§3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP I Mục tiêu học: Qua học, HS Về kiến thức - Hiểu định nghĩa đường elip - Hiểu phương trình tắc hình dạng elip - Hiểu mối liên hệ đường tròn đường elip Về kỹ - Lập phương trình tắc elip biết hai ba yếu tố trục lớn, trục nhỏ tiêu cự - Từ phương trình tắc elip xác định trục lớn, trục nhỏ, tiêu cự, tiêu điểm, đỉnh… - Thông qua phương trình tắc elip để tìm hiểu tính chất hình giải số tốn elip Về tư duy, thái độ - Rèn luyện tính cẩn thận, xác, trách nhiệm học tập - Tích cực chủ động, sáng tạo học tập - Thấy mối liên hệ toán học thực tế Định hướng phát triển lực - Năng lực phát giải vấn đề - Năng lực tìm tịi, tư logic - Năng lực hoạt động nhóm - Năng lực ngơn ngữ II Chuẩn bị giáo viên học sinh - Giáo viên: Đồ dùng thiết bị dạy học, hai đinh đoạn dây buộc vào để vẽ hình elip - Học sinh: SGK, đồ dùng học tập, bìa cứng( 15*30), đóng sẵn hai đầu đinh cách 10cm sợi dây dài khoảng 35cm III Tố chức hoạt động dạy học Ổn đinh tổ chức lớp Kiểm tra cũ  Đặt vấn đề vào mới: Quan sát hình ảnh cốc nước thủy tinh Khi cốc nước đặt thẳng đứng đường giao mặt nước thành cốc đường ta học? nghiêng cốc nước em quan sát có cịn đường trịn khơng? => Đường có hình dạng gọi đường elip + Đưa thêm số hình ảnh đường elip để HS quan sát: bóng đường trịn mặt phẳng, quỹ đạo hành tinh chuyển động quanh hệ mặt trời, bóng bóng dá mặt sân + Vậy đường elip định nghĩa nào? Và đặt hệ trục tọa độ Oxy phương trình sao? Đó nội dung học ngày hơm Bài Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Hoạt động 1: Tìm hiểu định nghĩa đường elip - Hướng dẫn học sinh vẽ - HS thực vẽ đường elip: Đóng hai đinh cố định hai điểm F F Lấy vịng dây kín khơng đàn hồi có độ dài lớn F F Quàng vòng dây qua hai đinh kéo căng điểm M Đặt đầu bút chì điểm M di chuyển cho dây căng Đầu bút chì vạch nên đường mà ta gọi đường elip - Ba điểm M , F , F2 lập thành tam giác M F F - HS quan sát trả lời: - Khi M thay đổi có nhận - Chu vi khơng đổi Ghi bảng – Trình chiếu I-Định nghĩa đường elip xét chu vi tam giác M độ dài sợi F F 2? dây - Tổng M F + M F có thay đồi khơng? Tại - Tổng không đồi sao? khoảng cách F F không - NX: Tập hợp điểm đổi M tạo nên đường gọi đường elip Định nghĩa: - Một em phát biểu theo ý hiểu định nghĩa đường elip - HS phát định nghĩa Cho hai điểm cố định F , F2 - Giáo viên nhận xét, đường elip độ dài khơng đổi 2a lớn xác hóa định nghĩa - HS phát biểu theo ý hiểu F F ( E ) : { M |F M + F2 M =2 a } - Từ định nghĩa ta có a>2 c  a> c> F , F2 : tiêu điểm -Tại c >0? -HS suy nghĩ trả lời - Tại a> c ? , - Độ dài F F 2ln dương a< c sao? - a> c tam F F 2=2 c gọi tiêu cự Chú ý: +) a> c> giác tồng hai cạnh ln có độ dài lớn cạnh cịn lại Nếu a< c vi phạm bất đẳng thức tam giác Hoạt động 2: Tìm hiểu phương trình tắc elip HDTP1: GV giới thiệu II- Phương trình tắc Phương trình tắc đường - HS quan sát ý nghe elip giảng, thao tác vẽ vào - Cho elip ( E ) có tiêu elip điểm F , F M ∈ ( E )  F M + F2 M =2 a Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho F 1=(−c , 0) F 2=(c , 0) Khi với điểm M (x , y ) nằm ( E ) ta tìm mối Cho elip ( E ) có tiêu điểm liên hệ x y cách F 1=(−c , 0), F 2=( c , 0) M ∈ ( E ) tính F M theo hai cách F M + F2 M =2 a +) Tính F M =√ (x + c)2+ y Người ta chứng minh rằng: +) Tính F M 2−F M sử M (x , y )∈ ( E) x2 y + =1(1) a2 b dụng định nghĩa F M + F2 M =2 a để tính Trong b 2=a2−c F M −F M từ suy F M =a+ Phương trình (1) gọi phương cx cx F M =a− , a a trình tắc elip  Chú ý: a> b>0 Từ hai cách tính F M rút biểu thức liên hệ x y Ta có F M =a+ cx = √( x+ c)2 + y a ¿ 2  x2 + y =1 a a −c Đặt b 2=a2−c ta x2 y + =1(1) a2 b Phương trình (1) gọi phương trình tắc elip - Vì ta đặt b 2=a2−c 2? - HS suy nghĩ, trả lời -Vì a> c a 2> c2  a 2−c 2> -Các em ý từ biểu thức Vậy ta đặt b 2=a2−c b 2=a2−c => c 2=a2−b =>a> b>0 HDTP2: Nhận dạng thể phương trình tắc elip VD 1: Trong phương trình - Trong phương trình sau sau phương trình phương phương trình phương trình tắc elip? Hãy xác trình tắc elip? - HS dựa vào phương định hệ số a , b ? sao? Hãy xác định hệ số trình tắc elip a,b? trả lời x2 y2 a) + =1 25 +) a phương trình tắc elip a 2=25=¿ a=± Vì a> nên a=5 b =4=¿ b=± Vì b> nên b=2 +) b khơng phương trình tắc elip a=4, b=6=¿ a a= √ , b=√5 HS c)5 x 2+7 y =35 Giải:+) Pt a pt tắc elip với a=5 , b=2 x 2+7 y =35  x2 y2 + =1 b) 16 36 x2 y + =1 +) Pt b không pt tắc elip a=4, b=6=¿ a a =b +c =25 2 x2 y2 Pt( E2 ): + =1 25 Nhóm 3: a=7, c=5 => b 2=a2−c 2=24 ( E2 ): b=3, c=4 ( E3 ) : a=7, c=5 ( E ): b=5, c=3 Giải: 2 +¿ ( E 1): x + y =1 36 16 x2 y2 + =1 25 x2 y2 + =1 Pt( E3 ): 49 24 +) ( E2 ): Nhóm 4:b=5, c=3 +) => a 2=b2 +c 2=34 x2 y2 E ( ) +) : + =1 x2 y2 Pt( E ): + =1 x2 y2 E ( ): + =1 49 24 34 25 34 25 -GV kiểm tra kết nhận xét Hoạt động 3: Tìm hiểu hình dạng elip - GV hướng dẫn học sinh - HS quan sát, suy nghĩ Hình dạng elip nhận xét trả lời Cho elip ( E ) có phương trình: - Điểm M ( x , y ) ∈ ( E ) - Có, tọa độ thỏa Các điềm M (−x , y ), M ( x ,− y ) mãn phương trình (1) , M (−x ,− y ) có thuộc ( E ) khơng? - NX: quan hệ M M - M M đối xứng x2 y + =1 a2 b (1) ? qua trục Oy - NX: quan hệ M M - M M đối xứng ? qua trục Ox - NX: quan hệ M M - M M đối xứng qua O - Tìm tọa độ giao điểm +) ( E ) có trục đối xứng ( E ) với trục tọa độ? Ox , Oy , tâm đối xứng gốc O +) Giao với trục Ox => y=0 +) y=0 => x=± a => ( E ) thay vào pt (1) ta gì? cắt trục Ox điểm Vậy ( E ) cắt trục Ox A1 (−a ; ) , A ( a ; ) điểm? +) x=0 => y=±b => ( E ) +) Giao với trục Oy cắt trục Oy điểm => x=0 thay vào pt (1) ta +) A1 (−a ; ) , A ( a ; ) , B1 ( ;−b ) , B2 ( 0; b ) đỉnh elip +) A1 A 2=2 a gọi trục lớn ( E +) B1 B2=2 b gọi trục bé ( E ) B1 ( ;−b ) , B2 ( 0; b ) gì? Vậy ( E ) cắt trục Ox điểm? +) A1 A 2=2 a B1 B2=2 b - Tính độ dài A1 A 2, B1 B2 ? - HS: a 2=9, b2=1 => c 2=a2−b 2=8 x2 y + =1 - GV: Từ phương trình => a=3, b=1, c=2 √ - VD 3: Cho ( E ) : tắc a , b2 , - A1 (−3 ; ) , A ( ; ) , Tìm tọa độ đỉnh, độ dài c 2=? B1 ( ;−1 ) , B2 ( 0; ) trục, tọa độ tiêu - A1 A 2=6 , B1 B2=2 - Tọa độ đỉnh =? - F 1=(−2 √ , 0), F 2=¿) - Độ dài trục =? - F F 2=4 √2 -Tọa độ tiêu điểm? điểm, tiêu cự ( E ) Giải: +) A1 (−3 ; ) , A ( ; ) , B1 ( ;−1 ) , B2 ( 0; ) +) A1 A 2=6 , B1 B2=2 +) F 1=(−2 √ , 0), -Tiêu cự F F 2=? F 2=¿) +) F F 2=4 √2 Ví dụ 4: Viết pương trình tắc elip biết: a, Elip qua hai điểm A( 4;0) - HS quan sát trả lời câu hỏi - GV hướng dẫn học sinh làm +) phương trình tắc elip có dạng ? +) thay tọa độ điểm A( 4;0) B( 3; √ ) vào phương b, Độ dài trục lớn 10, tiêu cự x2 y +) + =1 a b ýa +) B( 3; √ ) { (1) 42 + =1 a2 b 2 √7 2 + =1 a b ( ) Giải: a, Phương trình tắc elip có dạng ( E ) qua hai điểm A( 4;0) a2=16  b =4 { B( 3; √ ) nên ta có: trình (1) ta có hệ nào? x2 y2 +) + =1 16 +) Vậy phương trình tắc elip có dạng nào? x2 y + =1 a2 b 42 + =1 a2 b 2 √7 32 + =1 a b - HS lên bảng trình { bày  - GV gọi học sinh lên ta có a = 5, c = bảng trình bày ý b => b =a −c =25−9=16 => ( E ) : 2 ( ) a2=16 b 2=4 { Vậy phương trình tắc 2 x y + =1 25 16 elip là: x2 y2 + =1 16 b, Ta có a = 5, c = => b 2=a2−c 2=25−9=16 x2 y2 ( ) E : + =1 => 25 16 - GV nhận xét xác hóa cần Hoạt động 4: Tìm hiểu mối liên hệ đường tròn đường elip 4.Liên hệ đường tròn - GV hướng dẫn HS nhận xét -HS quan sát trả lời câu đường elip hỏi - Từ hệ thức b 2=a2−c tiêu cự elip HS: nhỏ b gần - Elip có dạng gần a, tức trục nhỏ gần đường trịn trục lớn, có nhận xét a) Tiêu cự cự nhỏ => ( E ) có hình dạng elip? dạng gần đường trịn b) Trong mặt phẳng Oxy cho -Trong mặt phẳng Oxy cho đường trịn ( ∁ ) có phương trình đường trịn ( ∁ ) có phương x 2+ y 2=a2 trình M ( x , y ) ∈(∁ ), xét phép biến đổi x 2+ y 2=a2 M ( x , y ) ∈(∁ ), xét phép biến ' ' ' ' ' M ( x , y ) → M ( x , y ) với ' đổi M ( x , y ) → M (x , y ) với { x' =x b y'= y a (0< b Đường có hình dạng gọi đường elip + Đưa thêm số hình ảnh đường elip để HS quan sát: bóng đường