Đang tải... (xem toàn văn)
Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ (LV thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN QUANG HUÂN VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN THỜI GIAN ĐẦU VÀO - ĐẦU RA CHO LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN QUANG HUÂN VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN THỜI GIAN ĐẦU VÀO - ĐẦU RA CHO LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Mai Viết Thuận THÁI NGUYÊN - 2017 Mục lục Danh mục ký hiệu vi Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Các định lí tồn nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 1.3 Công thức nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 1.4 Một số bổ đề bổ trợ 10 Tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ 11 2.1 Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ 11 2.2 Tính ổn định hóa hữu hạn thời gian đầu vào-đầu cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ 15 Tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến 20 3.1 Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến 20 3.2 Tính ổn định hóa hữu hạn thời gian đầu vào-đầu cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến 24 i 3.3 Tính ổn định hóa hữu hạn thời gian đầu vào-đầu cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng chắn phân thứ 27 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 ii Trong năm gần đây, giải tích phân thứ hệ phương trình vi phân phân thứ nhận nhiều quan tâm nghiên cứu nhà khoa học ứng dụng chúng nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật [7, 8, 11] Có nhiều loại đạo hàm phân thứ khác tùy thuộc n d vào cách người ta tổng quát đạo hàm dx n cho trường hợp n không nguyên Tuy nhiên, hai khái niệm dùng phổ biến đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville đạo hàm phân thứ Caputo Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville phát triển Abel, Riemann Liouville nửa đầu kỉ 19 Xét theo tiến trình lịch sử, khái niệm đạo hàm phân thứ xây dựng Tuy nhiên, áp dụng khái niệm để mô tả tượng thực tế gặp hạn chế điều kiện ban đầu tốn giá trị đầu khơng có nhiều ý nghĩa Vật lý Đạo hàm phân thứ Caputo Caputo xây dựng năm 1969 So với đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, đạo hàm Caputo dễ áp dụng cho tốn thực tế điều kiện ban đầu mơ hình sử dụng đạo hàm Caputo có ý nghĩa Vật lý Những năm gần đây, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học với nhiều toán khác nghiên cứu tính ổn định theo nghĩa Lyapunov hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo [9], nghiên cứu tính ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo [10], giải số hệ phương trình phân thứ Caputo [14] Trong ứng dụng thực tế, ta cần phải xem xét dáng điệu véc tơ trạng thái hệ thống mơ tả hệ phương trình vi phân thời gian hữu hạn, giá trị lớn véc tơ trạng thái khơng thể chấp nhận Để nghiên cứu tốn dạng này, năm 1953, Kamenkov đề xuất toán nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian (FTS) cho hệ động lực mô tả hệ phương trình vi phân Khác với tốn ổn định theo nghĩa Lyapunov, nghiên cứu dáng điệu véc tơ trạng thái hệ phương trình vi phân khoảng thời gian vô hạn, khái niệm ổn định hữu hạn thời gian nghiên cứu dáng điệu véc tơ trạng thái khoảng thời gian hữu hạn Cụ thể hơn, hệ phương trình vi phân gọi FTS ta đưa giới hạn cho iii điều kiện ban đầu, véc tơ trạng thái hệ không vượt khỏi ngưỡng giới hạn suốt khoảng thời gian cho [2] Tuy nhiên, bình luận số nhà khoa học [3, 13], đơi ta khơng biết thơng tin tồn véc tơ trạng thái mà biết thông tin vài thành phần thơng qua véc tơ quan sát đầu Trong trường hợp này, việc nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu (IO-FTS) hệ thống thật quan trọng Amato cộng [3] người đưa khái niệm IO-FTS người nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu cho hệ động lực mơ tả hệ phương trình vi phân tuyến tính Từ đó, có nhiều tác giả mở rộng kết [3] để nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu cho nhiều lớp hệ khác lớp hệ suy biến tuyến tính [16], lớp hệ chuyển mạch tuyến tính [12], lớp hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên [15] Chú ý kết [12, 16] nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu cho lớp hệ phương trình vi phân có cấp ngun (cấp một) Năm 2017, Ma cộng [13], lần nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu cho lớp hệ phương trình vi phân cấp phân số (hệ phương trình vi phân phân thứ) Trong luận văn này, tập trung nghiên cứu toán ổn định hữu hạn đầu vào-đầu cho số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo Trước tiên, chúng tơi trình bày cách chi tiết kết Ma cộng báo [13] để nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Caputo Sau đó, chúng tơi mở rộng kết để nghiên cứu tính ổn định hữu hạn đầu vào-đầu cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến Cụ thể, luận văn gồm chương với nội dung sau: Chương có tên “Một số kiến thức chuẩn bị” Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức giải tích phân thứ, định lý tồn nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo, cơng thức nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo Cuối chương số bổ đề hỗ trợ dùng để chứng minh kết chương iv sau luận văn Chương có tiêu đề “Tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào – đầu cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ” Nội dung Chương trình bày tiêu chuẩn ổn định, tính ổn định hóa hữu hạn thời gian đầu vào – đầu cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Nội dung chương tham khảo [13] danh mục tài liệu tham khảo Trong chương 3, nghiên cứu ổn định hữu hạn thời gian đầu vào – đầu cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính Đây nội dung nghiên cứu luận văn Cuối cùng, muốn gửi lời cảm ơn biết ơn chân thành tới tất người hỗ trợ, giúp đỡ chuyên mơn, vật chất tinh thần q trình thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS Mai Viết Thuận trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, người hướng dẫn, nhận xét giúp đỡ nhiều suốt trình thực luận văn Tơi xin cảm ơn thầy cô giáo trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên, người tham gia trực tiếp q trình giảng dạy lớp Cao học Tốn K9Y khóa 2015 - 2017, phòng ban chức năng, khoa Toán Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun giúp đỡ tơi q trình học tập trường Tôi xin gửi lời cám ơn đến tập thể lớp K9Y, gia đình bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, động viên suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017 Tác giả Nguyễn Quang Huân v Danh mục ký hiệu R, R+ Rn tập số thực, số thực không âm tương ứng không gian véc tơ Euclide thực n-chiều AT I ma trận chuyên vị ma trận A ma trận đơn vị λ(A) λmax (A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} A A≥0 chuẩn phổ ma trận A, A = λmax (AT A) ma trận A nửa xác định dương, tức Ax, x , ∀x ∈ Rn A≥B A>0 nghĩa A − B ≥ ma trận A xác định dương, tức Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = LM Is x Bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) chuẩn Euclide véc tơ x = (x1 , x2 , , xn )T ∈ Rn Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục [a, b], nhận giá trị Rn AC m [a, b] α t0 It không gian hàm liên tục tuyệt đối cấp m đoạn [a, b] tốn tử tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α RL α t0 Dt C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α Γ(x) toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số vi Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết luận văn cho chương sau Kiến thức sử dụng chương tham khảo [1, 4, 5, 7, 8] 1.1 1.1.1 Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thơng thường Định nghĩa 1.1 ([8]) Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho α t0 It x(t) := Γ(α) t (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 +∞ Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = tα−1 e−t dt, α > 0 Trong Định nghĩa 1.1 α = 0, quy ước t0 Itα := I với I toán tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lí sau Định lí 1.1 ([5]) Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân t0 Itα x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, t0 Itα x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 ([5]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có Γ(β + 1) (t − a)α+β , t > a Γ(α + β + 1) (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có α t0 It x(t) = +∞ α t0 It x(t) =λ −α j=0 1.1.2 (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > Đạo hàm phân thứ Mục trình bày cách ngắn gọn đạo hàm Riemann–Liouville đạo hàm Caputo Đây hai loại đạo hàm sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Định nghĩa 1.2 ([7]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho RL α t0 Dt x(t) dn := n dx n−α x(t) t0 It dn = Γ(n − α) dxn t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 n := α số nguyên nhỏ lớn α dn dxn đạo hàm thơng thường cấp n Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function) 1, t ≥ f (t) = 0, t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) RL α Dt f (t) = t−α Γ(1 − α) Chương Tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến Chương này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn ổn định hóa hữu hạn đầu vào-đầu cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến Đây kết nghiên cứu luận văn 3.1 Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian đầu vào-đầu cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến C α D x(t) = Ax(t) + f (x(t)) + Bω(t), t ≥ 0, t (3.1) x(0) = 0, y(t) = Cx(t), x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, y(t) ∈ Rq véc tơ đầu (output vector), A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈ Rq×n ma trận số cho trước Nhiễu đầu vào (disturbance input) ω(t) ∈ W∞ Nhiễu phi tuyến f : R+ −→ Rn , f (0) = 0, hàm liên tục Lipschitz, tức tồn số κ > cho với x, y ∈ Rn , ta có f (x) − f (y) ≤ κ x − y 20 (3.2) Trong (3.2), y = 0, ta có f (x) ≤ κ x , ∀x ∈ Rn (3.3) Chú ý điều kiện (3.3) suy điều kiện sau: f T (x)f (x) ≤ κ2 xT x, ∀x ∈ Rn (3.4) Định nghĩa 3.1 Cho trước số dương T > 0, ma trận đối xứng, xác định dương Q ∈ Rq×q Hệ (3.1) gọi ổn định hữu hạn đầu vàođầu tương ứng với (W∞ , Q, T ) ω(.) ∈ W∞ =⇒ y T (t)Qy(t) < 1, ∀t ∈ [0, T ] Định lí sau đưa điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn đầu vào-đầu cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ có nhiễu phi tuyến (3.1) Định lí 3.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Caputo (3.1) ổn định hữu hạn đầu vào-đầu tương ứng với (W∞ , Q, T ) với t ∈ [0, T ] tồn ma trận đối xứng xác định dương P ∈ Rn×n số dương cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn P A + AT P + κ2 I P T B P (3.5a) BT P −R < 0, P −I Tα C T QC < P Γ(α + 1) (3.5b) Chứng minh Xét hàm Lyapunov sau: V (x(t)) = xT (t)P x(t) Lấy đạo hàm đạo hàm phân thứ Caputo hàm V (x(t)) áp dụng Bổ đề 1.3, ta thu ước lượng sau: C α Dt V = (x(t)) C α Dt α xT (t)P x(t) ≤ 2xT (t)P C Dt x(t) = xT (t) P A + AT P x(t) + 2xT (t)P Bω(t) + 2xT (t)P f (x(t)) 21 (3.6) Áp dụng bất đẳng thức ma trận Cauchy (Bổ đề 1.1) sử dụng điều kiện (3.4), ta có đánh giá sau: 2xT (t)P Bω(t) ≤ xT (t)P BR−1 B T P x(t) + ω T (t)Rω(t), (3.7) 2xT (t)P f (x(t)) ≤ −1 T ≤ −1 T x (t)P P x(t) + f T (x(t))f (x(t)) x (t)P P x(t) + κ2 xT (t)x(t) −1 = xT (t) (3.8) P P + κ2 I x(t) Từ điều kiện (3.6), (3.7), (3.8), ta thu đánh giá sau: C α Dt V (x(t)) ≤ xT (t)Ψx(t) + ω T (t)Rω(t), (3.9) Ψ = P A + AT P + κ2 I + −1 P P + P BR−1 B T P Bằng cách sử dụng Bổ đề Schur (Bổ đề 1.2), ta có Ψ < tương đương với điều kiện (3.5a) Do đó, từ (3.9) (3.5a), ta có C α Dt V (x(t)) ≤ ω T (t)Rω(t) (3.10) Lấy tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α hai vế (3.10) từ tới t, t ∈ [0, T ], ta thu α C α It Dt V (x(t)) ≤ Itα ω T (t)Rω(t) (3.11) Theo Định lí 1.5, ta có: α C α It Dt V T (x(t)) = V (x(t)) − V (x(0)) = x (t)P x(t) − xT (0)P x(0) = xT (t)P x(t) Vì ω(t) ∈ W∞ nên ta thu đánh giá sau: xT (t)P x(t) ≤ Itα ω T (t)Rω(t) = Γ(α) ≤ Γ(α) t (t − s)α−1 ω T (s)Rω(s) ds t α−1 (t − s) 22 Tα ds ≤ Γ(α + 1) (3.12) Từ (3.5b) (3.12), ta có y T (t)Qy(t) = xT (t)C T QCx(t) < Γ(α + 1) T x (t)P x(t) < Tα Định lí chứng minh hồn tồn Tiếp theo, chúng tơi đưa ví dụ số minh họa cho Định lí 3.1 Ví dụ 3.1 Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến C 0.9 Dt x(t) = Ax(t) + f (x(t)) + Bω(t), t ≥ 0, (3.13) x(0) = 0, y(t) = Cx(t), x(t) ∈ R3 véc tơ trạng thái, y(t) ∈ R véc tơ đầu (output vector) Nhiễu đầu vào (disturbance input) ω(t) = e−t ∈ W∞ Nhiễu phi tuyến f (x(t)) = 0.5 sin x21 (t) 0.5 sin x23 (t) T ∈ R3 ma trận hệ số −5 A= 1 0.5 −3 , B = 0.6 , C = 0.1 0.3 0.2 −2 0.4 Dễ thấy nhiễu phi tuyến f (x(t)) thỏa mãn điều kiện (3.4) với hệ số κ = 0.5 Cho T = 10 R = Q = Ta thấy điều kiện Định lí 3.1 thỏa mãn với = 5.3810 1.8053 −0.0041 0.1286 P = −0.0041 1.7399 −0.3871 0.1286 −0.3871 3.0746 Do theo Định lí 3.1, hệ (3.13) ổn định hữu hạn đầu vào-đầu tương ứng với (W∞ , Q, 10) 23 3.2 Tính ổn định hóa hữu hạn thời gian đầu vàođầu cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến Xét hệ điều khiển phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến C α D x(t) = Ax(t) + f (x(t)) + Bω(t) + F u(t), t ≥ 0, t x(0) = 0, y(t) = Cx(t), (3.14) x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, y(t) ∈ Rq véc tơ đầu (output vector), u(t) ∈ Rl véc tơ điều khiển, A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈ Rq×n , F ∈ Rn×l ma trận số cho trước Nhiễu đầu vào (disturbance input) ω(t) ∈ W∞ Nhiễu phi tuyến f : R+ −→ Rn , f (0) = 0, hàm liên tục Lipschitz thỏa mãn điều kiện (3.4) Ta tìm điều khiển ngược u(t) = Kx(t), K ∈ Rl×n ma trận xác định để hệ đóng sau ổn định hữu hạn đầu vào-đầu tương ứng với (W∞ , Q, T ) với t ∈ [0, T ]: C α D x(t) = [A + F K]x(t) + f (x(t)) + Bω(t), t t ≥ 0, x(0) = 0, y(t) = Cx(t) (3.15) Định lí 3.2 Hệ đóng (3.15) ổn định hữu hạn đầu vào-đầu tương ứng với (W∞ , Q, T ) với t ∈ [0, T ] tồn ma trận đối xứng xác định dương P ∈ Rn×n , ma trận Y ∈ Rl×n số dương cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn AP + P AT + F Y + Y T F T + I B κP (3.16a) BT −R < 0, κP − 1I P CT − Γ(α+1) Tα P < CP −Q−1 (3.16b) Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ (3.14) xác định u(t) = Y P −1 x(t), 24 t ∈ [0, T ] Chứng minh Vì P ma trận đối xứng, xác định dương nên P −1 ma trận đối xứng, xác định dương Ta xét hàm Lyapunov sau V (x(t)) = xT (t)P −1 x(t) Lấy đạo hàm đạo hàm phân thứ Caputo hàm V (x(t)) áp dụng Bổ đề 1.3, ta thu ước lượng sau: C α Dt V = (x(t)) C α Dt α xT (t)P −1 x(t) ≤ 2xT (t)P −1 C Dt x(t) = xT (t) P −1 A + AT P −1 + P −1 F K + K T F T P −1 x(t) (3.17) + 2xT (t)P −1 Bω(t) + 2xT (t)P −1 f (x(t)) Áp dụng bất đẳng thức ma trận Cauchy (Bổ đề 1.1) sử dụng điều kiện (3.4), ta có đánh giá sau: 2xT (t)P −1 Bω(t) ≤ xT (t)P −1 BR−1 B T P −1 x(t) + ω T (t)Rω(t), 2xT (t)P −1 f (x(t)) ≤ 1x T (t)P −1 P −1 x(t) + T ≤ x (t) 1P −1 P −1 + −1 T f (x(t))f (x(t)) −1 κ I x(t) (3.18) (3.19) Từ điều kiện (3.17) tới (3.19), ta thu đánh giá sau: C α Dt V (x(t)) ≤ xT (t)Φx(t) + ω T (t)Rω(t), (3.20) Φ = P −1 A+AT P −1 +P −1 F K+K T F T P −1 +P −1 BR−1 B T P −1 + P −1 P −1 + Đặt K = Y P −1 nhân bên trái bên phải hai vế Φ với ma trận P, ta có điều kiện Φ < tương đương với điều kiện P ΦP = AP + P AT + F Y + Y T F T + BR−1 B T + 1I + −1 κ PP < Bây giờ, áp dụng Bổ đề Schur, ta có điều kiện P ΦP < tương đương với điều kiện 3.16a Do đó, từ (3.20) (3.16a), ta có C α Dt V (x(t)) ≤ ω T (t)Rω(t) (3.21) Áp dụng Bổ đề Schur, ta có điều kiện (3.16b) tương đương với điều kiện sau Γ(α + 1) (3.22) P C T QCP < P Tα 25 −1 κ I Nhân bên trái bên phải hai vế bất đẳng thức với P −1 > 0, ta Γ(α + 1) −1 (3.23) P Tα Lấy tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α hai vế (3.21) từ C T QC < tới t, t ∈ [0, T ], ta thu α C α It Dt V (x(t)) ≤ Itα ω T (t)Rω(t) (3.24) Theo Định lí 1.5, ta có α C α It Dt V T −1 = x (t)P (x(t)) = V (x(t)) − V (x(0)) x(t) − xT (0)P −1 x(0) = xT (t)P −1 x(t) Vì ω(t) ∈ W∞ nên ta thu đánh giá sau xT (t)P −1 x(t) ≤ Itα ω T (t)Rω(t) = Γ(α) ≤ Γ(α) t (t − s)α−1 ω T (s)Rω(s) ds t (t − s)α−1 ds ≤ (3.25) Tα Γ(α + 1) Từ (3.16b), (3.23) (3.25), ta có Γ(α + 1) T x (t)P −1 x(t) < 1, ∀t ∈ [0, T ] α T Định lí chứng minh trọn vẹn y T (t)Qy(t) = xT (t)C T QCx(t) < Chúng đưa ví dụ số sau để minh họa cho kết lý thuyết Định lí 3.2 Ví dụ 3.2 Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến C 0.95 x(t) Dt = Ax(t) + f (x(t)) + Bω(t), t ≥ 0, (3.26) x(0) = 0, y(t) = Cx(t), x(t) ∈ R3 véc tơ trạng thái, y(t) ∈ R véc tơ đầu (output vector), u(t) ∈ R véc tơ điều khiển Nhiễu đầu vào (disturbance input) 26 ω(t) = e−2t ∈ W∞ Nhiễu phi tuyến sin x21 (t) f (x(t)) = 0.5 0.5 sin x23 (t) T ∈ R3 ma trận hệ số A = 1 1 , B = 0.4 , C = 0.1 0.1 0.1 , F = 2 −3 0.5 Dễ thấy nhiễu phi tuyến f (x(t)) thỏa mãn điều kiện (3.4) với hệ số κ = 0.5 Cho T = R = Q = Ta thấy điều kiện Định lí 3.2 thỏa mãn với = 2.5445 4.7931 P = 6.0022 6.0022 −5.7690 10.7006 −4.0304 , −5.7690 −4.0304 11.0108 Y = −16.7651 −20.3051 9.1245 Do theo Định lí 3.2, hệ (3.26) ổn định hóa hữu hạn đầu vào-đầu tương ứng với (W∞ , Q, 10) Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ (3.26) u(t) = −37.1963 13.8474 −13.5912 x(t), 3.3 t ∈ [0, 5] Tính ổn định hóa hữu hạn thời gian đầu vàođầu cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng chắn phân thứ Xét hệ điều khiển phân thứ C α D x(t) = [A + ∆A(t)] x(t) + [G + ∆G(t)] u(t) + Bω(t), t x(0) = 0, y(t) = Cx(t), t ≥ 0, (3.27) x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, y(t) ∈ Rq véc tơ đầu (output vector), u(t) ∈ Rl véc tơ điều khiển, ∆A(t) = Ea Fa (t)Ha , ∆G(t) = Eg Fg (t)Hg , A, G, B, C, Ea , Ha , Eg , Hg ma trận số cho 27 trước có số chiều thích hợp Fa (t), Fg (t) ma trận thỏa mãn điều kiện FaT (t)Fa (t) ≤ I, FgT (t)Fg (t) ≤ I, ∀t ≥ Nhiễu đầu vào (disturbance input) ω(t) ∈ W∞ Mục đích ta tìm điều khiển ngược u(t) = Kx(t), K ma trận xác định để hệ đóng sau ổn định hữu hạn đầu vào-đầu tương ứng với (W∞ , Q, T ) với t ∈ [0, T ]: C α D x(t) = [A + Wa Fa (t)Ha + GK + Wg Fg (t)Hg K]x(t) + Bω(t), t ≥ 0, t x(0) = 0, y(t) = Cx(t) (3.28) Định lí 3.3 Hệ đóng (3.15) ổn định hữu hạn đầu vào-đầu tương ứng với (W∞ , Q, T ) với t ∈ [0, T ] tồn ma trận đối xứng xác định dương P, ma trận Y có số chiều thích hợp số dương cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn: T T T M B P Ha Y Hg T B −R 0 < 0, H P − I a Hg Y 0 − 2I − Γ(α+1) Tα P P CT CP −Q−1 < 0, 1, (3.29a) (3.29b) M = AP + P AT + GY + Y T GT + T Wa Wa + T Wg Wg Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ (3.27) xác định u(t) = Y P −1 x(t), t ∈ [0, T ] Chứng minh Vì P ma trận đối xứng, xác định dương nên P −1 ma trận đối xứng, xác định dương Ta xét hàm Lyapunov sau V (x(t)) = xT (t)P −1 x(t) Lấy đạo hàm đạo hàm phân thứ Caputo hàm V (x(t)) áp dụng Bổ 28 đề 1.3, ta thu ước lượng sau: C α Dt V = (x(t)) α xT (t)P −1 x(t) ≤ 2xT (t)P −1 C Dt x(t) C α Dt = xT (t) P −1 A + AT P −1 + P −1 GK + K T GT P −1 x(t) (3.30) + 2xT (t)P −1 Wa Fa (t)Ha x(t) + 2xT (t)P −1 Wg Fg (t)Hg Kx(t) + 2xT (t)P −1 Bω(t) Áp dụng bất đẳng thức ma trận Cauchy (Bổ đề 1.1), ta có đánh giá sau: 2xT (t)P −1 Wa Fa (t)Ha x(t) ≤ 1x T (t)P −1 Wa WaT P −1 x(t) + −1 T T x (t)Ha Ha x(t), (3.31) 2xT (t)P −1 Wg Fg (t)Hg Kx(t) ≤ T −1 Wg WgT P −1 x(t) + x (t)P (3.32) −1 T T T x (t)K Hg Hg Kx(t), 2xT (t)P −1 Bω(t) ≤ xT (t)P −1 BR−1 B T P −1 x(t) + ω T (t)Rω(t) (3.33) Từ điều kiện (3.30) tới (3.33), ta thu đánh giá sau C α Dt V (x(t)) ≤ xT (t)Θx(t) + ω T (t)Rω(t), (3.34) Θ = P −1 A + AT P −1 + P −1 GK + K T GT P −1 + + 2P −1 Wg WgT P −1 + −1 T Ha Ha + 1P −1 Wa WaT P −1 −1 T T K Hg Hg K + P −1 BR−1 B T P −1 Đặt K = Y P −1 nhân bên trái, bên phải hai vế Θ với ma trận P, ta có điều kiện Θ < tương đương với điều kiện P ΘP < 0, P ΘP = AP + P AT + GY + Y T GT + BR−1 B T + + −1 T P Ha Ha P + T Wa Wa + T Wg Wg −1 T T Y Hg Hg Y Bây giờ, áp dụng Bổ đề Schur, ta có điều kiện P ΘP < tương đương với điều kiện 3.29a Do đó, từ (3.34) (3.29a), ta có C α Dt V (x(t)) ≤ ω T (t)Rω(t) 29 (3.35) Áp dụng Bổ đề Schur, ta có điều kiện (3.29b) tương đương với điều kiện sau Γ(α + 1) (3.36) P Tα Nhân bên trái bên phải hai vế bất đẳng thức với P −1 > 0, ta P C T QCP < Γ(α + 1) −1 (3.37) P Tα Lấy tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α hai vế (3.35) từ tới t, t ∈ [0, T ], ta thu C T QC < α C α It Dt V (x(t)) ≤ Itα ω T (t)Rω(t) (3.38) Theo Định lí 1.5, ta có α C α It Dt V T −1 = x (t)P (x(t)) = V (x(t)) − V (x(0)) x(t) − xT (0)P −1 x(0) = xT (t)P −1 x(t) Vì ω(t) ∈ W∞ nên ta thu đánh giá sau xT (t)P −1 x(t) ≤ Itα ω T (t)Rω(t) = Γ(α) ≤ Γ(α) t (t − s)α−1 ω T (s)Rω(s) ds t α−1 (t − s) (3.39) Tα ds ≤ Γ(α + 1) Từ (3.29b), (3.37) (3.39), ta có Γ(α + 1) T x (t)P −1 x(t) < 1, ∀t ∈ [0, T ] α T Định lí chứng minh hồn toàn y T (t)Qy(t) = xT (t)C T QCx(t) < Ví dụ 3.3 Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến C 0.9 D x(t) = [A + Wa Fa (t)Ha + GK + Wg Fg (t)Hg K]x(t) + Bω(t), t ≥ 0, t x(0) = 0, y(t) = Cx(t), (3.40) 30 x(t) ∈ R3 véc tơ trạng thái, y(t) ∈ R véc tơ đầu (output vector), u(t) ∈ R véc tơ điều khiển Nhiễu đầu vào (disturbance input) ω(t) = e−5t ∈ W∞ −4 A= Fa (t) = Fg (t) = sin t ma trận hệ số 2 0 , B = 0.6 , C = 0.1 0.1 0.1 , G = 1 , 1 0.2 Wa = 0.4 , Ha = 0.1 0.5 , Wg = , Hg = −0.5 Cho T = R = , Q = Ta thấy điều kiện Định lí 3.3 = 8.2008, = 26.8012 8.2574 −0.2291 −5.3076 P = −0.2291 0.0707 0.5951 , thỏa mãn với −5.3076 0.5951 11.1105 Y = 5.3874 −2.4621 −14.9644 Do theo Định lí 3.3, hệ (3.40) ổn định hóa hữu hạn đầu vào-đầu tương ứng với (W∞ , Q, 10) Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ (3.40) u(t) = 0.1058 −42.9294 1.0029 x(t), 31 t ∈ [0, 5] Kết luận Luận văn giải vấn đề sau: • Trình bày định nghĩa số tính chất tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, Caputo Trình bày định lí tồn nghiệm địa phương tồn cục cho lớp hệ phương trình phân thứ Caputo; • Trình bày lại cách chi tiết kết báo [13] tính ổn định hữu hạn ổn định hóa hữu hạn đầu vào-đầu cho lớp hệ phương trình tuyến tính phân thứ Caputo; • Đưa điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn đầu vào-đầu cho lớp hệ phương trình phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến; • Đưa điều kiện đủ cho tính ổn định hóa hữu hạn đầu vào-đầu cho lớp hệ điều khiển phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến; • Đưa tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa hữu hạn đầu vào-đầu cho lớp hệ điều khiển tuyến tính khơng chắn phân thứ Caputo; • Đưa 05 ví dụ số minh họa cho kết lí thuyết Chương Chuơng luận văn Các ví dụ lập trình phần mềm MATLAB 32 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hoàng Thế Tuấn, Về số vấn đề định tính hệ phương trình vi phân phân thứ, Luận án tiến sĩ toán học, Viện Toán học, 2017 Tiếng Anh [2] Amato F., Ambrosino R., Ariola M., Cosentino C and De Tommasi G (2014), Finite-time Stability and Control, Springer [3] Amato F., Ambrosino R., Cosentino C and De Tommasi G.(2010), "Input–output finite time stabilization of linear systems," Automatica, 46, 1558–1562 [4] Boyd S., El Ghaoui L., Feron E and Balakrishnan V (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia [5] Diethelm K (2010), The Analysis of Fractional Differential Equations An Applicationoriented Exposition Using Differential Operators of Caputo Type, Lecture Notes in Mathematics, 2004, Springer-Verlag, Berlin [6] Duarte-Mermoud M.A., Aguila-Camacho N., Gallegos J.A and Castro-Linares R (2015), "Using general quadratic Lyapunov functions to prove Lyapunov uniform stability for fractional order systems", Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 22(1–3), 650–659 33 [7] Kaczorek T (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory, Springer [8] Kilbas A.A., Srivastava H.M and Trujillo J.J (2006), Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Springer [9] Li Y., Chen Y.Q and Podlubny I (2010), "Stability of fractionalorder nonlinear dynamic systems: Lyapunov direct method and generalized MittagLeffer stability" Computers and Mathematics with Applications, 59(5), 1810–1821 [10] Li M and Wang J (2017), "Finite time stability of fractional delay differential equations" Applied Mathematics Letters, 64, 170–176 [11] Hilfer R (2000), Applications of Fractional Calculus in Physics, World Science Publishing, Singapore [12] Huang S., Xiang Z and Karimi H.R (2014), "Input-output finite-time stability of discrete-time impulsive switched linear systems with state delays" Circuits, Systems, and Signal Processing, 33(1), 141–158 [13] Ma Y., Wu B., Wang Y.E and Cao Y (2017), "Input–output finite time stability of fractional order linear systems with < α < 1, " Transactions of the Institute of Measurement and Control, 39(5), 653– 659 [14] Petras I (2011) Fractional-order Nonlinear Systems, Springer, Berlin [15] Tang Z and Liu F (2016), "Input–output finite-time stabilization of Markovian jump systems with convex polytopic switching probabilities," Journal of the Franklin Institute, 353(14), 3632–3640 [16] Yao J., Feng J., Sun L and Zheng Y (2012), "Input–output finite-time stability of time-varying linear singular systems" Journal of Control Theory and Applications, 10(3), 287–291 34 ... 10 Tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào -đầu cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ 11 2.1 Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian đầu vào -đầu cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính. .. tính phân thứ 11 2.2 Tính ổn định hóa hữu hạn thời gian đầu vào -đầu cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ 15 Tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào -đầu cho lớp hệ phương trình. .. Tính ổn định hữu hạn thời gian đầu vào – đầu cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Nội dung Chương trình bày tiêu chuẩn ổn định, tính ổn định hóa hữu hạn thời gian đầu vào – đầu