Đồ thị hàm số y = f (x) GV: Phạm Văn Đức Mục lục Mở đầu 2 Nội dung 2.1 Đồ thị hàm số y = f (x) tính đồng biến, y = f (x) 2.1.1 Một số kiến thức cần nhớ 2.1.2 Các ví dụ 2.1.3 Bài tập luyện tập 2.2 Đồ thị hàm số y = f (x) cực trị hàm 2.2.1 Một số kiến thức cần nhớ 2.2.2 Các ví dụ 2.2.3 Bài tập luyện tập 2.3 Một số tập khác Tài liệu tham khảo nghịch biến số y = f (x) hàm số 3 10 10 10 12 14 19 Đồ thị hàm số y = f (x) GV: Phạm Văn Đức Mở đầu Trong giải tích, đạo hàm công cụ mạnh để giải nhiều toán Giữa hàm số f (x) đạo hàm f (x) có nhiều mối liên hệ chặt chẽ Điển hình đồng biến nghịch biến, cực trị Đạo hàm hàm số việc biểu diễn dạng cơng thức cịn thể thơng qua đồ thị Việc dựa vào đồ thị f (x) để tìm tính chất hàm số f (x) đưa đến cho điều thú vị toán hay Trong đề thi nay, xuất nhiều tốn có giả thiết cho đồ thị hàm số f (x) yêu cầu tính chất biến thiên cực trị số tính chất khác hàm số f (x) Một yêu cầu mẻ giống hầu hết tốn khác học sinh khơng nắm vững kiến thức liên quan rèn luyện thường xuyên trở thành yêu cầu khó Đồ thị hàm số y = f (x) GV: Phạm Văn Đức Nội dung 2.1 Đồ thị hàm số y = f (x) tính đồng biến, nghịch biến hàm số y = f (x) 2.1.1 Một số kiến thức cần nhớ Định lý:1 Hàm số y = f (x) có đạo hàm K a) Nếu f (x) > với x thuộc K hàm số f (x) đồng biến (tăng) K b) Nếu f (x) < với x thuộc K hàm số f (x) nghịch biến (giảm) K Dựa vào đồ thị hàm số f (x) ta nhận thấy: a) f (x) > x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f (x) nằm phía trục hồnh b) f (x) < x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f (x) nằm phía trục hồnh Từ ta có kết luận: a) x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f (x) nằm phía trục hồnh khoảng hàm số f (x) đồng biến (tăng) b) x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f (x) nằm phía trục hồnh khoảng hàm số f (x) nghịch biến (giảm) 2.1.2 Các ví dụ Ví dụ Cho hàm số y = f (x) liên tục có đạo hàm đoạn [a; e] Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ sau y y = f (x) a b O c d Trang 6, sách giáo khoa Giải tích 12 - NXB Giáo dục e x Đồ thị hàm số y = f (x) GV: Phạm Văn Đức Hãy khoảng đồng biến, nghịch biến lập bảng biến thiên hàm số y = f (x) khoảng (a; e) Lời giải Trên khoảng (a; b) (c; d) đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía trục hồnh, tức f (x) < nên hai khoảng hàm số y = f (x) nghịch biến Trên khoảng (b; c) (d; e) đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía trục hoành, tức f (x) > nên hai khoảng hàm số y = f (x) đồng biến Nói cách ngắn gọn, dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) ta biết dấu f (x) để từ kết luận biến thiên hàm số y = f (x) Trên đoạn [a; e], f (x) = ⇔ x = a, x = b, x = c, x = d, x = e Ta lập bảng biến thiên hàm số y = f (x) đoạn [a; e] sau: x a f (x) c b − + − f (a) e d + f (c) f (e) f (x) f (b) f (d) Nhận xét: Khi dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) ta biết dấu f (x) điểm mà f (x) = Điều giúp ta lập bảng biến thiên hàm số y = f (x) Trong nhiều trường hợp, bảng biến thiên cho ta nhìn trực quan hàm số y = f (x) Ví dụ (Đề tham khảo thi THPT Quốc gia 2018 - Bộ GD ĐT) Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình sau y y = f (x) −1 x O Hàm số y = f (2 − x) đồng biến khoảng A (1; 3) B (2; +∞) C (−2; 1) Lời giải D  (−∞; −2) x < −1 Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) ta suy f (x) < ⇔  1 ⇔ f (2 − x) < ⇔  ⇔ 10 − 2) > Ta thấy g (x) < ⇔      f (x        x>0 − 2) < x0     x −2>2     x0     x −2 (1)   −2     0      (do (∗) (∗∗)) ⇒ f (0) > f (4) Vậy đoạn [0; 4] f (4) giá trị nhỏ hàm số y = f (x) Ví dụ Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) hình bên Đặt g(x) = f (x) + x2 + x + 2018 Mệnh đề đúng? A Hàm số g(x) đồng biến khoảng (1; 3) B Hàm số g(x) đồng biến khoảng (−3; 0) C Hàm số g(x) đồng biến khoảng (0; 3) D Hàm số g(x) nghịch biến khoảng (0; 3) Lời giải Vẽ đường thẳng ∆ : y = −x − qua điểm có tọa độ (−3; 2), (1; −2), (3; −3) Ta có: g (x) = f (x) + x + = f (x) − (−x − 1) • Trên khoảng (−3; 1), đồ thị hàm số f (x) nằm phía đường thẳng y = −x − nên f (x) < −x − ⇒ g (x) < Vậy khoảng (−3; 1) hàm số g(x) nghịch biến y O x −3 −2 −4 y O x −3 −2 • Trên khoảng (1; 3), đồ thị hàm số f (x) nằm phía đường thẳng y = −x − nên f (x) > −x − ⇒ g (x) > Vậy khoảng (1; 3) hàm số g(x) đồng biến Chọn đáp án A −4 ∆ (C) 2.1.3 Bài tập luyện tập Bài (Đề khảo sát kiến thức THPT, Sở Vĩnh Phúc 2018) Hàm số f (x) có đạo hàm R hàm số f (x) y Biết đồ thị hàm số f (x) cho hình vẽ Hàm số f (x) nghịch biến khoảng khoảng sau? ! 1 O13 A (0; +∞) B ;1 ! C −∞; D (−∞; 0) f (x) x Đồ thị hàm số y = f (x) GV: Phạm Văn Đức Hướng dẫn, Đáp án: Chọn đáp án D Bài (Giữa HK1 - THPT Ba Đình - Thanh Hóa 2017 - 2018) y Cho hàm số f (x) có đạo hàm y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Biết f (0) + f (3) = f (2) + f (5) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y = f (x) [0; 5] A f (1), f (5) B f (2), f (0) C f (2), f (5) D f (0), f (5) Hướng dẫn, Đáp án: Từ đồ thị f (x) suy hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau x y0 − + y = f (x) x + f (0) f (5) y f (3) f (2) Suy f (x) = f (2) [0;5] Ta lại có f (0) + f (3) = f (2) + f (5) ⇔ f (5) − f (3) = f (0) − f (2) mà f (3) > f (2) ⇒ f (5) > f (0) Vậy max f (x) = f (5) [0;5] Chọn đáp án C Bài (Đề KT HK1 Sở GD Kiên Giang 2017) Cho hàm số đa thức y = f (x) xác định, liên tục R có đồ thị f (x) hình sau Chọn phát biểu nói hàm số y = f (x) −4 A Hàm số có f (x) có điểm cực trị B Giá trị f (0) lớn giá trị f (3) C Hàm số nghịch biến khoảng (−3; −2) D lim f (x) = +∞ lim f (x) = −∞ x→+∞ x→−∞ Hướng dẫn, Đáp án: y −2 O x Đồ thị hàm số y = f (x) GV: Phạm Văn Đức Chọn đáp án B Bài (Đề HK1, T12, Nguyễn Trãi, Hà Nội 2017) y Cho hàm số y = f (x) liên tục có đạo hàm f (x) đoạn " # 0; , biết đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Hỏi " # hàm số y = f (x) đạt giá trị nhỏ đoạn 0; O điểm x0 đây? A x0 = B x0 = C x0 = D x0 = x Hướng dẫn, Đáp án: Từ đồ thị hàm số y = f (x), ta có bảng biến thiên hàm số y = f (x) x f (x) − − 0 f (0) + f   f (x) f (3) Dựa vào" bảng biến thiên hàm số y = f (x), ta có hàm số đạt giá trị nhỏ # đoạn 0; x0 = Chọn đáp án A Bài (HK1, Sở Bến Tre, 2018) Cho hàm số f (x) = ax4 + bx3 + cx2 + d(a 6= 0) Biết hàm số f (x) có đạo hàm f (x) hàm số f (x) có đồ thị hình vẽ bên Khi nhận xét sau sai? A Trên khoảng (−2; 1) hàm số f (x) tăng B Hàm số f (x) giảm đoạn có độ dài C Hàm số f (x) đồng biến khoảng (1; +∞) D Hàm số f (x) nghịch biến khoảng (−∞; −2) Hướng dẫn, Đáp án: Chọn đáp án D y −2 −1 O x Đồ thị hàm số y = f (x) GV: Phạm Văn Đức 2.2 Đồ thị hàm số y = f (x) cực trị hàm số y = f (x) 2.2.1 Một số kiến thức cần nhớ Ta nhắc lại kết quả:2 Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm khoảng (a; b) đạt cực đại cực tiểu x0 f (x0 ) = Từ ta suy ra, hàm số y = f (x) đạt cực trị điểm x0 đồ thị hàm số y = f (x) cắt trục hồnh điểm có tọa độ (x0 ; 0) Ngược lại, hàm số y = f (x) liên tục, có đạo hàm x0 đồ thị hàm số y = f (x) cắt trục hoành điểm (x0 ; 0) đồng thời f (x) đổi dấu qua x0 x0 điểm cực trị hàm số y = f (x) Ngoài f (x) đổi dấu từ dương sang âm qua x0 x0 điểm cực đại f (x) đổi dấu từ âm sang dương qua x0 x0 điểm cực tiểu 2.2.2 Các ví dụ Ví dụ (Đề thi thử lần 1, 2017 - 2018, Lương Văn Tụy, Ninh Bình) y Cho hàm số y = f (x) liên tục R, đồ thị đạo hàm f (x) hình vẽ bên Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A f đạt cực tiểu x = −1 O B f đạt cực tiểu x = −2 x C f đạt cực đại x = −2 −4 −3 −2 D Cực tiểu f nhỏ cực đại −1 Lời giải: Theo giả thiết f (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua −2 nên x = −2 điểm cực đại hàm số f (x) f (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua nên x = điểm cực tiểu hàm số f (x) Bảng biến thiên hàm số f (x) x f (x) −∞ −2 + +∞ − 0 + f (−2) f (x) f (0) Từ ta thấy cực tiểu f (x) nhỏ cực đại Chọn đáp án B Ví dụ (Thi thử lần 1, Kiến An, Hải Phòng 2018) Trang 14, sách giáo khoa Giải tích 12 - NXB Giáo dục 10 Đồ thị hàm số y = f (x) GV: Phạm Văn Đức y Cho hàm số y = f (x) xác định R có đồ thị hàm số y = f (x) đường cong hình vẽ bên Hỏi hàm số y = f (x) có điểm cực trị? A B C D x O Lời giải: Ta thấy đồ thị hàm số y = f (x) cắt trục hoành điểm có điểm mà qua f (x) đổi dấu Nên hàm số y = f (x) có ba cực trị Chọn đáp án A Ví dụ (Lần 1, THPT Cẩm Xuyên, 2017 - 2018) Cho hàm số f (x) liên tục R có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ y −1 O a x −1 Đặt g(x) = f (x) − x2 Hàm số g(x) đạt cực đại điểm sau đây? B x = C x = a D x = x = Lời giải: Trước hết ta có g (x) = f (x) − x Vẽ đường thẳng y = x qua điểm (−1; 1), (1; 1), (2; 2) Quan sát đồ thị ta thấy: A • Trên khoảng − ; đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía đường thẳng y = x nên g (x) = f (x) − x > y ! −1 O a x −1 • Trên khoảng (1; 2) đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía đường thẳng y = x nên g (x) = f (x) − x < Như g (x) đổi dấu từ dương sang âm qua điểm x = nên hàm số g(x) đạt cực đại Chọn đáp án B Ví dụ (Đề KSCL HK1, sở Thái Bình 2017 -2018) Cho hàm số y = f (x) liên tục R, hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ sau 11 Đồ thị hàm số y = f (x) GV: Phạm Văn Đức y O Hàm số y = f (x) + Lời giải: A x1 x2 x3 x 2017 − 2018x có số điểm cực trị 2017 B C D 2018 2018 2018 Khi đó: y = ⇒ f (x) − = ⇒ f (x) = 2017 2017 2017 Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình y = có nghiệm phân biệt Do hàm số cho có điểm cực trị Chọn đáp án A Ta có: y = f (x) − 2.2.3 Bài tập luyện tập Bài (Lần 1, THPT Cẩm Xuyên, 2017 - 2018) Cho hàm số f (x) liên tục R có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ y −1 O x −1 Đặt g(x) = f (x) − x Hàm số g(x) đạt cực đại điểm sau đây? A x = −1 B x = C x = D x = Hướng dẫn, Đáp án: Chọn đáp án A Bài (Chuyên Bắc Ninh, lần 2, 2018) Cho hàm số y = f (x) với đạo hàm x3 f (x) có đồ thị hình vẽ Hàm số g(x) = f (x) − + x2 − x + đạt cực đại điểm điểm sau? A x = −1 B x = C x = D x = 12 Đồ thị hàm số y = f (x) GV: Phạm Văn Đức y x −1 O −2 Hướng dẫn, Đáp án: Ta có g (x) = f (x)−x2 +2x−1 = f (x)−(x−1)2 , ∀x ∈ (−1; 2) g (x) = ⇔ f (x) = (x − 1)2 Dựa vào đồ thị bên ta thấy x = f (x) = (x − 1)2 , tức g (1) = 0; đồng thời dấu g (x) đổi từ dương sang âm Vậy, hàm số g(x) đạt cực đại x = y x −1 O −2 Chọn đáp án B Bài (Đề HK1, Sở GD&ĐT An Giang, 2017-2018) Hàm số y = f (x) liên tục khoảng K, biết đồ thị hàm số y = f (x) K hình vẽ bên Tìm số cực trị hàm số y = f (x) K A B C D Hướng dẫn, Đáp án: y O x Chọn đáp án B Bài (Đề HK1, Sở GD ĐT Quảng Nam 2017) Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R, đồ thị hàm số y = f (x) đường cong hình bên Mệnh đề sau đúng? A Hàm số y = f (x) đạt cực đại x = B Hàm số y = f (x) có điểm cực tiểu thuộc khoảng (2; 3) C Hàm số y = f (x) có điểm cực trị D Hàm số y = f (x) đạt cực tiểu x = Hướng dẫn, Đáp án: Chọn đáp án D Bài (HK1, THPT Cẩm Bình Hà Tĩnh, 2017) 13 y O x Đồ thị hàm số y = f (x) GV: Phạm Văn Đức y Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục R có đồ thị đạo hàm y = f (x) hình vẽ bên Tìm số điểm cực tiểu hàm số y = f (x) A B C D Hướng dẫn, Đáp án: x O Chọn đáp án B Bài (Đề sát hạch lần 2, Đoàn Thượng, Hải Dương 2018) Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số y = f (x − 2017) − 2018x + 2019 A B C D y O −1 x Hướng dẫn, Đáp án: Từ đồ thị hàm số y = f (x), suy phương trình f (x) = 2018 có nghiệm x0 > Xét hàm số y = f (x − 2017) − 2018x + 2019, có y = f (x − 2017) − 2018 y = ⇒ f (x − 2017) − 2018 = ⇒ f (x − 2017) = 2018 ⇒ x − 2017 = x0 ⇒ x = x0 + 2017 Do y = có nghiệm đơn nên y = f (x − 2017) − 2018 đổi dấu qua x = x0 + 2017.Suy hàm số y = f (x − 2017) − 2018x + 2019 có điểm cực trị Chọn đáp án B 2.3 Một số tập khác Bài (Đề khảo sát kiến thức THPT, Sở Vĩnh Phúc 2018) Cho hàm số f (x), f (x), f 00 (x) có đồ thị hình vẽ sau y (C1 ) (C3 ) O (C2 ) x Khi (C1 ), (C2 ), (C3 ) thứ tự đồ thị hàm số A f 00 (x), f (x), f (x) B f (x), f (x), f 00 (x) 14 Đồ thị hàm số y = f (x) GV: Phạm Văn Đức f (x), f (x), f 00 (x) D f (x), f 00 (x), f (x) Hướng dẫn, Đáp án: Ta nhận thấy vị trí (C1 ) cắt trục hồnh (C2 ) (C3 ) đạt cực trị Tại khoảng mà đồ thị (C1 ) nằm Ox (C3 ) đồng biến ngược lại Xét đường cong (C2 ) ta thấy: vị trí (C2 ) cắt Ox (C1 ) đạt cực trị Tại khoảng mà đồ thị (C2 ) nằm Ox (C1 ) đồng biến ngược lại Chọn đáp án D C Bài (Đề TT lần 2, THPT Lương Tài 2, Bắc Ninh, năm 2017-2018) Cho hàm số y = f (x) y = g(x) hai hàm liên tục R có đồ thị hàm số y = f (x) đường cong nét đậm y = g (x) đường cong nét mảnh hình vẽ Gọi ba giao điểm A, B, C y = f (x) y = g (x) hình vẽ có hồnh độ a, b, c Tìm giá trị nhỏ hàm số h(x) = f (x) − g(x) đoạn [a; c] y a b O y = f (x) c x B C y = g (x) A A h(x) = h(0) B h(x) = h(b) D [a;c] C h(x) = h(a) [a;c] [a;c] h(x) = h(c) [a;c] Hướng dẫn, Đáp án:  x=a Ta có h0 (x) = f (x) − g (x); h0 (x) = ⇔ = b x=c Trên miền b < x < c đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía đồ thị hàm số y = g (x) nên f (x) − g (x) > ⇔ h0 (x) > 0, ∀x ∈ (b; c) Trên miền a < x < b đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía đồ thị hàm số y = g (x) nên f (x) − g (x) < ⇔ h0 (x) < 0, ∀x ∈ (a; b) Bảng biến thiên   x   x a h0 b − h(a) c + h(c) h h(b) 15 Đồ thị hàm số y = f (x) GV: Phạm Văn Đức Từ bảng biến thiên suy h(x) = h(b) [a;c] Chọn đáp án C Bài (Thi thử trường Nguyễn Đăng Đạo, Bắc Ninh 2018) Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ sau y −2 x O −2 x2 Đặt g(x) = f (x) − Điều kiện cần đủ để đồ thị hàm số y = g(x) cắt trục hoành điểm phân biệt     g(0) >    g(0) > A  B g(1) <  g(1) <   g(1).g(−2) >     g(0) >    g(0) > C  D g(−2) ≤  g(−2) >   g(1) ≤ Hướng dẫn, Đáp án: Từ đồ thị suy g (x) = f (x) − x ⇒ g (0) = f (0) = 0, g (1) = f (1) − = 0, g (−2) = f (−2) + = Mặt khác từ đồ thị suy f (x) < x, ∀x ∈ (0; 1) ∪ (−∞; −2) f (x) > x, ∀x ∈ (1; +∞) ∪ (−2; 0) Bảng biến thiên x −∞ y0 −2 − + +∞ +∞ − + +∞ g(0) y g(−2) g(1) Từ bảng biến thiên suy điều  kiện cần đủ để đồ thị hàm số y = g(x) cắt   g(0) >    trục hoành điểm phân biệt g(1) <    g(1).g(−2) 16 > Đồ thị hàm số y = f (x) GV: Phạm Văn Đức Chọn đáp án B Bài (Lần 1, Chuyên Hạ Long, Quảng Ninh 2018) Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp f (x) đạo hàm cấp hai f 00 (x) R Biết đồ thị hàm số y = f (x), y = f (x), y = f 00 (x) đường cong (C1 ), (C2 ), (C3 ) hình vẽ sau y (C1 ) (C2 ) x O (C3 ) Hỏi đồ thị hàm số y = f (x), y = f (x), y = f 00 (x) theo thứ tự đây? A (C2 ), (C1 ), (C3 ) B (C1 ), (C2 ), (C3 ) C (C3 ), (C2 ), (C1 ) D (C3 ), (C1 ), (C2 ) Hướng dẫn, Đáp án: • Tại x1 (C2 ) đạt cực tiểu (C1 ) có giá trị Hơn nữa, qua x1 , (C1 ) đổi dấu từ âm sang dương Nên (C3 ) đạo hàm (C2 ) • Tại x2 (C3 ) đạt cực đại (C2 ) có giá trị Hơn nữa, qua x2 , (C2 ) đổi dấu từ dương sang âm Nên (C2 ) đạo hàm (C3 ) y (C1 ) (C2 ) x O x1 x2 (C3 ) Chọn đáp án C 17 Đồ thị hàm số y = f (x) GV: Phạm Văn Đức Bài (Lần 1-Tĩnh Gia - Thanh Hóa) Cho hàm số y = f (x) có đồ thị y = f (x) hình vẽ Gọi M m giá trị lớn " và# giá trị nhỏ hàm số y = f (x) đoạn 0; Hỏi mệnh đề sau đúng? ! A M =f ; m = f (4) B M = f (0) ; m = f (4) C M = f (2) ; m = f (1) ! D M =f ; m = f (1) Hướng dẫn, Đáp án: Chọn đáp án B 18 y O x Đồ thị hàm số y = f (x) GV: Phạm Văn Đức Tài liệu [1] Sách giáo khoa Giải tích 12, Nxb Giáo dục [2] Sách tập Giải tích 12, Nxb Giáo dục [3] Đề thi THPT QG năm 2017, Đề tham khảo thi THPT QG năm 2018 - Bộ GD ĐT [4] Đề thi Học kì thi thử trường THPT nước năm 2017, 2018 [5] Một số nội dung khác tham khảo từ bạn bè, đồng nghiệp từ Internet 19 ... thành y? ?u cầu khó Đồ thị hàm số y = f (x) GV: Phạm Văn Đức Nội dung 2.1 Đồ thị hàm số y = f (x) tính đồng biến, nghịch biến hàm số y = f (x) 2.1.1 Một số kiến thức cần nhớ Định lý:1 Hàm số y = f... -2018) Cho hàm số y = f (x) liên tục R, hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ sau 11 Đồ thị hàm số y = f (x) GV: Phạm Văn Đức y O Hàm số y = f (x) + Lời giải: A x1 x2 x3 x 2017 − 2018x có số điểm cực... tích 12 - NXB Giáo dục 10 Đồ thị hàm số y = f (x) GV: Phạm Văn Đức y Cho hàm số y = f (x) xác định R có đồ thị hàm số y = f (x) đường cong hình vẽ bên Hỏi hàm số y = f (x) có điểm cực trị? A