Đề cơng Sáng kiến kinh nghiệm Lê Thị Thanh Hoa A. Phần mở đầu. I. Lý do thực hiện đề tài. 1. Cơ sở lý luận. Bất đẳng thức là một trong những phần rất quan trọng trong chơng trình toán phổ thông. Nó có mặt trong tất cả các bộ môn Số học, Hình học, Đại số, Lợng giác và Giải tích. Các bài toán về bất đẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc đáo của các phơng pháp giải chúng. Chính vì thế, bất đẳng thức là chuyên đề đợc mọi ngời quan tâm đến rất nhiều. Tuy nhiên, việc giải quyết một bài toán về chứng minh bất đẳng thức không hề đơn giản, yêu cầu không chỉ nắm vững các kiến thức cơ bản, mà còn phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các phơng pháp đã học kết hợp với kỹ năng biến đổi, suy luận, dự đoán, 2. Cơ sở thực tiễn. Khi học toán, học sinh thờng thấy sợ khi nhắc đến bất đẳng thức, cho rằng bất đẳng thức là một phần rất khó không thể giải đợc. Nguyên nhân là học sinh không biết cách lựa chọn phơng pháp thích hợp để giải.Vì vậy một bài toán đơn giản cũng trở nên vô cùng khó đối với các em. Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lợng dạy và học về bất đẳng thức, đem lại cho học sinh cách nhìn mới về bất đẳng thức, tôi nghiên cứu đề tài: Sử dụng vectơ trong chứng minh bất đẳng thức. II. Ph ơng pháp nghiên cứu . 1. Phơng pháp nghiên cứu lý luận. 2. Phơng pháp điều tra thực tiễn . 3. Phơng pháp thực nghiệm s phạm. 4. Phơng pháp thống kê. III. Đối t ợng nghiên cứu . Các bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng tính chất của vectơ. IV. Tài liệu tham khảo. 1. Sách giáo khoa toán THPT. 2. Sách bài tập toán THPT. 3. Sách 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức của Giáo s Phan Huy Khải. 4. Báo toán học và tuổi trẻ. V. ứ ng dụng . Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học về bất đẳng thức. 2 Đề cơng Sáng kiến kinh nghiệm Lê Thị Thanh Hoa B. Phần nội dung. I. Nhắc lại các tính chất của vectơ. 1. Tính chất 1: 0)( 2 2 = aa . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0 = a 2. Tính chất 2: baba ++ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng chiều. 3. Tính chất 3: baba . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng phơng. II. Sử dụng các tính chất của vectơ để chứng minh bất đẳng thức. 1. Sử dụng tính chất 1. Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: cos2A + cos2B + cos2C 2 3 . Giải: Gọi O, R lần lợt là tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có: 0)2cos2cos2(cos23 0) .(2)( 22 222 2 +++ +++++=++ CBARR OAOCOCOBOBOAOCOBOAOCOBOA Suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 2 . Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 6cosA.cosB.cosC cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C (1). Giải: Nếu tam giác ABC là tam giác tù (có một góc tù) thì (1) hiển nhiên đúng vì khi đó vế trái âm, còn vế phải dơng. Nếu tam giác ABC không phải là tam giác tù thì trên mặt phẳng ta đặt các vectơ OPONOM ,, sao cho: 3 Đề cơng Sáng kiến kinh nghiệm Lê Thị Thanh Hoa = = = COP BON AOM cos cos cos và = = = BOMOP AOPON CONOM ),( ),( ),( áp dụng tính chất (1), ta có: 0)( 2 ++ OPONOM 0.2.2.2 222 +++++ MOOPOPNOONMOOPONOM 0)cos.cos.coscos.cos.coscos.cos.(cos2coscoscos 222 ++++ CBACBACBACBA Điều phải chứng minh. 2. Sử dụng tính chất 2. Ta thờng sử dụng phơng pháp này khi gặp các bài toán chứng minh bất đẳng thức có chứa tổng của các căn bậc hai mà biểu thức trong dấu căn bậc hai có thể đa về tổng của các bình phơng. Ví dụ 1: Chứng minh rằng: 1 2 ++ aa + 1 2 + aa 2 (1) với mọi a thuộc R. Giải: (1) 22 ) 2 3 () 2 1 ( ++ a + 22 ) 2 3 () 2 1 ( + a 2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt: ) 2 3 ; 2 1 ( += au ; ) 2 3 ; 2 1 ( av = áp dụng tính chất 2, ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 2. Chứng minh rằng : 22 yxyx ++ + 22 zyzy ++ + 22 xzxz ++ )(3 zyx ++ với x,y,z > 0. Giải: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta đặt: ); 2 3 ; 2 ( y y xu += ); 2 3 ; 2 ( z z yv += ); 2 3 ; 2 ( x x zw += Từ tính chất wvuwvu ++++ ta có đpcm. Theo cáh này ta có thể chứng minh rất nhanh đợc các bài toán sau đây: Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi x ta có: 175sin22sin24sin2 22 +++ xxx 4 Đề cơng Sáng kiến kinh nghiệm Lê Thị Thanh Hoa Ví dụ 4: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng: ab ab 22 2+ + bc bc 22 2 + + ca ca 22 2 + 3 Ví dụ 5: . . . 3. Sử dụng tính chất 3. Ví dụ 1. CMR với mọi a, b, c, d ta có bất đẳng thức: ))(( 2222 dbcacdab +++ (3) Giải: Đặt ),( cau = ; ),( dbv = . áp dụng tính chất 3 ta có ngay đpcm. Ví dụ 2. Giả sử =++ =++ 16 3 22 22 zyzy yxyx có nghiệm. CMR: xy + yz + zx 8 Giải: Đặt ) 2 3 ; 2 ( x x yu += , ) 2 ; 2 3 ( z yzv += áp dụng tính chất (3) suy ra đpcm. Ví dụ 3. Cho tam giác ABC. Điểm M thuộc mp(ABC). Chứng minh: m a .MA + m b .MB + m c .MC 2 1 (a 2 + b 2 + c 2 ). Giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có 2 . GAMGGAMAGAMAGA += Tơng tự 2 GBMGGBMBGB + 2 . GCMGGCMCGC + 222222 )( . GCGBGAGCGBGAGCGBGAMGMCGCMBGBMAGA ++=+++++++ m a .MA + m b .MB + m c .MC 2 1 (a 2 + b 2 + c 2 )(Đpcm) 4. Sử dụng tính chất của vectơ đơn vị. 5 Đề cơng Sáng kiến kinh nghiệm Lê Thị Thanh Hoa Ví dụ 1: Xét ví dụ 1 ở phần 1, ta có thể chứng minh bất đẳng thức bằng cách khác nh sau.: Trên mặt phẳng ta dựng các vectơ OPONOM ,, thoả mãn: = = = 1 1 1 OP ON OM và = = = BOMOP AOPON CONOM 2),( 2),( 2),( áp dụng tính chất (1), ta có: 0)( 2 ++ OPONOM 0) 2cos(2) 2cos(2) 2cos(2111 +++++ BAC 2 3 2cos2cos2cos ++ CBA (đpcm). Ví dụ 2. Cho tam giác ABC và các số thực x, y, z. Chứng minh rằng: )( 2 1 2cos2cos2cos 222 zyxCxyBxzAyz ++++ Giải : Giả sử đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O, bán kính bằng 1. Ta có )2cos2cos2cos(2)()( 2222 AyzBxzCxyzyxOCzOByOAx +++++=++ 0 Suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 3.Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 4cos32cos2cos3 ++ CBA Giải: Gọi 321 ;; eee theo thứ tự là vectơ đơn vị của các cạnh BC, CA, AB. Ta có: (2134)32( 2 321 ++=++ eee )cos32cos2cos3 CBA ++ 0 => 4cos32cos2cos3 ++ CBA (Đpcm). Theo cách này ta có thể chứng minh các bài toán sau: Ví dụ 4. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 2 3 coscoscos ++ CBA Ví dụ 5. Cho tam giác ABC và số thực x. Chứng minh rằng: 1 2 )cos(coscos 2 +++ x CBxA . 6 Đề cơng Sáng kiến kinh nghiệm Lê Thị Thanh Hoa Ví dụ 6: . . . C. Phần kết luận. I. Kết quả ứng dụng. Việc sử dụng vectơ để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức đã đợc tôi vận dụng khi bồi dỡng cho học sinh về bất đẳng thức. Kết quả là các em đã có thiện cảm hơn đối với chuyên đề này, không còn lúng túng nh trớc nữa, một số em còn tỏ ra rất hào hứng khi làm các bài toán về bất đẳng thức. II. Lời kết. Trên đây là những nghiên cứu và kinh nghiệm của bản thân tôi. Hy vọng đề tài này sẽ góp phần để việc dạy và học về bất đẳng thức đạt hiệu quả hơn. Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu cha đợc nhiều. Rất mong sự đóng góp ý kiến của ngời đọc. Xin chân thành cảm ơn! Thống Nhất, ngày 02/ 3/ 2008. Ngời viết Lê Thị Thanh Hoa. 7 . 1. Cơ sở lý luận. Bất đẳng thức là một trong những phần rất quan trọng trong chơng trình toán phổ thông. Nó có mặt trong tất cả các bộ môn Số học, Hình học,. +++ +++++=++ CBARR OAOCOCOBOBOAOCOBOAOCOBOA Suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 2 . Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 6cosA.cosB.cosC cos 2 A + cos 2