Đang tải... (xem toàn văn)
Các phương trình tổng quát của đường đàn hồi trong thanh chịu uốn Ta nghiên cứu thanh chịu lực nén P ở trạng thái cân bằng biến dạng với các chuyển vị nhỏ. Giả sử ở trạng thái biến dạng, đ
Chương 2. Ổn định của các thanh thẳng 2-1 Chương 2. ỔN ĐỊNH CỦA CÁC THANH THẲNG 2.1 Các phương trình tổng quát của đường đàn hồi trong thanh chịu uốn Ta nghiên cứu thanh chịu lực nén P ở trạng thái cân bằng biến dạng với các chuyển vị nhỏ. Giả sử ở trạng thái biến dạng, đầu trái của thanh có chuyển vị thẳng theo phương trục y là y(o) và chuyển vị góc là y’(o), đồng thời tại đầu trái của thanh cũng xuất hiện mô men uốn M(o) và lực cắt Q(o) vuông góc với vị trí ban đầu của thanh (hình 2-1). Mô men uốn tại tiết diện bất kỳ của thanh ở trạng thái biến dạng: M(z) = M(o) + Q(o)z + P[y - y(o)]. Từ phương trình vi phân của đường đàn hồi :EJMy,,−= ta có: EJy(o)] -P[y Q(o)z M(o),,++−=y Hay: EJPy(o)- Q(o)z M(o)yαy2,,+−=+ (2-1) Trong đó: EJPα2= (2-2) Nghiệm của phương trình vi phân trên có dạng: ()()( ) ( )EJPyzQMzBzAzy2000cossinααα−+−+= (2-3) Trong đó: A, B là các hằng số tích phân được xác định theo các điều kiện biên ở đầu trái khi z = 0. Muốn vậy trước tiên ta hãy lấy đạo hàm của y theo z ta có: EJαQ(o)αBsinααcosαA)(2,−−= zzzy (2-4) Từ (2-3) và (2-4) ta có thể viết điều kiện biên ở đầu trái khi z = 0 như sau: EJαPy(o)- M(o)By(o)2−=; EJα Q(o)αA(o)y2,−=; M(0)Py(0)Q(0)y(0),yzzyPMQQPM+dMdydza,b, Hình 2-1. Sơ đồ biến dạng uốn dọc của thanh. Chương 2. Ổn định của các thanh thẳng 2-2 suy ra: EJ Q(o)(o)yA3αα+′=; ( )EJaMB20=. Thay các giá trị vừa tìm được của A và B vào (2-3) ta được phương trình của đường đàn hồi: ()()zzzz αsinαEJα Q(o)cosα1EJα M(o)sinαα(o)yy(o)y(z)32,−−−−+=. (2-5) Trong phương trình (2-5) các đại lượng y(o), y’(o), M(o) và Q(o) được gọi là các thông số ban đầu. Đối với mỗi loại thanh có liên kết khác nhau, ta có thể xác định các thông số chưa biết từ các điều kiện biên ở đầu phải. Từ phương trình (2-5), ta tìm được phương trình góc xoay và từ đó suy ra phương trình mô men uốn trong thanh: ()z1zz αcosααααcos,−−−=EJQ(o)sinEJM(o)(o)y(z)y2, (2-6) )sin)(cos)(sin)()()( zoQzoMzoyEJzyEJzMααααα++′=′′−= (2-7) Từ điều kiện cân bằng lực như trên hình (2-1) ta xác định được lực cắt Q(z) theo sơ đồ thanh không biến dạng: Q(o)dzdyPdzdM(z)Q(z) =−= (2-8) Các phương trình (2-5) ÷ (2-8) thiết lập cho trường hợp chuyển vị và nội lực trong thanh là liên tục. Nếu dọc theo chiều dài của thanh, chuyển vị và nội lực có bước nhảy (gián đoạn) thì ta cần phải thiết lập các phương trình nội lực và chuyển vị cho từng đoạn thanh trong đó các đại lượng này là liên tục. Đối với đoạn thứ nhất ta có thể dùng các phương trình (2-5) ÷ (2-8), đối với đoạn bất kỳ thứ m + 1 ta có thể viết các phương trình chuyển vị và nội lực theo các phương trình của đoạn thứ m như sau: () ()[]−−−−++=+ i2ai,aam1mazcos-1EJMazsinyy(z)y(z)yiiiαα∆αα∆∆ ()()[]ii3aazsinα-azαEJα∆Qi−−−; (2-9) () ()−−−−+=+ iai,a,m,1mazsinααEJ∆Mazcosα∆y(z)y(z)yii - ()[]i2aazcosα-1EJα∆Qi−; (2-10) ( ) ( )+−+−+=+ iai,am1mazcosMazsinyEJ(z)M(z)Miiα∆α∆α Chương 2. Ổn định của các thanh thẳng 2-3 +()iaazsinαα∆Qi−; (2-11) apm1m∆Q(z)Q(z)Q +=+. (2-12) Trong đó iaz ≥, ia biểu thị toạ độ của tiết diện ranh giới giữa đoạn thứ m và đoạn thứ m + 1, tại đó có sự gián đoạn về chuyển vị và nội lực. Các đại lượngia∆y, ,ai∆y, ia∆M, ia∆Q lần lượt biểu thị giá trị của các bước nhảy về độ võng, góc xoay, mô men uốn và lực cắt tại toạ độ z = ai. 2.2 Ổn định của các thanh thẳng có liên kết cứng ở hai đầu Trong thực tế, các thanh thẳng chịu nén có thể có các liên kết ở hai đầu dưới các hình thức khác nhau như sau: 1. Thanh có hai đầu là khớp 2. Thanh có một đầu tự do và một đầu ngàm, 3. Thanh có một đầu ngàm, một đầu ngàm trượt theo phương vuông góc với trục thanh. 4. Thanh có một đầu ngàm, một đầu ngàm trượt theo trục của thanh, 5. Thanh có một đầu khớp một đầu ngàm. Để xác định lực tới hạn cho những thanh nói trên, ta có thể áp dụng phương pháp tĩnh học hoặc các phương pháp khác như phương pháp năng lượng đã trình bày trong chương 1. Ở đây ta áp dụng phương pháp tĩnh học, đồng thời sử dụng các phương trình tổng quát đã lập ở mục 1, để giải quyết chính xác bài toán. Xét trường hợp thứ nhất là: thanh có khớp ở hai đầu. Đối với trường hợp này, các thồng số ban đầu có giá trị như sau: y(o) = 0 , y’(o) = ? M(o) = 0, Q(o) = ? Do đó, từ phương trình tổng quát (2-5) ta có: ()αα)zsin(oy'zy = Theo điều kiện biên khi z = l, y(l) = 0 ta được: ()0αα) ==llsin(oy'y Điều kiện này được thoả mãn với hai khả năng: y’(o) = 0, hoặc sinαl = 0. Nếu y’(o) = 0, thì y(z) = 0, lúc này thanh vẫn thẳng chưa mất ổn định. Muốn cho lực P đạt đến giá trị tới hạn tương ứng với trạng thái mất ổn định thì trong hệ phải tồn tại trạng thái cân bằng mới khác trạng thái cân bằng ban đầu. Do đó y’(o) phải khác không. Vậy, sinαl = 0. Từ đó rút ra αl = kπ và từ (2-2) ta xác định được: 222thEJπkPl= với k = 1, 2, . , ∞. Chương 2. Ổn định của các thanh thẳng 2-4 Tải trọng tới hạn nhỏ nhất tương ứng với khi k = 1 thì: 22thEJπPl= Công thức này là công thức Ơ-le đã quen biết trong giáo trình sức bền vật liệu. Cũng áp dụng phương pháp trên ta có thể tìm được tải trọng tới hạn cho bốn trường hợp sau ()22thµEJπPl= (2-13) Trong đó µ là hệ số phụ thuộc vào dạng liên kết ở hai đầu thanh và có giá trị cho trong bảng 2-1. Bảng 2-1. Bảng xác định hệ số m Sơ đồ thanh µ 1 2 1 0,5 0,7 2.3 Ổn định của các thanh thẳng có liên kết đàn hồi Pyly(0)zϕϕvvtgθctgvvthπ2π3π2a,b, Hình 2-2. a) Sơ đồ tính; b) Đồ thị tìm Vth. Trong thực tế, ta còn gặp các thanh có liên kết đàn hồi. Trong mục này ta sẽ nghiên cứu cách tính ổn định của thanh có các dạng liên kết đàn hồi thường gặp như sau: 2.3.1 Thanh có một đầu tự do và một đầu ngàm đàn hồi Trong trường hợp này, các thông số ban đầu có giá trị như sau (hình 2-2a) y(o) = ? , y’(o) = ? M(o) = 0, Q(o) = 0 Pl PPPPl Chương 2. Ổn định của các thanh thẳng 2-5 Các phương trình (2-5) và (2-6) có dạng: zsinαα(o)yy(o)y(z),+= z(o)cosαy(z)y,,= Điều kiện biên: khi z = l; y(l) = 0 và y’(l) = ϕ. Nếu gọi ϕ là hệ số đàn hồi của liên kết tức là góc xoay của ngàm đàn hồi do mô men bằng đơn vị gây ra thì trong trường hợp này, vì mô men tại ngàm đàn hồi bằng -P.y(o), nên: ϕϕPy(o).−= Theo các điều kiện biên ta lập được hai phương trình thuần nhất như sau để xác định y(o) và y’(o): 0αα=′+lsin(o)yy(o) ϕPy(o)cos −=′loy α)(. Từ điều kiện tồn tại các thông số y(o) và y’(o) ta được phương trình ổn định: ()0cosαPαsinα1αD ==llϕ Sau khi khai triển định thức trên ta có: 0P.lsinlcos=ϕ−ααα hay: ϕ= EJ.lltg.lαα (2-14) Nếu đặt vα =lvà θ=ϕtg1 EJl thì phương trình ổn định có dạng: vtgθcotgv =. Để giải phương trình siêu việt trên ta nên dùng phương pháp đồ thị: Lần lượt vẽ các đường biểu diễn của các hàm số β = cotgv và β = v.tgθ theo biến số v như trên (hình 2-2b) để tìm giao điểm của chúng. Hoành độ của những giao điểm này xác định các nghiệm cần tìm. Nghiệm có ý nghĩa thực tế là nghiệm cho lực tới hạn nhỏ nhất. Sau khi tìm được vth ta sẽ xác định được lththvα = và từ đó suy ra lực tới hạn tương ứng. Từ hình vẽ ta thấy vth nhỏ nhất có giá trị luôn luôn nhỏ hơn π/2 do đó lực tới hạn luôn luôn nhỏ hơn giá trị π2EJ/4l2 là lực tới hạn tương ứng với thanh có một đầu tự do và một đầu ngàm cứng. Trường hợp giới hạn khi 0=ϕ thì vth = π/2 do đó Pth = π2EJ/4l2. 2.3.2 Thanh có một đầu ngàm cứng còn một đầu có liên kết thanh đàn hồi (hình 2-3a). Chương 2. Ổn định của các thanh thẳng 2-6 Py(0)R =y(0)yyztgvtgvvthπ2π23πtgvv Hình 2-3. Sơ đồ tính và biểu đồ xác định vth. Các thông số ban đầu: y(o) = ?, y’(o) = ? , M(o) = 0, yy(o)R Q(o)==. Trong đó y là hệ số đàn hồi của liên kết. Ý nghĩa vật lý của y là biến dạng của liên kết đàn hồi do lực bằng đơn vị gây ra. Phương trình đường đàn hồi (2-5) có dạng: ()zzz αsinαααα−−′+=EJy y(o)sin(o)yy(o)y(z)3 Theo các điều kiện biên khi z = l, y = 0 và y’ = 0, ta có: ()0αsinα.αyαα=−−+ lllEJ y(o)sin(o)y'y(o)3 ()0αcos1EJyα y(o)(o)cosαy2,=−−ll Từ đó rút ra phương trình ổn định: ()0lcosEJylcos1lsinEJylsinl1D23=−−−−=ααααααααα Sau khi khai triển định thức ta được: 33).( lEJyllltgααα−= hay: 33lEJyvvtgv −= (2-15) Để giải phương trình này ta cũng dùng phương pháp đồ thị (hình 2-3b). Từ (hình 2-3b) ta thấy giá trị của vth nằm trong khoảng giữa π/2 và 3π/2. Chng 2. n nh ca cỏc thanh thng 2-7 Khi =y tc l khụng cú thanh n hi thỡ tgv = -; v = /2. Vy Pth = 2EJ/(2l)2. Ta c cụng thc tớnh lc ti hn ca thanh cú mt u ngm v mt u t do. Khi 0=y tc l thanh n hi tr thnh tuyt i cng thỡ tgv =v; v = 4,493. Vy Pth = 2EJ/(0,7l)2. Ta c cụng thc tớnh lc ti hn ca thanh cú mt u ngm v mt u khp. 2.3.3 Thanh cú mt u ngm n hi cũn mt u l liờn kt thanh tuyt i cng (hỡnh 2-4). Cỏc thụng s ban u: y(o) = 0, y(o) = ? Phng trỡnh n hi (2-5) cú dng: M(o) = 0 , R Q(o) = ()zzzsinEJ Rsin(o)yy(z)3,= Cỏc iu kin biờn: Khi z = l; y(l) = 0 v Rl(l)y' .=. Do ú ta cú: 0EJ sinRsin(o)y3,=lll 0cos1 =+EJ R(o)cosy'2lll Phng trỡnh n nh: 0EJlcos1lcosEJlsinl.lsin)D(23=+=. Sau khi khai trin nh thc trờn ta c: ()llllEJtg21+= hay lEJv1vtgv2+= (2-16) Tng t nh trờn ta d dng tỡm c lc ti hn vth tng ng vi 2 trng hp sau: P yz Rl Hình 2-4. Thanh 1 đầu khớp 1 đầu ngàm đàn hồi Chương 2. Ổn định của các thanh thẳng 2-8 - Nếu 0=ϕ tức là khi liên kết ngàm đàn hồi trở thành ngàm cứng thì tgv = v; v = 4,493. Vậy Pth = π2EJ/(0,7l)2. -Nếu ∞=ϕ tức là khi ngàm đàn hồi trở thành khớp thì phương trình ổn định trở thành sinv = 0. Do đó v = αl = π. Vậy Pth = π2EJ/l2. 2.4 Ổn định của các thanh thẳng có tiết diện thay đổi Trong các công trình, để phù hợp với tình hình chịu lực, người ta thường dùng những thanh có tiết diện thay đổi. Khi đó ta nên dùng các phương pháp gần đúng đã trình bày trong chương 1. Trong mục này chỉ giới thiệu cách tính chính xác cho một số trường hợp thanh có tiết diện thay đổi theo những quy luật tương đối phổ biến trong thực tế. 2.4.1 Thanh có độ cứng thay đổi theo hình dạng bậc thang Xét thanh gồm hai đoạn có độ cứng thay đổi như trên (hình 2-5). Gọi EJ1 là độ cứng của đoạn trên và EJ2 là độ cứng của đoạn dưới. Phương trình vi phân viết cho từng đoạn như sau: PδPyyEJ1,,11=+ PδPyyEJ2,,22=+ Nghiệm của hai phương trình vi phân trên có dạng: δzcosαBzsinαAy11111++=; δzcosαBzsinαAy22222++=. Trong đó: 11EJPα =; 22EJPα =. Từ các điều kiện biên ta có: khi z = 0; y’2 = 0; khi z = l; y1 = d; khi z = l2; y’1 = y’2; 222212121yyEJEJy′′=′′=′′αα. Ta có: 0A2= 0ll11=+ ααs coBsinA11 0sinααBsinααBcosααA222221112111=+− lll 0cosαBcosαBsinαA222211211=−+ lll Thiết lập điều kiện tồn tại các hằng số tích phân ta sẽ được phương trình ổn định: ()0lcos-lcoslsinlsinlsinlcos0lcoslsinD2221212212212111=−=ααααααααααα (2-17) JJ12ll12lδ P P z y H×nh 2-5. Thanh cã tiÕt diÖn thay ®æi Chương 2. Ổn định của các thanh thẳng 2-9 Sau khi khai triển và rút gọn ta được: 212211ααα.α=ltgltg (2-18) Phương trình (2-18) chỉ có thể giải được khi đã biết tỷ số EJ1/EJ2 và l2/l1. Trường hợp thanh chịu hai tải trọng tập trung: lực P1 đặt ở đỉnh và lực P2 đặt ở chỗ tiếp giáp giữa hai đoạn, thì cũng thiết lập tương tự như trên ta được phương trình ổn định: 121212211PPPααα.α+=ltgltg (2-19) Trong đó: 11EJPα=; 2212EJPPα+=. Phương trình (2-18) cũng có thể áp dụng cho trường hợp thanh chịu lực nén ở hai đầu thanh. Đối với những thanh này ta có thể viết công thức xác định lực tới hạn như sau: 22lEJKPth=. (2-20) Trong đó K2 là hệ số phụ thuộc dạng liên kết ở hai đầu và phụ thuộc tỷ số J1/J2, l2/l. Hệ số này được xác định theo (bảng 2-2). Bảng 2-2. Bảng xác định hệ số K2. 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Thanh có khớp tựa ở hai đầu 0,01 0,10 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 0,153 1,467 2,796 5,089 6,978 8,550 - 0,270 2,401 4,222 6,680 8,187 9,177 - 0,598 4,498 6,694 8,512 9,240 9,632 - 0,257 8,590 9,330 9,675 9,780 9,840 - - - - - - - π Thanh có 2 đầu ngàm 0,01 0,10 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 0,614 5,866 11,132 20,238 27,713 34,022 - 1,082 9,484 16,261 24,888 30,616 35,314 - 2,390 15,467 20,460 26,306 31,086 35,442 - 8,484 17,130 21,058 27,470 32,458 36,374 - - - - - - - π l2/l J1/J2 . Chương 2. Ổn định của các thanh thẳng 2-1 Chương 2. ỔN ĐỊNH CỦA CÁC THANH THẲNG 2.1 Các phương trình tổng quát của đường đàn hồi trong thanh chịu. uốn dọc của thanh. Chương 2. Ổn định của các thanh thẳng 2-2 suy ra: EJ Q(o)(o)yA3αα+′=; ( )EJaMB20=. Thay các giá trị vừa tìm được của A và