2 c´ phˆn phˆi ”khi−b` a a ’ ¯ ’ ’ a o ınh ’ α a α o ´ n bˆc tu thoa m˜n ’ phuong” voi a ’ a ’ ’’ P (χ2 < χ2 ) = α α ˜ ’ C´c gi´ tri cua χ2 duoc t´ san th`nh bang a a ’ ınh ˘ a α ¯ ’ ’ ’ ´ ´ ´ ´ Ch´ y Khi bˆc n t˘ng lˆn th` phˆn phˆi χ2 xˆp xi’ voi phˆn phˆi chuˆn u´ a a e ı a o a a o a ’ 3.8 ´ Phˆn phˆi Student (G.S Gosset) a o ’ ´ ˜ ˜ ’ ’’ ¯ inh nghia 21 Gia su U l` dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi chuˆn h´a v` V l` D a ¯ ’.’ a e o a o a o a a ´ ´ ´ ˜u nhiˆn dˆc lˆp voi U c´ phˆn phˆi χ2 voi n bˆc tu Khi d´ dai luong dai luong ngˆ ¯ ’.’ a e ¯o a o a o a ’ ¯o ¯ ’.’ ’ ’ ˜ ngau nhiˆn ˆ e √ U n T = √ V ´ ´ duoc goi l` c´ phˆn phˆi Student voi n bˆc tu K´ hiˆu T ∈ T (n) (hay T ∼ T (n)) ¯ ’.’ a o a o a ’ ı e ’ ´ ´ ˜ ⊕ Nhˆn x´t H`m mˆt dˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi Student voi n bˆc tu a e a a ¯o ’ ¯ ’ ’ a e o a o a ’ ’ c´ dang o n+1 Γ( n+1 )(1 + tn )− 2 √ fn (t) = ; ( −∞ < t < +∞) Γ( n ) nπ +∞ d´ Γ(x) = ¯o tx−1 e−t dt (H`m Gamma) a ´ ´ ˜ Chuong ¯ luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ D ’ ’ a e a a o a a 48 ´ C´c tham sˆ dac trung a o ¯˘ ’ ´ Nˆu T ∈ T (n) th` E(T ) = v` V ar(T ) = e ı a • Phˆn vi Student a n n−2 ´ ˜ Phˆn vi Student muc α, k´ hiˆu tα l` gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn T ∈ T (n) a ı e a a ’ ¯ ’ ’ a e ’ ’ thoa m˜n P (T < tα ) = α a Ta c´ tα = −t1−α o Ch´ y u´ ’ ´ ´ ’ ´ Phˆn phˆi Student c´ c`ng dang v` t´ dˆi xung nhu phˆn phˆi chuˆn nhung n´ a o o u a ınh ¯o ´ o a o ’ a ’ ’ ´ ´ ¯o ’ ´ a ˘ ´ o e` a a ` ’ ´nh t´ biˆn dˆi cua phˆn phˆi sˆu sac hon C´c biˆn c´ vˆ gi´ v` thoi gian phan a ınh e a o a e ’ ’ ´ ´ ´ ˜ thuong gioi han mˆt c´ch nghiˆm ng˘t k´ thuoc cua mˆu Ch´ v` thˆ phˆn phˆi o a e a ıch a ınh ı e a o ’ ’ ’ ’` ’´ ’ ’n khˆng thˆ’ d`ng dˆ’ xˆp xi’ phˆn phˆi mˆu c´ k´ thuoc nho Trong truong ´ ´ ´ ˜ o ıch ’ ` chuˆ a o e u ¯e a a o a ’’ ’’ ´ hop n`y ta d`ng phˆn phˆi Student a u a o ’ ´ ´ ´ Khi bˆc tu n t˘ng lˆn (n > 30) th` phˆn phˆi Student tiˆn nhanh vˆ phˆn phˆi a ’ a e ı a o e e` a o ’n Do n > 30 ta c´ thˆ’ d`ng phˆn phˆi chuˆn thay cho phˆn phˆi Student ’ ´ ´ chuˆ a ¯´ o e u a o a a o 3.9 ´ Phˆn phˆi F (Fisher−Snedecor) a o ´ ´ ˜ ˜ ¯ inh nghia 22 Nˆu χ2 v` χ2 l` hai dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi ”khi b` D e n a m a ¯ ’.’ a e o a o ınh ´ ˜ ’’ phuong” voi n v` m bˆc tu th` dai luong ngˆu nhiˆn Fn,m x´c d nh boi a a ’ ı ¯ ’.’ a e a ¯i ’ ’’ Fn,m = χ2 /n n χ2 /m m ´ ´ duoc goi l` c´ phˆn phˆi F voi n v` m bˆc tu ¯ ’.’ a o a o a a ’ ’ ´ ⊕ Nhˆn x´t H`m mˆt dˆ cua phˆn phˆi F c´ dang a e a a ¯o ’ a o o p(x) = n Γ( n+m ) ( n )2 Γ( n ).Γ( m ) m 2 ´ • C´c tham sˆ dac trung a o ¯˘ ’ m ´ voi m > E(Fn,m ) = ’ m−2 V ar(Fn,m ) = n x −1 n (1+ m x) m2 (2m + 2n − 4) ´ voi m > ’ n(m − 2)2 (m − 4) n+m ; x≤0 ; x>0 ˜ ` ¯ luong ngˆu nhiˆn hai chiˆu D ’ ’ a e e 3.10 49 ´ Phˆn phˆi Gamma a o ´ ´ a ˜ ˜ ¯ inh nghia 23 ¯ luong ngˆu nhiˆn X duoc goi l` c´ phˆn phˆi Gamma voi c´c D D ’.’ a e ¯ ’.’ a o a o ’ ´ ´ ´ tham so (α, λ), k´ hiˆu X ∈ γ(α, λ), nˆu h`m mˆt dˆ x´c suˆt c´ dang ˆ ı e e a a ¯o a a o −λx α−1 λe (λx) ; x≥0 f (x) = Γ(α) ; x 0) M˜ u De` ¯ ˆu ’ Chuˆn a N (σ , µ) (a ≤ x ≤ b) b−a (x − µ)2 √ exp − 2σ σ 2π x Khi b` phuong ınh ’’ χ (n) Gamma 4.1 T (n) γ(α, λ) V ar(X) λ2 (b − a)2 12 µ σ2 n 2n n e− x −1 n 2 Γ( n ) (x > 0, n > Student E(X) λ a+b Γ( n+1 )(1 + x )− n n √ Γ( ) nπ n+1 (n > 0) (n > 1) λe−λx (λx)α−1 Γ(α) α λ n n−2 α λ2 ˜ ` ˆ ˆ ˆ ’ ’ D ¯ AI LUONG NGAU NHIEN HAI CHIEU ˜ ` ` Kh´i niˆm vˆ dai luong ngˆu nhiˆn hai chiˆu a e e ¯ ’ a e e ’ ˜ ˜ D ’ ’ a e e` a ¯ ’ ’ a e a a a o e’ ’ o ¯ luong ngˆu nhiˆn hai chiˆu l` dai luong ngˆu nhiˆn m` c´c gi´ tri c´ thˆ cua n´ `ng hai sˆ K´ hiˆu (X, Y ) ´ ı e ˘ duoc x´c d.nh ba ¯ ’ ’ a ¯i o ˜ ` (X, Y duoc goi l` c´c th`nh phˆn cua dai luong ngˆu nhiˆn hai chiˆu) ¯ ’ ’ a a a a ’ ¯ ’ ’ a e e` ´ ˜ ` D ’ ’ a e e` ¯ ’ ’ a ` e e a a a ’ ’ ¯ luong ngˆu nhiˆn hai chiˆu duoc goi l` roi rac (liˆn tuc) nˆu c´c th`nh phˆn cua ˜ n´ l` c´c dai luong ngˆu nhiˆn roi rac (liˆn tuc) o a a ¯ ’ ’ a e ` e ’ ´ ´ ˜ Chuong ¯ luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ D ’ ’ a e a a o a a 50 ´ ´ ˜ ` Phˆn phˆi x´c suˆt cua dai luong ngˆu nhiˆn hai chiˆu a o a a ’ ¯ ’ a e e ’ 4.2 ´ ´ ’ a) Bang phˆn phˆi x´c suˆt a o a a X\Y x1 x2 xi xn y1 P (x1 , y1 ) P (x2 , y1 ) y2 P (x2 , y2 ) P (x2 , y2 ) yj P (x1 , yj ) P (x2 , yj ) ym P (x1 , ym ) P (x2 , ym ) P (xi , y1 ) P (xi , y2 ) P (xi , yj ) P (xi , ym P (xn , y1 ) P (xn , y2 ) P (xn , yj ) P (xn , ym ) d´ ¯o ` xi (i = 1, n) l` c´c gi´ tri c´ thˆ’ cua th`nh phˆn X a a a o e ’ a a ` yj (j = 1, m) l` c´c gi´ tri c´ thˆ’ cua th`nh phˆn Y a a a o e ’ a a P (xi , yj ) = P ( (X, Y ) = (xi , yj ) ) = P (X = xi , Y = yj ), n i = 1, n, j = 1, m m P (xi , yj ) = i=1 j=1 ´ b) H`m mˆt dˆ x´c suˆt a a ¯o a a ´ ˜ ¯ inh nghia 24 H`m khˆng ˆm, liˆn tuc f (x, y) duoc goi l` h`m mˆt dˆ x´c suˆt D a o a e ¯ ’.’ a a a ¯o a a ´ ˜ ’ ¯ ’.’ cua dai luong ngˆu nhiˆn hai chiˆu (X, Y ) nˆu n´ thoa m˜n a e e` e o ’ a P (X ∈ A, Y ∈ B) = dx f (x, y)dy A B ´ ´ voi A, B l` c´c tˆp sˆ thuc a a a o ’ ’ ´ ´ c) H`m phˆn phˆi x´c suˆt a a o a a ´ ´ ˜ ˜ ¯ inh nghia 25 H`m phˆn phˆi x´c suˆt cua dai luong ngˆu nhiˆn hai chiˆu (X, Y ), D a a o a a ’ ¯ ’.’ a e e` k´ hiˆu F (x, y), l` h`m duoc x´c d nh nhu sau ı e a a ¯ ’.’ a ¯i ’ F (x, y) = P (X < x, Y < y) Nhˆn x´t a e x y −∞ −∞ Ta c´ F (x, y) = P (X < x, Y < y) = o f (x, y)dy dx nˆn e ∂ F (x, y) = f (x, y) ∂x∂y 4.3 ` ’ K` vong v` phuong sai cua c´c th`nh phˆn y a a a a ’’ ` i) Truong hop (X, Y ) roi rac ’ ’ ’` ’ ´ ’ Phˆn phˆi xs cua h`m c´c dlnn a o a a ¯ n m m E(X) = xi P (xi , yj ); i=1 j=1 n 51 n E(Y ) = yj P (xi , yj ) j=1 i=1 m V ar(X) = i=1 j=1 m x2 P (xi , yj ) − [E(X)]2 , i n V ar(Y ) = j=1 i=1 yj P (xi , yj ) − [E(Y )]2 ii) Truong hop (X, Y ) liˆn tuc e ’ ’` ’ +∞ +∞ E(X) = +∞ +∞ xf (x, y)dxdy, −∞ −∞ E(Y ) = yf (x, y)dxdy −∞ −∞ +∞ +∞ V ar(X) = [E(Y )]2 +∞ +∞ −∞ −∞ x f (x, y)dxdy − [E(X)] , V ar(Y ) = −∞ −∞ y f (x, y)dxdy − ´ ´ ˆ ˆ ´ ˆ ` ´ D ’ ’ ’ PHAN PHOI XAC SUAT CUA HAM CAC ¯ AI LUONG ˜ ˆ ˆ NGAU NHIEN 5.1 ˜ ’ H`m cua mˆt dai luong ngˆu nhiˆn a o ¯ ’ a e ’ ´ ´ ˜ ˜ ˜ ¯ inh nghia 26 Nˆu mˆi gi´ tri c´ thˆ cua dai luong ngˆu nhiˆn X tuong ung voi D e o a o e’ ’ ¯ ’.’ a e ’ ’ ’’ ´ ’ cua dai luong ngˆu nhiˆn Y th` Y duoc goi l` h`m cua dai luong ngˆu ˜ ˜ ’ ¯ ’.’ mˆt gi´ tri c´ thˆ ’ ¯ ’.’ o a o e a e ı ¯ ’.’ a a a nhiˆn X K´ hiˆu Y = ϕ(X) e ı e ´ T´ chˆt ınh a ´ a ´ ˜ a a i) Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac v` Y = ϕ(X) th` ung voi c´c gi´ tri kh´c e a ¯ ’ ’ a e ` a ı ´ ’ ’ ’ ’ ’ cua X ta c´ c´c gi´ tri kh´c cua Y v` c´ o a a a a o P (Y = ϕ(xi )) = P (X = xi ) ´ ˜ ’ ’’ ii) Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ h`m mˆt x´c suˆt f (x) v` a ¯ ’ ’ a e e a ¯ˆ a a a o a Y = ϕ(X) ´ ’ Nˆu y = ϕ(x) l` h`m kha vi, don diˆu, c´ h`m nguoc l` x = ψ(y) th` h`m mˆt e a a ¯’ ¯e o a ı a a ¯ˆ ’ ’ a ´t g(y) cua dai luong ngˆu nhiˆn Y duoc x´c d.nh boi ˜ ’’ ’ ¯ ’ ’ x´c suˆ a a a e ¯ ’ ’ a ¯i g(y) = f (ψ(y)).ψ (y) ´ ´ ˜ ’ ’’ • V´ du 21 Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac c´ bang phˆn phˆi x´c suˆt ı a ¯ ’.’ a e ` o ’ a o a a ’ X P 0,3 0,5 0,2 ´ ´ T` qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt cua Y = X ım a a o a a ’ ’ Giai C´c gi´ tri Y c´ thˆ’ nhˆn l` y1 = 12 = 1; y2 = 32 = 9; y3 = 42 = 16 Vˆy phˆn a a o e a a a a ´ ´ ’’ phˆi x´c suˆt cua Y c´ thˆ’ cho boi o a a ’ o e ´ ´ ˜ Chuong ¯ luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ D ’ ’ a e a a o a a 52 Y 16 P 0,3 0,5 0,2 ´ • C´c tham sˆ a o ´ ˜ i) Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac nhˆn mˆt c´c gi´ tri x1 , x2 , , xn e a ¯ ’ ’ a e ` a o a a ’ ´ a a ´ voi c´c x´c suˆt tuong ung p1 , p2 , , pn th` a ’’ ´ ı ’ ’ n E(Y ) = E[ϕ(X)] = ϕ(xi )pi i=1 n V ar(Y ) = V ar[ϕ(X)] = i=1 ϕ2 (xi )pi − [E(Y )]2 ´ ´ ˜ ii) Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt f (x) th` e a ¯ ’ ’ a e e o a a ¯o a a ı +∞ E(Y ) = E[ϕ(X)] = ϕ(x)f (x)dx −∞ +∞ V ar(Y ) = V ar[ϕ(X)] = −∞ 5.2 ϕ2 (x)f (x)dx − [E(Y )]2 ˜ ` ’ ¯ ’ H`m cua dai luong ngˆu nhiˆn hai chiˆu a a e e ’ ´ o ´ o a ˜ ˜ ¯ inh nghia 27 Nˆu mˆi c˘p gi´ tri c´ thˆ’ c´c dai luong X v` Y tuong ung voi mˆt D e a o e a ¯ ’.’ a ’ ’ ’’ ´ ’ cua Z th` Z duoc goi l` h`m cua hai dai luong ngˆu nhiˆn X, Y K´ hiˆu ˜ ’ gi´ tri c´ thˆ ’ a o e ı ¯ ’.’ a a ¯ ’.’ a e ı e Z = ϕ(X, Y ) ´ ´ ´ ´ Ch´ y Viˆc x´c d.nh phˆn phˆi x´c suˆt cua Z = ϕ(X, Y ) thuong rˆt phuc tap Ta u´ e a ¯i a o a a ’ a ’ ’ ’` ´ dˆy ’ x´t truong hop don gian Z = X + Y thˆng qua v´ du duoi ¯a e o ı ’’ ’ ’ ¯’ ’` ´ ˜ ’ ’’ • V´ du 22 Gia su X v` Y l` hai dai luong ngˆu nhiˆn dˆc lˆp c´ bang phˆn phˆi x´c ı a a ¯ ’.’ a e ¯o a o ’ a o a ´ suˆt a X P 0,3 0,7 Y P 0,2 0,8 ´ ´ T`m phˆn phˆi x´c suˆt cua Z = X + Y ı a o a a ’ ’ Giai ’ ’ C´c gi´ tri c´ thˆ’ cua Z l` tˆng cua mˆt gi´ tri cua X v` mˆt gi´ tri c´ thˆ’ cua Y a a o e ’ a o o a ’ a o a o e ’ Do d´ Z nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ’ ¯o a a a o e z1 = + = 4; z2 = + = 5; z3 = + = 5; z4 = + = ´ C´c x´c suˆt tuong ung l` a a a ’’ ´ a ’ P (Z = 4) = P (X = 1).P (Y = 3) = 0, × 0, = 0, 06 P (Z = 5) = P (X = 1, Y = 4) + P (X = 2, Y = 3) Luˆt sˆ lon a o ’ ´ 53 = P (X = 1).P (Y = 4) + P (X = 2).P (Y = 3) = 0, × 0, + 0, × 0, = 0, 38 P (Z = 6) = P (X = 2).P (Y = 4) = 0.7 × 0, = 0, 56 ´ ´ Vˆy Z c´ phˆn phˆi x´c suˆt a o a o a a Z P 0,006 0,38 0,56 ´ ’ ˆ ˆ ´ LUAT SO LON 6.1 ´ ’ ´ Bˆt dang thuc Markov a ¯˘ ’ ´ ˜ ∆ ¯ inh l´ Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn nhˆn gi´ tri khˆng ˆm th` ∀ε > ta c´ D y e a ¯ ’.’ a e a a o a ı o P (X ≥ a) ≤ E(X) a ´ ´ ˜ a ¯ ’ ’ a e e o Chung minh Ta chung minh truong hop X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ ’ ’ ’` ’ ’ h`m mˆt dˆ f (x) a a ¯o +∞ E(X) = a xf (x)dx = a xf (x)dx + +∞ xf (x)dx ≥ xf (x)dx a +∞ ≥ +∞ +∞ af (x)dx = a a a = aP (X ≥ a) 6.2 ´ ’ ´ Bˆt dang thuc Tchebyshev a ¯˘ ’ ´ ˜ ˜ ∆ ¯ inh l´ Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn c´ k` vong µ v` phuong sai σ huu han D y e a ¯ ’.’ a e o y a ’’ ’ th` ∀ε > b´ t`y ´ ta c´ ı e u y o hay P (|X − µ| ≥ ε) ≤ V ar(X) ε2 P (|X − µ| < ε) > − V ar(X) ε2 ´ Chung minh ’ ´ ˜ Ta thˆy (X − µ)2 l` dai luong ngˆu nhiˆn nhˆn gi´ tri khˆng ˆm a a ¯ ’ ’ a e a a o a ´ ´ ’ ´ ´ Ap dung bˆt dang thuc Tchebyshev voi a = ε2 ta duoc a ¯˘ ¯ ’ ’ ’ ’ P [(X − µ)2 ≥ ε2 ] ≤ E[(X − µ)2 ] V ar(X) = ε2 ε2 ´ ´ ˜ Chuong ¯ luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ D ’ ’ a e a a o a a 54 V` (X − µ)2 ≥ ε2 v` chi’ |X − µ| ≥ ε nˆn ı a e P (|X − µ| ≥ ε) ≥ V ar(X) ε2 ´ ’ ´ ´ ´ Ch´ y Bˆt dang thuc Markov v` Tchebuchev gi´p ta phuong tiˆn thˆy duoc gioi u ´ a ¯˘ a u e a ¯ ’ ’ ’ ’ ’’ ´ ´ ´ ´ ’ a ’ han cua x´c suˆt k` vong v` phuong sai cua phˆn phˆi x´c suˆt chua biˆt a y a a o a a e ’’ ’ ’ ´ ´ ` ’ ’’ o ’ • V´ du 23 Gia su sˆ san phˆm duoc san xuˆt cua mˆt nh` m´y mˆt tuˆn l` ı a ¯ ’.’ ’ a ’ o a a o a a ´ y ˜u nhiˆn voi k` vong µ = 50 mˆt dai luong ngˆ o ¯ ’.’ a e ’ ’ ´ ` ’ a) C´ thˆ’ n´i g` vˆ x´c suˆt san phˆm cua tuˆn n`y vuot qu´ 75 o e o ı e` a a ’ a a a a ’.’ ’ ´ ` ` ’ ’ b) Nˆu phuong sai cua san phˆm tuˆn n`y l` σ = 25 th` c´ thˆ’ n´i g` vˆ x´c e a a a a ı o e o ı e a ’’ ’m tuˆn n`y s˜ o giua 40 v` 60 ´ ` suˆt san phˆ a ’ a a a e ’’ ˜ a ’ ’ Giai ´ ’ ´ a) Theo bˆt dang thuc Markov a ¯˘ ’ P (X > 75) ≥ E(X) 50 = = 75 75 ´ ’ ´ b) Theo bˆt dang thuc Tchebyshev a ¯˘ ’ σ2 25 P (|X − 50| ≥ 10) ≤ = = 10 100 Do d´ ¯o P (40 < X < 60) = P (|X − 50| < 10) > − 6.3 = 4 D y ¯ inh l´ Tchebyshev ´ ˜ ∆ ¯ inh l´ (Dinh l´ Tchebyshev) Nˆu c´c dai luong ngˆu nhiˆn X1 , X2 , , Xn dˆc D y y e a ¯ ’.’ a e ¯o ¯ ´ ` dˆi, c´ k` vong huu han v` c´c phuong sai dˆu bi ch˘n trˆn boi sˆ C th` ∀ε > ` a ’’ o ˜ a a lˆp tung ¯o o y a ’ ¯e e ı ’ ’’ b´t`y ´ ta c´ eu y o lim P n→∞ n n Xi − E(Xi ) < ε) = n i=1 n i=1 ı lim D˘ e ¯ ac biˆt, E(Xi ) = a; (i = 1, n) th` n→∞(| n n i=1 Xi − a| < ε) = ´ ´ Chung minh Ta chung minh truong hop dac biˆt E(Xi ) = µ, V ar(Xi ) = σ (i = ’ ’ ’ ’` ’ ¯˘ e 1, , n) Ta c´ o n n σ2 E( Xi ) = µ, V ar( )= n i=1 n i=1 n 55 B`i tˆp a a ´ ’ ´ Theo bˆt dang thuc Tchebyshev a ¯˘ ’ P n Xi − µ n i=1 ≤ σ2 nε2 ´ ˜ • Y nghia ´ ˜ M˘c d` tung dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp c´ thˆ’ nhˆn gi´ tri sai kh´c nhiˆu so voi a u ` ¯ ’ ’ a e ¯ˆ a o e a a a e` ’ ’ ´ hoc cua mˆt sˆ lon dai luong ngˆu nhiˆn lai ´ ´ ¯ ’ ’ ˜ ’ k` vong cua ch´ng, nhung trung b` sˆ ’ y u ınh o o o ’ a e ’ ` ´ ’ a y ` bang trung b` sˆ hoc cua c´c k` vong cua ch´ng ¯ iˆu n`y cho ph´p ` a ’ ˘ nhˆn gi´ tri gˆn a a a ınh o u De e ´ ˜ ta du do´n gi´ tri trung b` sˆ hoc cua c´c dai luong ngˆu nhiˆn a ınh o ’ a ¯ ’ ’ a e ’ ¯ a 6.4 D y ¯ inh l´ Bernoulli ´ ´ ´ e ´ ´ ` ∆ ¯ inh l´ (Dinh l´ Bernoulli) Nˆu fn l` tˆn suˆt xuˆt hiˆn biˆn cˆ A n D y y e a a a a e o ¯ ´ ´ ´ ´ ’’ ¯o a a a a ’’ ı ˜ ph´p thu dˆc lˆp v` p l` x´c suˆt xuˆt hiˆn biˆn cˆ A mˆi ph´p thu th` ∀ε > b´ e a a e e o o e e t`y ´ ta c´ u y o lim P (|fn − p| < ε) = n→∞ ´ ˜ • Y nghia ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ’’ ¯ˆ a a e` a ` ` Tˆn suˆt xuˆt hiˆn biˆn cˆ n ph´p thu doc lˆp dˆn vˆ x´c suˆt xuˆt hiˆn biˆn a a a e e o e a a e e ´ ´ ’’ ’’ a ˜ cˆ mˆi ph´p thu sˆ ph´p thu t˘ng lˆn vˆ han o o e o e e o ` ˆ BAI TAP ˜ ˜ Mˆt nh´m c´ 10 nguoi gˆm nam v` nu Chon ngˆu nhiˆn nguoi o o o a a e ’ ` ’ ’` o ’ ’` ´ nu o nh´m Lˆp bang phˆn phˆi x´c suˆt cua X v` t´ ´ a ´ ’ ˜ ’’ ’ Goi X l` sˆ ’ a o o a a o a a ınh E(X), V ar(X), mod(X) ’ ´ ´ ` ´ ´ ´ ´ ` ` Gieo dˆng thoi hai x´c sac cˆn dˆi dˆng chˆt Goi X l` tˆng sˆ nˆt xuˆt hiˆn ¯o u ˘ a ¯o ¯o a a o o o a e ’ ´c lˆp bang qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt cua X T´ E(X) ´ ´ trˆn hai m˘t x´c sa a ’ e a u ˘ a a o a a ’ ınh v` V ar(X) a ´ ’ Trong mˆt c´i hˆp c´ b´ng d`n c´ b´ng tˆt v` b´ng hong Chon o a o o o ¯e ¯´ o o o a o ´ ’’ ’’ ˜u nhiˆn tung b´ng dem thu (thu xong khˆng tra lai) cho dˆn thu duoc ` ’ ngˆ a e o ¯ o ¯e ¯ ’ ’ ’ ´ ´ ` ´ ´ ´ ’’ a ` b´ng tˆt Goi X l` sˆ lˆn thu cˆn thiˆt T` phˆn phˆi x´c suˆt cua X Trung o o a o a e ım a o a a ’ ’’ ` thu bao nhiˆu lˆn? ` b` cˆn ınh a e a ’ ´ ` Mˆt dot xˆ sˆ ph´t h`nh N v´ Trong d´ c´ mi v´ tr´ng ki dˆng mˆt v´ (i = o ¯ ’ o o a a e ¯o o e u ¯o o e ´ ˜ e o a ’ gi´ cua mˆi v´ sˆ l` bao nhiˆu dˆ’ cho trung b` cua tiˆn thuong 1, 2, , n) Hoi a ’ o e ¯e ınh ’ e` ’ ’’ ` ˜ cho mˆi v´ bang mˆt nua gi´ tiˆn cua mˆt v´? o e ˘ o ’’ a e` ’ o e 56 ´ ´ ˜ Chuong ¯ luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt ’’ D ’ ’ a e a a o a a ’ ˜ Tuˆi tho cua mˆt loai cˆn tr`ng n`o d´ l` mˆt dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc X o o u a ¯o a o ¯ ’ ’ a e e ’ o (¯on vi l` th´ng) c´ h`m mˆt dˆ d’ a a o a a ¯o f (x) = ´ kx2 (4 − x) nˆu ≤ x ≤ e ´ nˆu nguoc lai e ’ ’ ` ´ a) T` hang sˆ k ım ˘ o b) T` mod(X) ım ’ ´ ´ c) T´ x´c suˆt dˆ’ cˆn tr`ng chˆt truoc n´ duoc th´ng tuˆi ınh a a ¯e o u e o ¯ ’ ’ a o ’ ’´ ˜ Cho dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc X c´ h`m mˆt dˆ ¯ ’ ’ a e e o a a ¯o f (x) = kx2 e−2x x ≥ 0 x e ´ nˆu x < e c) mod(X) = 1, d) E(X) = , V ar(X) = X ∈ B(250, 2%) a) P (X = 2) = 0, 0842, b) P (x ≤ 2) = 0, 1247 a) P = 0, 665, b) P = 0, 619, c) P = 0, 597 P (X = x) = ax e−a x! ´ voi a = np = (2000).(0, 001) = ’ P (X = 3) = 0, 18, P (X > 2) = 0, 323 10 E(X) = 160, V ar(X) = 19, 238 11 P = 0, 09 12 a) P (X > 300) = − φ(1, 25) == 0, 1056, b) P (X, 175) == φ(−1, 875) = 0, 0303, c) P (260 < X < 270) = φ(0, 5) − φ(0, 25) = 0, 0928 13 a) 18, b) 22, c) 213, d) 14 14 Z P 0,08 0,12 0,32 0,18 0,3 15 E(Y ) = 13, 2, V ar(Y ) = 79, 36 ´ ´ ´ ’ ´ 16 X c´ phˆn phˆi nhi thuc voi P = nˆn E(X) = n Ap dung bˆt dang thuc o a o e a ¯˘ ’ ’ ’ ´ ´ ’ ´ ´t dang thuc cˆn chung minh ´ a ` Tchebyshev ta duoc bˆ ¯˘ ¯ ’ ’ a ’ ’