www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Chương III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Lý thuyết H oc I 01 Bài NGUYÊN HÀM  f  x  dx  F  x   C Nguyên hàm   f  x  dx  '  f  x   f  x  dx  f  x   C -  k f  x  dx  k  f  x  dx  k     f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx - Bảng nguyên hàm   1   u dx  1  x dx  ln x  C x s/ x  u dx  ln u  C C up  e dx  e ax  a dx  ln a  C  cos xdx  sin x  C /g ro x  sin x c x dx  tan x  C ok dx   cot x  C bo om  sin xdx   cos x  C  cos a2 x x a2  x2  a  x dx  arcsin a   C dx ax  a  x  2a ln a  x  C x a 2 2  x  a dx  x  a  ln x  x  a  C  e dx  e u u C au  a dx  ln a  C  cos udx  sin u  C u  sin udx   cos u  C  cos u  sin  u dx  tan u  C dx   cot u  C  arcsin x C a a x dx x  a  x  a arctan a  C dx  x  k  ln x  x  k  C 2 w w w fa ce u 1 C  1 iL x 1 C  1 Ta   x dx  ie  kdx  kx  C  k  const  uO nT hi D Tính chất Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Các phương pháp tìm nguyên hàm a Phương pháp đổi biến số  f t  dt  F t   C  F u  x   C H oc Đặt t  u  x   dt  u '  x  dx Khi 01  f  x  dx  F  x   C  f u  x  u '  x  dx  F u  x   C Nếu Dạng 1: Đặt biến thường  x  f  x  xdx đặt t  x n 1    f  cot x  dx đặt t  cot x   f  ln x  dx đặt t  ln x x   f  e  e dx đặt t  e x n 1 f  sin x  cos xdx đặt t  sin x uO nT hi D  x dx đặt t  ie   f  f  tan x  dx đặt t  tan x x x Ta   iL   f  ax  b  dx đặt t  ax  b s/   f  cos x  sin xdx đặt t  cos x ro /g om c   a2  x2   x  a tant     2  x  a cot t  a x    a  x2 up Dạng 2: Đặt lượng giác: ce bo ok  a2  x2  x  a sin t      x  a cos t  2  a x w w fa a   x2  a2 x    sin t     x  a x  a   cos t w Cách đặt biến: Sau tìm nguyên hàm theo t ta thay ngược lại vào f  x  b Phương pháp nguyên hàm phần Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 x www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Cho hai hàm số u  u  x  v  v  x  liên tục có đạo hàm đoạn  a; b ta có  udv  uv   vdu 01 Cách làm: đặt theo quy tắc: “nhất loga – nhì đa – thức tam – lượng tứ mũ” dx H oc c Dạng nguyên hàm hữu tỉ - Nguyên hàm dạng:  ax  b  a ln ax  b  C - Nguyên hàm dạng:  ax - Nguyên hàm dạng: P  x  G  x  dx  Nếu Q  x  tích nghiệm đơn Q  x    x  x1  x  x2   x  xn  ta tách  Nếu Q  x  tích nghiệm đơn nghiệm bội giả sử Q  x    x  x1  x  x2  x  x3  ta n Ta  An  A2    dx x  x2 x  xn  iL uO nT hi D  A1 x  x1 dx  ln  C với    bx  c a  x1  x2  x  x2 ie P  x  G  x  dx    x  x s/ tách ro Nếu Q  x  tích nghiệm đơn một tam thức bậc hai vô nghiệm giả sử /g  up  A P  x Bn 1 Bn  A2 B1 B2 d x         dx n 1 n  G  x    x  x1 x  x2 x  x3  x  x 2  x  x3   x  x3    om  x  x1  x  x2   x2  px  q  ,   p  4q  ta tách P  x  A1  G  x  dx    x  x -  a  x  đặt x  a tant a x  a  đặt x  cos t ok bo 2 2  ax  Nguyên hàm dạng R  x,  đặt x  a cos 2t a  x   w w w - ce -  Nguyên hàm dạng R  x, Nguyên hàm dạng R  x,  x  a sin t Nguyên hàm dạng R x, a  x đặt   x  a cos t fa - c d Dạng nguyên hàm vô tỉ -  ax  b ax  b  Nguyên hàm dạng R  x, n  đặt t  n cx  d cx  d   Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01  A2 Bx  C   dx x  x2 x  px  q  www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 - Nguyên hàm dạng R   ax  b   x n  x  đặt t  ax  b e Dạng nguyên hàm lượng giác m, n chẵn dùng cơng thức hạ bậc  m lẻ đặt u  sin x , n lẻ đặt u  cos x H oc  f Một số dạng tích phân đặc biệt Cho hàm số f  x  liên tục hàm chẵn  a; a  ta có a  f  x  dx  2 f  x  dx uO nT hi D - a a - Cho hàm số f  x  liên tục hàm lẻ  a; a  ta có a  DB om P  x  Q  x x X bậc P  x   Q  x  Ta thực hiện phép chia đa thức Áp dụng phương c  Dạng /g Tích phân hữu tỉ ro d  DA dx  up II Sử dụng máy tính cầm tay Bấm máy tính sau: f  sin x  dx   f  cos x  dx Ta Cho hàm số f  x  liên tục 0;  ta có  2  s/ - iL  a f  x dx   a x  0 f  x  dx  ie Cho hàm số f  x  liên tục hàm chẵn   ;  ta có    f  x  dx  a - ok pháp r100 Ta giả sử Q  x    x  x1  x  x2  x  x3  (nhiều hay ít làm tương tự): ce bo P  x A B C     R  x  R  x  biểu thức dư phép chia Q  x  x  x1 x  x2 x  x3 fa   P  x d   A    dx   x  x2  x  x3   x  x1    P  x d   Tìm  B    dx   x  x1  x  x3   x  x2    P  x C  d    dx   x  x1  x  x2   x  x3  w w w Nguyên hàm dạng  sin n x.cos xmdx 01  m, n   - Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 P  x d  A B C  sử dụng cách tách 100      dx   x  x1  x  x2  x  x3  x  x1 x  x2 x  x3  x  100 aX  b d  X  x1  X  x2   dx  H oc Cách Bấm: A B ax  b  cần tách đưa dạng x  x1 x  x2  x  x1  x  x2  x X uO nT hi D r X  x1  A r X  x2  B Cách Bấm: aX  b  X  x1   X  x1  X  x2  ie r X  x1  0, 0000001  A s/ Ta d  ax  b    dx  x  x2  x  x1 up d  ax  b    dx  x  x1  x  x2 ro  A   Cách 3: Bấm  B    iL r X  x2  0, 0000001  B ok c x2  2x  x2  2x  A B C     x  x  14 x   x  1 x   x   x  x  x  bo X  2X  d  X  1 X   X    dx  ce Bấm: x2  x  thành phân thức tối giản x3  x  14 x  om VD Tách F  x   /g Cả ba cách tìm nguyên hàm cho dạng: A ln x  x1  B ln x  x2  C F  x  01  Dạng f  x   Tìm R  x   x X w w w fa r X  hệ số A  r X  hệ số B  7 Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 H oc 01 r X  hệ số C  dx x 1 3t dt 1 t 3t t 1 s/ Thực hiện phép chia máy tính: ie Đặt t  x   3t dt  dx   iL  1 Ta VD Tính uO nT hi D x2  2x     Vậy F  x   x  x  14 x  x  x  x  3t  3t t c om /g ro Nhập hình: r X  100 ta up Ta nhẩm lấy hệ số cao tử chia cho mẫu ta 300 hệ số tự 3 101 w fa ce bo Sửa hình: ok Ta để ý bậc tử chia bậc mẫu bậc nên ta tách w w Ta Vậy 3  101 t  3t 3t 3t  3t      3t  3ln  t  C t 1 1 t t 1 Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 2 VD Tính nguyên hàm Ta biến đổi:  2sin x dx x  cos x  2sin x.cos  2sin x  2sin x cos x  2sin x cos x dx   dx   dx 4 x  cos x 2sin x cos x  cos x tan x  cos x  2sin x.cos uO nT hi D  tan x tan x   tan x   cos x dx   d  tan x  tan x  cos x tan x  Ta thực hiện phép chia đa thức tử chia cho mẫu: Đặt X  tan x  X  2X 1 2X 1 iL ie X2  X Ta chia bậc cao tử cho mẫu ta 2X ro up s/ Ta Nhập hình: r X  100 /g Vì thương phép chia bậc 1, mà hạng tử chứa bậc X nên ta om 150  201 ce bo ok c Sửa hình: r X  100 1  804 X  fa Tách w w w Vậy ta thương 01  3 x   3ln  x   C H oc  3  x  1 1 1 X   tan x   4 2X 1 4 tan x  1 1  Suy   tan x    d  tan x   tan x  tan x  ln tan x   C 4 tan x   4 2 Ta thực hiện Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01  Tách phân thức ax  b a K   cx  d c cx  d a  K ax  Kc ln cx  d c H oc ax  b  cx  d dx    c  cx  d  dx  2x 1 2x 1 VD Tách F  x   uO nT hi D Khi đó: 01  aX  b a     cX  d  CALC X  10 K Nhập máy tính:   cX  d c  2x 1 K  1 2x 1 2x 1  2x 1   1  x  1 r x  10  K  Bấm   2x 1  ie 2x 1  1 2x 1 2x 1 iL Vậy F  x   x  x  1 x  1 thành phân thức tối giản x  x  1 x  1  A B C   x  x   x  12 om Ta có /g ro VD Phân tích hàm số F  x   up s/ Ta  Tách phân thức dạng:  A P  x Bn 1 Bn  A2 B1 B2 d x         dx n 1 n  G  x    x  x1 x  x2 x  x3  x  x 2  x  x x  x     3   ok x d  x  1  x  1    dx  bo Bấm: c Ta tìm A, C dễ tìm B x X fa ce Tìm A r X  ta A  w w w Để tìm C ta bấm x  x  1  x  1 r X  1, 00001 ta C   x  1 2 Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01  x  1  x  1  x  1 r X  1, 00001 ta đem chia cho x 1 xấp xỉ uO nT hi D B 1 x  x  1 x  1  1    x  1  x  1  x  12 1 vậy ie Vậy F  x   sau trừ 01 x H oc Để tìm B ta bấm: thành phân thức tối giản x 1 VD Tách F  x   up ro A Bx  C   x 1 x 1 x  x  1 d  x  1 dx  x 1 ok Tìm Bx  C ta có:  om Tìm hệ số A bấm /g c F  x  s/ Ta iL Bài phức tạp tìm B khơng r bình thường Các bạn ý theo dõi kỹ chỗ tìm B : r kết trừ cho phần ngun số Rồi đem chia cho mẫu phân thức ta cần tìm hệ số ce bo  x  x  1   Bx  C  x  1 1 Bx  C      x  x  1   Bx  C  x  1  x   x  1 x  x  x3   x  x  1 Đến để tìm B, C ta vào hệ w2 nhập hàm bên r x  i x 1 w w w fa  Bx  C  1 Vậy Bx  C  1 x 3 Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 1 x 1 Vậy F  x     x  3( x  1) x  x  01 III Ví dụ C F  x   x   C D F  x   x3  x  x  C x3  x  x  C Chọn B Ta có:  f  x dx    x  x  1 dx   x dx   2 xdx   1dx  A ln x  ln x  C B ln x   C x iL s/ ro /g C om 1 1 ln x   C c  ax  b dx  a ln ax  b  C ok  5x  dx  ln 5x   C bo Áp dụng: fa A ce VD Tìm nguyên hàm f  x     x  là:  3  x  C w w C   x   C w 5 Ta có:  u dx  D ln x   C x 5x  B  ln x   C ln x   C Ta có: C x  1 dx   dx   dx  ln x   C  x x x   f  x dx    x  x VD Nguyên hàm hàm số f  x   A Ta 1 C ln x  up Ta có: 1  x x2 ie VD Nguyên hàm hàm số f  x   B F  x   x3  x  x  C 3 x  2x  x  C uO nT hi D A F  x   H oc VD Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x  x  B 3  x  5 C D 4   x   C u 1 C  1 Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 D ln 5x   C www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 e e e e e B  x 1 d  x  1 A 1 x3  x dx  1  x  x   dx  1 x dx  1 x  dx  1 x dx  1 x  e 1     ln x  ln  x  1    ln  e2  1  ln  2  1 01 e H oc  a  b  c 1 B C D uO nT hi D A – VD Giả sử  e2 x  x3  5x2  x   dx   ax3  bx  cx  d  e2 x  C Khi a  b  c  d Ta iL ie Bấm sau: s/ tách 1009803  x3  x  x  x  ln x  1 dx  a ln  b b với a, b, c  Z , tối giản Tính S  a  b  c c c /g ro ln x  e VD Cho I   up Vậy a  b  c  d  Chọn C A S  C S  om B S  bo ok c Gán tích phân vào A D S  b b   a ln  A Ta w7 c c a   Ta thấy w w w fa ce  A  a ln  VD Cho I   x3 dx  ln a  b ln c, x  3x  b   a  2, b  1, c   a  b  c  Chọn B c  a, b, c   Tính S  a  2b  c Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 A B C D – H oc 01 Gán tích phân vào A Ta có A  ln a  b ln c  e A  a.c b uO nT hi D nên ta chọn hàm sau e Ax  a x cbx Ta nhân thêm x vào mũ ta nhận Vì a, b, c  kết đẹp ro up s/ Ta iL ie Vào w7 om   x    C Tính a  b B – C bo A – dx  a x   b ln 2x 1  ok VD Cho I   3  32.23  a  3, b  , c   S  a  2b  c  c Khi a c 2b  /g Ta dx  a  b ln  b ln  a  b  ln  ln   A 2x 1  fa  ce Ta gán cận cho nguyên hàm: w w w Với A  Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 D www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Đến đây, ta chọn phương trình a  b  ĐÁ giải hệ chọn tiếp một cặp cận nữa thay vào H oc 01 Ở xin phép dựa vào đáp án chọn đáp án cho hệ số a, b đẹp uO nT hi D Vậy a  1, b  4 Vậy a  b  3 Bài ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I Lý thuyết Tính diện tích hình phẳng b  f  x  dx s/ a Ta giới hạn y  f  x  , y  0, x  a, x  b iL ie Cho hàm số y  f  x  liên tục không âm đoạn  a; b Khi diện tịch hình thang cong b up Diện tích S hình phẳng  D  giới hạn y  f  x  , y  0, x  a, x  b S   f  x  dx a b /g ro Diện tích S hình phẳng  D  giới hạn y  f  x  , y  g  x  , x  a , x  b S   f  x   g  x  dx a om Tính f  x   g  x  có nghiệm x1 , x2 , x3 ,   a; b  Khi tốn khơng cho cận cận c hai nghiệm x1 xn ok Tính thể tích vật tròn xoay bo Thể tích tròn xoay tạo mặt phẳng tròn xoay giới hạn đường y  f  x  , y  0, x  a, x  b b ce quay quanh trục Ox V    f  x  dx a fa Thể tích tròn xoay tạo mặt phẳng tròn xoay giới hạn đường y  f  x  , y  g  x  , x  a, x  b w w w b quay quanh trục Ox V    f  x   g  x  dx a Tính quãng đường Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 b Cho phương trình vận tốc V  f  t  quãng đường nguyên hàm vận tốc S   f  t  dt a 01 Một số ứng dụng khác R R  h2 H oc  Tính diện tích chỏm cầu có bán kính R đường cao h : S  2 Rh Thể tích hình cầu hình tròn  C  : x  y  R quay quanh trục Ox : 4 R3 V     R  x  dx  2   R  x  dx  R R R 2 Thể tích hình elip  E  : uO nT hi D x2 y   quay quanh trục Oy a b iL Ví dụ Ta I ie b b   a2 y2  a2 y2  4 a 2b V     a   d y  2   a   dy  b  b  b  0 s/ VD Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y  x  y  3x D ro /g C B up A om x  x  3x     Diện tích cần tính x  x  x  dx  ok 37 12 bo A S  c VD Tính diện tích hình phẳng S giới hạn y  x  x y   x  x B S  x  x  x  x  x   x  Bấm  x  2 ce  2 x3  x  x dx  C S  D S  13 81 12 37 12 fa w w w VD Cho đồ thị y  f  x  hình vẽ sau Diện tích S hình phẳng (phần gạch chéo) xác định A S   f  x  dx 2 B S   2 f  x  dx   f  x  dx Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01  f  x  dx   f  x  dx 1 D S   f  x  dx   f  x  dx 1 2 2  uO nT hi D Diện tích có giá trị dương nên S    f  x  dx   f  x  dx  H oc 2 01 2 C S  f  x  dx   f  x  dx Chọn C VD Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y  x3  1, y  0, x  0, x  B Bấm x  dx  C D iL ie Ta A B S  37 14 C S  799 300 D S  ro A S  up s/ VD Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y  x  3x  y  x  Ta có S   x  x  3dx  Chọn A om /g Phương trình hồnh đợ giao điểm x  3x   x   x  1, x  73 bo A ok c VD Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x  y  x  B 12 C 73 ce PTHĐGĐ: x2   x   x  3  x2 1  x   fa Bấm w w w 3 73 Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 D 14 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 VD Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn parabol  P  , tiếp tuyến A 1; 1 A S  C S  D S  iL ie uO nT hi D H oc B S  01 đường thẳng x  Tính diện tích S Ta Phương trình parabol y  x (vì qua  0.0  , 1; 1 ,  1; 1 ) up s/ Phương trình tiếp tuyển  P  A y  2 x  2 Vậy diện tích giới hạn S    2 x  1    x  dx   2 x   x dx  ro /g 1 c om VD Cho hình phẳng giới hạn đường y  x ln x, y  0, x  e quay xung quanh trục Ox tạo  thành khối tròn xoay tích  be3   Tìm a, b a B a  26, b  D a  27; b  bo ĐK: x  C a  24, b  ok A a  27, b  ce Phương trình hồnh đợ giao điểm x ln x   x  e fa V    x ln xdx   5e3    27 suy a  27, b  w w w VD Thể tích khối tròn xoay thu quay hình phẳng giới hạn đường y   x , y  x, y  quanh trục Ox tính theo cơng thức sau đây? A V      x  dx    x dx B V      x  dx Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 1 D V    x dx      x  dx C V    xdx     xdx H oc Vậy ta có: V    x dx      x  dx uO nT hi D 01 x   x  x   Phương trình hồnh đợ giao điểm  x  ;   2 x   x  VD Gọi  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x đường thẳng x  trục hoành Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay  H  quanh trục Ox B V  C V   D V  ie  Ta iL A V  up s/ Ta bấm: ro VD Gọi H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x , trục Ox đường thẳng x   x2 ln 4 ln om  B .c A /g Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay hình H quanh Ox bo ok Ta có phương trình hồnh đợ giao điểm:  x Thể tích giới hạn: V       x2 0 ce C  ln D  ln x 0 x0  x2    dx  ln Chọn A  fa VD Gọi  H  hình phẳng giới hạn hai trục đồ thị, đường thẳng x  đồ thị hàm số w w w y   x3 Tính thể tích khối tròn xoay  H  sinh quay quanh trục Ox A  B 23  14 C  14 Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 D 2 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Bấm máy tính: Chọn B 01 VD Gọi  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x  2, y  x  2, x  Tính thể tích V B V  9 C V  9 Vì đồ thị y   x  nằm dưới Ox nên bị âm Ta lấy đối xứng lên Ox  2 1 55 Chọn D iL 2  x  dx     x   dx  Ta 1 55 ie  x  2 Phương trình hồnh đợ giao điểm: x   x      x  1 Ta có: V    D V  27 uO nT hi D A V  H oc vật thể tròn xoay quay hình phẳng H quanh trục hồnh 4000 lúc đầu  0,5t up s/ VD Mợt đám vi trùng ngày thứ t có số lượng N  t  Biết N '  t   ro đám vi trùng có 250000 Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng bao nhiêu? B 253.584 C 257.167 D 264.334 /g A 258.959 om Ta có số lượng vi trùng số lượng ban đầu cộng với số lượng tăng 10 ngày tính 10 4000 dt  0,5t ce bo ok c sau: 250000   Chọn D .fa VD Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện xã lũ 40 phút với lưu lượng nước thời w w w điểm t giây v  t   10t  500  m3 / s  Hỏi sau xã lũ hồ một lượng nước bao nhiêu? A 5.104  m3  B 4.106  m3  C 3.107  m3  Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 D 6.106  m3  www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 2400 Ta có lượng nước là:  10t  500  3.10  m  D 4,5 m C 2, 25 m B 45 m A 22,5 m H oc giây Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh xe dừng hẳn di chuyển m ? 01 VD Một ô tô chuyển động với vận tốc 15 m/s người lái đạp phanh Kể từ thời điểm đó, tơ chuyển đợng chậm dần với vận tốc v  t   5t  15  m / s  Trong t khoảng thời gian tính uO nT hi D Quãng đường nguyên hàm vận tốc Ta có, thời điểm xe dừng hẳn vận tốc 0, suy t  Vậy quãng đường   5t  15 dt  22,5 m B 3476000 VND  D 2159000 VND   ce bo ok c om /g ro up  C 2715000 VND s/ A 3322000 VND Ta iL ie VD Mợt mảnh vườn tốn học có dạng hình chữ nhật, chiều dài 16 m chiều rợng m Các nhà toán học dung hai đường parabol, parabol có đỉnh trung điểm một cạnh dài qua hai đầu mút cạnh dài đối diện Phần mảnh vườn nằm miền giới hạn hai parabol trồng hoa hồng Biết chi phí trồng hoa hồng 45.000 VND / m Hỏi nhà toán học tiền để trồng hoa mảnh vườn đó? fa  w w w Ta gán hệ trục tọa đợ cho mảnh vườn hình vẽ Ta cần phải xác định phương trình hai đường parabol sau tính diện tích mới tìm số tiền Cách viết phương trình parabol máy tính cầm tay: Ta sử dụng chương trình thống kê w3 máy tính: Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Để bắt đầu sử dụng ta ấn w3= H oc 01 Ta viết phương trình parabol úp trước Nhìn đồ thị ta thấy, parabol úp qua ba điểm  0;4  , 8;4  ,  8; 4  uO nT hi D Bấm máy tính w33 Ta thấy có hai cợt x nhập hồnh đợ ba điểm parabol qua y nhập tung độ tương ứng ba điểm cột x Ta nhập sau: Nhập xong ấn nút AC Lưu ý: Phương trình parabol ta thường y  Ax  Bx  C , máy tính ngược ie lại y  Cx  Bx  A Chúng ta hiểu theo máy tính s/ Ta iL Ấn q15 /g ro up để tìm hệ số C , B, A ok ce bo Chọn  B  c om Chọn  C  fa Chọn  A  w w w Vậy phương trình parabol úp y1  1 x 4 Phương trình parabol ngữa viết tương tự, nhiên hai đồ thị đối xứng qua Ox  y2  x  Đến ta áp dụng tốn tích phân tích diện tích giới hạn hai đồ thị Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Sau ta nhân với số tiền trồng hoa Vậy số tiền nhà toán học phải trả 2715000 VND Chọn C uO nT hi D H oc Ta tính diện tích nửa sau nhân ta diện tích phần giới hạn hai parabol 01 Tìm giao điểm hai parabol: 1 2 y1  y2  y1  y2   x   x2    x    x  4 8 ie VD Ơng B có mợt khu vườn giới hạn một đường parabol một đường thẳng Nếu đặt hệ trục tọa đợ Oxy hình vẽ iL parabol có phương trình y  x đường thẳng y  25 Ông B dự ro up s/ Ta định dung một mảnh vườn nhỏ chia từ vườn một đường thẳng qua O điểm M parabol để trồng hoa Hãy giúp ông B xác định điểm M cách tính đợ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ B OM  15 C OM  10 /g A OM  D OM  10 om Gọi H điểm có hồnh đợ a hình chiểu điểm M lên Ox Suy phương trình a  a3 a3   a   OM  10 bo Ta có  ax x3  ax  x dx       0 3  a ok c OM OM : y  tan x  ax Ta có OH ce VD Người ta dựng mợt lều vải  H  có dạng chóp lục giác cong hình vẽ Đáy mợt hình lục giác có cạnh 3m Chiều cao SO  6m SO vng góc đáy Các sợi dây c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 fa nằm đường hình parabol có trục đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến  H  Tính thể tích phần lều  H  w w w với một mặt phẳng  P  vng góc với đáy trung điểm SO lục giác có cạnh m Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 uO nT hi D H oc 01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 C B 96 m  D 135 m  ie 135 m  iL A s/ Ta 135 m  7 x  x  Rút x  y : x   y  Thể tích lều: 2 37 1 135 V    y   dy  2 4 w w w fa ce bo ok c om /g ro  c1 : y  up Ta xét một mặt phẳng qua SO c1 Ta thấy c1 qua ba điểm A  0;6  , B 1;3 , C 3;0  Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 VD Một chất điểm chuyển động với vận tốc v0  15 m / s tăng tốc với gia tốc a  t   t  4t m / s Tính quãng đường chất điểm khoảng thời gian giây kể từ B 68, 25 m D 69, 75 m t3 t3  2t  C mà v0  15  C   2t  15 3 Bấm uO nT hi D v  t    a  t  dt  C 67, 25 m H oc A 70, 25 m VD Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f  x  hình bên Đặt ie h  x   f  x   x Mệnh đề dưới iL đúng? Ta A h    h  2   h   s/ B h    h  2   h   up C h    h    h  2  /g ro D h    h  2   h   om Ta có h '  x    f '  x   x   h '  x    f '  x   x c Đường thẳng y  x qua ba điểm  2; 2  ;  2;2  ;  4;4  đồ thị ok Gọi S1 , S2 diện tích phần bên bên dưới bo đường thẳng y  x  h '  x  dx   h    h  2    h    h  2  ce S1   2 w w fa S2     h '  x  dx   h    h     h    h   w 01 lúc bắt đầu tăng tốc Mà S1  S2  h    h  2   h    h    h    h  2  Suy h    h    h  2  Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 01 VD Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển đợng, đồ thị có mợt phần đường parabol có đỉnh I  2;9  trục đối xứng song song với trục tung, H oc khoảng thời gian lại đồ thị mợt đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính quãng đường s mà vật di chuyển (kết làm tròn đến hàng phần trăm) uO nT hi D A s  23, 25  km  B s  21,58  km  C s  15,50  km  w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie D s  13,83  km  Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 5 x  5x  4 31 31  phương trình đường thẳng chuyển đợng y  4 Ta có v 1  31  5  Ta có quãng đường vật chuyển đợng tính theo   x  x   dx   dx  21,58  3 4  0 1 H oc 01 Phương trình parabol chuyển động y   2 1  2 lẻ dùng 1 , chẵn dùng   Ta VD 0!!  1; 1!!  1; 2!!  2; 3!!  1.3; 4!!  2.4; 5!!  1.3.5   cos 11 xdx  10!! 2.4.7.8.10 256   11!! 1.3.5.7.9.11 693  w w w fa ce bo ok c om /g 9!!  63  10!! 512 ro VD  sin10 xdx  s/ VD up iL n !! đọc n Walliss hiểu dựa vào n chẵn hay lẻ ie   n  1!!  n !! n n 0 cos xdx  0 sin xdx    n  1!!    n !!  uO nT hi D Đọc thêm: cơng thức Walliss BẠN ĐỌC ḾN CÓ FULL CÁC CHUYÊN ĐỀ CASIO 12 VUI LÒNG LIÊN HỆ QUA FB: https://www.facebook.com/profile.php?id=100009715450510 (NOT FREE) Hoàng Văn Bình www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ... thể đưa số ngồi tích phân: uO nT hi D a a /g a om II Sử dụng máy tính cầm tay a c Sử dụng chức y để tính tích phân ok III Ví dụ bo Tích phân dạng hàm VD Cho hàm số f  x  có đạo hàm 1; 4 thỏa...   x  x -  a  x  đặt x  a tant a x  a  đặt x  cos t ok bo 2 2  ax  Nguyên hàm dạng R  x,  đặt x  a cos 2t a  x   w w w - ce -  Nguyên hàm dạng R  x, Nguyên hàm dạng R ... VD Nguyên hàm hàm số f  x   A Ta 1 C ln x  up Ta có: 1  x x2 ie VD Nguyên hàm hàm số f  x   B F  x   x3  x  x  C 3 x  2x  x  C uO nT hi D A F  x   H oc VD Tìm nguyên hàm hàm