http://www.toanthpt.net ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC Giả sử : y = ax3 + bx2 + cx + d với a ≠ có đồ thò (C) y’ = 3ax2 + 2bx + c, y” = 6ax + 2b −b (a ≠ ) 1) y” = ⇔ x = 3a −b x= hoành độ điểm uốn Đồ thò hàm bậc nhận điểm uốn làm tâm đối xứng 3a 2) i) ii) iii) Để vẽ đồ thò hàm số bậc 3, ta cần biết trường hợp sau : a > y’ = vô nghiệm ⇒ hàm số tăng R (luôn tăng) a < y’ = vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghòch biến) R (luôn giảm) a > y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm số đạt cực đại x1 đạt cực tiểu x2 Ngoài ta có : + x1 + x2 = 2x0 với x0 hoành độ điểm uốn + hàm số tăng (−∞, x1) + hàm số tăng (x2, +∞) + hàm số giảm (x1, x2) iv) a < y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm đạt cực tiểu x1 đạt cực đại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 hoành độ điểm uốn) Ta có : + hàm số giảm (−∞, x1) + hàm số giảm (x2, +∞) + hàm số tăng (x1, x2) 3) Giả sử y’ = có nghiệm phân biệt y = k(Ax + B)y’ + r x + q với k số khác 0; phương trình đường thẳng qua điểm cực trò y = r x + q 4) (C) cắt Ox điểm phân biệt y' = có nghiệm phân biệt x1 , x ⇔  y(x1 ).y(x ) < 5) i) Giả sử a > ta có : (C) cắt Ox điểm phân biệt > α y' = có nghiệm phân biệt thỏa α < x1 < x  ⇔ y(α) <  y(x1 ).y(x ) < ii) (C) cắt Ox điểm phân biệt < α y' = có nghiệm phân biệt thỏa x1 < x < α  ⇔ y(α ) >  y(x1 ).y(x ) < Tương tự a < 6) Tiếp tuyến : Gọi I điểm uốn Cho M ∈ (C) Nếu M ≡ I ta có tiếp tuyến qua M Nếu M khác I ta có tiếp tuyến qua M http://www.toanthpt.net Biện luận số tiếp tuyến qua điểm N không nằm (C) ta có nhiều trường hợp 7) (C) cắt Ox điểm phân biệt cách ⇔ y’ = có nghiệm phân biệt y(x0) = (x0 hoành độ điểm uốn) Biện luận số nghiệm phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = (1) (a ≠ 0) x = α laø nghiệm (1) Nếu x = α nghiệm (1), ta có ax3 + bx2 + cx + d = (x - α)(ax2 + b1x + c1) nghiệm (1) x = α với nghiệm phương trình ax2 + b1x + c1 = (2) Ta có trường hợp sau: i) (2) vô nghiệm (1) có nghiệm x = α ii) (2) có nghiệm kép x = α (1) có nghiệm x = α iii) (2) có nghiệm phân biệt ≠ α (1) có nghiệm phân biệt iv) (2) có nghiệm x = α nghiệm khác α (1) có nghiệm v) (2) có nghiệm kép ≠ α (1) có nghiệm BÀI TẬP ÔN VỀ HÀM BẬC Cho họ đường cong bậc ba (Cm) họ đường thẳng (Dk) có phương trình y = −x3 + mx2 − m y = kx + k + (I) PHAÀN I Trong phần cho m = Khảo sát vẽ đồ thò (C) hàm số 1) Gọi A B điểm cực đại cực tiểu (C) M điểm cung AB với M khác A , Bø Chứng minh (C) ta tìm hai điểm có tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến M với (C) 2) Gọi ∆ đường thẳng có phương trình y = Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E ∈ ∆ với (C) 3) Tìm E ∈ ∆ để qua E có ba tiếp tuyến với (C) có hai tiếp tuyến vuông góc với 4) Đònh p để (C) có tiếp tuyến có hệ số góc p, trường hợp chứng tỏ trung điểm hai tiếp điểm điểm cố đònh 5) Tìm M ∈ (C) để qua M có tiếp tuyến với (C) (II) PHẦN I I.Trong phần cho tham số m thay đổi 6) Tìm điểm cố đònh (Cm) Đònh m để hai tiếp tuyến hai điểm cố đònh vuông góc 7) Đònh m để (Cm) có điểm cực trò Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trò 8) Đònh m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt 9) Đònh m để : a) hàm số đồng biến (1, 2) b) hàm số nghòch biến (0, +∞) 10) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng 11) Tìm điều kiện k m để (Dk) cắt (Cm) điểm phân biệt Tìm k để (Dk) cắt (Cm) thành hai đoạn 12) Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) qua điểm (-1, 1) 13) Chứng minh tiếp tuyến với (Cm) tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn 8) BÀI GIẢI PHẦN I : m = Khảo sát vẽ đồ thò (độc giả tự làm) 1) Gọi n hoành độ M Vì hàm số đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = neân < n < 2; y' = – 3x2 + 6x ⇒ hệ số góc tiếp tuyến M k1 = – 3n2 + 6n ∈ (0, 3] (vì n ∈ (0, 2)) Đường thẳng vuông góc với tiếp http://www.toanthpt.net (với < k1 ≤ 3) Hoành độ tiếp k1 tuyến vuông góc với tiếp tuyến M nghiệm – 3x2 + 6x = − (= k2) k1 ⇔ 3x2 – 6x − = Phương trình có a.c < 0, ∀ k1 ∈ (0, 3] nên có k1 tuyến M có hệ số góc k2 = − nghiệm phân biệt, ∀ k1 ∈ (0, 3] Vậy (C) có điểm phân biệt mà tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến M 2) E (e, 1) ∈ ∆ Phương trình tiếp tuyến qua E có dạng y = h(x – e) + (D)  − x3 + 3n − = h(x − e) + (D) tiếp xúc (C) ⇔ hệ  có nghiệm − x + x = h  ⇒ Phương trình hoành độ tiếp điểm (D) (C) : – x3 + 3x2 – = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ (1) ⇔ – x + 3x – = x(– 3x + 6)(x – e) ⇔ (x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e) ⇔ x = hay x2 – x – = 3x2 – 3ex ⇔ x = hay 2x2 – (3e – 1)x + = (2) (2) coù ∆ = (3e – 1) – 16 = (3e – 5)(3e + 3) (2) coù nghieäm x = ⇔ – 2(3e – 1) + = ⇔ e = Ta coù ∆ > ⇔ e < – hay e > Biện luận : i) Nếu e < – hay < e < hay e > ⇒ (1) có nghiệm phân biệt ⇒ có tiếp tuyến ii) Nếu e = – hay e = hay e = ⇒ (1) có nghiệm ⇒ có tiếp tuyeán iii) Neáu – < e < ⇒ (1) có nghiệm ⇒ có tiếp tuyến Nhận xét : Từ đồ thò, ta có y = tiếp tuyến (2, 1) nên phương trình (1) chắn có nghiệm x = 2, ∀ e 3) Vì y = tiếp tuyến qua E (e, 1), ∀ e đường x = α không tiếp tuyến nên yêu cầu toán ⇔ (2) có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa : y'(x1).y'(x2) = – http://www.toanthpt.net 4) 5) i) ii)   e < −1∨ e >  ⇔  x1 , x nghiệm (2)  (−3x2 + 6x )(−3x + 6x ) = −1 1 2    e < − hay e >   3e − ⇔  x1 + x2 =  x x =   9x1.x (x1 − 2)(x − 2) = −1  e < −1 hay e > ⇔   [1 − (3e − 1) + 4] = −1 55  55  ⇔ e= Vaäy E  ,1 27  27  Tiếp điểm tiếp tuyến (với (C)) có hệ số góc p nghiệm : y' = p ⇔ 3x2 – 6x + p = (3) Ta coù ∆' = – 3p > ⇔ p < Vaäy p < có tiếp tuyến song song có hệ số góc p Gọi x3, x4 nghiệm (3) Gọi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) tiếp điểm Ta có : x3 + x − b = =1 2a y3 + y − (x33 + x34 ) + 3(x32 + x 24 ) − = = −1 2 Vậy điểm cố đònh (1, –1) (điểm uốn) trung điểm M3M4 Cách : Đối với hàm bậc (a ≠ 0) ta dễ dàng chứng minh : ∀ M ∈ (C), ta có : Nếu M khác điểm uốn, ta có tiếp tuyến qua M Nếu M điểm uốn, ta có tiếp tuyến qua M Cách : Gọi M(x0, y0) ∈ (C) Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng : y = k(x – x0) − x30 + 3x 20 − (D) Phương trình hoành độ tiếp điểm (D) vaø (C) laø : − x + x − = (−3 x + x)( x − x0 ) − x03 + x02 − (5) 3 2 ⇔ x − x − 3(x − x ) + (x − x )(−3x + 6x) = ⇔ ⇔ x − x = ∨ x2 + xx + x20 − 3x − 3x − 3x + 6x = x = x hay 2x − (3 + x )x − x 20 + 3x = http://www.toanthpt.net x = x hay (x − x )(2x + x − 3) = − x0 ⇔ x = x hay x = Do đó, có tieáp tuyeán qua M (x0, y0) ∈ (C) − x0 ⇔ x0 = ⇔ x0 = Suy ra, y0 = Vậy M(1, –1) (điểm uốn) Nhận xét : x0 hoành độ tiếp điểm nên pt (5) chắn có nghiệm kép x0 Phần II : Tham số m thay đổi y' = – 3x2 + 2mx 6) (Cm) qua (x, y), ∀m ⇔ y + x3 = m (x2 – 1) , ∀m x − = x = x = −1 ⇔ ⇔ hay    y = −1 y = y + x = Vậy (Cm) qua điểm cố đònh H(1, –1) K(–1, 1) Vì y' = – 3x2 + 2mx nên tiếp tuyến với (Cm) H K có hệ số góc : a1 = y'(1) = – + 2m vaø a2 = y'(–1) = –3 – 2m tiếp tuyến H K vuông góc ± 10 ⇔ a1.a2 = – ⇔ – 4m2 = – ⇔ m = 7) Hàm có cực trò ⇔ y' = có nghiệm phân biệt ⇔ 3x2 = 2mx có nghiệm phân biệt 2m ⇔ x = x = nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ Khi đó, ta có :  2  1 y =  m x − m  +  x − m  y'  9  3 phương trình đường thẳng qua cực trò : y = m x − m (với m ≠ 0) 8) Khi m ≠ 0, gọi x1, x2 nghiệm y' = 0, ta có : 2m x1.x2 = vaø x1 + x2 = 2   ⇒ y(x1).y(x2) =  m x1 − m  m x − m  9   = − m (x1 + x ) + m = − m + m 27 ⇔ http://www.toanthpt.net Với m ≠ 0, ta coù y(x1).y(x2) < ⇔ − m +1 < 27 27 3 ⇔ m> Vậy (Cm) cắt Ox điểm phân biệt y' = có nghiệm phân biệt x1, x ⇔  y(x1 ).y(x ) < ⇔ m2 > ⇔ m > Nhận xét : 3 3 phương trình y = có nghiệm âm nghiệm dương 3 phương trình y = có nghiệm dương nghiệm âm Khi m > a) Hàm đồng biến (1,2) ⇔ – 3x2 + 2mx ≥ 0, ∀x ∈ (1,2) Neáu m ≠ ta 2m có hoành độ điểm cực trò  2m  Nếu m < hàm đồng biến  ,0 Vậy loại trường hợp m <   Nếu m = ⇒ hàm nghòch biến (loại) i) Khi m < − ii) 9) i) ii)  2m  iii) Nếu m > hàm đồng biến 0,    2m  Do đó, ycbt ⇔ m > [1,2] ⊂ 0,   2m ⇔ ≥2 ⇔ m≥3 b) Từ câu a, ta loại trường hợp m > 2m   Khi m ≤ ta có hàm số nghòch biến  − ∞, hàm số   nghòch biến [0, +∞) Vậy để hàm nghòch biến [0, +∞) m ≤ Ghi : nên lập bảng biến thiên để thấy rõ ràng 10) y" = – 6x + 2m , y" = ⇔ x = m (Cm) cắt Ox điểm cách http://www.toanthpt.net y = có nghiệm phân biệt điểm uốn nằm trục hoành   3 3 m>  m >  ⇔ ⇔  m    m m2  y  = − + m −m=0  27     3  m > ±3 ⇔ ⇔m =  2  2m − =  27 11) Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) (Dk) – x3 + mx2 – m = kx + k + ⇔ m(x2 – 1) = k(x + 1) + + x3 ⇔ x + = ∨ m(x – 1) = k + – x + x2 ⇔ x = – hay x2 – (m + 1)x + k + m + = (11) a) Do đó, (Dk) cắt (Cm) điểm phân biệt ⇔ (11) có nghiệm phân biệt khác – 1 + m + + k + m + ≠ ⇔   (m + 1) − 4( k + m + 1) >  k ≠ −2m − m − 2m − ⇔ (*)   k < b) Vì (Dk) qua điểm K(–1,1) ∈ (Cm) nên ta có : (Dk) cắt (Cm) thành đoạn  m 2m  ⇒ (Dk) qua điểm uốn  ; − m  cuûa (Cm)  27  ⇔ 2m m  − m = k  + 1 + 27  3 2m − 27m − 27 ⇒ k= (**) 9(m + 3) Vậy ycbt ⇔ k thỏa (*) (**) 12) Phương trình tiếp tuyến với (Cm) qua (–1,1) có dạng : y = k(x + 1) + (Dk) Vaäy, phương trình hoành độ tiếp điểm (Dk) (Cm) laø : – x3 + mx2 – m = (– 3x2 + 2mx)(x + 1) + (12) 2 ⇔ m(x – 1) = (– 3x + 2mx)(x + 1) + + x ⇔ x + = ∨ m(x – 1) = – 3x2 + 2mx + – x + x2 ⇔ x = – hay 2x2 + (1 – m)x – m – = (13) ⇒ http://www.toanthpt.net m +1 y' (–1) = – 2m –  m + 1  m + 1  m + 1 y'   = −3  + 2m   = (m – 2m – 3)       Vậy phương trình tiếp tuyến qua (–1, 1) : y = – (2m + 3)(x + 1) + 1 y = (m2 – 2m – 3)(x + 1) + Nhận xét : Có tiếp tuyến tiếp điểm (–1, 1) nên phương trình (12) chắn có nghiệm kép x = – phương trình (13) chắn có nghiệm x = – 13) Các tiếp tuyến với (Cm) tiếp điểm hoành độ x có hệ số góc : h = – 3x2 + 2mx b m Ta có h đạt cực đại max x = − = (hoành độ điểm uốn) 2a Vậy tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn nhaát ⇔ x=–1 ∨ x=  m  m2 m2 Nhận xét : − 3x + 2mx = −3 x −  + ≤ 3 3  Ghi : Đối với hàm bậc y = ax3 + bx2 + cx + d, ta coù : i) Nếu a > tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc nhỏ ii) Nếu a < tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn ... = p ⇔ 3x2 – 6x + p = (3) Ta coù ∆' = – 3p > ⇔ p < Vậy p < có tiếp tuyến song song có hệ số góc p Gọi x3, x4 nghiệm (3) Gọi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) tiếp điểm Ta coù : x3 + x − b = =1 2a y3 + y... (x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e) ⇔ x = hay x2 – x – = 3x2 – 3ex ⇔ x = hay 2x2 – (3e – 1)x + = (2) (2) coù ∆ = (3e – 1) – 16 = (3e – 5)(3e + 3) (2) có nghiệm x = ⇔ – 2(3e – 1) + = ⇔ e = Ta...  − x3 + 3n − = h(x − e) + (D) tiếp xúc (C) ⇔ hệ  có nghiệm − x + x = h  ⇒ Phương trình hoành độ tiếp điểm (D) va (C) laø : – x3 + 3x2 – = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ (1) ⇔ – x + 3x – = x(– 3x +