Đang tải... (xem toàn văn)
Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 4
Chủ đề CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VỀ TỒNG, TÍCH CỦA DÃY SỐ - PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Một số kiến thức cần nhớ a) Phương pháp làm trội, làm giảm Giả sử cần chứng minh A ≤ B , ta cần làm trội biểu thức A thành A ≤ M chứng minh M ≤ B Cũng làm giảm B thành M ≤ B chứng minh A ≤ M Phương pháp làm trội, làm giảm thường áp dụng cho bất đẳng thức tổng tích dãy số Khi dùng tính chất bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tính tổng hữu hạn tích hữu hạn + Ý tưởng chung cho bất đẳng thức dạng tổng dãy số là: ( ) ( ) ( ) ( ) thực làm trội A ( x ) ≤ B ( y ) − B ( y ) để thu A ( x ) + A ( x ) + A ( x ) + + A ( x ) ≤ B ( y ) − B ( y ) Sau ta cần chứng minh bất đẳng thức B ( y ) − B ( y ) ≤ M Giả sử ta cần chứng minh A x1 + A x2 + A x3 + + A xn ≤ M , ta i +1 i i n n n 1 + Ý tưởng chung cho bất đẳng thức dạng tích dãy số là: ( ) ( ) ( ) ( ) Giả sử ta cần chứng minh A x1 A x2 A x3 A xn ≤ M , ta thực ( B yi+1 ( ) làm trội A xi ≤ ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) để thu A x1 A x2 A x3 A xn ≤ B yi Sau ta cần chứng minh bất đẳng thức ( ) B( y ) B yn ( ) B( y ) B yn ≤ M + Một số tổng sai phân hay dùng 1 a 1 = − ; = − n n+1 n n+a n n+a n n+1 ( ) ( ) 2a 1 = − n n + a n + 2a n n+a n + a n + 2a ( )( ) ( ) ( )( ) 1 1 + + ×××+ = 1− 1.2 2.3 n n n+1 ( ) 1 k + + + = n + k − a n + ka n n+ a n + a n + 2a x n + ka 1 1 1 + + ×××+ = − 1.2.3 2.3.4 1.2.3 n n + n + n n+1 n+2 ( ) ( )( ) ( ( )( ) ) ( ( ) ( )( ) ) Chú ý: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word - Ta cần áp dụng làm trội, làm giảm cho bất đẳng thức cuối cần chứng minh phải đơn giản tốt - Thơng thường ta tìm quy luật viết số hạng dãy đưa cách viết tổng quát, từ ta làm trội cho số hạng tổng quát áp dụng cho số hạng cụ thể b) Phương pháp quy nạp toán học + Nội dung phương pháp quy nạp Một bất đẳng thức phụ thuộc vào số nguyên dương n xem thỏa mãn hai điều kiện sau: - Bất đẳng thức với giá trị n ( ) - Từ giả thiết bất đẳng thức với n = k k ∈ N suy bất đẳng thức với n = k + + Các bước chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp ( ) ( ) Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức A n ≥ B n với n ≥ n0, n ∈ N , ta tiến hành bước sau: - Bước 1: Kiểm tra bất đẳng thức với n = n0 ( - Bước 2: Giả sử bất đẳng thức với n = k k ≥ n0, k ∈ N ) - Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức với n = k + kết luận bất đẳng thức với n ≥ n0 Chú ý: - Thông thường chứng minh bất đẳng thức có phụ thuộc vào số nguyên dương n, ta nên ý sử dụng phương pháp quy nạp toán học - Trong phương pháp quy nạp tốn học bất đẳng thức có từ bước thứ hai giả thiết dùng để chứng minh bất đẳng thức bước thứ ba Do cần phải khai thác thật hiệu giả thiết quy nạp Một số ví dụ minh họa Ví dụ Với số tự nhiên n >1 Chứng minh rằng: 1 1 < + + + n+1 n+2 n+ n Phân tích lời giải Nhận thấy tổng có n số hạng, ta làm trội cách thay mẫu n + k với k = 1, 2, 3, ,n − n + n Tức ta có: 1 , với k = 1, 2, 3, ,n − > = n + k n + n 2n 1 1 n Khi ta được: + + + > + + = = n+1 n+2 2n 2n 2n 2n Vậy bất đẳng thức chứng minh http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Ví dụ Với số tự nhiên n ≥ Chứng minh rằng: 1< 1 1 + + + + = k = 1, 2, , n -1, n 2 3n + − k 3n + + k 3n + 3n + − k 3n + ( ( ) ( ) 2n 2n + + = 3n + 3n + 3n + P> Do ta được: + Chứng minh P < ) 3n + n+1 ( ) Để chứng minh bất đẳng thức này, cần có bổ đề sau: ( ) Bổ đề: Với < k < m − k, m ∈ Z , ta có: 1 1 + < + * m + k 2m − − k m 2m − Chứng minh: Từ giả thiết < k < m − k, m ∈ Z , ta thấy mẫu số dương ( ) ( ) 3m − > Quy đồng mẫu số hai vế ta có 3m − 3m − * ⇔ < ⇔ m 2m − < m + k 2m − − k m + k 2m − − k m 2m − ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ⇔ 2m2 − 2m < 2m2 − 2m − km + 2km − 2k − k2 ⇔ k2 < km − 2k ⇔ k < m − Bất đẳng thức cuối theo giả thiết, nên bổ đề chứng minh Viết lại biểu thức P áp dụng bổ đề ta có http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1 1 2P = + + + ÷+ ÷+ + ÷ 2n + 4n + 2n + 4n + 1 4n + 2n + 1 k k − , ta thu 1 1 < = − , cho k = 2, 3, , n ta ta k−1 k k k k−1 đánh giá có dạng ( ) 1 1 1 1 + + + < + − + − + + − Bây ta cần 2 n−1 n n 1 1 1 kiểm tra xem + − + − + + − < có khơng Dễ thấy bất đẳng 2 n−1 n bất đẳng thức 1+ thức đúng, ta trình bày lại lời giải sau: Ta có: 1 1 < = − , ∀k số nguyên dương k−1 k k k k−1 ( Cho k = 2, 3, , n ta có: ) 1 < 1− 2 1 < − 32 1 < − n2 n − n Cộng vế bất đẳng thức ta được: Suy 1+ 1 + + + k k − > nên Cho k = 2, 3, 4, , 2015 , ta có: 1 1 < = − k−1 k k k k−1 ( ) 1 < = − 22 1.2 1 1 < = − 32 2.3 1 1 < = − 2014.2015 2014 2015 2015 Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều, ta 1 1 2014 + + + < 1− = 2 2015 2015 2015 Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ Chứng minh với số nguyên dương n ta có: 1≤ 1 1 + + + + < 3 n Phân tích lời giải Dễ thấy n số nguyên dương nên ta có: 1 1 + + + + ≥ =1 12 22 32 n2 12 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ( 1) Bây ta chứng minh 1 1 + + + + < 3 n 1 < − Tức k−1 k k 1 1 1 ta thu bất đẳng thức + + + + < + − = − , nhiên n n n ta khẳng định − < Do bất đẳng thức n Thực ý tưởng làm trội ví dụ với đánh giá ta khơng thể làm trội theo đánh Tất nhiên với toán ta thực hiên ý tưởng làm trội với đánh giá tốt hơn, ta cần a2 a2 a2 1 = < = − ÷ Để ý ta viết lại đánh giá theo kiểu 2 k ak ak − b2 2b ak − b ak + b ( ) ( ) 1 nên với k = ta + + + < 3 n a2 = , thử vài trường hợp chọn giá trị a, b nguyên dương cho 2b 2a − b bất đẳng thức cần chứng minh ( < ta chọn a = 2, b = Tức ta = k 4k ) = − ÷ Vấn 4k2 − 2k − 2k + 1 đề ta cần kiểm tra xem đánh giá chọn có đủ tốt hay khơng: 1 2 2 2 2 + + + < − + − + + − < − < 5 2n − 2n + 2n + 3 n Như đánh giá ta chọn đánh giá đủ tốt nên ta cần trình bày lại lời giải cho tốn sau: Ta có, với k ≥ 1, ta có: 1 4 = < = − ÷ k2 4k2 4k2 − 2k − 2k + 1 Cho k = 2, 3, 4, …, n ta có: 4 2 2 = < = − = − 22 4.22 4.22 − 2.2 − 2.2 + 4 2 2 = < = − = − 2 4.3 4.3 − 2.3 − 2.3 + 4 2 2 = < = − = − n 4n 4n − 2n − 2n + 2n − 2n + Cộng vế với vế đánh giá ta được: 1 1 2 + + + + < + − < 1+ = 2n + 3 n ( 2) Từ (1) (2) bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên n, ta ln có: 1 1 + + + < n http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ( )( ) Phân tích: Để ý ta thấy với k ∈ N * ta ln có k > k − k = k k − k + , ta có đánh giá 1 < = , ta làm trội theo đánh giá k k −k k − k k + ( ) ( ) cách cho k = 2, 3, 4, …, n Lời giải Ta có: 1 1 < = = , ∀k ≥ k3 k3 − k k k2 − k − k k + ( ) ( ) ( ) Cho k = 2, 3, 4, …, n ta có: 1 < 1.2.3 1 < 2.3.4 1 < n n − n n + ( ) ( ) Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: 1 1 1 + + + < + + + 1.2.3 2.3.4 n n − n n + ( ) ( ) Mặt khác ta lại có 1 1 1 + + + < − + ×××+ − 2.3.4 3.4.5 n − n n + 1.2 2.3 n−1 n n 1 1 ÷= − = − 1.2 n n + ÷ 2n ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( 1 < n+1 ) Như bất đẳng thức chứng minh Nhận xét: Bài toán tổng quát với số ngun dương n ta ln có: 1 1 + + + < − 23 33 n3 2n n + ( ) Ta đặc biệt hóa cách - Chọn n số tự nhiên bất kì, chẳng hạn với n = 100 ta có tốn: Chứng minh rằng: ÷ ÷ n+1 1 1 + + + < − 23 33 1003 101.200 - Chọn giá trị n năm thi, chẳng hạn với n = 2015 ta có bất đẳng thức: 1 1 + + + < 3 2015 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ) 1 1 < + + ×××+ < 65 40 2014 Ví dụ Chứng minh rằng: Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức kép nên ta cần đánh giá kép 1 < < , ta làm trội làm giảm k k k+1 k+2 k−1 k k+1 ( )( ) ( ) ( ) theo đánh giá cách cho k = 5, 6, 7, …, 2014 Lời giải Ta có: 1 1 < = = k k − k k k −1 k−1 k k+1 ( ) ( ) ( ) 1 1 > = = k k + 3k + 2k k k2 + 3k + k k+1 k+2 ( ) Kết hợp hai bất đẳng thức ta được: ( )( ) 1 < < k k k+1 k+2 k−1 k k +1 ( )( ) ( ) ( ) Cho k = 5, 6, 7, …, 2014 ta có: 1 < < 5.6.7 4.5.6 1 < < 6.7.8 5.6.7 1 < < 2014.2015.2016 20143 2013.2014.2015 1 Đặt A = + + ×××+ , cộng theo vế bất đẳng thức ta được: 20143 1 1 1 + + ×××+ − ÷= 5.6.7 6.7.8 2014.2015.2016 5.6 2015.2016 30 390 65 1 1 + Chứng minh: + + ×××+ < 4.5.6 5.6.7 2013.2014.2015 40 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1 1 + + + + n+1 ( ) n A với điều kiện biểu thức A phải chứa k k + đồng ( ) thời phải phân tích thành tích, biểu thức A k k + + k + ( ) Bây ta cần chứng minh k + ( ) k + 1+ k k > k k + 1+ k + k k Để đơn giản ta đặt x = k; y = k + chứng minh x y + y x ≤ x x + y y , bất đẳng thức http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word chứng minh phép biến đổi tương đương Đến ta thu bất đẳng thức: + + 2+1 1 ( n + 1) < n + 1+ n n 1+1 + + ( n + 1) n + n n+1 Bây ta cần chứng minh : 1+ + 2+2 + + ( n + 1) 1 ≤ 1− n + n n+1 n+1 Rõ ràng kết tốn ví dụ Ta trình bày lời giải sau: Bổ đề: Với số thực dương x, y ta có: x y + y x ≤ x x + y y Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, ta được: x y+y x ≤ x x+y y ⇔ x x+y y−x y−y x ≥0 ⇔x ⇔ ( ( ) ( x− y +y x+ y )( ) ( y − x > 0⇔ x−y x− y ) ⇒ ) x− y ≥0 ≥0 Vậy bổ đề chứng minh Áp dụng bổ đề ta có: ( n + 1) )( ( ) ( ) n + 1+ n n > n n + 1+ n + n 1 < n + 1+ n n n n + 1+ n + n ( n + 1) Vì ta được: 2+1 + 3+2 + + ( n + 1) n +1+ n n 1 < + + + 1+ + n+1 ( ) n + n n+1 Mà theo kết ví dụ 1+ + 2+2 + + ( n + 1) n + n n+1 = 1− n+1 Vậy toán đươực chứng minh Nhận xét: Quan sát kĩ hai ví dụ 14 15 ta nhận thấy, để chứng minh bất đẳng thức ví dụ 15 ta cần chứng minh được: 2+1 + + ( n + 1) n + 1+ n n < 1+ ( ) Điều tương đương với chứng minh n + + + ( n + 1) n +n n +1 ( ) n + 1+ n n > n n + 1+ n + n Tuy nhiên tình khơng có ví dụ 14 bất đẳng thức ví dụ ( ) 15 thực khó, để tìm đánh giá n + ( ) n + 1+ n n > n n + 1+ n + n cần phải phân tích thật kĩ mối quan hệ số tốn Ví dụ 20 Chứng minh bất đẳng thức sau n∈ N : http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1+ 2 + + + 3 0, ta có x2 + y2 ) ( x2 + y2 ≥ 2xy x + y ) Chứng minh: sử dụng phương pháp biến đổi tương đương ta (x ( + y2 ) ( x2 + y2 ≥ 2xy x + y ) ) ( ( ⇔ x− y ( ⇔ x− y ) ) 2 ) x2 + y2 + xy 2 x2 + y2 − x + y ≥ x2 + y2 − x + y 2 x + y + xy ≥0 x2 + y2 + x + y ⇔ x2 + y2 − 2xy ( x2 + y2 + xy ) ( x−y ) ( ) ( ( x2 + y2 + x + y ) ) ≥0 Do x, y > nên bất đẳng thức cuối đúng, bổ đề chứng minh Áp dụng bổ đề với x = 1 k + ; y = k − , ta được: 2 1 1 1 1 1 k + + k − k + + k − > k + k − k + + k − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 2 2 2 2 1 1 1 ⇔ 2k k > k + ÷ k − ÷ k + + k − ÷ 2 2÷ Từ suy ra: k k = 1 1 k + ÷ k − ÷ k + + k − ÷ 2 2 2÷ < k− 2 − k+ , ∀k ≥ Cho k = 1, 2, , n cộng vế với vế ta được: 1+ 2 + 3 + + n n < 2 = − 2 − + 2 − n+ < + + 2 n− − n+ =2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 21 Cho n số nguyên dương Chứng minh rằng: 2 n n + < + + + + n < n + 3 ( ) n Lời giải Ta chứng minh: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 2 k k + 1− k − 3 ( k < k < k + 3 ) ( ) k − k k − 1 , ∀k ≥ Thật vậy, bất đẳng thức bên trái tương đương với ( ) 2k k + − k − ( ) ( ) k ) k k < k ⇔ 2k k + < 2k + ( ) ( *) ⇔ k k + < 2k + ⇔ 4k2 + 4k < 2k + ⇔ < Bất đẳng thức bên phải tương đương với ( ) k < k+1 ( ) ( k − 2k k − ⇔ 2k k − < 2k − ( ) ⇔ k k − < 2k − ⇔ 4k2 − 4k < 2k − ⇔ < Cả hai đánh giá cuối đề đúng, bất đẳng thức (*) chứng minh Bây ta áp dụng bất đẳng thức cho k = 1, 2, , n , ta được: ) ( − 2) < ( − 3) < 3 ( 2 n n + 1− n − 3 ( ) ) ( ( ( 2 1− 2 < 2−2 3 < 3− 3 n < n < n + n − n n − 1 3 2− < 1< ( ) ) ) Cộng bất đẳng thức lại vế theo vế, ta thu kết cần chứng minh Ví dụ 22 Chứng minh với số nguyên n ≥ 5, ta có: 2n > n2 Phân tích: Với bất đẳng thức dạng toán ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh Do ta thực theo trình tự bước quy nạp, vấn đề thực quy nạp ta sử dụng giả thiết quy nạp mà thơi Trong tốn ta có giả thiết quy nạp 2k > k2 cần phải chứng minh ( ) ( ) ( ) ( ) 2k+1 > k + Để ý k ≥ nên ta 2k2 = k + + k k − + 3k − > k + Do để hồn tất chứng minh ta cần 2k+1 > 2k2 , kết theo giả thiết quy nạp Đến ta trình bày lời giải sau: Lời giải + Với n = , bất đẳng thức trở thành: 25 > 52 ⇔ 32 > 25 (đúng) Suy bất đẳng thức với n = ( ) + Giả sử bất đẳng thức đến n = k k ∈ N, k ≥ , tức ta 2k > k2 ( ) + Ta cần chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, hay 2k+1 > k + ( 1) − 2k − = ( k + 1) + k ( k − 5) + 3k − > ( k + 1) k+1 k Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có: = 2.2 > 2k Vì k ≥ nên 2k2 = k2 + 2k + + k2 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ( ) Suy ta 2k2 > k + ( 2) Từ (1) (2) ta có bất đẳng thức với n = k + 1, nên theo nguyên lý quy nạp bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 23 Cho x ≥ −1 số thực cho trước Chứng minh với số nguyên ( 1+ x) dương n, ta ln có: n ≥ 1+ nx Phân tích: Ta sử dụng phưng pháp quy nạp để chứng minh toán Ở giả ( thiết quy nạp + x ) k ( ≥ + kx ta cần chứng minh + x ( thấy từ giả thiết quy nạp ta có + x ( )( ) ( ) ) k +1 ( = 1+ x ) k+1 ( ) ≥ + k + x Nhận ) ( 1+ x) ≥ ( 1+ x) ( 1+ kx) , ta cần k + x + kx ≥ + k + x , rõ ràng kết Do ta trình bày lại lời giải sau: Lời giải + Với n = 1, bất đẳng thức trở thành 1+ x ≥ 1+ x (đúng) Suy bất đẳng thức với n = ( ) ( ) ≥ + kx + Ta cần chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, hay ( + x) ≥ + ( k + 1) x + Giả sử bất đẳng thức đến n = k k ∈ N, k ≥ , tức ta + x k k+1 Thật vậy, x ≥ −1 ⇒ x + ≥ nên theo giả thiết quy nạp, ta có ( 1+ x) = ( 1+ x) ( 1+ x) ≥ ( 1+ x) ( 1+ kx) Mà ( + x) ( + kx) = + ( k + 1) x + kx ≥ + ( k + 1) x nên ( 1+ x) ≥ ( 1+ x) ( 1+ kx) ≥ 1+ ( k + 1) x k+1 k k+1 Hay bất đẳng thức với n = k + 1, nên theo nguyên lý quy nạp suy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 24 Chứng minh với số thực a, b thỏa mãn a + b ≥ 0, ta có: n an + bn a + b ≥ ÷ Phân tích: Ta chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp, nhiên k+1 ak+1 + bk+1 a + b để chứng minh ≥ ÷ , ta cần chứng minh bất đẳng thức ak + bk a + b ak+1 + bk+1 × ≤ 2 Lời giải + Với n = 1, bất đẳng thức hiển nhiên ( k ) ak + bk a + b + Giả sử bất đẳng thức đến n = k k ∈ N, k ≥ , tức ta có: ≥ ÷ k+1 ak+1 + bk+1 a + b + Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, hay ≥ ÷ http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Thật vậy, a + b ≥ 0, nên theo giả thiết quy nạp ta có: k+1 k a + b a + b a + b ak + bk a + b = ì ữ ữ ì 2 2 Bất đẳng thức với n = k + 1nếu ta chứng minh ak + bk a + b ak+1 + bk+1 × ≤ * 2 ( ) Mà (*) tương đương với ( a + b ) ( a + b) ≤ 2( a + b ) ⇔ a ⇔ ( a − b) ( a − b ) ≥ ( * * ) k k +1 k k k+1 k+1 + bk+1 − akb − bka ≥ k ( 1) Vì vai trị a, b nên ta giả sử a ≥ b , a − b ≥ k Mặt khác, từ a + b ≥ ⇒ a ≥ −b nên a ≥ b ≥ ⇒ ak ≥ b ≥ bk ⇒ ak − bk ≥ ( 2) Từ (1) (2) suy bất đẳng thức (**) Vậy theo nguyên lý quy nạp suy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 25 Chứng minh với số nguyên dương n ta có: 2n − × × ××× < 2n 3n + Phân tích: Bất đẳng thức chứng minh theo cách làm trội ví dụ 12 Tuy nhiên ta chứng minh phương pháp quy nạp Theo tốn ta có giả thiết quy nạp chứng minh ta cần 2k − 2k + × × ××× × < 2k 2k + 2k + × < 2k + 3k + 1 3k + 2k − × × ××× < 2k 3k + 3k + cần , để hồn thành tốn Đây bất đẳng thức chứng minh bẳng phép biến đổi tương đương Lời giải + Kí hiệu bất đẳng thức cho (*) , với n = 1, bất đẳng thức trở thành ≤ Bất đẳng thức với n = ( 3.1 + ⇔ 1 ≤ (đúng) 2 ) + Giả sử (*) đến n = k k ∈ N, k ≥ , tức ta 2k − × × ××× < 2k + Ta cần chứng minh (*) với n = k + 1, hay 2k − 2k + × × ××× × < 2k 2k + 3k + Theo giả thiết quy nạp, ta có 2k − 2k + × × ××× × < 2k 2k + Bất đẳng thức (*) với n = k + 1khi 2k + × 3k + 2k + http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 3k + 2k + × < 3k + 2k + ( 3k + ( ) ⇔ 2k + ( ) ( 3k + 4) < ( 2k + 2) ( 3k + 1) ⇔ k > ⇔ 2k + ) 3k + < 2k + 2 3k + (đúng) Do (*) với n = k + 1, nên theo nguyên lý quy nạp bất đẳng thức với số nguyên dương n Ví dụ 26 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có 1 1 + + + + >1 n+1 n+2 n+ n + 2n + Lời giải + Với n = bất đẳng thức có dạng: Nên bất đẳng thức với n = 1 1 13 + + > 1⇔ > 1(đúng) 1+ 1+ 1+ 12 ( ) + Giả sử bất đẳng thức đến n = k k ∈ N, k ≥ , tức 1 1 + + + + >1 k+1 k+2 k+ 3k + + Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, hay 1 1 Sk+1 = + + + + >1 k+2 k+3 k+4 3k + Sk = Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có Sk+1 = Sk + 1 1 + + − = Sk + 3k + 3k + 3k + k + k + 3k + 3k + ( )( )( ) Hay Sk+1 > Sk > Do bất đẳng thức với n = k + 1, nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức với số ngun dương n Ví dụ 27 Tìm tất số nguyên dương n thỏa mãn bất đẳng thức: 3n > 2n + 7n Lời giải n = , , , Thử trực tiếp với ta thấy n = bất đẳng thức Ta chứng minh giá trị cần tìm n n ≥ 4, n ∈ N Tức chứng minh bất đẳng thức sau với n ≥ 4, n ∈ N : 3n > 2n + 7n + Với n = bất đẳng thức trở thành có dạng 34 > 24 + 7.4 ⇔ 81 > 44 (đúng) Nên bất đẳng thức với n = ( ) + Giả sử bất đẳng thức đến n = k k ∈ N, k ≥ tức là: 3k > 2k + 7k ( ) k+1 k+1 + Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, hay > + k + ( ) k+1 k k Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có = 3.3 > + Nhưng với k ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) 2k + 7k = 2k+1 + 2k + 21k = 2k+1 + k + + 2k + 2k − > 2k+1 + k + Suy bất đẳng thức với n = k + 1, nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức Vậy tốn hồn thành http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Ví dụ 28 Cho n số thực dương x1, x2, , xn có tích Chứng minh rằng: x1 + x2 + + xn ≥ n Lời giải + Với n = 1, x1 = ≥ (đúng) nên bất đẳng thức với n = ( ) + Giả sử bất đẳng thức đến n = k k ∈ N, k ≥ , tức với x1, x2, , xk > thỏa mãn x1.x2 xk = x1 + x2 + + xk ≥ k + Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, nghĩa với x1, x2, , xk, xk+1 > thỏa mãn x1.x2 xk.xk+1 = x1 + x2 + + xk + xk+1 ≥ k + Do x1.x2 xk.xk+1 = vai trò biến số nên coi ( )( ) ( 1) xk ≤ ≤ xk+1 ⇒ − xk − xk+1 ≤ hay xk + xk+1 ≥ + xkxk+1 ' Đặt x'k = xkxk+1 x1, x2, , x k k số dương thỏa mãn x1.x2 x'k = 1, ( 2) ' theo giả thiết quy nạp ta có: x1 + x2 + + x k ≥ k ( ) ' Từ (1) (2), ta suy x1 + x2 + + xk + xk+1 ≥ x1 + x2 + + x k + ≥ k + ( ) x1 + x + + x k + x k +1 ≥ x1 + x + x 'k + ≥ k + Điều chứng tỏ bất đẳng thức với n = k + 1, theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức với số nguyên dương n ( ) Ví dụ 29 Chứng minh với số tự nhiên n ≥ ta có: nn > n + n−1 Lời giải ( ) + Với n = 2, bất đẳng thức có dạng: 22 > + Nên bất đẳng thức với n = ( 2−1 ⇔ > (đúng), ) ( ) +Giả sử bất đẳng thức đến n = k k ∈ N, k ≥ , tức k2 > k + ( ) + Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, hay k + ( ) > ( k + 1) ( k + 1) + 2k nên ( k + 1) ( k + 1) = ( k + 1) > ( k kk k + Sử dụng giả thiết quy nạp ta được: ( ) Vì k + = k2 + 2k + > k2 Do ta ( ) kk k + k+1 ( k+1 > k2 + 2k k+1 k−1 k−1 ) k ( ) ⇒ kk k + k+1 2k ) k ( ) > k+2 k k+1 k+1 ( k−1 ( ) > kk k + ⇒ k + k+1 + 2k ) k ( ) > k+2 k Vậy bất đẳng thức với n = k + nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức với số nguyên dương n ≥ Ví dụ 30 Chứng minh với n ≥ 1, n ∈ N , ta có 1 + + + < n+1 n+2 2n 10 Phân tích tìm lời giải http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Khác với toán trước, bạn gặp “một chút rắc rối” bước chuyển quy nạp, tức ta gặp trường hợp “giả sử bất đẳng thức với k không chứng minh cho k + 1”, bất đẳng thức cho n = k, tức ta có : 1 + + + < k+1 k+2 2k 10 Khi sử dụng giả thiết quy nạp cho n = k + 1, ta có : 1 1 1 Sk+1 = + + + = Sk + + − k+2 k+3 2k + 2k + 2k + k + 1 = Sk + < + k + 2k + 10 k + 2k + Sk = ( Nhưng )( ) ( )( ) 7 + > nên ta chẳng thu điều đây! 10 k + 2k + 10 ( )( ) Như vậy, ta nên làm để vượt qua chướng ngại này? Nếu để nguyên dạng ban đầu khó mà giải thành cơng tốn quy nạp, ta cần biến đổi bất đẳng thức cho chút, ta chọn m − , m > 0thích hợp cho bất đẳng thức sau 10 n biểu thức trung gian kiểu đúng: 1 m + + + < − n+1 n+2 2n 10 n Số m phải thỏa mãn hai điều kiện sau: + Bước chuyển quy nạp từ k sang k + thực + Bất đẳng thức với “giá trị đầu” n (lưu ý “giá trị đầu” khác với giá trị đầu bất đẳng thức cho đề ) Đây khởi điểm phép quy nạp ta Xét điều kiện ta có: Sk+1 = Sk + m < − + k + 2k + 10 n k + 2k + ( )( ) ( )( ) Do m phải thỏa mãn 1 m m 1 + k ⇔ 4m − k + 2m > k + 2k + k k+1 − ( ( )( )( ) ) ( ) ( ( ) )( ( ) ) Bất đẳng thức cuối với k 4m − ≥ ⇔ m ≥ Xét điều kiện thứ hai: + Với n = bất đẳng thức trở thành: 1 < − m ⇔ m < (không m ≥ ) 10 + Với n = bất đẳng thức trở thành: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1 m (khơng m ≥ ) + < − ⇔ m< + + 10 30 + Với n = bất đẳng thức trở thành: 1 1 m + + < − ⇔ m < (khơng m ≥ ) + + + 10 + Với n = bất đẳng thức trở thành: 1 1 m 11 + + + < − ⇔ m< + + + + 10 42 1 Như ta chọn m = điểm xuất phát 4 Bất đẳng thức với m ≥ quy nạp n = 4, ta đến lời giải cho toán sau Lời giải Kiểm tra trực tiếp ta thấy bất đẳng thức cho với n = 1, 2, Xét trường hợp n ≥ ta chứng minh bất đẳng thức mạnh 1 + + + < − n+1 n+2 2n 10 4n + Với n = bất đẳng thức trở thành 1 1 533 51 + + + < − ⇔ < ⇔ 1066 < 1071 (đúng) + + + + 10 4.4 840 80 Nên bất đẳng thức với n = ( ) + Giả sử bất đẳng thức với n = k k ∈ N, k ≥ , tức 1 + + + < − k+1 k+2 2k 10 4k + Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, hay 1 Sk+1 = + + + < − k+2 k+3 2k + 10 k + Sk = ( ) Sử dụng giả thiết quy nạp ta 1 1 1 + + + = Sk − + + k+2 k+3 2k + k + 2k + 2k + 1 = Sk + < − + k + 2k + 10 4k k + 2k + Sk+1 = ( )( ) ( )( ) Do cần chứng minh 1 1 + 2k ⇔ > k + 2k + k k+1 − ( ( )( )( ) ) ( ( ) ( )( ) ) Đánh giá cuối hiển nhiên Vậy bất đẳng thức với n = k + 1, nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức với n ≥ Bài tốn chứng minh xong Ví dụ 31: Chứng minh bất đẳng thức sau với n ∈ N http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1+ 1 79 + + + < 48 n Lời giải Kiểm tra trực tiếp, ta dễ thấy bất đẳng thức với n = 1, 2, 3, Xét trường hợp n ≥ 5, ta chứng minh bất đẳng thức mạnh 1+ 1 79 + + + < − , 48 2n + n ∀n ≥ 5,n ∈ N + Với n = bất đẳng thức trở thành 1 1 79 205 79 + 2+ 2+ < − ⇔ + < − ⇔ 99 < 100 (đúng) 48 2.5 + 144 25 48 11 Nên bất đẳng thức với n = + Giả sử bất đẳng thức với n = k k ≥ 5, k ∈ N , tức 1+ ( ) 1 79 + + < − 22 k2 48 2k + + Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, hay 1 79 + + + + < − 48 2k + k k+1 1+ ( ) Sử dụng giả thiết quy nạp ta 1+ 1 79 + + + < − + 2 48 2k + k + 2 k k+1 ( ) ( ) Do ta cần chứng minh 2 2 + < − ⇔ < − 2k + k + 2k + 2k + 2k + k+1 ⇔ < ⇔ 2k + 2k + < k + 2k + 2k + k+1 − ( ( ) ( ) )( ) ( ( )( ) ) ( ) ⇔ 4k + 8k + < 4k2 + 8k + ⇔ < Đánh giá cuối hiển nhiên Vậy bất đẳng thức với n = k + 1, nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức với n ≥ Vậy tốn chứng minh xong Ví dụ 32: Cho số thực dương a1; a2; ; an thỏa mãn điều kiện a1.a2 an = x Chứng minh rằng: a13 + a23 + a33 + + a3n ≤ x3 + n − Lời giải + Với n = ta có a13 = k3 đẳng thức ( ) + Giả sử bất đẳng thức với n = k k ∈ N * , tức ta có a13 + a23 + a33 + + a3k ≤ x3 + k − = a13.a23.a33 a3k + k − + Ta cần chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, tức http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a13 + a23 + a33 + + a3k+1 ≤ x3 + k = a13.a23.a33 ak3.ak3+1 + k Thật theo giả thiết quy nạp ta ( ) a13 + a23 + a33 + + a3k+1 ≤ a13.a23.a33 ak3 + ak3+1 + k − Ta cần chứng minh ( a a a ) + a ⇔ ( a a a ) + a 3 k k+1 k + k − ≤ a13.a23 ak3.ak3+1 + k k+1 ( ≤ + a1.a2 ak.ak+1 ) ( ⇔ ak+1 ) ( − 1 a1.a2.a3 ak ) − 1 ≥ Rõ ràng bất đẳng thức cuối Theo nguyên lí quy nạp ta suy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 33: Cho số thực a1; a2; ; an ≥ Chứng minh rằng: 1 n + + ×××+ ≥ + a1 + a2 + an + n a a a n Lời giải + Với n = bất đẳng thức trở thành 1 ≥ (đúng) + a1 + a1 ( ) + Giả sử bất đẳng thức với n = k k ∈ N * , tức 1 k + + ×××+ ≥ + a1 + a2 + ak + k a a a k + Ta cần chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, tức 1 1 k+1 + + ×××+ + ≥ + a1 + a2 + ak + ak+1 + k+1 a a a k+1 Theo giả thiết quy nạp ta 1 1 k + + ×××+ + ≥ + + a1 + a2 + ak + ak+1 + k a a a + ak+1 k Như ta cần chứng minh k + k a1.a2 ak + k+1 ≥ + ak+1 + k+1 a a a k+1 Rõ ràng bất đẳng thức cuối ln Theo ngun lí quy nạp ta suy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 33: Cho x số thực dương Chứng minh với n số ngun dương ta ln có: ( ) ≤ x + 1 xn xn+1 + xn + 2n+1 ÷ Lời giải + Với n = bất đẳng thức trở thành http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ( ) ≤ x + 1 x x2 + ( ) ( ) ( ) ÷ ⇔ x + − 8x x + ≥ ⇔ x − ≥ x+1 Như bất đẳng thức với n = + Giả sử bất đẳng thức với n = k k ∈ N * , tức ta có ( ( ) ) ≤ x + 1 xk xk+1 + 2k+1 ÷ + Ta cần chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, tức xk+1 xk+2 + x + 12k+3 ≤ ÷ xk+1 + xk + ( ) ( ) xk xk+1 + x + 12 x + 12k+ Theo gi thit quy np ta c ì ữ ữ xk + Ta cần chứng minh ( ) ≤ x (x xk+1 xk+2 + ) + x + 12 × ÷ xk+1 + xk + 2 ⇔ x + xk xk+1 + − xk + xk+1 xk+2 + ≥ k k+1 ( ) ( ) ( ⇔ ( x − 1) ( x − 1) ≥ k+1 ) ( ) Rõ ràng bất đẳng thức cuối ln Theo ngun lí quy nạp ta suy bất đẳng thức chứng minh http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ... theo vế bất đẳng thức ta được: 2 0 14 3 1 1 1 + + ×××+ k k − > nên Cho k = 2, 3, 4, , 2 015 , ta có: 1 1 < = − k? ?1 k k k k? ?1 ( ) 1 < = − 22 1. 2 1 1 < = − 32 2.3 1 1 < = − 2 0 14 .2 015 2 0 14