Lu¾n văn thac sĩ Tốn hoc Hoc viên Phan Th% Ánh Vân LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, dưói sn hưóng dan cna thay PGS.TS Nguyen Năng Tâm Sn giúp đõ hưóng dan t¾n tình song rat nghiêm túc cna thay suot q trình thnc hi¾n lu¾n văn giúp tác giá trưóng thành rat nhieu cỏch tiep cắn mđt van e múi Tỏc giá xin đưoc bày tó lòng biet ơn, lòng kính sâu sac nhat đoi vói thay Tác giá xin trân cám ơn Ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, Phòng Sau đai hoc, thay giáo nhà trưòng thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn Giái tích giúp đõ, tao đieu ki¾n cho tác giá suot q trình hoc t¾p Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ngưòi thân, ban bè ln giúp đõ, đ®ng viên tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá hồn thành khóa hoc Thac s v hon thnh luắn ny H Nđi, ngày 12 tháng 10 năm 2013 Tác giá Phan Th% Ánh Vân LèI CAM ĐOAN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna PGS TS Nguyen Năng Tâm Tơi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi Trong q trình nghiên cúu hồn thành lu¾n văn, tơi ke thùa nhung thành khoa hoc cna nhà khoa hoc đong nghi¾p vói sn trân biet ơn Tơi xin cam đoan rang thơng tin trích dan luắn ó oc rừ nguon goc H Nđi, ngày 12 tháng 10 năm 2013 Tác giá Phan Th% Ánh Vân Mnc lnc KIEN THÚC CHUAN B± n 1.1 Không gian Euclide R 1.2 Hàm nhieu bien 10 1.3 T¾p loi, hàm loi, ánh xa đa tr% 12 1.4 Bài toán quy hoach toàn phương 14 1.4.1 Bài toán toi ưu 14 1.4.2 Quy hoach toàn phương 19 1.4.3 Bài toán quy hoach tồn phương có tham so 24 TÍNH LIÊN TUC CÚA HÀM GIÁ TR± TOI ƯU 25 2.1 Các bo đe 25 2.2 Tính liên tuc cna hàm giá tr% toi ưu .28 2.3 Tính núa liên tuc cna hàm giá tr% toi ưu 35 TÍNH KHÁ VI THEO HƯéNG CÚA HÀM TOI ƯU 3.1 Các bo đe 3.2 Đieu ki¾n G 3.3 Tính vi theo hưóng cna hàm giá tr% toi ưu GIÁ TR± 40 40 47 50 Lu¾n văn thac sĩ Tốn hoc Hoc viên Phan Th% Ánh Vân BÁNG KÝ HIfiU R R Rn ∅ xT "x" đưòng thang thnc đưòng thang thnc suy r®ng khơng gian Euclide n - chieu t¾p rong véctơ chuyen v% cna véctơ x chuan cna véctơ x (x, y) AT Rm×n tích vơ hưóng cna x y ma tr¾n chuyen v% cna ma tr¾n A t¾p ma trắn m ì n cỏc ma trắn n ì n đoi xúng đ%nh thúc cna ma tr¾n vng A ma trắn n v% Rnìn ao hm theo húng cna f tai x theo hưóng v t¾p nghi¾m cna tốn (P ) t¾p nghi¾m đ%a phương cna toán (P ) giá tr% toi ưu cna toán (P ) quy hoach toàn phương quy hoach toàn phương xác đ%nh bói ma tr¾n Q, A véctơ c, b Sol(Q, A, c, b) t¾p nghi¾m cna tốn quy hoach tồn phương ϕ(Q, A, c, b) ho¾c ϕ(c, b)hàm giá tr% toi ưu cna tốn quy hoach tồn phương loc(Q, A, c, b) t¾p nghi¾m đ%a phương cna tốn quy hoach tồn phương lsc núa liên tuc dưói usc núa liên tuc S Rn× det A E f r(x; v) Sol(P ) loc(P ) v(P ) QP QP (Q, A, c, b) C ho¾c C(A, b) n 2R {x : Ax ≥ b} t¾p tat cá t¾p cna Rn Má đau Lý chon đe tài M®t nhung khía canh thưòng đưoc quan tâm nghiên cúu nhung tốn toi ưu nhung tính chat cna hàm giá tr% toi ưu Gauvin Dubeau [8], Bonnans and A Shapiro [4] nghiên cúu ve tính vi cna hàm giá tr% toi ưu quy hoach toán hoc Jasnin [9], Minchenko Sakolchik [14] nghiên cúu đao hàm theo hưóng cna hàm giá tr% toi ưu quy hoach phi tuyen Tam [17], [18] Lee, Tam and Yen [11], [12] nghiên cúu hàm giá tr% toi ưu quy hoach toàn phương Sau đưoc hoc nhung kien thúc ve Tốn giái tích, vói mong muon tìm hieu sâu ve nhung kien thúc hoc, moi quan h¾ úng dung cna chúng, tơi chon đe tài nghiên cúu: “Tính liên tnc tính vi cúa hàm giá tr% toi ưu quy hoach tồn phương có tham so” Mnc đích nghiên cNu Kháo sát tính liên tuc, đieu ki¾n can đieu ki¾n đn cna tính chat núa liên tuc trên, núa liên tuc dưói; đieu ki¾n can đn đe hàm giá tr% toi ưu vi theo hưóng cơng thúc tính đao hàm theo hưóng cna hàm giá tr% toi ưu Nhi¾m nghiên cNu Tính liên tuc tính núa liên tuc cna hàm giá tr% toi ưu Tính vi theo hưóng cna hàm giá tr% toi ưu Lu¾n văn thac sĩ Toán hoc Hoc viên Phan Th% Ánh Vân Đoi tưang pham vi nghiên cNu Tính liên tuc tính vi cna hàm giá tr% toi ưu quy hoach tồn phương có tham so Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu lý thuyet: Thu th¾p tài li¾u, đoc phân tích, tong hop đe đưoc m®t nghiên cúu tong quan ve tính liên tuc tính vi cna hàm giá tr% toi ưu quy hoach tồn phương có tham so DN kien đóng góp mái cúa đe tài Tong quan ve nhung tính chat cna hàm giá tr% toi ưu quy hoach tồn phương có tham so Chương KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 Không gian Euclide Rn Cho X l mđt tựy ý v X = Đ%nh nghĩa 1.1.1 M®t metric X m®t ánh xa: d : X × X ›→ R thóa mãn đieu sau: i)d(x, d(x, y)= ≥00,ki¾n y ∈ X; y) ⇔∀x, x= y; ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), x, y, z X Mđt khác X vói metric đưoc xác đ%nh ú lắp thnh mđt khụng gian metric, ký hiắu (X, d) So d(x, y) goi khoáng cách giua điem x y Đ%nh nghĩa 1.1.2 Cho X m®t khơng gian vectơ trưòng K ( K = R, hoắc K = C) Mđt chuan X, ký hiắu " ", l mđt ỏnh xa tự X vào t¾p so thnc R thóa mãn tiên đe sau: i) (∀x ∈ X) " x "≥ 0, " x "= ⇔ x = ∅; ii) (∀x ∈ X)(∀α ∈ K) " αx "= |α| " x "; iii) (∀x, y ∈ X) " x + y "≤" x " + " y " So " x " goi chuan (hay đ® dài) cúa vectơ x M®t khơng gian X vói m®t chuan xác đ%nh khơng gian đưoc goi m®t khơng gian đ%nh chuan Lu¾n văn thac sĩ Tốn hoc Hoc viên Phan Th% Ánh Vân Đ%nh lí 1.1.1 Giá sú X l mđt khụng gian %nh chuan ắt: d(x, y) =" x − y ", ∀x, y ∈ X Khi đó, d m®t metric X Đ%nh nghĩa 1.1.3 T¾p hop Rn := {x = (x1, , xn)T : x1, , xn ∈ R} vói hai phép tốn: (x1, , xn)T + (y1, , yn)T := (x1 + y1, , xn + yn)T λ(x1, , xn)T := (λx1, , xn)T , R lắp thnh mđt không gian vectơ thnc n - chieu, goi không gian Euclide Rn Trong Rn tích vơ hưóng tac (., , ) đưoc đ%nh nghĩa sau: n (x, y) = xiyi i=1 Vói tích (i) (x, y) vơ = hưóng (y, x) tac ta có: (ii) (x + xr, y) = (x, y) + (xr, y) (iii) λ(x, y) = (λx, y) (iv) (x, x) ≥ (x, x) = ↔ x = Khi đó, ta có chuan Euclide cna vectơ x: ‚ , n " x ":= (x, x) =, |xi| , ∀x ∈ Rn i=1 thóa mãn tính chat: (i) " x "≥ ∀x ∈ Rn, " x "= ↔ x = (ii) " λx "= |λ| " x " ∀x, y ∈ Rn; (iii) |(x, y)| ≤" x " " y " ∀x, y ∈ Rn, dau "=" xáy chí x, y phu thu®c tuyen tính (iv) |" x " − " y "| ≤" x + y "≤" x " + " y " ∀x, y ∈ Rn Đ%nh nghĩa 1.1.4 Cho x0 ∈ Rn, ε > 0, ta goi t¾p B(x0, ε) := {x ∈ Rn :" x − x0 "< ε} hình cau mó Rn có tâm tai x0, bán kính ε n Đ%nh T¾p ⊂R đưoc goi t¾p mó neu vói moi x ∈ U, ton nghĩa tai εn >1.1.5 choUB(x , ε) ⊂ U n T¾p F ⊂ R đưoc goi t¾p đóng neu U := R \F mó T¾p V ⊂ Rn đưoc goi lân c¾n cúa x ∈ Rn neu ton tai ε > cho B(x, ε) ⊂ V Đ%nh nghĩa 1.1.6 Cho x ∈ Rn, A t¾p cúa Rn (i) Neu có lân c¾n V (x) cúa x mà V (x) ⊂ A x goi điem cúa A (ii) Neu có lân c¾n V (x) cúa x mà V (x) ⊂ Rn\A x goi điem ngồi cúa A (iii) Neu moi lân c¾n V (x) cúa x đeu chúa điem điem cúa A khác x, x goi điem biên cúa A Đ%nh nghĩa 1.1.7 Cho A t¾p bat kỳ Rn Ký { i(A)}i∈I S hi¾u ho tat cá t¾p mó S A, {Fj (A)}j∈J ho tatT cỏ cỏc mđt úngtắp chỳa A Ta cú U = i∈I Ui(A) t¾p mó, F = j∈J Fj (A) đóng T¾p U goi phan cúa A, ký hi¾u intA T¾p F goi bao đóng cúa A, ký hi¾u A Như v¾y intA t¾p mó lón nhat chúa A, A t¾p đóng nhó nhat chúa A Ta có: (i) x ∈ intA chí x điem cna A (ii) T¾p A t¾p mó chí A = intA (iii) T¾p A đóng chí A = A n Đ%nh nghĩa 1.1.8 Dãy điem {x"k}xktrong 0 R đưoc goi h®i tn đen n x∞ ∈ R k → ∞ neu dãy so − x " h®i tn tói ∈ Khi ta goi x0 giói han cúa {xk} ký hi¾u xk → x0.R k → lim k→∞ xk = x0 ↔ " xk − x0 "= lim k→∞ Sn h®i tu Rn sn h®i tu theo toa đ® Đ%nh lí 1.1.2 T¾p A ⊂ Rn đóng chs vói moi dãy {xk} ⊂ A mà xk h®i tn đen x0 x0 ∈ A Đ%nh nghĩa 1.1.9 T¾p A Rn đưoc goi b% ch¾n neu ton tai m > cho " x "≤ m vói moi x ∈ A De thay t¾p khác rong A ⊂ Rn t¾p b% ch¾n neu sup{" x ": x ∈ A} < ∞ T¾p ∅, t¾p gom huu han điem, hình cau B(x, ε) nhung t¾p b% ch¾n Đ%nh 1.1.10 A Rnkmđưoc t¾p compact neu dãy {xknghĩa } A đeuT¾p có dãy {x } h®igoi tn đen m®t điem x∗ ∈ moi A Đ%nh lí 1.1.3 T¾p A Rn compact chs A đóng b % ch¾n 1.2 Hàm nhieu bien Đ%nh nghĩa 1.2.1 Cho X ⊂ Rn Ta goi ánh xa f : X → R m®t hàm n bien xác đ%nh X Neu n ≥ hàm n bien đưoc goi hàm nhieu bien Ví dn 1.2.1 X = {x = (x1, x2)T ∈ R2 : x1 +x2 −5 = 0}, f (x) = 2x1 +x2 hàm bien Ví dn 1.2.2 n X=R , f (x) = x2 + +x n hàm n bien n Đ%nh nghĩa 1.2.2 Cho f : R → R Ta goi f m®t hàm tuyen tính neu: f (αx + βy) = αf (x) + βf (y), ∀x, y ∈ Rn, ∀α, β ∈ R Moi hàm tuyen tính f : Rn → R đeu có dang f (x) = (c, x), vói c ∈ Rn co đ%nh, phu thu®c vào f Đ%nh nghĩa 1.2.3 Ta goi g : Rn → R m®t hàm afin neu ton tai hàm tuyen tính f hang so α cho: g(x) = f (x) + α, ∀x ∈ Rn Như v¾y, hàm afin ln có dang g(x) = (c, x) + α Cho f : X ⊂ Rn → R Đ%nh nghĩa 1.2.4 Hàmton f đưoc hàmf (x) b% ch¾n dưói f(hay ch¾n X neu tai α goi saolàcho ≥ α (hay (x) b% ≤ α) vói trên) moi xtrên ∈ X Lay batLay kỳ bat x ∈kỳ Sovl(∈ Q,FA,(x,c,ω, b).ωDo (i) bo đe (3.1.1), F (x, ω, ω ) ƒ= φ ), vói t >0 đn nhó, ta có: x + tv ∈ C(A + tA , t + tb0) + ≤ (x tv)T (Q + tQ0 )(x + tv) + (c + (x + tv) − ( (x, Qx) + tc0)T (c, x)) 1 2(v, Qv) + x) + Qx + Q0v T = t(Qx + c, v) + t( (x, (c , x)) + t v 31 T t v Q t 2 Nhân hai ve bat thúc vói t−1 lay →0+ sup ta thu đưoc: limt ϕ+(ω, ω0) ≤ (x, Q0x) + (Qx + c, v) + (c0, x) Bat thúc thóa mãn vói ∀v ∈ F (x, ω, ω0) ∀x ∈ Sol(Q, A, c, b) Kéo theo: in ϕ+(ω, ω0) ≤ f [ (x, Q0x) + (c0, x) + (Qx + c, v)] inf x∈Sol(Q,A,c,b) v∈F (x,ω,ω0) Theo bo đe 3.1.2 3.1.3, Do đó, infv∈F (x,ω,ω0)(Qx + c, v) = infv∈R(x,ω,ω0)(Qx + c, v) = max∈λ Λ( ) − A x, λ) (b0 ma x [ (x, Q0x) + (c0, x) + (b0 − A0x, λ)] ϕ+(ω, ω0) ≤ inf x∈Sol(Q,A,c,b) λ∈Λ(x,ω) 2) Cho {tk} m®t dãy so thnc cho tk ↓ − ϕ (ω, ω ) = lim k ϕ(ω + t ω ) − k→∞ ϕ(ω ) tk Do giá thiet (i) (ii), lay ket cna bo đe 2.1.1 2.1.3 mú rđng G %nh ngha (2.3) ta cú the giá sú rang: Sol(ω + tkω0) ƒ= φ vói ∀k Cho {xk} m®t dãy Rn cho xk ∈ Sol(ω + tkω ) vói moi k Theo bo đe 3.1.4, khơng giám tong qt ta có the giá sú xk → xˆ ∈ Sol(Q, A, c, b) k → ∞ Ta có: ϕ(ω + tkω ) − ϕ(ω) = 1 k (x , (Q + tkQ0)xk) + (c + tkc0, xk)+ +(− (xˆ, Qxˆ) − (c, xˆ)) (3.31) Lay λ ∈ Λ(x, ω) Do λT (Axˆ − b) = 0, λ ≥ (A + tk A0 )xk ≥ b + tk b0 , tù (3.31) ta có: ϕ(ω + tkω ) − ϕ(ω) ≥ , (Q + Q )x )k + (c + c0, k t k xk (x t k ≥ )− (xˆ, Qxˆ) − (c, xˆ) + (λ, Axˆ − b)− ((A + tkA0)xk − b − tkb0, λ) = (Qxˆ − (A, λ) + c, xk − xˆ) + (xk − xˆ, Q(xk − xˆ))+ +tk [ (xk , Q0xk) + (c0, xk) + (b0 − A0xk, λ]) Tù λ ∈ Λ(x, ω), Qxˆ − (A, λ) + c = ta có: ϕ(ω + tk ω ) − ϕ(ω) ≥ (xk − xˆ, Q(xk − xˆ)) + +tk [ (xk , Q0xk) + (c0, xk) + (b0 − A0xk, λ).] Nhân cá hai ve cna bat thúc vói (tk)−1, lay limk inf sú →∞ dung đieu ki¾n (G), ta thu đưoc: ϕ− (ω, ω ) ≥ ( (xˆ, Q0 xˆ) + c0 , xˆ) + (b0 − A0 xˆ, λ) Vì λ ∈ Λ(x, ω) có the chon tùy ý, ta rút đưoc rang: ϕ−(ω, ω0) ≥ max 0 ) ( ) ( − xˆ, λ∈Λ(xˆ,ω)[ ( Q xˆ + c , xˆ + b A xˆ, λ ]2) ma ≥ x [ (x, Q0x) + (c0, x) + (b0 − A0x, λ)] inf x∈Sol(Q,A,c,b) λ∈Λ(x,ω) Ket hop đieu vói (3.30), ta có: ϕ−(ω, ω0) = ϕ+(ω, ω0) [1 (x, Q0x) + (c0, x) + (b0 − A0x, λ)] đó, ϕr (ω, ω0) = inf ma x x∈Sol(w) λ∈Λ(x,ω) Đ%nh lý đưoc chúng minh Bây giò ta áp dung đ%nh lý 3.3.1 cho ví du sau: Ví dn 3.3.1 Cho n = 2, m = Q= −1 = ; AT (0, −1 ; −1, 0); c = bT = −1 Q0 = ; (A0)T = −1 0 ; (b0)T = (0, −1, 0); c0 = 0 ω = (Q, A, c, b); ω0 = (Q0, A0, c0, b0) De dàng kiem tra Ax ≥ b h¾ quy, Sol(Q, A, 0, 0) = {0} Sol(Q, A, c, b) = Sol(ω) = {(x1, x2)T ∈ R2 : x1 = x2; ≤ x1 ≤ 1} Sol(ω + tω0) = {(x1, x2)T ∈ R2 : x1 = x2 : ≤ x1 ≤ + t} (vói ∀t ≥ 0) Cho x = (x1, x2) ∈ Sol(ω), ta có: Λ(x, ω) = {(λ1, λ2, λ3) ∈ R3 : λ1 = x1; λ2 = λ3 = 0} Giá sú xk = (xk, xk) ∈ Sol(ω+tk ω ) dãy {xk} h®i tn tói x = (x1, x2) ∈ Sol(ω) k Ta có x = xk 1 x1 = x2 và: k (xk − x1)2 − (xk − x2)2 (x − x, Q(xk − x)) t k = t k = Do v¾y, đieu ki¾n (G) đưoc thóa mãn Theo đ%nh lý 3.3.1, ϕr (ω, ω0) = inf ma x [( (x, Q0x) + (c0, x)) + b0]T λ = inf x∈Sol(ω) λ∈Λ(x,ω) 0= x∈Sol(ω) Lưu bieu ý du Qx) 3.3.1,phu (x,thu®c Qx) làvào m®t dang tồnx), phương bat đ%nh (dau cna thúcví(x, cách chon nghi¾m cna tốn quy hoach tồn phương khơng nhat tồn cuc Do đó, giá thiet cna d%nh lý 3.2.1 khơng thóa mãn Xét tốn (2.1) giá sú x ∈ Sol(Q, A, c, b) l mđt nghiắm cna nú Cho u = = (Q0, A0, c0, b0) ∈ Ω m®t hưóng cho trưóc Áp dung vói nghi¾m x cna tốn (2.1), đieu ki¾n (SOSC)u Auslender Cominetti (1990) đưoc viet dưói dang sau: (SOSC)u{vói moi véctơ v ∈ Fx\{0}, neu (Qx + c, v) = (v, Qv) > 0.} Trong đó, Fx nón cna hưóng cho trưóc cna C(A, b) tai x Đó là: Fx = {v ∈ Rn : (Av)i ≥ vói ∀i thóa mãn (Ax)i = bi} Chú ý, toán quy hoach tồn phương, đieu ki¾n (SOSC)u tương đương vói đieu ki¾n x nghi¾m nhat tồn cuc cna (2.1) Ghi cho ta suy tù đ%nh lý Auslender Coutat (1990) ket sau: M¾nh đe 3.3.1 Cho ω = (Q, A, c, b) ∈ Ω m®t điem cho trưóc u = ω0 = (Q0, A0, c0, b0) ∈ Ω m®t hưóng cho trưóc Neu moi nghi¾m cúa tốn (2.1) nhat tồn cnc hai đieu ki¾n: (i) H¾ Ax ≥ b quy (ii) Sol(Q, A, 0, 0)={0} đưoc thóa mãn hàm giá tr% toi ưu ϕ vi theo hưóng tai ω = (Q, A, c, b) theo hưóng u = ω0 = (Q0, A0, c0, b0) cơng thúc (3.29) đưoc thóa mãn Chúng minh Tù giá thiet (i) (ii) suy bán đo Sol(.) núa liên tuc tai (Q, A, rong c, b).Khi Ngoài ra, theo bo đe 2.1.3 Sol(Q, A, c, b) n t¾p compact khác đó, ton tai mđt compact B R v mđt hang so s > cho φ ƒ= Sol(ω + tω ) ⊂ B vói ∀t ∈ [0; s] Dưói đieu ki¾n cna m¾nh đe này, moi giá thiet cna đ%nh lý 1, Auslender Coutat (1990) đeu thóa mãn Do v¾y ket lu¾n đưoc suy theo đ%nh lý Auslender Coutat (1990) Chú ý rang mắnh e 3.3.1 l mđt hắ quỏ cna %nh lý 3.2.1 3.3.1 M®t đieu đáng ý ket q đưoc phát bieu m¾nh đe 3.3.1 khơng the áp dung cho tốn mơ tá ví du 3.3.1 ( đieu ki¾n (SOSC)u vói u := ω0 khơng đưoc thóa mãn tai moi x ∈ Sol(ω)) Ket không đưoc áp dung tốn quy hoach tồn phương loi t¾p nghi¾m cna có nhieu m®t phan tú Sú dung ý 3.2.1 ta có the ket lu¾n đ%nh lý 3.3.1 có the áp dung cho tốn quy hoach tồn phương loi Xét tốn (2.1) ký hi¾u ω = (Q, A, c, b) Giá sú ω0 = (Q0, A0, c0, b0) ∈ Ω m®t hưóng cho trưóc Trong trưòng hop đieu ki¾n (H3) Minchenko Sakolchik (1996) đưoc viet dưói dang: (H3): Vói moi dãy {tk}, tk ↓ moi dãy {xk}, xk → x ∈ Sol(Q, A, c, b), xk ∈ Sol(ω + tkω0) vói moi k, bat thúc sau đưoc thóa mãn: " k − x "2 < +∞ lim sup k→∞ tk x Áp dung đ%nh lý 4.1 Minchenko Sakolchik (1996) cho tốn (2.1) ta có ket sau: M¾nh đe 3.3.2 Cho ω = (Q, A, c, b) ∈ Ω m®t điem cho trưóc u = ω0 = (Q0, A0, c0, b0) ∈ Ω l mđt húng cho trúc Neu (H3)v hai ieu kiắn sau: (i) H¾ Ax ≥ b quy (ii) Ton tai mđt compact B Rn v mđt lõn cắn U cỳa (A, b) Rmìn ì Rm cho C(Ar, br) ⊂ B vói ∀(Ar, br) ∈ U đưoc thóa mãn hàm giá tr% toi ưu ϕ vi theo hưóng tai ω = (Q, A, c, b) theo hưóng u = ω0 = (Q0, A0, c0, b0) cơng thúc (3.29) đưoc thóa mãn Xét tốn đe c¾p (3.1) Chon x =1 (0,10) ∈ Sol(ω), tk = k−1 − − k x (k , k k4 ) ∈ Sol(ω + k = tvà: ω ) Ta có x → x k → ∞ " − x "2 = k lim lim sup k sup k→∞ k→∞ tk x = +∞ − − + k k−1 Do v¾y, (H3) khơng đưoc thóa mãn m¾nh đe (3.3.2) khơng áp dung đưoc cho tốn quy hoach tồn phương Ta vùa chí rang đ%nh lý 3.3.1 có the áp dung cho cá m®t so tốn quy hoach toàn phương mà ket sn ton tai tính on đ%nh vi phân quy hoach phi tuyen khơng sú dung đưoc Bây giò ta muon chí vói tốn (2.1) neu h¾ Ax ≥ b quy (H3) kéo theo (G) M¾nh đe 3.3.3 Cho ω = (Q, A, c, b) ∈ Ω m®t điem cho trưóc u = ω0 = (Q0, A0, c0, b0) ∈ Ω m®t hưóng cho trưóc Neu h¾ Ax ≥ b quy đieu ki¾n (H3) kéo theo đieu ki¾n (G) Chúng minh Giá sú (H3) thóa mãn Cho {tk}, tk ↓ {xk} vói xk ∈ Sol(ω + tkω ) vói moi k m®t dãy tùy ý Neu xk → x ∈ Sol(Q, A, c, b) theo (H3), ta có: " k − x "2 < +∞ (3.32) lim sup k→∞ tk x Ta phái chúng minh rang bat đieu ki¾n (G) thóa mãn k −1 k k k −1 k Lay r ) (x r −x, Q(x r −x))} m®t dãy cna {(t ) (x −x, Q(xk{(t − x))} thóa mãn: lim k −1 k (x − x, Q(xk − x)) k→∞ inf(t ) = lim kr →∞ inf(tkr )−1(xkr − x, Q(xkr − x)) (3.33) Tù (3.32) ta suy {(tk)−1 " xk − x } b% ch¾n " Khi đó, dãy {(tk)− " xk − x "} b% ch¾n Khơng giám tong qt, ta có the giá sú rang (tk)− "1 xk − x "→ v ∈ Rn (3.34) Vì xk ∈ Sol(Q + tkQ0, A + tkA0, c + tkc0, b + tkb0), nên ta có: (AI + tkA0)xk ≥ bI + tkb0, I I vói I = {i : (Ax)i = bi} Tù bI = AIx, AI (x − x) ≥ tk(b0 − A0xk) k I I Nhân cá hai bat lu¾n rang thúc vói0.(tk)− cho k → ∞, suy (3.34) Ta ve có cna the ket A Iv ≥ Do đó, v ∈ Fx, ó Fx đưoc đ%nh nghĩa cơng thúc cna đieu ki¾n (SOSC)u Hơn nua, ý rang bieu thúc (3.24) thóa mãn Do Ax ≥ h¾ quy, theo bo đe 3.1.1 0ta có F (x, ω, ω0) ƒ= φ Lay bat kỳ v ∈ F (x, ω, ω ), vói k đn lón, x + tkv ∈ C(A + tkA0, b + tkb0) Do vói k đn lón ta có (3.25) Tù (3.24) (3.25) ta có đưoc (3.26) Nhân hai ve cna (3.26) vói (tk)− , cho k → ∞ lay ket cna (3.24), ta cú (3.27) Vỡ x l mđt nghiắm cna tốn (2.1) v ∈ Fx nên trưòng hop (Qx + c,(Qx v)