Lý thuyết : Câu 1)Tại pp newton Rapshon gọi pp tiếp tuyến: Vì ý nghĩa hình học yn+1 giao điểm tiếp tuyến đường cong y = F(x) điểm(xn, f(xn)) với trục hoành đó…… Ta có pt nghiệm theo pp Newton- Raphson Xn+1 = xn – f (xn)/f’ (xn) Về mặt hình học, xn+1 giao điểm tiếp tuyến đồ thị hàm f(xn) điểm (xn , f(xn)) Do đó, pp newton raphson gọi phương pháp tiếp tuyến Câu 2)Ưu nhược điểm pp lặp gải phương trình phi tuyến: Phương pháp Ưu điểm Nhược điểm Chia đơi Nghiệm tương đối Q trình tính tốn lâu, xác, đơn giản hội tụ chậm K tận dụng đc tính chất hàm fx Lặp đơn Nghiệm xác Khó xác định hội tụ Dây cung Đơn giản Hội tụ chậm, hội tụ Nhanh pp lặp đơn tuyến tính Newton rapshon Đạo hàm fx hội tụ nhanh Việc kiểm tra đk để áp dụng pp khó Câu Hãy nêu ưu nhược điểm phương pháp giải hệ đại tuyến (trực tiếp lặp) ?  pp giải trực tiếp - pp khử Gauss  Ưu: thuật toán dễ hiểu, cách thức đơn giản  Nhược:+ số lương vòng lắp lớn, độ phức tạp toán cao + Thời gian chạy chương trình kéo dài, ma trận lớn kết ko xác - Phân tích LU  Ưu: Hạn chế thời gian chạy pp Gaus: thời gian rút ngắn nửa, số vòng lặp giảm nửa  Nhược: + vấn mắc lỗi pp gauss độ xác ma trận hệ số lớn + sử dụng thêm ma trận để lưu bước khai triển Gauss gây lỗng phí thêm lượng nhớ với ma trận cho  Pp lặp  Pp lặp đơn:  Ưu: + tiết kiệm nhớ máy tính, đảm bảo thời gian thực chương trình, số lần lặp thời gian chạy giảm đáng kể so với pp + Độ xác cao pp trk, nguyên thực kiểm tra độ xác sau lần lặp  Nhược: + khơng phải tất pp có nghiệm hội tụ ( áp dụng cho ma trận đường chéo trội ) + Nếu hệ số hội tụ lớn ma trận lâu hội tụ ma trận kết  Pp seisel + ưu: cải tiến sơ với pp lặp đơn: sử dụng nhớ máy, thời gian tốc độ hội tụ nghiệm nhanh + Nhược: nhược điểm pp lặp đơn độ hội tụ toán cho Câu 4) Tại pp Adam gọi pp đa bước: Vì tính thơng qua nhiều bước trc đó.muốn Tính yi phải tính yi-1, yi-2,… Câu 5)Đk sơ đồ sai phân đc chấp nhận: Zjn+1 =(1-r) Zjn + rZjn-1 Ta nói lược đồ sai phân ổn định khi:” Nếu tập hợp vơ hạn nghiệm tính đc bị chặn đều, ngược lại k ổn định” Định lý courant: Nếu lược đồ sai phân quán với pt vi phân thân lược đồ ổn định nghiệm pt sai phân hội tụ đén nghiệm pt vi phân Câu 6) Các ứng dụng học pp sai phân tính tốn tượng: Pt vi phân dạng elip: toán truyền nhiệt, thẩm thấu học chất lỏng, Pt vi phân dạng pararabol: khuyết tán chất ô nhiễm Pt vi phân hypebol: pt dao động dây U=U( x,t) với x tọa độ,t thời gian Câu 7) PP phần tử hữu hạn # pp biến phân: PP phần tử hh sử dụng thuật toán biến phân áp dụng cho miền chia thành nhiều miền Nên pppthh có ưu điểm áp dụng cho miền có dạng hình học phức tạp Câu 8) Ưu, nhược điểm sai phân hiện, sai phân ẩn: Ưu điểm:  Sai phân hiện: từ phương trình sai phân tiến theo thời gian t ta tìm đc giá trị Uk+1ij từ giá trị Uki-1,j, Uki,j, Uki,j-1, Uki,j+1  Sai phân ẩn: Tìm đc Ukij theo sai phân lùi theo thời gian t qua giá trị Uk+1i-1,j, Uk+1i,j, Uk+1i,j-1, Uk+1i,j+1 Nhược điểm: Phải thiết lập tất phương trình cho tất nút bên miền toán giải đồng thời hệ pt nên gây khó khan việc tính tốn Câu 9) So sánh PPPTHH PPSP:  PPSP xấp xỉ tốn phương trình vi phân; PPPTHH xấp xỉ lời giải toán  Điểm đặc trưng PPPTHH có khả áp dụng cho tốn hình học toán biên phức tạp với mối quan hệ rời rạc Trong PPSP áp dụng dạng hình chữ nhật với mối quan hệ đơn giản, việc vận dụng kiến thức hình học PPPTHH đơn giản lý thuyết  Điểm đặc trưng phương pháp sai phân hữu hạn dễ dàng thực  Trong vài trường hợp, PPSP xem tập PPPTHH xấp xỉ Việc lựa chọn hàm sở hàm không đổi phần hàm delta Dirac Trong hai phương pháp xấp xỉ, việc xấp xỉ tiến hành toàn miền, miền khơng cần liên tục Như lựa chọn, xác định hàm miền rời rạc, với kết toán tử vi phân liên tục không sinh chiều dài hơn, nhiên việc xấp xỉ PPPTHH  Có lập luận để lưu ý đến sở toán học việc xấp xỉ phần tử hữu hạn trở lên đắn hơn, ví dụ, PPSP đặc điểm việc xấp xỉ điểm lưới hạn chế  Kết việc xấp xỉ PPPTHH thường xác PPSP, điều phụ thuộc vào nhiều vấn đề khác số trường hợp cho kết trái ngược Nói chung, PPPTHH phương pháp thích hợp để phân tích tốn kết cấu (giải toán biến dạng ứng suất vật thể dạng khối động lực học kết cấu), phương pháp tính động lực học chất lỏng có khuynh hướng sử dụng PPSP phương pháp khác (như phương pháp khối lượng hữu hạn).Những toán động lực học chất lỏng thường yêu cầu phải rời rạc hóa tốn thành số lượng lớn "ô vuông" điểm lưới (hàng triệu hơn), mà đòi hỏi cách giải phải đơn giản để xấp xỉ "ô vuông" Điều đặc biệt cho tốn dòng chảy ngồi, giống dòng khơng khí bao quanh xe máy bay, việc mô thời tiết vùng rộng lớn Có nhiều phần mềm phương pháp phần tử hữu hạn, số miễn phí số bán 10) Tại sách ppt thường sử dụng pp runghe – kutta bậc mà k gọi bậc cao hơn, thấp hơn: Tại pp Runghe – kutta bậc cho lời giải xấp xỉ xác thuật tốn khơng phức tạp Câu11 Hãy cho ví dụ tốn thực tế kỹ thuật có ma trận thưa (dạng BAND hay dạng bất kỳ) ? Ma trận thưa ma trận hầu hết yếu tố khơng số lượng ko có giá trị nguyên tố chia cho tổng sản lượng yếu tố ( vd: m x n) Ma trận thưa thớt thường xuất khoa học kĩ thuật giải pt vi phân phần Vd 11 12 0 0 33 44 0 0 0 55 66 77 0 0 0 88 0 0 0 99 Ma trận thưa chứa yếu tố khác với số nguyên tố 74% mật độ 25% 12 Trình bày cách giải hệ phương trình phi tuyến theo công thức lặp NewtonRaphson? Từ khai triển taylor cho tốn biến ta có Xn+1 = xi – f(xi)/f’(xi) f(xi+1)=0 FTổng qt cho tốn biến Định thức Jacobien detJ = det ui/xi ui/yi vi/xi vi/yi cách tổng quát cho phương trình: f(x) = với x= [x1, x2, xn] f [ f1, f2,…fn] phương pháp lặp Newton- Raphson cho hệ phương trình n ẩn là: x(n+1) = x(k) – Fx-1(xk).f(xk) f1/x1 …f1/xn với ma trận jacobien sau Fx = f2/x …f2/xn … … fn/x1 … fn/xn Câu 13 Hãy cho ví dụ cụ thể ma trận A xác định dương ? Ma trận đối xứng nxm gọi xác định dương với vecto khác 0, x thuộc R n dạng toàn phương xác định Q(x) = xT Ax nhận giá trị dương Chương 5: Các phương pháp số đại số tuyến tính 5.1 Phương pháp lặp đơn hệ phương trình  x ( m ) Bx ( m  1)  g  (0)  x n b x ij j1 j Trong đó: (Bx)i = , x(0) cho trước 5.2 Phương pháp lặp Seiden Giả sử cho hệ:  xi = i + với i = 1, 2, , n Lấy xấp xỉ ban đầu x1(0) , x2(0) , , xn(0) Tiếp theo, giả sử ta biết xấp xỉ thứ k xi(k) theo Seiden, ta tìm xấp xỉ thứ ( k+1) nghiệm theo công thức: Chương NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 6.2.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Pica Mục đích phương pháp xây dựng nghiệm cần tìm y= y(x) Từ (6.2.1) ta có: Hay: (6.2.4) Giả sử f(x,y) hàm liên tục theo x,y < K Để tìm xấp xỉ liên tiếp, (6.2.4) thay y y0, ta có xấp xỉ thứ nhất: , Tương tự có xấp xỉ thứ hai: Tổng quát, ta có: , với n = 1,2,3,… Như ta có: Sai số: , = M Với: < a  , < b   , C = 6.2.2 Phương pháp Euler Ta có Xi=i.h,yi+1=Yi+h.f(x,y) 6.2.3 Phương pháp Runghe - Kutta bậc Xét phương trình vi phân: u’ = f(x , u)  ui +1 = ui + Với sai số: 6.2.4 Phương pháp Adam Giả sử cần giải phương trình vi phân: Y’ = f(x , y), với điều kiện ban đầu: y(x0) = y0 Cho biến số thay đổi bước h đó; xuất phát từ điều kiện ban đầu Y(x 0) = Y0 phương pháp (ví dụ: phương pháp Runghe-Kutta bậc 4), ta tìm giá trị hàm cần tìm y(x): Y = Y(x1) = Y(x0+h), Y2 = Y(x0+2h), Y3 = Y(x0 + 3h) Nhờ giá trị x0 , x1 , x2 , x3 Y0 , Y1 , Y2 , Y3 , ta tính q0, q1, q2, q3 Trong đó: q0 = h.Y0’ = h.f(x0 , y0), q1 = h.f(x1 , y1), q2 = h.f(x2 , y2), q3 = h.f(x3 , y3), sau ta lập bảng sai phân hữu hạn đại lượng y q x xo y yo y q qo yo x1 y1 q1 x3 y3 - - - - 3q0 2q1 q2 y2 3q 2q0 q1 y2 2q q0 y1 x2 q q2 q3 - - - - - Biết số đường chéo dưới, ta tìm y3 theo cơng thức Adam sau: Tiếp ta có: Y4 = Y3 + Y3  q4 = h.f(x4, Y4) Sau viết đường chéo sau: q3 = q4 - q3 , 2q2= q3 - q2 , 3q1 = 2.q2 - 2.q Đường chéo cho phép ta tính Y4 : Y4 = q4 + 1/2q3 + 5/122q2 + 3/83q1 Vì ta có: Y5 = Y4 + Y4 1.Ưu nhược điểm phương pháp nội suy: * Nội suy lagrange + Ưu : đơn giản + Nếu thêm nút nội suy phải tính tồn *Nội suy Newton +Ưu : tăng số nút nội suy ta ko cần tính lại mà cần bổ sung thêm + Nhược: số điểm góc lớn, mặc khác có nhiều tượng vật lý gây sai số lớn *Phương pháp nội suy spline + Ưu: đáp ứng số thực tế phù hợp với tượng vật lý quan sát không phức tạp thuật tốn + Nhược: thực tế có tượng xác, việc tìm đường qua cặp điểm không phù hợp 2.Trương hợp cụ thể cách chọn phương pháp nội suy thích hợp: _ Nội suy Newton: đề cập đến đa thức nội suy biết mẫu quan sát rời rạc (xi;yi) cho cho lần bổ sung thêm số liệu mẫu kế thừa đa thức nội suy tính trước _ Nội suy Spline: đa thức nội suy có bậc lớn, có nhiều tượng vật lý khác phân bố * Sai số tuyệt đối sai số tương đối * Định nghĩa sai số tuyệt đối: Giá trị ước lượng Δa cho: | a-a0| ≤ Δa (1) gọi sai số tuyệt đối số gần a Sai số tuyệt đối nhỏ biết gọi sai số tuyệt đối giới hạn a Thông thường ước lượng sai số tuyệt đối giới hạn khó nhiều không cần thiết nên người ta cần ước lượng sai số tuyệt đối đủ nhỏ dùng từ đến chữ số có nghĩa (là số chữ số chữ số khác không từ trái sang phải) để biểu diễn sai số tuyệt đối số gần Thay cho biểu thức (1) người ta dùng biểu diễn sau để sai số tuyệt đối: a= a0 ± Δa *Đ ịnh nghĩa sai số tương đối: Sai số tương đối số gần a (được ký hiệu δa) tỷ số sai số tuyệt đối giá trị tuyệt đối nó: δa=Δa/∣a∣ Thường sai số tương đối biễu diễn dạng % với chữ số Dễ thấy: Δa = |a| δa nên cần biết hai loại sai số tính đ ợc loại * Sai số tính tốn sai số phương pháp Khi giải toán phức tạp ta phải thay tốn tốn đơn giản để tính tốn tay máy Phương pháp thay toán phức tạp phương pháp đơn giản tính gọi phương pháp gần Sai số phương pháp gần tạo gọi sai số phương pháp Mặc dầu tốn dạng đơn giản, tính tốn tay máy tính, q trình tính tốn ta thường xun phải làm tròn kết trung gian Sai số tạo tất lần quy tròn gọi sai số tính tốn Trong thực tế việc đánh giá loại sai số, sai số tính tốn nhiều tốn khó thực Để hiểu rõ chất sai số phương pháp sai số tính tốn ta xét ví dụ sau: Cơng thức dùng để tính giá trị ex Tuy nhiên tổng vơ hạn, nên thực tế ta tính tổng nghĩa dùng phương pháp gần Khi tính tổng Sn ta lại thường xuyên phải làm tròn, ta lại gặp sai số tính tốn Sn 1.Trình bày cách giải hệ phương trình phi tuyến theo ct lặp Newton Ý tưởng: -Thay ptpt f(x)=0 pttt với x -Yêu cầu biết nghiệm xấp xỉ ban đầu -Dựa khai triển taylor 2.Tại phương pháp lặp New gọi phương pháp phi tuyến Ý chủ đạo phương pháp Newton thay phương trình phi tuyến x phương trình gần đúng, tuyến tính x Trước hết ta nhắc lại định lý khai triển Taylo hàm sau: Định lý Cho hàm số f(x) xác định có đạo hàm đến cấp n+1 x0 lân cận x0 Giả sử h giá trị cho x0 + h thuộc lân cận Ta có cơng thức sau gọi khai triển Taylor bậc n f(x) x0: f(x0 +h) = f(x0) + h/1! f'(x0) + h/2! f''(x0) + + h^n/n f^(n)(x0) + h^(n+1)/(n+1)!f^(n+1)(c) Trong c∈ (x0,x0+h) Dựa vào khai triển Taylo, ta xác định hàm ϕ(x) tìm nghiệm f(x0)=0 phép lặp: xn+1 = ϕ(xn) Giả sử x nghiệm (4.1), xn nghiệm xấp xỉ bước lặp thứ n Ta đặt x=xn+Δxn Theo khai triển Taylo ta có f(x) = f(xn + Δxn) = f(xn) + Δxnf'(xn) + !2 n Δx f''(c) = Nếu Δxn đủ nhỏ ta có cơng thức gần đúng: f(xn) + Δxnf'(xn) ≈ f(x) = Từ Δxn ≈ -f(xn)/f’(xn) Vì Δxn = x – xn Do x ≈ xn -f(xn)/f’(xn) Và ta suy công thức lặp cho phép lặp Newton: xn+1 = xn -f(xn)/f’(xn) Về ý nghĩa hình học xn+1 giao điểm tiếp tuyến đường cong y = f(x) điểm (xn,f(xn)) với trục hồnh Do phương pháp gọi phương pháp tiếp tuyến Ưu nhược điểm pp lặp: Nhược: khả tốc độ hội tụ phương pháp Newton phụ thuộc nhiều vào giá trị ban đầu Giá trị gần nghiệm thực phương trình phương pháp hội tụ nhanh chóng Trong trường hợp xấu (khi vơ nghiệm, giá trị không nằm đoạn biến thiên hàm số) phương pháp khó hội tụ nhanh Trong trường hợp phương trình khơng có nghiệm, phương pháp phát Một điểm hạn chế yêu cầu tính tích phân hàm số, phương pháp khó khăn trường hợp việc tính đạo hàm trở nên phức tạp PP chia đôi: Ưu: đơn giản Nhược: tốc độ hội tụ chậm, khơng tận dụng tính chất hàm số f(x) Dù hàm số có dạng chia đôi, xét giá trị hàm điểm chia định chọn đoạn để chia tiếp Nếu khoảng [a,b] ban đầu lớn phải nhiều bước đạt độ xác cần thiết PP dây cung: Ưu: thuật toán đơn giản Nhược: có nhanh thuật tốn chia đơi hội tụ chậm, hội tụ tuyến tính PP Newton Nhờ việc sử dụng đạo hàm hàm số f(x) nên nói chung phương pháp Newton hội tụ nhanh phương pháp chia đôi phương pháp dây cung Nhược: Khả tốc độ hội tụ phương pháp Newton phụ thuộc nhiều vào giá trị ban đầu xo Giá trị xo gần nghiệm thực phương trình phương pháp hội tụ nhanh chóng Trong trường hợp xấu (khi f(x)=0 vơ nghiệm, giá trị x0 không nằm đoạn biến thiên hàm số) phương pháp khó hội tụ nhanh Trong trường hợp phương trình khơng có nghiệm, phương pháp khơng thể phát Một điểm hạn chế yêu cầu tính tích phân hàm số, phương pháp khó khăn trường hợp việc tính đạo hàm trở nên phức tạp PP lặp đơn Ưu: Phương pháp lặp đơn có tính chất tự điều chỉnh, nghĩa vài bước tính tốn trung gian ta mắc phải sai số dãy  n n 0, x   hội tụ đến * x , tất nhiên vài bước sai sai số mắc phải khơng vượt ngồi đoạn Một tính chất đặc biệt phép lặp đánh giá từ đầu số bước lặp mà ta cần phải làm để có độ xác theo u cầu Nhược: khơng có phương pháp để tìm phương trình tương đương Ma trận xác định dương: Ma trận [A] gọi xác định dương với vec tơ [x] ta có: [ X]^T [A ][X ]>0 Ma trận đối xứng xác định dương trị riêng có giá trị dương, VD: -1 1;-1 -2;1 -2 Ưu nhược điểm phương pháp giải hệ đại tuyến: _ Pp trực tiếp: -Pp khử Gass: +Ưu: thuật toán dễ hiểu, cách thức đơn giản +Nhược: số lượng vòng lặp nhiều, độ phức tạp toán cao Time chạy ctrinh kéo dài, ma trận lớn kq k xác -Pp LU: +Ưu: hạn chế đc time chạy pp Gass, time rút ngắn nửa, số vòng lặp giảm nửa +Nhược: mắc lỗi Gauss độ xác mt hệ số lớn Sử dụng thêm MT để lưu bước khai triển Gauss gây lãng phí thêm lượng ổ nhớ= vs MT chọn _Pp lặp: -LẶp đơn: + Ưu: tiết kiệm đc nhớ máy tính, đảm bảo time thực ctrinh số lần lặp time chạy giảm đáng kể so vs pp Độ xác cao pp trc,ngyên nhân thực ktra độ xác sau lần lặp +Nhược: K giải all pt có hội tụ ( áp dụng cho MT đg chéo trội) Nếu hệ số hội tụ MT hội tụ MT Kq - Lặp Seidel +Ưu: Cải tiến so với pp lặp đơn, sử dụng nhớ máy, time tốc độ hội tụ nghiệm nhanh +Nhược: Còn nhược điểm pp lặp đơn độ hội tụ tốn chọn Chương Tính gần đạo hàm tích phân phạm vi cho phép), khơng chấp nhận Cho vài ví dụ ? Tại tích phân gần Gauss tốt tích phân gần Simpson Tp gần Simpson tốt Tp gần hình thang ? Tại tích phân số (gần đúng) Gauss xác điểm tích phân nhiều ? Chương Giaỉ gần phương trình hệ pt phi tuyến Phương trình (hoặc hệ phương trình) phi tuyến thơng thường có nhiều nghiệm;để giải (hoặc chúng nó), bước ta phải làm ? Trình bày cách giải hệ phương trình phi tuyến theo công thức lặp NewtonRaphson? Từ khai triển taylor cho tốn biến ta có Xn+1 = xi – f(xi)/f’(xi) f(xi+1)=0 FTổng qt cho tốn biến Định thức Jacobien detJ = det ui/xi ui/yi vi/xi vi/yi cách tổng quát cho phương trình: f(x) = với x= [x1, x2, xn] f [ f1, f2,…fn] phương pháp lặp Newton- Raphson cho hệ phương trình n ẩn là: x(n+1) = x(k) – Fx-1(xk).f(xk) f1/x1 …f1/xn với ma trận jacobien sau Fx = f2/x …f2/xn … … fn/x1 … fn/xn Tại phương pháp lặp Newton – Raphson gọi phương pháp tiếp tuyến ? Ta có pt nghiệm theo pp Newton- Raphson Xn+1 = xn – f (xn)/f’ (xn) Về mặt hình học, xn+1 giao điểm tiếp tuyến đồ thị hàm f(xn) điểm (xn , f(xn)) Do đó, pp newton raphson gọi phương pháp tiếp tuyến Ưu nhược điểm phương pháp lặp để giải phương trình phi tuyến ?  Pp dây cung + Ưu: thuật toán đơn giản + Nhược: có nhanh thuật tốn chi đơi hội tụ chậm hội tụ tuyến tính  Pp chia đơi: + Ưu: Đơn giản + Nhược: - tốc độ hội tụ chậm, ko tận dụng tính chất hàm số f(x) - Dù hàm có dạng chia đơi, xét qua giá trị hảm điểm chia định chọn đoạn để chi tiếp Nếu khoảng [a,b] ban đầu lơn phải nhiểu bước đạt độ xác cần thiết  Pp Newton-Raphson + Ưu: sử dụng đạo hàm f(x) nên hội tụ nhanh pp chia đôi dây cung + Nhược: Việc kiểm tra điều kiện để áp dụng pp Newton phức tạp Chương Phương pháp số đại số tuyến tính Hãy cho ví dụ tốn thực tế kỹ thuật có ma trận thưa (dạng BAND hay dạng bất kỳ) ? Ma trận thưa ma trận hầu hết yếu tố không số lượng ko có giá trị nguyên tố chia cho tổng sản lượng yếu tố ( vd: m x n) Ma trận thưa thớt thường xuất khoa học kĩ thuật giải pt vi phân phần Vd 11 12 0 0 33 44 0 0 0 55 66 77 0 0 0 88 0 0 0 99 Ma trận thưa chứa yếu tố khác với số nguyên tố 74% mật độ 25% Hãy trình bày thuật tốn lưu trữ tiết kiệm nhớ máy tính giải ma trận thưa ? Hãy cho ví dụ cụ thể ma trận A xác định dương ? Ma trận đối xứng nxm gọi xác định dương với vecto khác 0, x thuộc R n dạng toàn phương xác định Q(x) = xT Ax nhận giá trị dương Hãy nêu ưu nhược điểm phương pháp giải hệ đại tuyến (trực tiếp lặp) ?  pp giải trực tiếp - pp khử Gauss  Ưu: thuật toán dễ hiểu, cách thức đơn giản  Nhược:+ số lương vòng lắp lớn, độ phức tạp tốn cao + Thời gian chạy chương trình kéo dài, ma trận lớn kết ko xác - Phân tích LU  Ưu: Hạn chế thời gian chạy pp Gaus: thời gian rút ngắn nửa, số vòng lặp giảm nửa  Nhược: + vấn mắc lỗi pp gauss độ xác ma trận hệ số lớn + sử dụng thêm ma trận để lưu bước khai triển Gauss gây lỗng phí thêm lượng nhớ với ma trận cho  Pp lặp  Pp lặp đơn:  Ưu: + tiết kiệm nhớ máy tính, đảm bảo thời gian thực chương trình, số lần lặp thời gian chạy giảm đáng kể so với pp + Độ xác cao pp trk, nguyên thực kiểm tra độ xác sau lần lặp  Nhược: + tất pp có nghiệm hội tụ ( áp dụng cho ma trận đường chéo trội ) + Nếu hệ số hội tụ lớn ma trận lâu hội tụ ma trận kết  Pp seisel + ưu: cải tiến sơ với pp lặp đơn: sử dụng nhớ máy, thời gian tốc độ hội tụ nghiệm nhanh + Nhược: nhược điểm pp lặp đơn độ hội tụ toán cho Việc ghép ma trận độ cứng k véctơ lực f phần tử để tạo ma trận độ cứng K véctơ lực nút F chung cho hệ, từ thiết lập hệ phương trình PTHH vấn đề quan trọng Ta cộng số hạng ma trận độ cứng phần tử vào vị trí tương ứng ma trận độ cứng chung cộng số hạng véctơ lực vào véctơ lực chung Cách dễ để ghép phần tử gán số cho dòng cột ma trận độ cứng phần tử với bậc tự phần tử ấy, sau làm việc qua số hạng ma trận phần tử; tức cộng số hạng vào ma trận chung mà dòng, cột gán số Dưới ta xét hai ví dụ CÁC VÍ DỤ 1.1 Ví dụ Một kết cấu chia phần tử tam giác Hình 3.1 Mỗi phần tử có nút; nút có bậc tự (ví dụ nhiệt độ) 1 e Hình 3.1 Mơ tả q trình ghép nối ma trận độ cứng chung K với giả sử xét phần tử đầu tiên: 1, với ma trận độ cứng biết sau: ;; Lời giải Xây dựng bảng ghép nối phần tử (đường đến nút ngược chiều kim đồng hồ) Bậc tự Phần tử 3 2 5 Xét phần tử Với phần tử 1, dòng cột nhận dạng sau: Ma trận cộng vào ma trận độ cứng chung ta được: Ma trận độ cứng phần tử gán số bởi: Các số hạng ma trận k2 cộng thêm vào ma trận chung, cho ta Với phần tử 3: Các số hạng ma trận k3 cộng tiếp vào ma trận chung trên, cho ta Việc cộng véctơ lực phần tử vào véctơ lực chung tiến hành hoàn toàn tương tự 1.2 Ví dụ Giả sử có hai phần tử toán hai chiều; phần tử có nút, nút có bậc tự (Hình 3.2) Hãy mơ tả q trình ghép nối ma trận độ cứng chung K véctơ lực nút chung, theo ma trận độ cứng phần tử véctơ lực nút phần tử k1, k4, f1 f4 cho trước sau: ; ; 1 i 2 Hình 3.2 Các nút phần tử là: (1, 2, 5) Bậc tự tương ứng phần tử là: Các hàng cột ma trận độ cứng phần tử gán số ứng với bậc tự tương ứng số hạng ma trận cộng vào vị trí tương ứng ma trận độ cứng chung Tiến hành tương tự ma trận độ cứng phần tử Các nút phần tử là: (5, 2, 6) Bậc tự tương ứng phần tử là: Các số hạng ma trận cộng vào vị trí tương ứng ma trận độ cứng chung, ta nhận kết sau: Véctơ lực nút phần tử cộng vào véctơ lực nút chung theo cách tương tự: ;  ... hơn, thấp hơn: Tại pp Runghe – kutta bậc cho lời giải xấp xỉ xác thuật tốn khơng phức tạp Câu11 Hãy cho ví dụ tốn thực tế kỹ thuật có ma trận thưa (dạng BAND hay dạng bất kỳ) ? Ma trận thưa ma... khoảng [a,b] ban đầu lớn phải nhiều bước đạt độ xác cần thiết PP dây cung: Ưu: thuật toán đơn giản Nhược: có nhanh thuật tốn chia đơi hội tụ chậm, hội tụ tuyến tính PP Newton Nhờ việc sử dụng đạo... giải hệ đại tuyến: _ Pp trực tiếp: -Pp khử Gass: +Ưu: thuật toán dễ hiểu, cách thức đơn giản +Nhược: số lượng vòng lặp nhiều, độ phức tạp toán cao Time chạy ctrinh kéo dài, ma trận lớn kq k xác