Tài liệu toán 12 năm học 2018 S PHC A.TểM TẮT GIÁO KHOA Định nghĩa số phức Xét Hai phần tử : Phép cộng : Phép nhân: Định nghĩa Tập , với phép cộng phép nhân gọi tập số phức Phần tử gọi số phức Tính chất phép cộng Giao hoán: Kết hợp: Tồn phần tử khơng: Mọi số có số đối: Phép trừ: Tính chất phép nhân Giao hốn: Kết hợp: Tồn phần tử đơn vị: Mọi số khác Giả sử có số nghịch đảo : , để tìm Ta có: Gii h cho ta Vy, Phộp chia: Giảng dạy: nguyễn bảo vương vi - 0946798489 Page | Tài liệu toán 12 năm học 2018 nh lý S phức Hệ thức biểu diễn dạng , , , suy từ định nghĩa phép nhân: Biểu diễn gọi dạng đại số số phức : phần thực Tổng số phức: Hiệu số phức: Tích số phức: , Do đó: : phần ảo Đơn vị ảo Lũy thừa đơn vị ảo : , , , …, quy nạp ta được: , , , , Do đó: Số phức liên hợp: Cho , số phức gọi số phức liên hợp Thật vậy, ( đpcm ) Thật vậy, ( đpcm ) số thực không âm Thật vậy, ( đpcm ) Thật vậy, ( đpcm ) Thật vậy, ( đpcm ) Thật vậy, tức Thật vậy, ( đpcm ) ( đpcm ) , Thật vậy, Do ú Giảng dạy: nguyễn bảo vương , , ( pcm ) - 0946798489 Page | Tài liệu toán 12 năm học 2018 Mụun ca s phc S gọi mơđun số phức Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức biểu diễn điểm hay véc tơ mặt phẳng phức.Ta viết: 10 Tính chất i Gọi Khi đó: ii Gọi biểu diễn hai số phức iii Cho Khi đó: đối xứng với qua ; Khi đó: đối xứng với biểu diễn qua biểu diễn B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Dạng Các phép tính số phức tốn định tính Phương pháp: Dạng 1: Các phép tính số phức Sử dụng công thức cộng, trừ, nhân, chia lũy thừa số phức Dạng 2: Số phức thuộc tính Tìm phần thực phần ảo: , suy phần thực , phần ảo Biểu diễn hình học số phức: ví dụ minh họa Ví dụ Xác định phần thực phần ảo số phức : z  i   i   i  z   4i 4i 1  i    i  z   i    2i  z Ví dụ Tìm mơđun số phức z, biết rằng:   2i  z  3  8i Tìm số thực b, c để phương trình z  bz  c  nhận số phức z   i làm nghiệm 3 2   Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn:  z  z  z3  z     4i   z  zz  z      Ví dụ  Tìm phần ảo số phức z , biết : z     i  1  2i   1 i  Tìm phần thực phần ảo số phức z     i Vớ d Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 12 năm học 2018 Tỡm phn thc số phức z , biết  z    i  z    2i  Tìm phần ảo số phức z , biết z  3z   2i Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn: z  2i z  3i   iz z  số ảo z  z   2i số ảo z z2 z 1 z  3i  1 Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn: zi zi Ví dụ 8.1.7 Cho số phức z  x  yi; x, y   thỏa mãn z  18  26i Tính T   z   2012  4  z 2012 1i Bài tập tự luận tự luyện Bài 1 Cho số phức z1 , z thỏa mãn z1  z  , z1  z  Tính z1  z 2 Tìm số thực x, y cho : a z  z' , biết rằng: z   2x     3y  1 i , z'   2y  1   3x   i b c  x  2y   i 3   3x  y  x  2i   47  20i x  yi   yi d  xyi 1  2i  3  i 2 x  y  2i 1  2i 3 ( phức ) liên hợp Cho z  cos180  cos 720 i Tính z Xác định phần thực phần ảo số phức : 33 10 1 i  z     i     3i   3i   i 1i  Thực phép tính : 10 A    i   1  i     i  B    i    i13  13   i   i   M  i5  i6  i7   i18 21 N     i     i     i      i  2010 Xác định phần thực phần ảo số phức : a z    3i   2i  b z  c z    i     i   2i  2i  i  1  i   d 4) z   3i Cho z  2x  3x    x  1 y   i với x, y số thực Tìm x, y cho: a z số thực c z   5i b z ảo z  Thực phép tính : 3  i  2  i  A   i 3    i    3i  B    3i    C  i  i   i 2009 D  1  i     i      i  2009 2010 Cho số phức z  (1  2x)(1  x)  (2  x)(2y  1)i Trong x, y số thực Tìm x, y cho a z số thực b z số ảo z  Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 c z 20 15i Page | Tài liệu toán 12 năm học 2018 10 Tỡm phn thc v phn ảo số phức sau: a z  c z  (1  2i)2 3i (3  i)(1  2i) b z  (2  i)3  (3  2i)3 d z  (1  3i)(2  i)2  (3  2i) 11 Tìm modun số phức z biết: a (1  2z)(3  4i)  29  22i b z  (1  2i)(2  i) (2  3i)2 Bài Tìm phần thực phần ảo số phức : c 1  i 2   i  z   i  1  2i  z  2i  3i  2i (2  3i)2  z  2i  2i d (2  i)(3z  1)  (z  2)(4  5i) Đề thi Cao đẳng năm 2009 Chứng minh z1  z  , z1 z2  z1  z2 số thực  z1z2 Tìm số phức z thỏa mãn z   i  Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị   Tìm số phức z thỏa mãn z.z   z  z    6i Tìm số phức z thỏa mãn  z  1 z  2i số thực z   Tính z biết: a  3i  1 z   2i  1 b z1  2i  z2 c z  3i   3z  i 1 Tìm số phức z biết : b 3z  2(z)2  a 4z  (3i  1)z  25  21i Bài Xét điểm A, B,C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số 4i  6i ,   i   2i  , i1 3i Chứng minh ABC tam giác vng cân Tìm số phức biểu diễn điểm D cho ABCD hình vng Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A B hai điểm biểu diễn nghiệm phức phương trình: z  6z  18  Chứng minh tam giác OAB vuông cân Bài Chứng minh rằng:   i   2010  1  i  2009     3i  2010 số thực 3i   2009 số ảo Bài Cho u, v biểu diễn hai số phức  3i  2i     3u  2v ; 5u  3v biểu diễn số phức nào?     Gọi x biểu diễn số phức  4i Hãy phân tích x qua u, v Bài Gọi A1 , A , A , A biểu diễn hình học số phức z1   3i, z  3  2i, z   i, z   5i Tính độ dài đoạn A1A , A1 A , A1A Tìm số phức có biểu diễn điểm M cho A1 A A M hình bình hành Bài n Tìm phần thực số phức z    i  , n  N thỏa mãn phương trình: log  n    log  n    Tìm phần ảo số phức z , biết iz    3i  z i z Bi 10 Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 12 năm học 2018 Gi z l nghim phương trình z  2z   Tính giá trị biểu thức Q  z 2012   z 2012  Tính z , biết  2z  11+i   z    i    2i Đề thi Đại học Khối A – năm 2011 Bài 11 Tìm số phức z thỏa mãn: z 1 i z  2i  z   i số ảo z  2i z  phần thực z lần phần ảo z  z3 z  z số ảo Đề thi Đại học Khối D ,2010 Bài 12 Tìm số phức z thỏa mãn: z z z 200 0  7i 5i 1 z z  (2  3i)z   9i z  Đề thi Đại học Khối B – năm 2011 Đề thi Đại học Khối D – năm 2011 z  z  z Bài 13 Tìm số phức z thỏa mãn: 2 z  i  z  z  2i   2 z  z 2   z    i   10   z.z  25  z  2i  z   z  i  z   z2 1   z  2i   z  1 z  i    zi 1    z  i     z 2z  i  1 i 1 i z  z  8z  44 z  z Bài 14 Nếu z1  z2  1, z1z2  1 T  Nếu z1  z2  z3  r T  z1  z số thực  z1z  z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1z z số thực z1z  z z3  z z1 z1  z2  z  r với z1  z  z  Số phức w  z 1 số ảo  z  z1 Bài 15 Cho  ,  hai số phức liên hợp thoả mãn  2  R     Tính  Bài 16 Tính z1  z2 , z1  z2 , z1 z2 , z1  2z , 2z1  z biết: z1   6i, z  1  3i z1   3i, z   4i 3 z1    i, z    i z1   2i,z    i 2 3 Bài 17 Cho số phức z1   2i, z  2  3i, z   i Tính : z1  z  z 2 z1z  z z  z z1 Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 z1 z z Page | Tµi liƯu toán 12 z12 z 22 z23 năm häc 2018 z1 z2 z   z z z1 Bài 18 Tìm số phức z thỏa mãn: z   7i   i z 22  z 23 2  3i  z  5  i z   2i 1  3i z(2  3i)   5i z12  z 22 2i 1  3i z 1 i 2i 2z(1  i)  2iz(1  i)  4i 3  i Hãy tính: ; z; z ;  z  ;  z  z z 2 Bài 20 Gọi A, B,C điểm biểu diễn số phức z1   2i, z   3i , z   4i Bài 19 Cho z  Chứng minh A, B,C ba đỉnh tam giác Tính chu vi tam giác Gọi D điểm biểu diễn số phức z Tìm z để ABCD hình bình hành Gọi E điểm biểu diễn số phức z' Tìm z' cho tam giác AEB vuông cân E Dạng Biểu diễn hình học số phức ứng dụng ví dụ minh họa Ví dụ 1.Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z  i  1  i  z Ví dụ 2.2.7 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z   i  z Ví dụ 3.2.7 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z   z   1i Bài tập tự luận tự luyện Bài 1: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z số ảo Bài 2: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:  z  z 2 z  i  z  z  2i Bài 3: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức:   z'   3i z  , z số phức thỏa mãn z   z  i  z  i  z   z   10 Bài 4: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức: z  i  z   3i z    4i   2 2z   5i  z   3i  z   2i  10 Bài 5: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa: z   3i số thực z   2i  z  3i  z   i z   3i  z   2i  5  4i  3z  z   i  z   3i  Bài 6: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa 2z  i z  2i  có phần thực số thực dương z  2i z3i Bài 7: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: Phần thực z hai lần phần ảo Phần thực z thuộc đoạn [2;1] Phần thực z thuộc đoạn [2;1] phần ảo z thuộc đoạn [1; 3] z   z  z  i  z  z  2i  z  v phn o ln hn hoc bng Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 z 2i  Page | Tµi liƯu toán 12 năm học 2018 Dng Cn bc hai số phức phương trình bậc hai Phương pháp: Định nghĩa: Cho số phức Mỗi số phức thỏa Xét số thực (vì có bậc hai ) Nếu có hai bậc hai Đặc biệt : có hai bậc hai Cách tìm bậc hai số phức Với Để tìm bậc hai Từ gọi bậc hai Nếu ( có hai bậc hai là số thực khác 0) có hai bậc hai ta gọi giải hệ này, ta Phương trình bậc hai với hệ số phức Là phương trình có dạng: , a Cách giải: Xét biệt thức số phức bậc hai Nếu phương trình có nghiệm kép: Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt b Định lí viét Gọi hai nghiệm phương trình : Khi đó, ta có hệ thức sau: ví dụ minh họa Ví dụ 1.Trên tập số phức, tìm m để phương trình bậc hai z  mz  i  có tổng bình phương hai nghiệm 4i Ví dụ Giải phương trình sau tập số phức: z2  (2i  1)z   5i  z  2z  17  4z   7i  z  2i 25 5z2  zi Ví dụ Giải phương trình sau tập số phức:   2   25z    z  (2  2i)z2  (5  4i)z  10i  biết phương trình có nghiệm ảo  zi    8  z  1 z  2z3  z  2z    16x  11y 7 x  x  y2    y  11x  16y  1  x2  y2      12  10x    x 1  3 2 5x  y  3x  y     ;     y   12   y 1    1    5x  y  3x  y     78y  20 x  x  y2  Ví dụ Giải hệ phương trình:  ;  y  78x  15  x2  y2     Ví dụ Gii h phng trỡnh: Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 12 năm học 2018 Vớ d Cho s phức z thoả mãn điều kiện 11z10  10iz9  10iz  11  Chứng minh z  1i Bài tập tự luận tự luyện Bài 1: Tìm bậc hai số phức: z   6i z  33  56i z  1  4i z  5  12i Bài 2: Tìm bậc hai số phức sau: 5  i   2i     3i 1 i Bài 3: Giải phương trình sau  : 4z   7i z  1  3i  z   2i   z  2i Đề thi Cao đẳng năm 2009 zi z 200 0 z    2i  z    8i  z  2i    7i z Bài 4: Giải phương trình sau  : z z    5i  z    i   z    4i  z  5i   z    2i  z   5i  z    i  z  63  16i  1  i  z2  1  2i  z   z   2i  1 z   5i  Bài 5: Giải phương trình sau  : z    i  z2    4i  z  10  z    5i  z2    5i  z  40i  z    i  z    9i  z  30i  Bài 6:  z1 Giải phương trình: z     , biết z   4i nghiệm phương trình z 7  Bài 7: Giải phương hệ trình sau  :  Bài 8:  3x  y 3 x  x  y2  Giải hệ phương trình:  ,  y  x  3y   x2  y   z2  z   2i  z1  z   i  1  2     3x   2 xy     7y        xy   Bài 9: Tìm số thực a, b để: 2z3  9z2  14z   (2z  1)(z2  az  b) giải phương trình sau C: 2z3  9z  14z   Tìm số thực a, b để : z  4z  16z  16  (z2  2z  4)(z  az  b) giải phương trình sau C: z  4z  16z  16  Bài 10: Tìm tất cá giá trị thực m để phương trình sau có nghiệm thực: z  (3  i)z  3z  (m  i)  Biết phương trình 1  i  x     i  x   i  khơng có nghiệm thực Tìm giá trị có  Bài 11: Giải hệ sau tập số phức z 1 z1  z  z1z   2i   2  z z z1  z  11  2i    z z Dạng Phương trình quy v bc hai Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 12 năm học 2018 1i Bài tập tự luận tự luyện z2 z1 Bài 1: Giải phương trình sau  : z  z  Bài 2: Giải phương trình: 2z4  7z3  9z  7z   z    i  z  2i  4z4    10i  z   15i   z    10i  z   z    i  z3    3i  z2    i  z    25 5z2   2   25z    Bài 3: Giải phương trình: 4  z     z    82  z2    16  z  1  z2   2   z  3  z  z   z  1 z    10 Bài 4: Gọi z1 ,z , z3 , z nghiệm phức phương trình  z 1  2 2    Tính P  z1  z2  z3  z4   2z  i      Dạng Dạng lượng giác số  phức Phương pháp: Cơng thức De – Moivre: Có thể nói cơng thức De – Moivre công thức thú vị tảng cho loạt công thức quan trọng khác sau phép luỹ thừa, khai số phức, công thức Euler Công thức 1: Công thức : Số phức Với ta có: góc gọi argument z, ký hiệu Ngược với phép luỹ thừa ta có phép khai ví dụ minh họa Ví dụ Viết số phức sau dạng lượng giác Từ viết dạng đại số z 2012   z  2  2i z   2i z   cos  i sin 8   Ví dụ Gọi z1 , z nghiệm phương trình: z     i  z  4i  Tính giá trị biểu thức Q  z12012  z 2012 Ví dụ 3.Tìm số phức z cho z z2 hai số phức liên hợp Ví dụ Giải phương trình cos x  cos 2x  cos 3x  Ví dụ Giải phương trình : cos x  cos 3x  cos 5x  cos 7x  cos 9x  1i Baứi taọp tửù luaọn tửù luyeọn Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 10 Tài liệu toán 12 năm học 2018   y        5 5 Dấu "  " xảy  y   1   x     M  ;  Chọn D  5  5 Câu 214 Gọi z  x  yi  x ; y     x  1   y 1  x   y  3  x  y   Ta có z   i  z  3i , suy 2 Suy tập hợp số phức z thuộc đường thẳng  : x  y   Ta có z  d O ;   7 4 2  5   w max   Chọn B 10 z Câu 216 Ta có z  z    z 1  2i  z  3i 1   z  1    z 1  2i   z  3i  1   z  1  2i    z   2i   z  3i  1 2  z 1  2i  (1)   z 1  2i  z 1  2i    z 1  2i   z  3i 1     z 1  2i    z  3i 1 (2) Từ 1  z   2i   w  1   P  w  Xét 2  Gọi z  x  yi  x ; y    2 2 Ta có  z 1  2i    z  3i 1     x 1   y     x 1   y  3  y   3 3  P  w   x  2      Khi w  x  i   2i   x  2  i    2 2 Vậy Pmin  Chọn C Câu 217 Đặt z1  x1  y1i z  x  y2i với x1 , x , y1 , y2    tập hợp số ● z1  2i   x12   y1  2   phức z1 đường tròn C  : x   y  2  ● z   2i  z   4i   x  2   y     x  2   y   2 2  tập hợp số phức z đường thẳng  y2    Ta có P  z1  z   x  x1    y2 y1 õy chớnh l Giảng dạy: nguyễn bảo v­¬ng 2 - 0946798489 d : y  3 khoảng cách từ điểm Page | 81 Tµi liƯu to¸n 12 B  x ; y2   d năm học 2018 n im A x1 ; y1   C  Do z  z1  ABmin Dựa vào hình vẽ ta tìm ABmin  A 0; 1, B 0; 3 Chọn B Nhận xét Ở đường thẳng đường tròn có vị trí đặc biệt nên vẽ hình nhận hai điểm A & B , khơng viết phương trình đường thẳng qua tâm C  vng góc với d , sau tìm giao điểm với C  d loại điểm Câu 218 Gọi z  x  yi  x ; y    Ta có  z   z  i    x    y  x   y  1    x  y 1  2 2 Suy tập hợp số phức z1 đường thẳng  : x  y 1    x     y 1i   z   i     x     y  1  2 Suy tập hợp số phức z đường tròn C  :  x     y 1  có tâm I  4;1 bán kính R  2 Khi biểu thức P  z1  z khoảng cách từ điểm thuộc  đến điểm thuộc C  Từ suy Pmin  MN  d  I ,   R    Chọn D Câu 219 Vì z  3  4i      x  3   y    2 Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn C  có tâm I 3;  bán kính R  2 2 Ta có P   x    yi  x   y  1i   x  2  y   x   y  1     x  y   x  y   P  Ta tìm P  d  I ,   R  cho đường 12 P 20 Giảng dạy: nguyễn bảo vương thng : 4x 2y P  đường tròn C  có điểm chung   23  P  10  13  P  33 - 0946798489 Page | 82 Tài liệu toán 12 năm học 2018 x y  30    x   Do Pmax  33 Dấu "  " xảy     2   x   y      y 5    Vậy z  52  5  Chọn D Câu 220 Gọi z  x  yi  x ; y    Ta có z   4i    x  2   y    2 Suy tập hợp số phức z1 , z đường tròn C  có tâm I 2;  , bán kính R Phương trình đường thẳng OI y  x Gọi M , N hai điểm biểu diễn số phức z1 , z Khi tọa độ điểm M, N y  2x    2    x     y    nghiệm hệ phương trình  x     z1   2i   y        w   8i Chọn A    x 3   z   6i     y  Câu 221 Ta biến đổi 1  i  z   7i    i z   7i  1i  z 3  4i    z  3  4i   * Đẳng thức * chứng tỏ tập số phức z đường tròn tâm I 3;  , bán kính R  Pmin  OI  R  1  m        S  Chọn B Khi       Pmax  OI  R    M   Câu 222 Ta có  i z    3i   3i  i nên z    iz    2i  2i   z  i   Đẳng thức chứng tỏ tập số phức z đường tròn tâm I 0; 1 , bán kính R  i Pmin  OI  R  1    m      S  2018 Chọn C Khi      M  Pmax  OI  R      Câu 223 Gọi z  x  yi  x ; y    M điểm biểu diễn số phức z   x     y  3  Từ giả thiết, ta có  x     y  3i  1 2 Khi tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâm I 2;3 , bán kính R  Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 83 Tài liệu toán 12 năm học 2018 Ta cú P  z   i  z   i  z   i Đặt A 1;1   P  MA   Pmin  AI  R  13 1 Chọn B Vậy     Pmax  AI  R  13  Cách Đại số: Ta có P  z   i  z   i  z   i Theo giả thiết:  z   3i   z   i    2i  z   i  3  2i  P  13 Suy  P  13  1  P  13  1  13 1  P  13  Câu 224 Vì z khơng số thực nên z  z  Ta có w  z z z  w    z2  z2  z Vì w số thực nên w  w  z z  2 z2  z  z  z  loaïi  z 2  z   z 2  z    z  z   z z  z  z     z   z   z z  Suy tập số phức z đường tròn tâm O 0;0  , bán kính R  Đặt A 1;1   P  MA với M điểm biểu diễn số phức z Vậy Pmax  AO  R    2 Chọn B Câu 225 Biến đổi P  Đặt z '  , z z i i 1  1  i   i z z z z    z'     P  z ' i    1    1   tập hợp số phức z ' hình tròn tâm O 0;0  , bán kính R  (trừ tâm O )  Xét 2  Đặt A 0;1   P  MA với M điểm biểu diễn số phức z ' Dựa vào hình vẽ ta thấy  1   Pmin  AM  z '  i   z   2i    z1  2i  2 z      w   0i Chọn C     1 z  2i    Pmax  AM  z '   i   z   2i   2 z    P  z1  z  z1 2 z   z1  z Câu 226 Đặt z  2 z  Từ z  2 z  z   z , thay vào iz ta c Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 84 Tài liệu toán 12 năm học 2018 iz   iz    z  4i  2 Gọi A, B hai điểm biểu diễn cho hai số phức z1 , z ● z1     A  đường tròn tâm I 4;0 , R1  ● z  4i    B  đường tròn tâm J 0, , R2    Pmin  IJ  R1  R2    Chọn B Khi P  z1  z  AB     Pmax  IJ  R1  R2   Cách Biến đổi iz    iz  2   z    z  2i   z  4i  i i Ta có P  z1  z   z1    2 z  4i     4i    z  4i     4i   z    4i  z  4i  z1    Câu 227 Giả sử z  a  bi a, b    Ta có ● z 1  a 1  b   a 1  b  52 2   tập hợp số phức nằm đường tròn tâm A 1;0  bán kính R  ● z  i  a  b 1   a  b 1  32 2   tập hợp cố phức nằm đường tròn tâm B 0;1 bán kính R '   z  z1   2i  Dựa vào hình vẽ ta thấy      z max  z   0i   z1  z  12  2i Chọn A Cách Áp dụng bất đẳng thức z1  z  z1  z  z1  z 1 2  3  z  i  z  i   2  z Ta có       z       z   z 1  z 6   Dấu ''  '' thứ xảy z1  i  , kết hợp với z   ta hệ   z1  i     z 1    z1  2i       z1 Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 85 Tài liệu toán 12 năm học 2018  z 1     Tương tự cho dấu ''  '' thứ hai, ta  z    z    z1  z  12  2i      z2  i  Câu 228 Giả sử z  x  yi  x ; y     z 5 Ta có 10  z   z   z   z   z  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 2 100   z   z  1   z     z        a    b  a    b  50   a  b    z  Chọn D 2 Cách Giả sử z  x  yi  x ; y    Từ giả thiết, ta có  x  4  y   x  4  y  10 2 *  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , gọi M  x ; y  F1 4;0  , F2 4;0  * có dạng MF1  MF2  2.5 Vậy tợp hợp  c  Suy độ dài trục bé điểm M  x ; y  biểu diễn số phức z Elip có độ dài trục lớn a  , tiêu cự F1 F2   b  a2  c  Khi ta ln có b  OM  a hay  z  Câu 229 Áp dụng bất đẳng thức z1  z  z1  z , ta có z 2     z 4 4i  z  z 4   z  1   z   2  2      z z z z   z  z          M   Vậy    S  Chọn A    m  1  Câu 230 Gọi z  x  yi  x ; y    M  x ; y  điểm biểu diễn số phức z Gọi A 1;0 , B 1;0  Ta có z    x  yi   x  y  Suy M thuộc đường tròn đường kính AB nên MA  MB  AB  Khi T  MA  MB  12  22  MA2  MB   5.4  Chọn A Cách Phương pháp hàm số (bạn đọc tìm hiểu rừ hn cỏc bi sau) Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 86 Tài liệu toán 12 năm học 2018 a2 b2      Câu 231 Với z  a  bi a, b    , ta có z z  z   a, b  1;1     z   z    1 Do biến đổi P , ta P  z  z    z   z   z   z  z  z   z z  a  a  1  b  a  a  1   a  a  a  1 2 Khảo sát hàm f a   a  a  1 đoạn 1;1 , ta   f a    S   Chọn A Suy m   2, M       a2  b2      Câu 232 Với z  a  bi a, b    , ta có z z  z   a, b  1;1     z   z    1 Do biến đổi P , ta P  z  z 1    z   z 1   z   z 1  z  z   z z  2a 1  a  1  b  2a 1  a  1   a  2a 1  a  1 2 Khảo sát hàm f a   2a   a  1 đoạn 1;1 , ta Suy m  3, M   f a   13 13 13   P  Chọn D 16     a2  b2      Câu 233 Với z  a  bi a, b    , ta có z z  z   a, b  1;1     z   z   Do biến đổi P , ta P  z  z  z  3z  1  z z   z z z z  1  z  z   z  z  z  z     z  z  z    z  z  z  z  1   z     z  z   z  z    z  z  a   2a  a  a   z Khảo sát hàm f a   a  a  trờn on 1;1 , ta c Giảng dạy: nguyễn bảo v­¬ng - 0946798489  f a   Page | 87 Tài liệu toán 12 năm học 2018 17 w    Chọn B Suy m  , M   16 Câu 235 Đặt z  x  yi  x ; y    Ta có z 1    x 1  yi   x 1  y  2   x 1  y   x  x   y   x  y  x  Khi T  z  i  z   i  x   y  1i  x    y 1i  x   y  1   x  2   y 1  x  y  y   x  y  x  y  2  x  y    x  y   x  y      x  y  Đặt t  x  y , T  f t   2t    2t với t  1;3 Xét hàm f t   2t    2t 1;3 , ta f t max  f 1  Chọn B Câu 236 Đặt z1  x  0, z  y  suy biểu thức P  z1  z  x  y  2 Áp dụng công thức z1  z  z1  z  z1  z 2  z 2  z2    0  x   x  y2   y2   x     P  x  5 x2    y  5 x Khảo sát hàm f  x   x   x đoạn 0;  , ta    f  x   10   M  10 M Suy     Chọn D   m m    Câu 237 Gọi z  x  yi  x ; y    M  x ; y  điểm biểu diễn số phức z Gọi A 2;1, B 4,7  , suy AB  Từ giả thiết, ta có z   i  z   7i   MA  MB  AB suy M nằm đoạn thẳng AB có phương trình x  y   Suy M  x ; x  3 với x  2;  Ta có z 1  i   x 1   y  1i   x 1   y  1 2   x 1   x    x  x  17 2 Khảo sát hàm f  x   x  x  17 đoạn 2;4  , ta Gi¶ng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 25 f x   73 Page | 88 Tµi liệu toán 12 năm học 2018  m   73 Suy  z 1  i  73   P  Chọn B    2     M  73 Câu 238 Gọi z  x  yi  x ; y    M  x ; y  điểm biểu diễn số phức z Gọi A  3;2, B 3; 1 , suy AB  Từ giả thiết, ta có z   2i  z   i   MA  MB  AB suy M nằm đoạn thẳng AB có phương trình x  y 1  Suy M 1  y; y  với y  1;2  2  2    z   x   yi   x    y  3  y   y Ta có   2 2  z   i  x   y  i  x   y   y  y             Khi P  z   z   3i  y  12 y   y  y  Khảo sát hàm f  y   y  12 y   y  y  đoạn 1;2  , ta   f  y   f 1   1;2   Chọn B   max f  y   f 1  26      1;2  Câu 239 Gọi z  x  yi  x ; y    M  x ; y  điểm biểu diễn số phức z Gọi A  2;3, B 6;1 , suy AB  17 Từ giả thiết, ta có z   3i  z   i  17  MA  MB  AB suy M thuộc đoạn thẳng AB có phương trình x  y 10  Suy M 10  y; y  với y  1;3 2 2    z   2i  x    y  2i   x  1   y    11  y    y   Ta có    2 2  z   i  x    y  1i   x     y  1  8  y    y  1    Khi P  z   2i  z   i  17 y  92 y  125  17 y  62 y  65 Khảo sát hàm f  y   17 y  92 y  125  17 y  62 y  65 đoạn 1;3 , ta   f  y   f 2    1;3 Chọn A   max f  y   f 3    1;3   Câu 240 Gọi z  x  yi  x ; y    M  x ; y  điểm biểu diễn số phức z Gọi A 2;  , B 1;3 , suy AB 34 Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 89 Tài liệu toán 12 năm học 2018 T gi thit, ta cú z  2i  z   3i  34  MA  MB  AB , suy M thuộc tia AB M nằm đoạn AB M trùng B Phương trình đường thẳng AB : x  y     x  Từ suy M  x ;  với x  1     5x  2  1 Khi P  z   i  x    y  1i   x  1   y  1   x  1       5x   1 ; 1 , ta Khảo sát hàm f  x    x  1     f  x   f 1  Chọn D ;1 Câu 241 Đặt z  a  bi a, b    Từ z    a  b  Ta có  1 1  a  bi  a  bi      z  a  bi   a  bi 1  a  bi 1  a  bi  1  a 2  b 1 a 1  a   b 2  bi 1  a   b 2 Suy phần thực Ta có 1 a 1  a   b 2  1 a 1 z 1  a   b 1 a 1 a   Chọn A 2  2a  a   a 1  a  Cách Chọn z  1 thỏa mãn z  z  Khi 1    z  1 Câu 242 Đặt z  a  bi a, b    Từ z    a  b  Ta có z  a   bi a   bi a 1  bi  a  b 1  2bi 2bi     2 z 1 a 1  bi a 1  bi a 1  bi  a   b a     1  b Do phần thực số phức z 1 Chọn A z 1 Cách Chọn z  1 thỏa mãn z  z  Khi w  z 1  z 1   1   z1    z z  z2 z z2 z  z2  Ta có w    w Câu 243 Do z1  z     1 z  z1 z  z2 1   z2   z1 z   z2 Vì w  w nên w số thực hay phần ảo ca w bng Chn A Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 90 Tài liệu toán 12 năm học 2018 Cỏch Chn z1 z  thỏa z1  z   z1 z  Khi w  z1  z  1  z1 z Câu 244 Chọn z  thỏa mãn z  Bây ta chọn z1 cho thỏa z1  z1      a 2    a  b   Đặt z1  a  bi a, b    Từ ta có hệ      2   55    2a  3  4b  16  b    Khi ta có z1  55  i , z    M  11 Chọn C 4 Câu 245 Gọi u  a  bi a; b      z z  u      w w  Từ giả thiết, suy    z w z w z       u 1    w w w      a2  b2  3       a 1  a    2a   a  Chọn D  4 2    a 1  b    z 1    Cách Chọn w  Ta cần chọn số phức z  x  yi  x ; y    cho   z         x 1  y   z     x    u   x  yi   yi  2  w x y      Câu 246 Từ giả thiết z  z1 1     z1  z z1 z z1  z z1 z  z1 z   z1  z . z  z1   Đặt t   z1  z1 z     11    z  z z   z1 , ta phương trình t  t  11  2t  z2  1 t   i  2  2t  t     t  Chọn D 1  t   i 2  Cách Chọn z  i   1 1 i     z1   P z1 i z1 i 2 Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 91 Tài liệu toán 12 năm học 2018 z z z z  Câu 247 Ta có P             z   z1   z z1  Mà 2 1 z1 z z z z z   22  21  z1 z  z z1 z z1 z2 z1 2  Theo giả thiết:  z1  z   z1  z . z1  z    z1  z . z1  z   z1  z   z1 z  z z1    z1 z  z z1  3 Từ 1 , 2  3 suy P  1 Chọn D Cách Chọn z1  , z chọn cho thỏa mãn z  z1  z  Ta chọn sau: Đặt z  a  bi  a2  b2  ● z   ● z1  z  1  z   1  a  1  bi    a  1  b     a      z2   i Từ giải hệ    2   b    Thay z1  z   i vào P bấm máy 2 3 i z   i Hoặc ta chọn z1    2 2  b  Câu 248 Đặt z  a  bi a; b    Do z    Suy z  a  b  2abi Khi  a  bi 1  a  b  2abi  z a  bi    z  a  b  2abi 1  a  b   2ab 2 a  ab  a 1  a b   2ab  2  b  a 2b  b 1  a b   2ab  2 i     b3  a2b  b  b  loaïi z 1   Chọn B    a  b    z  Vậy P  2 11 1 z 1  b  a  Cách Chọn w  z z 1    z 1   z   z   P   2 1 z 2 z Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 92 Tài liệu toán 12 năm học 2018   z1 z z     Câu 249 Do z1  z  z    1   z1 ,  z2 ,  z3   z2 z3   z1 Áp dụng, ta P  z1 z  z z  z z1  z1 z  z z  z z1 1     z1  z  z z1 z z z1 z z  z1  z  z  z1  z  z  a Chọn C Cách trắc nghiệm Chọn trường hợp đặc biệt z1  z  z  thỏa z1  z  z  Khi z1  z  z  P  z1 z  z z  z z1  Vậy P  a Câu 250 Từ giả thiết z1  z  z    z1  1 , z2  , z3  z1 z2 z3 Ta có A  z12  z 22  z 32   z1  z  z    z1 z  z z  z z1     z1 z  z z  z z1  1 1   z1 z z       z1 z z  z1  z  z   z1 z z  Mà z1  z  z    z1  z  z  , suy A  Chọn B 3 Cách Chọn z1  1, z    i, z3    i thỏa mãn điều kiện toán 2 2 Câu 251 Đặt z  x  yi  x ; y       x x  y      z  1       Ta có z   z 1    2    z    z  z 1  x  y   x 1  y y2        Chọn D 4 Khi w  z    x  1  y  Cách Từ giả thiết, suy z  z 1   2 Áp dụng công thức z1  z  z1  z  z1  z   , ta có  z   z  12  z 1  12  12  12  2 Câu 252 Đặt w1  z1 w2  z Từ giả thiết, ta có w1  3, w  w1  w2  2  Áp dụng công thức w1  w  w1  w2  w1  w 2  w1  w2  w1  w 2  w  w 2  , ta có  x  9  16    49   w1  w  hay z  Chọn B Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 93 Tài liệu toán 12 năm học 2018 z  w   zw 1 z w     0 0 z w z w zw z w zw  z  w  Câu 253 Từ giả thiết 2  i 3w       Từ   z  w  zw   z  zw  w  w    z  w    w   z  w          4   2 2    i     z  w    i 3w    w  z          2   i Lấy môđun hai vế, ta z    w  w  w  w  z  2018 Chọn C 2 Cách Chọn z  1028 thỏa mãn z  2018 Khi ta có 1     giải phương trình tìm w 2018 w 2018  w Câu 254 Dựng hình bình hành OMPN mặt phẳng phức   z1  z  OP Khi      z1  z  MN     z1  z  Ta có     z1  z      2 2 z1  z  z1 z cos 30  13 z1  z  z1 z cos1500  z  z2 z1  z   13 Chọn B z1  z z1  z       M a1 ; b1  OM  a1 ; b1   z1  a1  b1i     Cách Giả sử           N a , b   ON  a ; b  z  a2  b2 i      2  2   Theo giả thiết, ta có 2     a1a2  b1b2 a1  b1  cos OM , ON  cos 30   a1a2  b1b2   2  a1  b12 a22  b22  a2  b2    a1  a2   b1  b2 i a1  a2   b1  b2  z  z2 Vậy A    2 z1  z a1  a2   b1  b2 i a1  a2   b1  b2   a12  b12   a22  b22   a1a2  b1b2   a12  b12   a22  b22   a1a2  b1b2    2.3   2.3  13 Câu 255 Ta xét H  1  2i  z  z  z 1  2i   z  125 1  2i   z Xét T  z 1  2i  Sử dụng bất đẳng thức z1  z  z1  z  z1  z , ta z   2i  z  1  2i   z   2i   25   T  25  Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 94 Tài liệu toán 12 năm học 2018     M  125 25   Từ suy 125 25   H  125 25     m  125 25           P  M  m  6250 Chn C Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 95 ...Tài liệu toán 12 năm học 2018 nh lý Số phức Hệ thức biểu diễn dạng , , , suy từ định nghĩa phép nhân: Biểu diễn gọi dạng đại số số phức : phần thực Tổng số phức: Hiệu số phức: Tích số phức: ,... nguyễn bảo vương , , ( đpcm ) - 0946798489 Page | Tµi liƯu toán 12 năm học 2018 Mụun ca s phc Số gọi môđun số phức Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức biểu diễn điểm hay véc tơ mặt phẳng phức. Ta... phức liên hợp z3 32 z hai số phức liên hợp z2 Dạng Cực trị số phức ví dụ minh họa Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn: z   3i  Tìm số phức z có modul nhỏ Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z   4i 