BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ 1.Tìm giới haïn sau: x2  lim a) x � x  3x  b) x  2x lim lim x�1 lim lim x � 1 x  3x  lim d) x � 2x  6x  x2 1 x  5x c) x � x  25 x  3x  e) x � x  4x  f) x  x  x1 x  3x  g) xlim � 2 i) lim x  x�1 2x2  x  x3  x4  x2  72 lim h) x�3 x2  2x  3 j) lim x  5x  3x  x 1 2x  8x  7x  4x  lim x �1 2x  14x  20x  � � lim�  � m) x�1 �x  x  1� x  5x  4x o) lim x�1 (1 x) 3 p) lim (x  h)  x h h� 3 s) lim 2(x  h)  2x h �0 h u) lim x  x  x �1 2020 2022 x x 2 Tìm giới hạn sau: 4x  x  18 x3  x 1 lim x � 1 x  2x  x  A = lim x 4x  D = lim1 4x  2x  x� k) x  8x  x  3x  9x  l) xlim � 2 x3  x  x�3 3 � �1 lim�  3� n) x�1�1 x 1 x � q) lim x  (a 1)x  a 3 x a � x2 x4 t) lim �  � � 2 x �1 x  5x  3(x  3x  2) � � x�a 4 r) lim x  a x� a x a n v) lim x  nx  2n  x �1 (x  1) B = lim x �5 E = lim x �1 x  x  30 2x  9x  C= x  4x  x  2x  G= 2x  3x  x � 1  x  4x  lim H = xlim �2 x  16 x  2x x  27 x  4x  x  x  5x  lim x �2 x  3x  J = lim x F = lim1 x� 2x  5x  4x  x  3x  lim x �1 x  2x  L = lim x �1 x3  x  x   x  5x  N = lim x �2 x3 1 x2  x x  2x  6x   x3 x  4x  6x  P = xlim � 1 x2  x  x5 1 R = lim x �1 x  I = lim x �1 O= Q= 8x  64 M = lim x � x  5x  Tìm giới hạn sau: a) lim x   x  x  x x �0 2x   d) lim x 3 2 49  x b) lim x �7 e) lim x � x  4x  x�4 2 x2 x  3x  c) lim x �2 x   2x  x g)  x2  lim x�1  x  3x  4x   x2  f) lim x �2 x x x3  o) lim x�1 3 5 x x � 1 5 x k) lim h) lim x�2 i) lim 3x  2 4x  x  j) lim 1 1 x l) lim x�0 2x  x2 x x2 m) lim x �2 4x   x  3x  x �1 x2  2x   4x  x3  2x  p) lim x�1 r) lim q) lim x �1 s) lim x�0 3 x 1 x 1 w) lim x �1 v) lim x �1 n) lim x �1 x  23 x  (x  1) x �1 x 1 x  x2  x 7 x 1  8 x x �1 2x  5 x x 1 2x  5x  3 z) lim x �2 x  1 x  1 2x  12  x x  2x t) lim x �1 x7 2 x 1 x 1 4x   Tính giới hạn sau: a lim x �0 x 1  x   x b lim x �0 x   x  16  x c lim d lim x  1 x  x e lim x �1 x   3x  x2 1 f lim x�0 Dạng vô đònh x�0 x  1 x   x 8x  11 x  x  3x  x�1 � � Tìm giới hạn sau: 2x  a) xlim � � x  d) xlim � � 3x(2x  1) (5x  1)(x  2x) x3  2x2  x��� 3x2  x  (2x  3) (4x  7)3 j) xlim ��� (3x  4) (5x  1) g) lim m) lim x  3x  2x x�� 3x  x2 1 b) lim x � �1 3x  5x e) xlim ��� 3x3  2x  2x3  2x2  x4  3x2  x���  x3  2x  h) lim l) lim x  3x  2x x�� 3x  n) lim x ��� x  x   3x  4x  1 1 x c) lim x x 1 x � �x  x  f) xlim ��� i) xlim ��� 3x3  2x2  4x4  3x  (x  1) (7x  2) (2x  1) k) lim 4x  x �� o) lim x ��� 3x  4x  2x    x 9x  3x  2x x  2x   4x  p) lim 4x    x x ��� s) lim q) xlim �� x x 3 x2 1 x�� 2x  x�� (x x  x  1)( x  1) x� � (x  2)(x  1) (x3  2x2 )2  x3 x3  2x2  x2 3x2  2x 3 r) lim x  2x  x t) lim Giới hạn bên Tìm giới hạn sau a) lim  x�2  3x  e) lim x  x3 2x x  3x  x h) lim x  3x  x x�1 x b) xlim �2 x1 x1 d) lim lim x2  2x 3x  j) lim x  2 x � 0 x x  3x  x2  x  k) lim x  3x  x2  x  h) lim x2  x  x 1 x  2 � 1 x � lim � x � � x � x � 0 � � x�1 c) lim  x�1 x1 x1 2x f) lim� 4x  x x i) xlim � �4 x  x� l) lim x �1 i) x  3x  x  5x  lim x�  1 cos2x  x g) g) Tìm giới hạn bên phải, giới hạn bên trái hs f(x) x o xét xem hàm số có giới hạn x o không ? �x  3x  (x  1) � � x2 1 a) f(x)  � x �  (x  1) � v� � i xo  � 1 x 1 � c) f (x)  �3  x  � 3/ � �4  x (x  2) � b) f(x)  �x  � 1 2x (x  2) � v� � i xo  x0 x �0 vớ i xo  Tìm A để hàm số sau có giới haïn taïi x o: �x  (x  1) � f(x)  �x  � Ax  (x �1) � a) với x0 = � x   2x  A � f (x)  x  4x  3x b) � � 3x  � Dạng1: x � a x3 với x0 = x �3 Bài1: 1) x2  x  x  lim 4) lim x x2 x3  x  Bài2: Phân tích thành nhân tử 2)  4x   lim  x x    5) lim x  x 2x  3) lim x  6) x  3x  x2  x  x  5x  x  2 x  x  x  lim 1) lim x x  3x  10 3x  x  3) x n  a n  na n  ( x  a ) ( x  a) lim x a 2) lim x a 4)    1 x 1 x    5) lim x 7) lim  x  h  x3 10) x  x  15 lim x  x5 12) lim 8) lim x 14) x  5x  x   x  12 x  20 x n  nx  n  ( x  1)   n lim   x 1  x n 1 x  x 1 9) lim x x x  x  15 x x3  11) lim x  x ( x  5)  x  3x  lim 13) x   x  4x x  3x  x  x3  x  x x 6) h h lim xn  an x a 15) lim x4  16) lim x x  x  17) x  3x  x x  x2  x  x  4x  4x lim x  x2  x  lim Bài3: Nhân liên hợp 1) lim x   x 3x   4) lim x x x 2 7) lim  x  x  x x 10) x lim x  10  x 13) lim x   x x 16) lim x  x x2 3 x7 x 2) lim x �7 5) lim x x4  x  25 x  3x  11) lim x x 12) lim n x x 1 x  x lim x 17) lim x 1  x  x  1  x  x lim 15) 3x   x  x  x x  3x  x x 1 x   3x 9) lim x  58 x 5 6) xlim 1 1 x  8) lim x 14) 5 x 3) lim x (n N, n  2) x  3x  x2  x1 x  2x  Bài4: Nhân liên hợp bậc hai 5 x  5 x x ax a 4) lim (a > 0) x x 1) lim x 2x   x 3) lim x x 5) lim  x  x  x  x x 3x   x  x  x  3x  6) lim x 1 x  1 x x 2) lim x 7) lim  3x  x   x x x Bài5: Nhân liên hợp bậc ba  4x  a) lim x x x lim x x 1  b) lim x 3x   x  x  7) lim x x  3x  3 4x  x ax 8) lim x x c) lim x 1 x 1 3x x   1 x  x2 9) lim x x2  a Bài6: Nhân liên hợp bậc hai 1) lim x 3 5x 1 5 x 2) lim x x x2 4x 1  d) 3) lim x x2  x x1 4) lim x 1 5) lim x x  x 3  2 4 x  6) lim x 7) 9 x  lim x x1 9) lim x x1  2x  8) xlim  64 x 3 x1 x1 x8 4 x Bài7: Nhân liên hợp bậc hai bậc ba 1 x  x x 1) lim 8 x 2) lim x 4) x x 1 x7  5 x 5) lim x 3x    5x x 6) lim x  x3  x2  3) lim x 3x   x  x  x  3x  lim 3x   x  x  x  3x  2 x 1  2x   x lim x x 7) Dạng2: Giới hạn bên  2x  1) xlim 2 6) 8) 9) x  2x  x  ; x 1 f ( x) 4) f  x   lim x x  ; x   lim 5)  x  x  ; x 0  f  x   sin x ; x0   x ; x0 o  f  x   x ; x     x  x  ; x 1  mx f ( x )  3  f ( x) ; Tìm lim x f ( x) ; lim f ( x ) Tìm lim x x ; x 2 ;x2  x  x  ;x2 f ( x)   mx  ; x 2 1 ; x 1  (2 x  3)  f  x    x ;1 x  x  ; x 3   10) xlim 3 x  3x  3x   x  x  x x 3) 7) 2) xlim 0 x2  x4 1 x  4x  Tìm m để hs có giới hạn điểm xo =2 f ( x) ; lim f ( x ) Tìm lim x x 2x 11) lim x 4x  x Dạng3: Giới hạn vô cực - Các dạng vô định 1) lim x  x  3x   6x  6x  x  x  x  2) xlim     x  3  3x   3) xlim 50 ��  x  1 20 4)  lim x x   x   30 x2  6)  5) x  9x  x   x  7x  9) xlim     7) xlim   10) x  4x     lim x   x  x  x    x  2x  x  x 12) lim x   8) lim  x   lim x  x   lim x    x  7x   x  3x    n x2   x  x2  xn x  x 1  x  6x     x  a  x  b  x  15) xlim    11)  lim  x  x  3x   x    x3  2x  x  2x 18) xlim    3x     n     x2   x 14) xlim   x  x  3x  x  13) lim x   lim  x  x  x   16) x x   19) xlim    x x   x x   x  x2  x  x  17) xlim     25) lim  x   2x   x 2x   x3  x2 1  27) lim x   x x   24) xlim      x3  x2 1 x  6x  x 26) lim x   x x sin x x x 1) 4) lim  cos x x2 lim tan x  sin x sin x x 7) x 10) lim 1 x 13) lim x c 15) lim x 19) 21) 2) lim x 8) 40) sin u ( x) 1 ; u ( x )�0 u ( x) sin x n x  sin x m 3) lim sin x sin x sin x 6) lim sin x sin x sin nx x 45 x n! x n sin x  sin a cos x  cos b lim lim 9) x  b x a x b x a lim 11) lim tan x  tan c x c 2x  sin x x c cot x  cot c x c 14) sin x  sin x sin x 1  x  tan 16) lim x lim x a 12) lim  cos x x sin x  sin a x2  a2 x 18) x sin x cos x  cos  x 17) lim x x2 x3 8 lim x   tan( x  2) sin  a  x   sin  a  x   sin a  cos x cos x cos 3x 20) lim x x2  cos x tan  a  x   tan  a  x   tan a 22) lim cos ax  cos bx cos cx lim x x x x2 x lim lim x lim sin x  tan x x3 1 x lim x lim x lim x sin ax  tan bx ( a  b) x sin x  sin x x  x1  sin  2   tan x   sin x x3 30)  cos x cos x sin 11x  x  2 sin 38) lim x  41) lim x x   2x tan( x  1) lim cos(a  x)  cos(a  x) x   sin x x tan a  x  tan  a  x   tan a x2 35) lim x lim x sin x cos x  sin x lim x x sin 32) lim x ( a  b  0) 27) sin x 29) cos x 24) 26) lim  cos x x 2x   x  sin x  cos x sin x  sin x sin x lim x x4   tan x tan  x  34) lim  x   37)  lim x 31)  x sin  a  x   sin  a  x  28)  lim tan x 3x 5) 23) lim x  tan  a  x   tan  a  x  25) x2  x   x   x  1 23) xlim   Dạng3: Dạng lượng giác , sử dụng giới hạn lim sin x 1 lim  x  2x  x  x  x 20) xlim    x   x   x 21) xlim   x  x   22) xlim    x  cos x 33) 36)   lim   x  sin x tan x   39) lim x  x  cos x x2 42) lim  cos ax x x 43) sin x lim x  tan x 44) lim  x  2  cos x 46)   sin  x   4  sin x  cos x lim    4x x  lim 47)  x 4 49) lim x cos x  x sin  6  x  50) lim  sin x x lim x 45) lim x  cos x  cos x cos x x2  cos x x   2 48) sin x  cos x  51) lim  cos x  tan x x 52) 53)  cos ax  cos bx 56) x 55) lim x 58) tan x  sin x x tan x sin x lim lim  x cos x  x 59)  cos x 61) lim x   cos x 62)  cos ax (a x x2  cos 2 x lim x x sin x lim lim  x x sin ax  cos ax sin( x  1) 57) lim x x  x  0) 54) lim x  sin x   x sin x  60) lim  x  cos x  sin x  sin x lim x sin x 63) Tính giới haïn sau: a) xlim �0 d) xlim �0 g) lim x�0 sin5x 3x cosx  cos3x b) xlim �0 e) lim sin x sin2x  sin x 3sin x 1 cos2x c) xlim �0 x tgx  sinx x x�0   sin   x  4  lim  x  sin x cosx  cos7x x � �1  x f) lim � � x � 0� sinx sin3x � 1 sin x  cos2x sin x h) lim x�0 Bài1 Tìm giới hạn sau  5x  10x) a) lim(x x �0 b) lim x  5x  x2 x �1 f) j) lim tan x  sin2x h) lim sinx x�0 cos x x� 0x  x�  x  4x  x2  � �1 lim �  3� e) x � 1�1 x 1 2x � lim x  d) lim 2x  3x  c) lim x �3 x �2  3x  x g) lim x �1 1 x  1 x x k) lim tgx x�  x