Đang tải... (xem toàn văn)
Tổng hợp đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập của số phức sẽ giúp cho các bạn học sinh dễ dàng giải quyết tất cả các bài tập. Đừng nghĩ số phức dễ và không cần phải học nhiều lý thuyết, tuy nhiên hãy học thật kỹ lý thuyết để có thể giải được bất cứ bài toán số phức nào. Hy vọng bộ tài liệu này sẽ giúp bạn nhiều để đạt được thành tích tốt trong học tập nói chung và môn toán nói riêng.
GV: NGUYỄN NGỌC THẮM SĐT: 01217558882 SỐ PHỨC I Khái niệm số phức • Tập hợp số phức: C • Số phức (dạng đại số): z = a + bi (a, b ∈ R, a phần thực, b phần ảo, I đơn vị ảo, i2 = -1) • z số thực phần ảo z (b = 0) z phần ảo phần thực z (a = 0) Số vừa số thực vừa số ảo • Hai số phức nhau: a + bi = a’ + b’I {𝑎 = 𝑎′ (a, b, a’, b’ ∈ R) 𝑏 = 𝑏′ II Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) biểu diễn điểm M(a; b) hay 𝑢 ⃗ = (a; b) mp (Oxy) (mp phức) III Cộng trừ số phức: • (a + bi) + (a’ + b’i) = (a + a’) + (b + b’)i • (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i • Số đối z = a + bi –z = -a – bi IV Nhân hai số phức: • (a + bi).(a’ + b’i) = aa’ + ab’i + a’bi + bb’i2 = (aa’ – bb’) + (a’b + ab’)i • k.(a + bi) = ka + kbi (k ∈ R) V Số phức liên hợp: Số phức liên hợp z = a + bi 𝑧̅ = a – bi ̅̅̅ 𝑧 𝑧 ̅ ; ̅̅̅̅̅ ̅ ; ̅̅̅̅̅ ( ) = ; z 𝑧̿ = a2 + b2 • 𝑧̿ = z; ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑧 ± 𝑧′ = 𝑧̅ ± 𝑧′ 𝑧 𝑧′ = 𝑧̅.𝑧′ ̅̅̅ 𝑧2 • z số thực z = 𝑧̿; z số ảo z = -𝑧̿ 𝑧2 GV: NGUYỄN NGỌC THẮM SĐT: 01217558882 Môđun số phức: Số phức z = a + bi VI ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | • |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2 = √𝑧 𝑧̅ = |𝑂𝑀 • |𝑧| > 0, ∀𝑧 ∈ 𝐶; |𝑧| = z = 𝑧 • |𝑧 𝑧′| = |𝑧| |𝑧′| |𝑧| | | = |𝑧′| 𝑧′ ||𝑧| − |𝑧′|| ≤ |𝑧 ± 𝑧′| ≤ |𝑧| + |𝑧′| VII Chia hai số phức: • z-1 = |𝑧|2.𝑧̅ (z ≠ 0) • • 𝑧′ 𝑧 𝑧’ 𝑧 𝑧’.𝑧 = z’.z-1 = |𝑧|2 = 𝑧 ′ 𝑧̅ 𝑧.𝑧̅ = w z’ = wz VIII Căn bậc hai số phức: • z = x + yi bậc hai số phức w = a + bi z2 = w { 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑎 2𝑥𝑦 = 𝑏 • w = có bậc hai w = • w ≠ có hai bậc hai đối Hai bậc hai a > ±√𝑎 Hai bậc hai a < ±√−𝑎𝑖 IX Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trước, A ≠ 0) ∆ = B2 – 4AC • ∆ ≠ 0: (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2 = • ∆ = 0: (*) có nghiệm kép z1 = z2 = −𝐵 ± √∆ 2𝐴 −𝐵 2𝐴 Chú ý: Nếu zo ∈ C nghiệm (*) 𝑧̅𝑜 nghiệm (*) X Dạng lượng giác số phức: z = r(cos𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑) (r > 0) dạng lượng giác z = a + bi (z ≠ 0) 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑟 𝑏 { 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝑟 GV: NGUYỄN NGỌC THẮM SĐT: 01217558882 𝜑 góc argument z, 𝜑 = (𝑂𝑥, 𝑂𝑀) |𝑧| = z = cos𝜑 + sin𝜑 𝑖 (𝜑 ∈ R) Nhân chia số phức dạng lượng giác: XI Cho z = r(cos𝜑 + 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑖), z’ = r’(cos𝜑′ + sin𝜑′ 𝑖) z.z’ = rr’.[cos(𝜑 + 𝜑′) + sin(𝜑 + 𝜑′) 𝑖] 𝑧 𝑧′ 𝑟 = [cos(𝜑 − 𝜑′) + sin(𝜑 − 𝜑′) 𝑖] 𝑟′ XII Công thức Moa-vrơ: [r(cos𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑)]n = rn(cosn𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑛𝜑), (n ∈ N*) (cos𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑)n = cosn𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑛𝜑 XIII Căn bậc hai số phức dạng lượng giác: Số phức z = r(cos𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑) (r >0) có hai bậc hai là: 𝜑 𝜑 √𝑟(cos + isin ) 𝜑 𝜑 𝜑 𝜑 2 2 Và -√𝑟(cos + isin ) = √𝑟[cos( + 𝜋) + isin( + 𝜋)] Mở rộng: Số phức z = r(cos𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑) (r > 0) có n bậc n là: 𝑛 𝜑+𝑘2𝜋 √𝑟cos( 𝑛 + isin 𝜑+𝑘2𝜋 𝑛 ) k = 0, 1, 2,…, n - BÀI TẬP I Các phép tốn tập số phức Tìm số thực x y thỏa: a 4x + + (3y – 2).i = y + – (x – 3).i 𝑥= − 4𝑥 − 𝑦 = −2 4𝑥 + = 𝑦 + 13 { { { 22 3𝑦 − = −𝑥 + 𝑥 + 3𝑦 = 𝑦= 13 𝑏 − 2𝑥 − √3 𝑖 = √5 + (1 − 3𝑦) 𝑖 GV: NGUYỄN NGỌC THẮM SĐT: 01217558882 1− √5 𝑥= − 2𝑥 = √5 { { 1+ √3 − 3𝑦 = − √3 𝑦= Xác định phần thực phần ảo số sau: a 2i – 3(5 – 4i) + 7(6 + i) 2i – 15 – 12i + 42 + 7i 27 – 3i Phần thực: 27 Phần ảo: -3 b (√5 - 3i)2 = – 6i + 9i2 (i2 = -1) – 6i – = -4 – 6i Phần thực: -4 Phần ảo: -6 c (5 – 4i).(5 + 4i) = 25 – 16i2 = 25 + 16 = 41 Phần thực: 41 Phần ảo: d 12 √5 − 𝑖 3 = √5 𝑖) − 𝑖 9 12.( + = + 4√5𝑖 Phần thực: Phần ảo: 4√5 e 2−5𝑖 3+2𝑖 = Phần thực: Phàn ảo: - (2−5𝑖).(3−2𝑖) 9−4𝑖 = 6−4𝑖−15𝑖+10𝑖 13 = −4−19𝑖 13 =- 13 - 19 13 13 19 13 f Số phức z biết 𝑧̅ = (√2 + i).(1 - √2.i) (ĐH A/2010) 𝑖 GV: NGUYỄN NGỌC THẮM SĐT: 01217558882 𝑧 = √2 - 2i + i - √2.i2 = 2√2 – i => z = 2√2 + i Phần thực: 2√2 Phần ảo: 𝟏 √𝟑 𝟐 𝟐 Cho số phức z = - 𝑧 𝑧̅ -1 = z = |𝑧|2 = √3 2 𝑧̅ = - + √𝟑 𝟐 z2 = + √3 𝑖 2 + 4 − + 𝒛 √3 2 =- + 𝟏 i Tìm ; 𝒛; z2; (𝒛)3; + z +z2 𝑖 𝑖 3 √𝟑 4 𝟐 i + 𝑖2 = - + √𝟑 √3 𝟐 2 √𝟑 𝟐 (𝑧̅)3 = (𝑧̅)2 𝑧̅ = (- 𝟏 √𝟑 𝟐 𝟐 + z + z2 = - - i + i- + √𝟑 𝟐 i=- + i √3 2 𝑖=-( + √3 2 𝑖).(− + 𝑖) = - ( + 𝑖 ) = i=0 Tìm nghiệm phương trình sau: a (1 – i).z + – i = – 5i (1 – i).z = – 4i z= 2−4𝑖 1−𝑖 = (2−4𝑖).(1+𝑖) 1−𝑖 = 2+2𝑖−4𝑖−4𝑖 2 = 6−2𝑖 =3–i b [(2 + i)z – 3i].(4 – 5iz).(2𝑧̅ − + 3𝑖) = (2 + 𝑖)𝑧 − 3𝑖 = { − 5𝑖𝑧 = 2𝑧̅ − + 3𝑖 = 𝑧= 𝑧= {𝑧̅ = 3𝑖 2+𝑖 5𝑖 2−3𝑖 𝑧= 3𝑖(2−𝑖) 4− 𝑖 = 6𝑖−3𝑖 = 𝑧= − 𝑖 𝑧 =1− { c (2 – 3i).z + (4 + i) 𝑧̅ = −(1 + 3𝑖)2 Đặt z = x + yi; x, y ∈ R => 𝑧̅ = x – yi (2 – 3i).( x + yi) + (4 + i).(x – yi) = - (1 – + 6i) 2x + 2yi – 3xi + 3y + 4x – 4yi + xi + y = – 6i 𝑖 + 𝑖 GV: NGUYỄN NGỌC THẮM SĐT: 01217558882 6x + 4y – 2xi – 2yi = – 6i 6x + 4y – 2(x + y)i = – 2.3i { 6𝑥 + 4𝑦 = 𝑥 = −2 { 𝑦=5 𝑥+𝑦=3 Vậy z = -2 + 5i d z4 + = 𝑧 = ±√3𝑖 { 𝑧2 = 3𝑖 { 𝑧 = −3𝑖 𝑧 = ±√−3𝑖 e z2 + |𝑧| = Đặt: z = x + yi; x, y ∈ R x2 – y2 +2xyi + √𝑥 + 𝑦 = { x – y + √𝑥 + 𝑦 = 𝑥𝑦 = TH1: x = √𝑦 = y2 y2 = y4 y2.(y2 – 1) = 𝑦=0 𝑦2 = { 𝑦=1 { y – = 𝑦 = −1 TH2: y = x2 + √𝑥 = x2 = -√𝑥 (VL) 𝑧=0 Vậy phương trình có nghiệm x = => { 𝑧 = 𝑖 𝑧 = −𝑖 GV: NGUYỄN NGỌC THẮM SĐT: 01217558882 f z2 + 𝑧̅ = Đặt: z = x + yi ; x, y ∈ R => x2 + y2 + x – yi = { 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥 = 𝑥=0 x2 + x = x.(x + 1) = { 𝑦=0 𝑥 = −1 Vậy: { 𝑧=0 𝑧 = −1 g {|𝑧 − − 𝑖| = √10 𝑧 𝑧̅ = 25 Đặt: z = x + yi; x, y ∈ R { { |𝑥 + 𝑦𝑖 − − 𝑖| = √10 𝑥 + 𝑦 = 25 |𝑥 − + (𝑦 − 1)𝑖| = √10 𝑥 + 𝑦 = 25 (x – 2)2 + (y – 1)2 = 10 x2 – 4x + + y2 – 2y + = 10 25 – 4x + – 2y + – 10 = -4x – 2y + 20 = 4x + 2y – 20 = y = 10 – 2x (x, y ∈ R) Lấy x = => y = Vậy z = + 8i Xác định điểm mp phức biểu diễn số phức thỏa đk sau: a |2𝑧 − 2𝑖| = Đặt: z = x + yi; x, y ∈ R => |2𝑥 + 2𝑦𝑖 − 2𝑖| = |2𝑥 + 2(𝑦 − 1)𝑖| = GV: NGUYỄN NGỌC THẮM SĐT: 01217558882 √4𝑥 + 4(𝑦 − 1)2 = 4x2 + 4y2 – 8y + = x2 + y2 – 2y – = Vậy điểm thuộc mp phức thuộc đường tròn tâm I(0; 1) bk R = √12 + = b | 𝑧−3𝑖 𝑧+3𝑖 | = => |𝑧 − 3𝑖| = |𝑧 + 3𝑖| Đặt: z = x + yi => |𝑥 + 𝑦𝑖 − 3𝑖| = |𝑥 + 𝑦𝑖 + 3𝑖| |𝑥 + (𝑦 − 3)𝑖| = |𝑥 + (𝑦 + 3)𝑖| x2 + (y – 3)2 = x2 + (y + 3)2 x2 + y2 – 6y + = x2 + y2 + 6y + 12y = y = Vậy điểm thuộc mp phức đường thẳng // trục Oy c |𝑧̅| = |𝑧 − + 2𝑖| Đặt: z = x + yi => 𝑧̅ = x – yi; x, y ∈ R |𝑥 − 𝑦𝑖 | = |𝑥 + 𝑦𝑖 − + 2𝑖| |𝑥 − 𝑦𝑖 | = |𝑥 − + (𝑦 + 2)𝑖| x2 + y2 = (x – 3)2 + (y + 2)2 x2 + y2 = x2 – 6x + + y2 + 4y + 13 -6x + 4y + 13 = y = x - 13 Vậy điểm thuộc mp phức thỏa đường thẳng y = x d z2 số thực dương Đặt z = x + yi; x, y ∈ R z2 =x2 – y2 + 2xyi GV: NGUYỄN NGỌC THẮM SĐT: 01217558882 Để z2 số thực dương { 𝑥2 − 𝑦2 > 𝑥𝑦 = TH1: x = - y2 > (VL) TH2: y = x2 > x > Vậy điểm thuộc mp phức // trục Oy cho x > e z2 số ảo 𝑥2 − 𝑦2 = Tương tự câu d để z2 số ảo { 𝑥𝑦 ≠ 𝑦=𝑥 y2 = x2 {𝑦 = −𝑥 𝑦=𝑥 Vậy tập hợp điểm thuộc mp phức thuộc đt {𝑦 = −𝑥 cho 𝑥𝑦 ≠ f 𝑧−𝑖 số ảo Đặt z = x + yi; x, y ∈ R 𝑧−𝑖 = = 𝑥+𝑦𝑖−𝑖 𝑥+(𝑦−1)𝑖 = (1−𝑦) Để 𝑧−𝑖 số ảo { 𝑥 + (𝑦−1)2 𝑥 + (𝑦−1)2 5[𝑥−(𝑦−1)𝑖] 𝑥 + (𝑦−1)2 ≠0 = (𝑉𝐿) = 𝑥 + (𝑦−1)2 + (1−𝑦) 𝑥 + (𝑦−1)2 i => – y ≠ y ≠ Vậy tập hợp điểm thuộc mp phức thuộc đường thẳng y = 1, // với trực hoành g 𝑧2 = (𝑧̅)2 Đặt z = x + yi; x, y ∈ R x2 – y2 + 2xyi = x2 – y2 - 2xyi 4xy = xy = { 𝑥=0 𝑦=0 GV: NGUYỄN NGỌC THẮM SĐT: 01217558882 Vậy tập hợp điểm thuộc mp phức đường thẳng // trục hoành trục tung h |𝑧 − (𝑧̅)2 | = Đặt z = x + yi; x, y ∈ R |𝑥 − 𝑦 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑥 + 𝑦 + 2𝑥𝑦𝑖 | = |4𝑥𝑦𝑖 | = |𝑥𝑦𝑖 | = xy = Vậy tập hợp điểm thuộc mp phức đường Hyperbol (H) xy = i (3 − z) (i + z̅)là số thực 3i + 3z̅ - zi - zz̅ Đặt z = x + yi; x, y ∈ R 3i + 3x – 3xyi – xi + y – x2 – y2 = – x2 – y2 + 3x + y + (3 – x – 3xy).i Để (3 − z) (i + z̅)là số thực { – x – y + 3x + y ≠ – x – 3xy = 1 𝑥 𝑥 y = – Vậy tập hợp điểm thuộc mp phức đường thẳng y = – j (3 – z).(i + z̅) số ảo Tương tự câu I ta có { – x – y + 3x + y = – x – 3xy ≠ – x – y + 3x + y = x2 + y2 – 3x – y = Vậy tập hợp điểm thuộc mp 3 2 2 phức đường tròn tâm I( ; ) bk R = √( ) + Mỗi số sau số thực hay số ảo ? a z2 + (𝑧̅)2 Đặt z = x + yi; x, y ∈ R x2 – y2 + 2xyi + x2 – y2 - 2xyi = 2.(x2 – y2) Số thực 10 4 =√ + = √10 GV: NGUYỄN NGỌC THẮM SĐT: 01217558882 b 𝑧− 𝑧̅ 𝑧 + (𝑧̅ )3 Đặt z = x + yi; x, y ∈ R 𝑧 − 𝑧̅ = x + yi – x + yi = 2yi 𝑧 + (𝑧̅)3 = 𝑧 z + (𝑧̅)2 𝑧̅ = (x2 – y2 + 2xyi).(x + yi) + (x2 – y2 - 2xyi).(x – yi) = x3 + x2yi – xy2 – y3i + 2x2yi + 2xy2i2 + x3 – x2yi – xy2 + y3i – 2x2yi + 2xy2i2 = 2x3 – 2xy2 – 4xy2 𝑧− 𝑧̅ 𝑧 + (𝑧̅ )3 = 2𝑦𝑖 2𝑥 − 2𝑥𝑦 − 4𝑥𝑦 => Số ảo 11 ... |