BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Bài [ĐỀ MH 2018] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  1  , 1   f '  x  dx   x f  x  dx  0 A Tính B 1  f  x  dx C D Hướng dẫn giải: Xét I   x f  x  dx  du  f '  x  1 u  f  x  x3    I  f x  x f ' x dx   x f '  x dx  1 Đặt       x   30 dv  x dx v  0  b b b   Chứng minh BĐT tích phân sau:   f  x  g  x  dx    f  x dx. g  x dx   a a a  Với t  *  ta có:  tf  x   g  x   t f  x   2tf  x  g  x   g  x  Lấy tích phân vế theo biến x ta được: b b b a a a h  t   t  f  x dx  2t  f  x  g  x  dx   g  x dx  h  t  tam thức bậc không âm nên ta có điều kiện: 2 b b b b  b b   t  2  f x g x dx  f x dx g x dx   f x g x dx  f x dx            g  x dx               a a a  '  a  a a  Dấu ‚=‛ xảy tf  x   g  x  1 1   Áp dụng:    x f '  x dx    x dx.  f '  x   dx     0  Biên soạn: Phạm Minh Tuấn Dấu ‚=‛ xảy f '  x   kx Mặc khác:  x f '  x dx  1  k  7  f '  x   7 x Mà f  1  nên C   f  x    7 x 3dx   x  C  7   f  x  dx     x   dx  4 4 0 1 NHẬN XÉT: Thật BĐT (*) hệ BĐT Holder tích phân BĐT Holder tích phân phát biểu sau: b  a b p  b q p q 1 f  x  g  x  dx    f  x  dx    g  x  dx  với p , q  thỏa       p q a  a  Dấu ‚=‛ xảy tồn hai số thực m, n không đồng thời cho m f  x  n g  x p q Hệ quả: Với p  q  BĐT trở thành   f  x  g  x  dx    f  x  dx. g  x  dx BTAD: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn 2  1  x  f '  x dx    f  x  dx là: f 0  2 Giá trị nhỏ tích phân A f 0  B 3 C f 0  D f 0  Bài Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f    , max f '  x   0;1  f  x  dx  Gọi M giá trị lớn tích phân Khẳng định sau đúng?  3  1 A M   1;  B M   0;   2  2 1  C M   ;1  2  Hướng dẫn giải: Biên soạn: Phạm Minh Tuấn  f  x  dx 3  D M   ;  2  Ta có: f '  x   6, x  0;1  f '  x  f  x   f  x  , x  0;1 (1) Lấy tích phân hai vế BĐT (1) ta được:  f t  f  x x   f 0 x x 0  f '  t  f  t dt   f  t dt , x  0;1 x   f  t dt  f x Lấy tích phân hai vế BĐT (2) ta được:  x  x   12 f t dt  f  x   12 f  x   f t dt (2) x   f  x dx  12   f  x   f  t dt dx   I x Đặt u   f  t dt  du  f  x  x ' dx  f  x  dx  f t dt Suy I   2 1   1 1 1 udu    f  t dt     f  x dx        20 20 18   Vậy  f  x dx  12 18  3 Nhận xét: Ta hàm số f  x  thỏa mãn kiện đề cho xảy dấu ‘’=‛, hàm là: f  x   28,815042623089894049x3  35,5890622041211331x2  8,6518534912024751x -  g x   Chú ý:   f  t dt  '  f g  x  g '  x   f h  x  h '  x   h x         Bài Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f    f  1  f '  x   0, x  0;1 Biết tích phân 64 B f    Biên soạn: Phạm Minh Tuấn   2 x  x   f '  x   dx đạt giá trị nhỏ nhất, tính f   ? A f    62 64 , C f    32 2 D f 2  3 2 Hướng dẫn giải: Ta có: I   Ta có :    2x  x 2x  x     f '  x      f '  x  dx  1 0    x  x  f '  x dx   Do I   2x  x    f '  x  dx 2 0 Mà:  2 x  x   f '  x   dx    2  x  x  f '  x      x  x  f '  x  dx  0    x  x dx   f '  x  dx   f 1  f    3 2 Dấu ‚=‛ xảy : f '  x    x  x  f  x    x  3 2 Ta có: f 1   C   f  x    x  3 2  x 2  x  C  64     f 2   Bài Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn  x  x2 f  t  dt  , x  0;1 Gọi m giá trị nhỏ tích phân định sau đúng?  3  1 A m   1;  B m   0;   2  2 1  C m   ;1  2   f  x  dx Khẳng 3  D m   ;  2  Hướng dẫn giải: 1 1  1  2 Theo hệ BĐT Holder:   xf  x  dx    x dx. f  x  dx   f  x  dx    xf  x  dx      0 0  0  Giờ ta việc tìm tích phân  xf  x  dx giải toán Biên soạn: Phạm Minh Tuấn Gọi F(x) nguyên hàm f  x  , ta có:   xF  x  ' dx  x F  x  1 1 0 0  F  1 Mà   xF  x   ' dx   xF '  x  dx   F  x  dx   xf  x  dx   F  x  dx 1 Suy F  1   xf  x  dx   F  x  dx Từ đề: f  t  dt   x (1)  x2  x2  x2  F  1  F  x     F  1 dx   F  x  dx   dx  2 0 1  x2 dx  Tương đương F  1   F  x  dx   0 1 1 Thay (1) vào (2) ta được: (2)  xf  x  dx  1 Vậy  1 f  x  dx     3 Dấu ‚=‛ xảy f  x   x Bài Cho hàm số f  x  có đạo hàm liện tục  0;1 thỏa mãn f  1  , 1 x   f '  x  dx   x  1 e f  x  dx  0 A e B e2  Tính e  f  x  dx C e  Hướng dẫn giải:   u  f  x  du  f '  x  dx Xét I    x  1 e x f  x  dx , đặt    x x v  xe dv   x  1 e dx   e2  e2    xe x f '  x  dx   Suy I  xe f  x    xe f '  x  dx  4 0 x 1 x Áp dụng hệ BĐT holder: Biên soạn: Phạm Minh Tuấn D e 1 2 1   e2    x  e2   2x    xe f ' x dx  x e dx f ' x dx             0       0    Dấu ‚=‛ xảy f '  x   kxe Mà  xe x f '  x  dx   x e2   k  1 Suy f  x     xe x dx    x  e x  C Mà f  1   C  Vậy f  x     x  e x     x  e x dx  e  Bài Cho hàm số f  x  có đạo hàm dương liên tục  0;1 thỏa mãn f    ,  1 3  f '  x  f  x   dx   f '  x  f  x  dx Tính  f  x  dx 9  0 A B C Hướng dẫn giải: 1 1 D 1 Đề  3 f '  x  f  x dx    f '  x  f  x  dx 0 1 Áp dụng hệ BĐT holder:  dx. f '  x  f  x dx     0 0 1 Suy  Hay  1 f '  x  f  x  dx     0 f '  x  f  x  dx   f '  x  f  x  dx     1 f '  x  f  x  dx         0 2 1 f '  x  f  x  dx     1   f '  x  f  x  dx  3k Dấu ‚=‛ xảy   f' x f x k      Xét f  x 1 1 f '  x  f  x     f '  x  f  x  dx   dx   x  C  f  x   x  3C 9 Biên soạn: Phạm Minh Tuấn Vì f    nên f  x   x    f  x  dx  Bài Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  a; b  thỏa mãn lim f  x    , lim f  x    f '  x   f x b A   x a  x   1, x   a; b  Tìm giá trị nhỏ P  b  a B  C  D  Hướng dẫn giải: Ta có: f '  x   f  x   1  f '  x  f  x  1 Lấy tích phân hai vế ta được: f ' x b   f  x a   1dx  arctan f  x   a  b  b  a  arctan f  b   arctan f  a  b a Vì lim f  x    , lim f  x    nên b  a   x a x b Nhận xét: Khi hàm số f  x   cot x cận b   , a  dấu ‚=‛ xảy Bài Cho hàm số f  x  dương liên tục 1;  thỏa mãn max f  x   1;3  f  x   1;3  A 3 1 biểu thức S   f  x dx. dx đạt GTLN, tính 1 f  x B Hướng dẫn giải C D  f  x dx  1 f  x   f  x   2 Từ đền suy  f  x   2, x  1; 3 nên   , x  1; 3 f  x    1 3  f  x   f  x   Lấy tích phân vế ta được:   dx    dx    f  x dx f  x 1 f  x Biên soạn: Phạm Minh Tuấn   Tương đương  2 3 3  25  5 25    f  x dx    f  x dx  dx  5 f  x dx    f  x dx       f  x 1  3 Dấu ‚=‛ xảy  f  x dx  x2 Bài Cho hàm số f  x  xác định liên tục 1;  thỏa mãn   f  x   dx  x1 với x1 , x2  1;  cho x1  x2 Tìm GTLN tích phân x23  x13  f  x dx A B x23  x13 Ta có:  x dx   x1 x2 x2   f  x  x1 Hướng dẫn giải C x2 dx   x dx  x1  x D x2 x1    f  x  dx  Do hàm f  x   x2   f  x  liên tục 1;  nên: x2   f  x    f  x   x , x  1;  Từ suy 2 1  f  x dx   f  x  dx   xdx  Dấu ‚=‛ xảy f  x   x ; x1  1; x2  x Bài 10 Cho hai hàm số f  x  không âm liên tục  0;1 Đặt g  x     f  t  dt ta giả sử có g  x    f  x  , x  0;1 Tìm GTLN tích phân  g  x dx A B Biên soạn: Phạm Minh Tuấn 5 Hướng dẫn giải C D 13  F '  x   f  x  Gọi F  x  hàm số thỏa mãn F  x    f  t  dt     g  x    2F  x  x Ta có  F  x   g  x    f  x   f  x F '  x Nháp: xét  2F  x  1   2F  x  F '  x  2F  x  F '  x 1  2F  x  1 dx  x  C   F  x   x  C Xét hàm số h  x    F  x    x  C  , x  0;1 Ta có h '  x   2F '  x   2F  x    nên h  x  nghịch biên  0;1 Suy h  x   h     F    C Ta có F     f  t  dt  nên h  x    C Ta chọn C cho  C   C  Vậy 1  F  x   x   g  x    x  1   g  x  dx  BTAD: [ĐỀ VTED] Cho hàm số f  x  không âm liên tục  0;1 Đặt x g  x     f  t  dt ta giả sử ln có g  x    f  x  , x  0;1 Tìm GTLN tích phân   g  x   dx A B Biên soạn: Phạm Minh Tuấn C D ... 2  Hướng dẫn giải: Biên soạn: Phạm Minh Tuấn  f  x  dx 3  D M   ;  2  Ta có: f '  x   6, x  0;1  f '  x  f  x   f  x  , x  0;1 (1) Lấy tích phân hai vế BĐT...        Bài Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f    f  1  f '  x   0, x  0;1 Biết tích phân 64 B f    Biên soạn: Phạm Minh Tuấn   2 x ... nhỏ tích phân A f 0  B 3 C f 0  D f 0  Bài Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f    , max f '  x   0;1  f  x  dx  Gọi M giá trị lớn tích phân