1 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TUYỂN TẬP CÔNG THỨC GIẢI NHANH TRẮC NGHIỆM TỐN Biên soạn: Đồn Trí Dũng - Điện thoại: 0902.920.389 iH oc 01 VẤN ĐỀ 1: CÁC CÔNG THỨC THỂ TÍCH TỨ DIỆN KHĨ: abc • Cơng thức 1: VS.ABC = − cos2 α − cos2 β − cos2 ϕ + cos α cos β cos ϕ • Cơng thức 2: VABCD = AB.CD.d (AB, CD) sin AB, CD 2S1 S2 sin α • Cơng thức 3: VSABC = (Cơng thức thể tích góc nhị diện) 3a √ a3 • Cơng thức 4: Thể tích tứ diện VABCD = 12 √ • Cơng thức 5: Thể tích tứ diện gần đều: VABCD = (a2 + b2 − c2 ) (b2 + c2 − a2 ) (a2 + c2 − b2 ) 12 iL ie uO nT hi Da VẤN ĐỀ 2: GÓC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG: up s/ Ta • Góc loại 1: (SA, (P )) = SAH (Góc cạnh bên mặt phẳng đáy) • Góc loại 2: (SB, (SIC)) = BSF (Góc cạnh bên mặt phẳng đứng chứa đường cao SI) • Góc loại 3: (SK, (SDE)) = KSG (Góc đường cao SK mặt bên (SDE)) ok c om /g ro VẤN ĐỀ 3: GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG: fa ce bo • Góc loại 1: ((SAB), (P )) = SCD (Góc mặt bên mặt phẳng đáy) • Góc loại 2: ((SAB), (SCD)) = KSJ (Góc hai mặt bên có hai cạnh song song AB CD) • Góc loại 3: ((SM N ), (SHN )) = OP M (Góc mặt bên mặt phẳng đứng chứa đường cao SH) w VẤN ĐỀ 4: CÁC VẤN ĐỀ VỀ MẶT CẦU: ww Mặt cầu loại 1: Các đỉnh A, B, D nhìn SC góc vng bán kính mặt cầu R = www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 SC 2 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 SA2 Các vấn đề cần ý RD : √ a + Nếu đáy tam giác vng RD = cạnh huyền đáy tam giác RD = √ a + Nếu đáy hình vng RD = + Nếu đáy hình chữ nhật RD = đường chéo √ + Nếu đáy tam giác cân có góc 1200 cạnh bên a cạnh đáy a RD = a abc + Nếu đáy tam giác thường áp dụng cơng thức Heron: RD = p (p − a) (p − b) (p − c) • Mặt cầu loại 3: Nếu O.ABC tam diện vng O R = (OA2 + OB + OC ) SA2 • Mặt cầu loại 4: Nếu chóp có cạnh bên thì: R = Trong O tâm đáy và: 2SO + Nếu đáy tam giác O trọng tâm, trực tâm + Nếu đáy tam giác vng O trung điểm cạnh huyền + Nếu đáy hình vng, hình O giao điểm hai đường chéo trung điểm đường AB • Mặt cầu loại 5: Nếu hai mặt vng góc với R2 = R12 + R22 − AB giao tuyến • Mặt cầu loại 6: Chóp S.ABC tổng qt có chiều cao SH tâm đáy O ta giải phương trình: để tìm x Với x tìm ta có R2 = x2 + R2 (SH − x)2 + OH = x2 + RD D 3V • Mặt cầu loại 7: Bán kính mặt cầu nội tiếp: r = Stp • Một số vấn đề khác mặt cầu: √ 2√ a + b2 + c2 + Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần đều: R = √ √ a a + Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều: R = mặt cầu nội tiếp tứ diện gần đều: r = 12 s/ Ta iL ie uO nT hi Da iH oc 01 + Mặt cầu loại 2: Nếu SA vng góc với đáy thì: R2 = RD fa ce bo ok c om /g ro up VẤN ĐỀ 5: NHỮNG ĐIỀU CẦN NHỚ VỀ ĐA DIỆN ĐỀU: ww w VẤN ĐỀ 6: CÁC VẤN ĐỀ VỀ MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 up s/ Ta iL ie uO nT hi Da VẤN ĐỀ 7: CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÌNH NĨN, KHỐI NĨN VÀ NĨN CỤT: iH oc 01 • Hình 1: + Thiết diện vng góc trục đường tròn bán kính R + Thiết diện chứa trục hình chữ nhật ABCD AB = 2R AD = h Nếu thiết diện qua trục hình vng h = 2R + Thiết diện song song với trục không chứa trục hình chữ nhật BGHC có khoảng cách tới trục là: d(OO , (BGHC)) = OM • Hình 2: + Nếu AB, CD hai đường kính hai đáy hình trụ thì: VABCD = AB.CD.OO sin (AB, CD) + Đặc biệt AB CD vng góc thì: VABCD = AB.CD.OO • Hình 3: (AB, OO ) = A AB • Hình 4: d(AB, OO ) = O M • Hình 5: Nếu ABCD hình vng nội tiếp hình trụ √ đường chéo hình vng đường chéo hình trụ Nghĩa là: Đường chéo hình vng = 4R2 + h2 ce bo ok c om /g ro • Hình 1: + Các cơng thức nón cụt: V = πh R2 + Rr + r2 , Sxq = πl (R + r) , Stp = π R2 + r2 + l (R + r) + Thiết diện vuông góc trục cách đỉnh khoảng x cắt hình nón theo đường tròn có bán kính r r x + Nếu h chiều cao hình nón ban đầu ta có tỉ số: = R h + Thiết diện chứa trục tam giác cân √ + Nếu tam giác vng cân h = R Nếu tam giác tam giác h = R • Hình 2: + Thiết diện qua đỉnh mà không chứa trục cắt hình nón theo tam giác cân SAB: + (SO, (SAB)) = OSM , ((SAB), (ABC)) = SM O + Nếu M trung điểm AB AB⊥ (SM O) ww w fa VẤN ĐỀ 8: CÁC VẬT THỂ TRỊN XOAY TRONG KHƠNG GIAN: h • Các cơng thức chỏm cầu: Sxq = 2πRh V = πh2 R − (Áp dụng cho chỏm cầu to) • Các vật thể sinh từ khối trụ: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 R3 tan α uO nT hi Da iH π + Hình nêm loại 1: V = R3 tan α Hình nêm loại 2: V = − 3 • Các cơng thức liên quan đến parabol bậc hai elip: 01 h1 + h2 oc + Khối trụ cụt: Sxq = πR (h1 + h2 ) ; V = πR2 iL Selip = πab bo ok c om /g ro up s/ Ta x a + Sparabol = Vparabol = πR2 h h R π2 • Thể tích phao: V = (R + r)(R − r)2 ie S = Rh; = S ww w fa ce VẤN ĐỀ 9: CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA OXYZ: • Xác định điểm thơng qua hệ thức vector:   (xA − xM ) − (xB − xM ) = −−→ −−→ → − (yA − yM ) − (yB − yM ) = + Lý thuyết bản: 2M A − 3M B = thì:  (zA − zM ) − (zB − zM ) = 2A − 3B + Tuy nhiên để tìm tọa độ M đơn giản hơn, ta bấm máy: bấm CALC nhập xA , xB 2−3 ta xM Tương tự nhập yA , yB ta yM nhập zA , zB ta zM • Xác định tọa độ điểm đặc biệt tam giác: −−→−−→ −−→−→ HABC = 0; HB AC = + Tọa độ trực tâm H nghiệm hệ: −−→ −→ −−→ AB, AC AH = −−→ −−→ → − + Cho BC = a, AC = b, AB = c ta có: Chân đường phân giác D góc A: bDB + cDC = −−→ −−→ → − + Cho BC = a, AC = b, AB = c ta có: Chân đường phân giác ngồi E: bEB − cEC = − → −→ −→ → − + Cho BC = a, AC = b, AB = c ta có: Tâm nội tiếp: aIA + bIB + cIC = • Các ứng dụng tích có hướng: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 hi Da iH oc 01 → − − − + Ba vector đồng phẳng: → a, b → c = (Nếu = không đồng phẳng) −−→ −→ −−→ + Bốn điểm đồng phẳng: AB, AC AD = (Nếu = không đồng phẳng) −−→ −→ −−→ −→ −−→ AB, AC AD , diện tích tam giác: SABC = AB, AC + Thể tích: VABCD = −−→ −−→ −−→ + Thể tích hình hộp: VABCD.A B C D = AB, AD AA Chú ý: Nếu hình hộp chữ nhật biết diện √ tích ba mặt bên thể tích nó: V = S1 S2 S3 →, − → −−→ [− u u2 ] AB với A ∈ d1 , B ∈ d2 + Khoảng cách hai đường thẳng: d (d1 , d2 ) = →, − → |[− u u2 ]| −→ − →, − u d AM + Khoảng cách điểm tới đường thẳng: d (A, d) = (M ∈ d) →| |− u d • Mối quan hệ song song vng góc: → − → − − − − − + Mối quan hệ song song: P//P ⇒ → n = n , d//d ⇒ → u = u , P//d ⇒ → n ⊥→ u → − → − → − → − → − → − + Mối quan hệ vuông góc: P ⊥P ⇒ n ⊥ n , d⊥d ⇒ u ⊥ u , P ⊥d ⇒ n = u −−→ − − − Nếu d ⊂ P ⇒ → n ⊥→ u , A, B ⊂ P ⇒ → n ⊥AB → − − → → − − − − + Mối quan hệ vng góc cặp vector: → a⊥b, → a ⊥−c ⇒ → a = b ,→ c ww w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT • Tương giao mặt phẳng mặt cầu: + Cho mặt phẳng (P ) : ax + by + cz + d = mặt cầu (S) : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R2 +Trường hợp 1: (P ) tiếp xúc với (S) d (I; (P )) = R tiếp điểm hình chiếu vng góc tâm I mặt phẳng (P ) +Trường hợp 2: (P ) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn giao tuyến d (I; (P )) < R Khi tâm đường tròn hình chiếu vng góc tâm I mặt phẳng (P ) đồng thời bán kính r đường tròn thỏa mãn hệ thức: R2 = r2 + [d (I; (P ))]2 • Tương giao đường thẳng mặt cầu: + Đường thẳng d cắt mặt cầu điểm phân biệt A B d (I; (d)) < R + Chú ý 1: Hệ thức liên hệ R2 = AB + [d (I; (d))]2 √ + Chú ý 2: Nếu ∆ABI vng cân R = 2d (I; (d)) + Chú ý 3: Nếu ∆ABI R = √ d (I; (d)) • Cách xác định hình chiếu vng góc A (P): axA + byA + czA + d + Bước 1: Xác định giá trị t = − a2 + b2 + c2 + Bước 2: Tọa độ hình chiếu H là: H (at + xA ; bt + yA ; ct + zA ) • Các dạng tốn phương trình mặt chắn: Giả sử mặt phẳng (P ) qua M cắt trục tọa độ A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) Khi đó: + Bài toán 1: Nếu M trọng tâm tam giác ABC thì: a = 3xM , b = 3yM , c = 3zM −−→ + Bài toán 2: Nếu M trực tâm tam giác ABC OM = − n→ P + Bài toán 3: Nếu VO.ABC M trọng tâm tam giác ABC 1 + Bài toán 4: Nếu + + M trực tâm tam giác ABC 2 OA OB OC a b c 1√ + Bài toán 5: Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC I , , Bán kính: R = a + b2 + c2 2 2 Chú ý tam diện vng: Tổng bình phương diện tích mặt bên bình phương diện tích mặt 2 2 lại: SOAB + SOBC + SOCA = SABC VẤN ĐỀ 10: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG OXYZ: →, [− →, − • Bài toán 1: Viết (P ) chứa d cho (d , (P )) lớn nhất: − n→ = [− u u u→]] P d d d → = [− − → − → • Bài tốn 2: Viết d nằm (P ) cho (d, d ) nhỏ nhất: − u n→ P , [nP , ud ]] d − → − → − → n→ • Bài tốn 3: Viết (P ) chứa d cho ((P ), (Q)) nhỏ nhất: − P = [ud , [ud , nQ ]] →= − − → −−→ • Bài tốn 4: Viết d nằm (P ) qua A cho d(M, d) nhỏ nhất: − u n→ P , nP , AM d − → − → −−→ với A d n→ • Bài toán 5: Viết (P ) chứa d cho d(M, (P )) lớn nhất: − P = ud , ud , AM www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 −−→ →= − u n→ • Bài toán 6: Viết d nằm (P ) qua A cho d(M, d) lớn nhất: − P , AM d xex dx = (x − 1)ex + C ln xdx = (x − 1) ln x + C ro • up s/ Ta iL VẤN ĐỀ 12: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍCH PHÂN: 1 ax + b dx = ln • +C (ax + b) (cx + d) ad − bc cx + d x 1 x √ dx = arctan + C • dx = arcsin + C 2 2 x +a a a a a −x u √ • dx = ln x + x2 ± a2 + C dx = ln |u| + C u x2 ± a2 ie uO nT hi Da iH oc 01 VẤN ĐỀ 11: CÁC DẠNG TOÁN SỐ PHỨC HAY VÀ KHĨ: • Nếu quỹ tích M (z) đường tròn tâm I(a, b) bán kính R đồng thời module số phức cần tìm max = IJ + R max JM thì: = |IJ − R| x2 y • Nếu |z − c| + |z + c| = 2a quỹ tích M (z) elip + = b2 = a2 − c2 a b   |f (z)| = f (z) f (z) • Nếu |z| = k thì: |z − a|2 = a2 + k − 2ax  |z + a|2 = a2 + k + 2ax • z số thực z = z z số ảo z = −z • Nếu az + bz + c = với a, b, c ∈ R có hai nghiệm phức thực z1 , z2 hai số phức liên hợp c nhau, đồng thời |z1 |2 = |z2 |2 = z1 z2 = a √ 3 2 • (1 + i) = 2i, (1 − i) = −2i, ± i = −1 2 in+1 − nin+1 − (n + 1)in + • Một số tổng đặc biệt: 1+i+i2 + +in = 1+2i+3i2 + +(n+1)in = i−1 (i − 1)2 −−→−−−→ • Một số đẳng thức đặc biệt: |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2(|z1 |2 + |z2 |2 ) zz + zz = 2OM OM z • Nếu số ảo ∆OM M tam giác vng O z a • Nếu f (x) hàm lẻ a /g f (x) dx = Nếu f (x) hàm chẵn f (x) dx = −a f (x) dx om −a a b b (pf (x) + qf (a + b − x))dx p+q a a a • Nếu tích phân phân thức có bậc tử lớn bậc mẫu phải chia đa thức x2 + A B C • Cách tách phân thức loại 1: = + + (x − 1) (x − 2) (x − 3) x−1 x−2 x−3 x2 + A B C • Cách tách phân thức loại 2: = + + x − x − (x − 1)2 (x − 1) (x − 2) • b f (x) dx + F (a) a f (a + b − x)dx = w fa ce bo f (x)dx = ok b c • Dạng tốn tìm số C: F (b) = •v= a (t) dt: Vận tốc nguyên hàm gia tốc theo thời gian ww b •s= v (t) dt: Quãng đường tích phân vận tốc hai thời điểm t = a t = b a b f (x) − g (x) dx • Thể tích tròn xoay quanh trục hồnh: V = π a b • Thể tích tròn xoay quanh trục tung V = 2π |xf (x)| dx a www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 b • Thể tích vật thể có thiết diện với diện tích S(x): V = S (x) dx a b + (f (x))2 dx • Độ dài đường cong: L = a b • Diện tích mặt cong vật thể tròn xoay quanh trục hồnh: S = 2π |f (x)| + (f (x))2 dx a bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi Da iH oc 01 VẤN ĐỀ 13: HÀM SỐ BẬC CÓ CỰC TRỊ: Cho hàm số bậc y = ax3 + bx2 + cx + d có cực trị A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) Khi ta có ý sau: • Điều kiện có cực trị: ∆ = b2 − 3ac > b2 − 3ac ≤ 0, a > b2 − 3ac ≤ 0, a < • Hàm số đồng biến R nghịch biến R a = b = 0, c > a = b = 0, c < a0 • Đồng biến đoạn có độ dài δ: nghịch biến đoạn có độ dài δ: |x2 − x1 | = δ |x2 − x1 | = δ • Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại cực tiểu hàm số bậc ba y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d y = mx + n mx + n dư thức phép chia f (x) cho f (x) b2 − 3ac bc x+d− • Phương trình đường thẳng qua hai cực trị: y = − 9a 9a b c • Định lý Viet với cực trị: x1 + x2 = − x1 x2 = 3a 3a b • Phương trình bậc có ba nghiệm lập thành cấp số cộng có nghiệm x = − , lập thành cấp số 3a d nhân nghiệm x = − a • Cách nhận diện đồ thị hàm số bậc 3: ww w fa ce + Để xác định dấu a ta ý đến hình dáng đồ thị hàm số Đồ thị lên +∞ bên phải a > Đồ thị xuống −∞ bên phải a < b + Để xác định dấu b ta ý vào vị trí điểm uốn hoành độ tương ứng x = − 3a c + Để xác định dấu c ta xét tích hai hồnh độ cực trị x1 x2 = Nếu hai cực trị có hồnh độ 3a dấu a, c dấu ngược lại hai cực trị có hồnh độ trái dấu a, c trái dấu + Để xác định dấu d ta xét vị trí tương giao đồ thị với trục tung Oy, tung độ giao điểm y = d để xét dấu VẤN ĐỀ 14: HÀM SỐ BẬC TRÙNG PHƯƠNG CÓ CỰC TRỊ: Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có ba cực trị • Điều kiện có ba cực trị: ab < (a, b trái dấu) • Ln có cực trị A(0, c) hai cực trị lại đối xứng qua trục tung • Trong trường hợp hàm trùng phương có dạng y = x4 − 2ax2 + b y = −x4 + 2ax2 + b với a > 0, tam giác tạo thành ba cực trị có tính chất hình vẽ đây: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 √ a ⇔ a = √ a + Tam giác ABC tan 300 = ⇔ a = 3 a √ a + Tam giác ABC có góc 120 tan 600 = ⇔ a = √ a √ √ + Tam giác ABC có diện tích S S = a2 a ⇔ a = S abc 2S + Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = , bán kính đường tròn nội tiếp: r = 4S a+b+c • Đồ thị hàm số cắt trục hồnh bốn điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng 9b2 = 100ac √ = a2 Ta iL ie uO nT hi Da iH oc + Tam giác ABC vng cân 01 tan 450 up s/ • Đồ thị hàm số cắt trục hoành tạo thành ba miền diện tích có diện tích phần diện tích phần 5b2 = 36ac ww w fa ce bo ok c om /g ro VẤN ĐỀ 15: HÀM SỐ PHÂN THỨC BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT: ax + b Cho hàm số phân thức hữu tỷ bậc bậc y = cx + d d d / D nghịch biến D ad − bc < 0, − ∈ / D • Hàm số đồng biến D ad − bc > 0, − ∈ c c • Tiếp tuyến với tiệm cận: + Tiếp tuyến M cắt tiệm cận A B M trung điểm AB + Khoảng cách từ M tới TCĐ: |cxM + d| |c| www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 |ad − bc| |c| |cxM + d| |ad − bc| + IA = IB = |cxM + d| với I giao tiệm cận |c| |cxM + d| |c| + Diện tích tam giác IAB khơng đổi: SIAB = |ad − bc| c Đặc biệt ý: Điểm M thỏa mãn yếu tố: Tổng khoảng cách đạt giá trị nhỏ nhất/Chu vi tam giác IAB nhỏ nhất/Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất/Khoảng cách từ I tới tiếp tuyến đạt giá trị lớn điểm M phải thỏa mãn tính chất: IA = IB ⇔ |y (xM )| = • Cách nhận diện đồ thị hàm phân thức bậc bậc nhất: Ta iL ie uO nT hi Da iH oc 01 + Khoảng cách từ M tới TCN: a Nếu tiệm cận ngang nằm Ox ac > nằm ac < c d + Tiệm cận đứng x = − Nếu tiệm cận đứng nằm bên trái Oy cd > bên phải cd < c b + Giao Oy: y = Nếu giao điểm nằm Ox bd > nằm bd < d b + Giao Ox: x = − Nếu giao điểm nằm bên trái Oy ab > bên phải ab < a /g ro up s/ + Tiệm cận ngang: y = ww w fa ce bo ok c om VẤN ĐỀ 16: ĐỒ THỊ HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ VÀ LOGARIT: • Loại 1: Đồ thị hàm số mũ: + Thứ tự: < b < a < < d < c (Mẹo: Giao đồ thị với đường thẳng x = để đánh giá nhanh nhất!) + Hàm số y = ax có tập xác định D = R, tập giá trị E = (0, +∞) + Đồ thị hàm số y = ax qua điểm I(0, 1) có tiệm cận ngang trục hồnh Ox • Loại 2: Đồ thị hàm số logarit: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 10 oc 01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 s/ Ta iL ie uO nT hi Da iH + Thứ tự: b > a > > d > c > (Mẹo: Giao đồ thị với đường thẳng y = để đánh giá nhanh nhất!) + Hàm số y = loga x có tập xác định D = (0, +∞) tập giá trị E = R + Đồ thị hàm số y = loga x ln qua điểm I(1, 0) có tiệm cận đứng trục tung Oy • Loại 3: Đồ thị hàm số lũy thừa: ro up + y = xα có tập xác định D = R α ∈ Z+ , D = R\ {0} α ∈ Z− D = (0, +∞) α ∈ / Z + Đồ thị hàm số y = xα qua điểm I(1, 1) /g VẤN ĐỀ 17: CÁC BÀI TỐN LÃI SUẤT CƠ BẢN CẦN BIẾT: • Bài toán 1: Đem số tiền a gửi ngân hàng thu số tiền P = a(1 + r%)n (1 + r%)n − r% • Bài tốn 3: Vay số tiền P hình thức trả góp hàng tháng trả ngân hàng khoản tiền a thì: (1 + r%)n − + Số tiền lại ngân hàng sau n tháng là: Q = P (1 + r%)n − a r% n (1 + r%) − + Khi hoàn thành trả góp ta giải phương trình: P (1 + r%)n = a r% bo ok c om • Bài toán 2: Đem số tiền a hàng tháng gửi ngân hàng thu số tiền P = a(1 + r%) ww w fa ce VẤN ĐỀ 18: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH: • ax2 + bx + c ≥ 0∀x ∈ R ⇔ ∆ ≤ 0, a > ax2 + bx + c ≤ 0∀x ∈ R ⇔ ∆ ≤ 0, a < • ax2 + bx + c ≥ 0∀x > ⇔ ∆ ≤ 0, a > a, b, c ≥ • ax2 + bx + c ≤ 0∀x > ⇔ ∆ ≤ 0, a < a, b, c ≤ • ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt dương ∆ > 0, S > 0, P > • ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt âm ∆ > 0, S < 0, P > • ax2 + bx + c = có hai nghiệm trái dấu P < • ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 < α ∆ > 0, (x1 − α)(x2 − α) > 0, x1 + x2 < α • ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt α < x1 < x2 ∆ > 0, (x1 − α)(x2 − α) > 0, x1 + x2 > α • ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt x1 < α < x2 ∆ > 0, (x1 − α)(x2 − α) < • m = f (x) có nghiệm m ∈ [min, max]; m ≥ f (x) có nghiệm m ≥ min;m ≤ f (x) có nghiệm m ≤ max • m ≥ f (x)∀x m ≥ max;m ≤ f (x)∀x m ≤ Biên soạn: Đồn Trí Dũng - Điện thoại: 0902.920.389 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ... Nếu tích phân phân thức có bậc tử lớn bậc mẫu phải chia đa thức x2 + A B C • Cách tách phân thức loại 1: = + + (x − 1) (x − 2) (x − 3) x−1 x−2 x−3 x2 + A B C • Cách tách phân thức loại 2: = +... ý tam diện vng: Tổng bình phương diện tích mặt bên bình phương diện tích mặt 2 2 lại: SOAB + SOBC + SOCA = SABC VẤN ĐỀ 10: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG OXYZ: →, [− →, − • Bài toán 1: Viết (P )... −−→ + Bài toán 2: Nếu M trực tâm tam giác ABC OM = − n→ P + Bài tốn 3: Nếu VO.ABC M trọng tâm tam giác ABC 1 + Bài toán 4: Nếu + + M trực tâm tam giác ABC 2 OA OB OC a b c 1√ + Bài toán 5: Tâm