kiểm tra học kì II, năm học 2007-2008 Môn: Toán l ớp 12. Thời gian: 150 phút. (không kể thời gian phát đề). ---------------------------------------------------------------------------- Đề bài Bài 1. (3,5 điểm). Cho hàm số y = x 3 3x 2 + mx a) Định m để hàm số đạt cực trị tại x = 2. b) Khảo sát hàm số khi m = 0. Gọi (C) là đồ thị hàm số. c) Biện luận theo k số nghiệm của phơng trình x 3 3x 2 k = 0. Bài 2. (1,5 điểm) a) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đờng y = sinx; y = 0; x = 0; x = 2 . Tính thể tích khối tròn xoay đợc tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành. b) Tính I = + 1 0 2 )dxxxln(1 . Bài 3. (1,0 điểm) Tìm hệ số của x 25 y 10 trong khai triển (x + y) 15 . Bài 4. (1,5 điểm) Cho hypebol (H): 1 8 y 4 x 22 = và đờng thẳng (): x y 2 = 0. a) Chứng minh rằng () luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt. b) Tìm điểm C thuộc (H) sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4. Bài 5. (2,5 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đờng thẳng 1 : =++ =+ 01zy2x 032zyx và 2 : 2 1z 1 1y 1 2x = = . a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng 1 và song song với đờng thẳng 2 . b) Cho điểm M(2; 1 ; 0). Xác định điểm H thuộc đờng thẳng 1 sao cho độ dài MH nhỏ nhất. c) Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng 1 và 2 . ------------------------------------------------------------------------- ĐáP áN Và hớng dẫn chấm đề kiểm tra học kì II môn toán 12, năm học 2007-2008 Bài Đáp án Biểu điểm Bài1 a) TXĐ : D=R Y = 3x 2 6x +m Hàm số đạt cực trị tại x=2 y (2)= 0 12 12 +m= 0 m=0 Khi m=0 hàm số trở thành y= x 3 3x Xét y = 3x 3 6x, y = 6x 6 y (2)= 12 12 =0, y (2)= 12 6 =6 > 0 x=2 là điểm cực tiểu Vậy khi x=2 thì hàm số đạt cực trị tại m = 0 b) Khi m= 0 hàm số trở thành y= x 3 3x 2 * Tập xác định: D=R * Sự biến thiên + y = 3x 2 6x y =0 3x 2 6x=0 x = 0 hoặc x = 2 + Giới hạn: = y x lim , += + y x lim + Bảng biến thiên x 0 2 + y' + 0 0 + y 0 + 4 Hàm số đồng biến trên hai khoảng ( ; 0) và (2; + ) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) Hàm số đạt cực đại tại x=0 ; y CĐ =0 Hàm số đạt cực tiểu tại x=2; y CT = 4 + y = 6x 6, y =0 6x 6 =0 x=1 y= 2 Bảng xét dấu y : x 1 + y 0 + ĐTHS lồi điểm uốn lõm I(1; 2) * Đồ thị: Cho x= 1 y= 4 x= 3 y=0 Đồ thị qua các điểm (1; 4), (3; 0) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 x y y = x 3 3x 2 (C) 0 y = x 3 3x 2 c) x 3 3x 2 k =0 x 3 3x 2 =k (1) Phơng trình hoành độ giao điểm của hai đờng: (C): y= x 3 3x 2 (d): y= k Đờng thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành và đi qua điểm (0;k). Số giao điểm của (d) và (C) là số nghiệm của phơng trình đã cho. Dựa vào đồ thị: + Khi k< 4 hoặc k > 0 thì (d) và (C) có một điểm chung suy ra phơng trình đã cho có một nghiệm. + Khi k= 4 hoặc k = 0 thì (d) và (C) có hai điểm chung suy ra phơng trình đã cho có hai nghiệm. + Khi 4 < k < 0 thì (d) và (C) có ba điểm chung suy ra phơng trình đã cho có ba nghiệm. Bài2 a) Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm: V = 2 0 2 xdxsin = 2 0 cos2x)dx-(1 2 = 2 0 |sin2x) 2 1 (x 2 = 4 2 (đvtt) b) Đặt = += xdxdv )xln(1u 2 + =+= + = 2 1x 2 1 2 x v dx x1 2x du 22 2 Suy ra I = 1 0 |)xln(1 2 1x 2 2 + + - 1 0 xdx = ln2 2 1 Bài3 Số hạng thứ (k+1) trong khai triển (x 3 +xy) 15 là T k+1 = kk153k 15 (xy))(xC (k = 0, 1 , , 15) = k2k45k 15 y(x)C Hệ số của x 25 y 10 ứng với = = 10k 252k45 k = 10 Vậy hệ số của x 25 y 10 là 10 15 C = 3003 Bài 4 a) Toạ độ giao điểm của đờng thẳng () và Hypabol (H) là là nghiệm của hệ phơng trình: = = (2)02yx (1)1 8 y 4 x 22 Từ (2) ta suy ra: y = x 2 thay vào (1) ta đợc: x 2 + 4x 12 = 0 x = 0 hoặc x = 6 Với x = 0 thì y = 0, ta có A(2; 0) Với x = 6 thì y = 8, ta có B(6; 8) Khi đó AB = 8 2 b) Gọi C(x;y) (H) thì d(C,) = 2 1 28 2,4 AB 2S ABC == 2 1 2 2yx = = = 1xy 3xy Vì C (H) nên có pt: 2x 2 y 2 = 8 Với y = x 3 thì x 2 + 6x 17 = 0 +=+= == 266y263x 266y263x Với y = x 1 thì x 2 + 2x 9 = 0 +=+= == 102y101x 102y101x Vậy có 4 điểm cần tìm: ( ) 266;263 ; ( ) 266;263 ++ ( ) 102;101 ; ( ) 102;101 ++ Bài 5 a) Đờng thẳng 1 có VTCP: ( ) )3;5;1( == 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 11 ;;u và 1 đi qua A(0; 1; 2) Đờng thẳng 2 có VTCP: )2;1;1( 2 = u và 2 đi qua B(2; 1; 1) Khi đó VTPT của mp(P) là: ]u,u[n 21 = = (13; 5 ; 4) Phơng trình mặt phẳng (P) là: 13x + 5y 4z + 3 = 0 b) Vì H 2 nên H(2+t; 1t; 1+2t) và MH =(4+t; t; 1+2t) MH nhá nhÊt⇔ MH ⊥ ∆ 2 ⇔ MH . u  2 = 0 ⇔ 4 +t +t + 2(2t+1) = 0 ⇔ 6t + 6=0 ⇔ t= −1 Khi ®ã: H(1; 2; −1) c) d(∆ 1 , ∆ 2 ) = ]u,u[ AB].u,u[ 21 21 Mµ AB = (2; 0; −1) ⇒ = AB].u,u[ 21 13.2 + (−4)(−1) = 30 = ]u,u[ 21 210 Do ®ã: d(∆ 1 , ∆ 2 ) = 210 30 = 7 210 . ------------------------------------------------------------------------- ĐáP áN Và hớng dẫn chấm đề kiểm tra học kì II môn toán 12, năm học 2007-2008 Bài Đáp án Biểu điểm Bài1 a) TXĐ : D=R Y. kiểm tra học kì II, năm học 2007-2008 Môn: Toán l ớp 12. Thời gian: 150 phút. (không kể thời gian phát đề) . ----------------------------------------------------------------------------