Đang tải... (xem toàn văn)
Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Chương 1 chủ đề 2
Chủ đề SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA TỈ SỐ, TÍNH CHẤT GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ TÍNH CHẤT CỦA TAM THỨC BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A Kiến thức cần nhớ Một số tính chất tỉ số + Với số thực dương a, b bất kì, ta ln có a �b a b + Với số thực dương a, b, c, d bất kì, ta có: - Nếu a a a c b b b c - Nếu a b a a c b b c a c a a c c b d b b d d Một số tính chất giá trị tuyệt đối bất đẳng thức - Nếu + a �a; a �0 + a �b � b �a �b � a �b + a �b � � a �b � + a b �a b Đẳng thức xẩy a, b dấu + a b �a b Đẳng thức xẩy a, b dấu + a b �a b Đẳng thức xẩy a �b �0 a �b �0 + Cho số thực a1,a2, ,an , hiển nhiên ta có a1 a2 an �a1 a2 an + Cho số thực khác không a; b, hiển nhiên ta có a b �2 Đẳng thức xẩy a �b b a Một số tính chất tam thức bậc hai thường dùng bất đẳng thức Cho tam thức bậc hai f(x) ax2 bx c với a �0 Khi ta viết � b� f(x) ax bx c a � ax � với b 4ac 2a � 4a � Từ ta có số tính chất sau: Tính chất 1: Đa thức có nghiệm b2 4ac �0 Tính chất 2: Nếu b2 4ac �0 af(x) �0 Tính chất 3: Nếu b2 4ac đa thức có hai nghiệm x1; x2 x1 x2 + af(x) �0 với giá trị x1 �x �x2 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word + af(x)>0 với giá trị x �x1 x �x2 B Một số ví dụ minh họa Sử dụng tính chất tỉ số Ví dụ Cho a, b số thực dương Chứng minh rằng: a b 1 2a b a 2b a b 1, để chứng minh bất đẳng thức ta a b a b a a b b cần đánh giá ; 2a b a b 2b a a b Lời giải Do a, b số dương nên ta có 2a b a b; a 2b a b Phân tích: Để ý ta thấy a a b b ; 2a b a b 2b a a b Cộng theo vế bất đẳng thức ta a b a b a b 1 2a b 2b a a b a b a b Vậy tốn chứng minh Từ suy Ví dụ Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a b c 2 a b b c c a Phân tích: Quan sát bất đẳng thức kép ta nhận thấy khó biến đổi tương đương để chứng minh tốn, ta khơng cần phải dự đoán dấu đẳng a b c thức xẩy Để ý chút ta có , cần đánh a b c a b c a b c a a giá Dễ nhận thấy đánh giá hiển nhiên đúng, cần a b c a b áp dụng tương tự bất đẳng thức bên trái chứng minh Để chứng minh a bất đẳng thức bên phải ta cần phải đánh giá a c , việc hoàn a b a b c tồn thực nhờ tính chất tỉ số Lời giải 1 Do a, b, c số dương nên ta có a Vì theo tính chất tỉ số ta a b a a a b c a b a c a b c Áp dụng tương tự ta có b b a b , c c a b c b c a b c a b c c a Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức kép ta 1 b c a b c a b c 2 a b b c c a Vậy toán chứng minh http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Ví dụ Cho a, b, c, d số thực dương Chứng minh rằng: a b c d 2 a b c b c d c d a d a b Lời giải Theo tính chất tỉ số ta có a a a d 1� a b c a b c a b c d a a Mặt khác ta lại có a b c a b c d Kết hợp hai bất đẳng thức ta a a a d a b c d a b c a b c d Tương tự ta có b b ba a b c d b c d a b c d c c b c a b c d c d a a b c d d d d c a b c d d a b a b c d Cộng theo vế bất đẳng thức ta a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b Nhận xét: Để chứng minh bất đẳng thức ta cần tinh ý sử dụng tính chất tỉ số Ngồi bất đẳng thức hai ví dụ phát biểu lại sau: Cho biểu thức với a, b, c số thực dương 1 a b c a b b c c a a b c d B a bc bc d c d a d a b Chứng minh A, B nhận giá trị nguyên A Ví dụ Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a c Chứng minh rằng: b d a ab cd c b b2 d2 d a c ab cd � , đến ta áp dụng tính chất tỉ b d b d số để chứng minh bất đẳng thức Lời giải ab cd a c Từ suy , theo tính chất tỉ số ta b d b d ab ab cd cd c b2 b2 d2 d2 d Phân tích: Để ý ta nhận thấy Do ta có a ab cd c b b2 d2 d http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c b c a c 1 a b Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có chứa căn, nhìn chiều bất đẳng thức ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Cauchy Tuy nhiên để đánh giá bất đẳng thức theo Cauchy khơng đơn giản tí với học bất đẳng thức Chú ý đến giả thiết a, b, c ba cạnh tam giác, có mối liên hệ a a với , b c a nên ta thấy 1, với kết ta b c b c a a Đến tốn đươc giải triệt để b c b c tương tự ví dụ thứ Lời giải Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có khử đánh giá a 1� b c a a b c b c a a Vì a số dương nên theo tính chất tỉ số ta b c a b c 0 a a b c a b c Do ta có Chứng minh tương tự ta b b ; c a a b c Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta Vậy toán chứng minh c c a b a b c a b c b c a c 1 a b Ví dụ Cho a, b số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: 1� a b � a b a b � � �a b 1� a b a b a a a a a b , áp dụng nên có a1 a b1 a1 a1 a b1 tương tự ta chứng minh bất đẳng thức Lời giải Phân tích: Để ý ta thấy + Trước hết ta chứng minh 1� a b � a b � � �a b 1� a b a a a b suy a1 a1 a b1 b a b Chứng minh tương tự ta có b1 a b1 Cộng vế với vế hai bất đẳng thức cuối ta 1� a b � a b � � �a b 1� a b Do a số thực dương nên ta có http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a b a b a b1 a1 b1 a a b b Do a, b dương ta có a1 a b1 b1 a b1 a b a b Cộng vế với vế hai bất đẳng thức ta a b1 a1 b1 Kết hợp hai bất đẳng thức ta toán cần chứng minh + Ta chứng minh Ví dụ Cho a1; a2; ; an; b1; b2; ; bn số thực dương Kí hiệu �a a �a a a � a � M Max � ; ; ; n � ; m Min � ; ; ; n � �b b �b b bn � bn � �1 � �1 � a a2 an m� �M Chứng minh rằng: b1 b2 bn �a1 a2 �a a a � a � ; ; ; n � ; m Min � ; ; ; n �nên ta có Phân tích: Nhận thấy M Max � �b b �b b bn � bn � �1 � �1 � a m � i �M với i 1, 2, �, n Do ta mbi �ai �Mbi , đến ta áp dụng bi cho i 1, 2, �, n ta bất đẳng thức cần chứng minh Lời giải �a1 a2 �a a a � a � ; ; ; n � ; m Min � ; ; ; n �nên ta Vì M Max � �b b �b b bn � bn � �1 � �1 � a m � i �M với i 1, 2, �, n bi Suy mbi �ai �Mbi với i 1, 2, �, n Lần lượt cho i giá trị 1, 2, �, n cộng theo vế lại với ta b b2 bn m �a1 a2 an �M b1 b2 bn a a2 an �M Vậy toán chứng minh Hay m � b1 b2 bn Ví dụ Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: 1 1 � 3 a b abc b c abc c a abc abc Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy a b c Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy cần phải thay đại lượng mẫu bên vế trái đại lượng nhỏ cho biểu thức thu nhỏ vế phải Điều có nghĩa cần tìm vế phải cho bất đẳng thức a3 b3 abc �? , để ý vế trái bất đẳng thức ta khơng đánh giá từ tích abc, ta tập trung đánh giá a3 b3 Trong vế phải bất đẳng thức cần chứng minh có chứa tích abc mẫu nên đánh giá mẫu vế trái ta cần làm xuất tích abc phân thức, đánh giá a3 b3 cần làm xuất tích ab, điều gợi ý cho ta đánh giá 3 đẹp a b �ab a b Nếu chứng minh bất đẳng thức ta thu kết http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 3 a b �ab a b 3 � a b c ta suy đánh giá a b abc�ab Đến ta có đánh giá 1 c � a b abc ab a b c abc a b c 3 Như ta cần tập trung chứng minh a b �ab a b , bất đẳng thức biến đổi tương đương thành a b a b �0 � đánh giá Lời giải Ta có a b a ab b ab a b a a b a b �0 � a3 b3 � ab a b a b a2 ab b2 ab a b 2 2ab b2 Suy a3 b3 �ab a b � � a3 b3 abc�ab � a b abc Từ ta � a b abc�ab � a b c 3 1 c � a b abc ab a b c abc a b c Chứng minh tương tự ta có 1 a � b c abc bc a b c abc a b c 1 b � 3 c a abc ac a b c abc a b c Cộng theo vế bất đẳngthức ta 1 1 � 3 3 a b abc b c abc c a abc abc Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Nhận xét: Bất đẳng thức bất đẳng thức hay Để chứng minh ta 3 cần chứng minh a b �ab a b Nhưng vấn đề tìm bất đẳng thức phụ Đầu tiên yêu cầu làm xuất tích ab, cần phải làm cho hai vế đồng bậc cuối ý a b hai vế bất đẳng thức Khi phân tích tốn ta cần ý đến yếu tố đẳng thức xẩy đâu, tính đồng bậc bất đẳng thức, chọn chiều đánh cho hợp lí, Tuy nhiên tiến hành bước phân tích mà giả thiết gần với kết luận hội lớn Ví dụ Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 1 1 � 2 a 2b b 2c c 2a 2 Phân tích: Ý tưởng tương tự ví dụ trên, ta ý đến dấu đẳng thức xẩy a b c 1, ta cần có đánh giá cho đảm bảo có đẳng thức 2 2 xẩy Nhận thấy a b �2ab; b �2b nên a 2b �2 ab b http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Khi ta có đánh giá thức 1 � � Áp dụng tương tự ta bất đẳng a 2b ab b � 1 1� 1 � � � a2 2b2 b2 2c2 c2 2a2 �ab b bc c ac a 1� 1 Đây ab b bc c ca a đẳng thức quen thuộc nhiều hướng để xử lí Lời giải Vấn đề cịn lại chứng minh 2 2 Ta có a b �2ab; b �2b � a 2b �2 ab b 1 1 � � a 2b ab b Do ta Chứng minh tương tự ta có 1 1 1 ��ף ; 2 2 b 2c bc c c 2a ac a Cộng theo vế bất đẳng thức ta � 1 1� 1 � � � 2 2 a 2b b 2c c 2a �ab b bc c ac a 1� 1 1 ab b bc c ca a Đến ta có hai cách chứng minh đẳng thức sau Ta cần chứng minh Cách 1: Do abc 1, nên tồn số dương x, y, z để a x y z ;b ; c y z x Khi ta có 1 1 1 ab b bc c ca a x y y z x z 1 1 1 z z x x y y z x y 1 x yz x yz x yz Cách 2: Do abc 1, nên ta 1 abc a ab b bc c ca a ab b abc abc ac a ca a ac a 1 a ac ac a ca a Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 10 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh rằng: a b2 b c2 a b2 �1 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a 1 b2 a2 b2 2a �2ab 2a Áp dụng tương tự ta http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a 1 b2 b 1 c2 a 1 b2 1 1 � ab a bc b ca c 1 1 1 ab a bc b ca c Đến ta có hai cách chứng minh đẳng thức sau Ta cần chứng minh Cách 1: Do abc 1, nên tồn số dương x, y, z để a x y z ;b ;c y z x Khi ta có 1 1 1 ab a bc b ca c x x y y z z 1 1 1 z y x z y x yz xz yy 1 xy yz zx xy yz zx xy yz zx Cách 2: Do abc 1, nên ta 1 abc b ab a bc b ca c ab a abc bc b cab bc b bc b 1 bc b bc b 1 bc b Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Nhận xét: Các bất đẳng thức ví dụ 8, 10 cho thấy kỹ thuật đánh giá mẫu sử dụng chứng minh bất đẳng thức, thực chất việc đánh giá thay mẫu đại lượng khác cho đánh giá chiều đảm bảo dấu đẳng thức xẩy Điều quan trọng biết cách chọn đánh giá phù hợp cho chặt tốt Ví dụ 11 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện abc Chứng minh rằng: ab bc ca �1 a b ab b c bc c a ca Phân tích: Trước hết ta dự đốn đẳng thức xẩy a b c Quan sát bất đẳng thức ta có nhận xét tử phân thức đại lượng ab, bc, ca Chú ý đến giả thiết abc ta viết lại phân thức bên vế trái theo ý tưởng ab ab a b ab 1 1 a b ab ac bc a b Đến ta viết vế trái bất đẳng thức cần chứng minh thành 1 1 biểu thức 1 để 1 1 1 1 1 ac bc ab bc bc ca a b b c c a http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1 3 đơn giản ta đặt x ab; y bc; z ca x3 ; y3 ; z3 ý đến a b c giả thiết abc dẫn đến xyz 1, lúc ta bất đẳng thức ví dụ Lời giải Để ý với điều kiện abc 1, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 �1 1 1 1 1 1 1 a b b c c a 3 ; y ; z , ta xyz a b c Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành Đặt x3 1 �1 3 x y y z z x3 3 Ta chứng minh x y �xy x y xyz xy x y z áp dụng tương tự ta �1 1 1 1� � � � x3 y3 y3 z3 z3 x3 x y z �xy yz zx � Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a b c Nhận xét: Bất đẳng thức bất đẳng thức khó, tơi phân tích để tìm lời giải câu hỏi đặt biến đổi biểu thức để toán đơn giản hơn, sử dụng giả thiết đây, thay đánh giá tử mẫu ta có quy vế đánh giá mẫu không Sau bước biến đổi tốn nhìn dễ đôi chút tận dụng tốt lợi cơng việc cịn lại khơng gây khó khăn Ví dụ 12 Cho số thực a; b; c �[0; 1] Chứng minh rằng: a b c �1 ac b ab c bc a Phân tích: Trước hết ta dự đốn đẳng thức xẩy a b c Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy trực tiếp đánh giá tử phân thức, ta tìm cách đánh giá mẫu phân thức Chú ý đến chiều bất đẳng thức trên, ta cần đánh giá kiểu ab c �? Giả thiết có gợi cho ta điều gì? Nên nhớ a; b; c �[0; 1] ta thường thu bất đẳng thức dạng a b �0 hay ab �a b , đến ta cộng vào hai vế với c ab c �a b c Lúc a a Chỉ cần � ab c a b c áp dụng tương tự cho trường hợp cịn lại ta hồn thành chứng minh tốn Lời giải ta có đánh giá tốt cho việc chứng minh bất đẳng thức Vì a; b �[0; 1] nên ta có a b �0 suy ta ab �a b Do ta ab c �a b c suy a a � ab c a b c Chứng minh tương tự ta http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word b b c c � ; � ab c a b c bc a a b c Cộng theo vế bất đẳng thức ta a b c �1 ac b ab c bc a Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 13 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c Chứng minh a2 b2 c2 � b2 c2 a2 rằng: Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy đẳng thức không xẩy a b c mà xẩy a 1; b c hốn vị Trong trường hợp để dễ có đánh giá hợp lí ta thứ tự biến Vì đẳng thức xẩy a 1; b c nên không tính tổng quát ta thứ tự biến cách chọn 2 a số lớn Khi ta mạnh dạn có đánh giá kiểu b �1; c �1 mà bảo toàn dấu đẳng a2 1 b �1 a ; �1 b2 Còn lại 2 1 b 1 c chiều với hai đánh giá trước Để thức xẩy ra, đánh giá dẫn tới c2 cần phải đánh để a2 ý sau đánh giá hai phân thức đầu ta thu c2 a2 b2 ta cần làm xuất c2 đánh giá Để ý đến a số a2 c2 lớn nên ta có Kết sau số bước đánh �c2 1 a a2 ta thu đại lượng a2 b2 c2 , biến đổi thành biểu a2 thức chứa biến a dễ chứng minh Từ giả thiết a b c ý đến b c ta có đánh giá tự nhiên b2 c2 � b c a Bây việc chứng minh bất đẳng thức hồn tồn đơn giản Lời giải Vì vai trị a, b, c nên khơng tính tổng quát ta giả sử a số lớn 2 ba số a, b, c Khi ta có b �1; c �1 2 a2 1 b 1 c � a ; � b ; �c2 2 1 b 1 c 1 a a2 Từ ta bất đẳng thức a2 b2 c2 �2 a2 b2 c2 2 1 b 1 c 1 a a2 2 1 �2 a2 b c a a 1 a a2 Ta cần chứng minh a2 a � � a 4a3 3a �0 2 1 a Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a 1; b c hốn vị Do http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Nhận xét: Điểm mấu chốt để tìm cách chứng minh bất đẳng thức 2 a2 1 b 1 c , việc phát đánh � a ; � b ; �c2 2 1 b 1 c 1 a a2 giá địi hỏi phải có suy luận cách lơgic đánh giá a b c bc ca ab a b c Chứng minh rằng: � a bc b ca c ab Lời giải a b c Đặt x , suy ta có x y z ;y ;z bc ca ab Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành x y z � 1 x 1 y 1 z x x y y z z � ; � ; � Mà ta có 1 x 1 x y z 1 y 1 x y z 1 z 1 x y z Cộng theo vế bất đẳng thức ta x y z � 1 x 1 y 1 z Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a 3; b c Ví dụ 14 Cho a, b, c số thực khơng âm thỏa mãn hốn vị Sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối Ví dụ 15 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c b c a 1 b c a c a c Phân tích: Để ý ta có a b c b c a a2c b2a c2b a2b c2a b2c , phân tích b c a c a c abc 2 2 2 thành nhân tử a c b a c b a b c a b c a b b c c a , mà a, b, c ba cạnh tam giác nên a b c; b c a; c a b Đến ta chứng minh bất đẳng thức Lời giải Ta có a b c b c a a2c b2a c2b a2b c2a b2c b c a c a c abc a b b c c a abc Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên ta có a b c; b c a; c a b Do ta suy a b b c c a abc http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a b b c c a Hay 1 abc a b c b c a 1 Suy b c a c a c Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 16 Cho a, b, c số thực thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 �3 Phân tích: Trước hết ta dự đốn đẳng thức xẩy a b c Quan sát kĩ bất đẳng thức ta có nhận định cần phải có đánh giá kiểu a2 ab b2 �k a b để khử ta thu a b Vấn đề cần xác định giá trị k để đánh giá đúng, nhớ đẳng thức xảy a b c nên ta xác định k , tức ta có a2 ab b2 � a b Một điều cần ý biến a, b, c số thực nên khử ta cần lấy giá trị tuyệt đối để ý đến a b �a b Lời giải Trước hết ta chứng minh a2 ab b2 a b � Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với a2 b2 ab �a2 b2 2ab � a2 2ab b2 �0 � a b �0 Bất đẳng thức cuối nên bất đẳng thức chứng minh Từ bất đẳng thức ta có a2 ab b2 � a b a b a b � Chứng minh tương tự ta b c c a b2 bc c2 � ; c2 ca a2 � 2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta a b c a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 � 3 Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Ví dụ 17 Cho a, b, c số thực Chứng minh rằng: a b c a b c �a b b c c a Phân tích: Theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta ln có a b �a b , ta tìm cách chứng minh c a b c �b c c a Để giá trị tuyệt đối ta thường sử dùng cách xét dấu số bình phương hai vế, trường hợp http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ta chọn cách bình phương hai vế việc xét dấu khó khăn Khi bình phương hai vế ta thu kết là: ab c a b c � a c b c � ab c a b c �ab c a b c Bất đẳng thức giải ta khẳng định ab �0 Chú ý đến vai trò a, b, c bất đẳng thức việc giả sử ab �0 hoàn toàn thực Bây ta cần trình bày lại lời giải xong Lời giải Trong ba số a, b, c có hai số dấu, khơng tính tổng qt ta giả sử hai số a, b Khi ta a b a b Như ta cần chứng minh c a b c �b c c a Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với � ab c a b c � a c b c � ab c a b c �ab c a b c 2 c2 a b c c a b c � a c b c a c b c Bất đẳng thức cuối theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a, b, c dấu Ví dụ 18 Cho a, b số thực không âm Chứng minh rằng: a b ab a b � b Phân tích: Ta có đẳng thức quen thuộc a a b ab ta đánh giá giải a b ab � a b ab tốn xem giá theo bất đẳng thức Cauchylaf Để ý đến đánh a b ab � a b ab ta cần a b ab � a b ab , đánh giá hoàn toàn đắn theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Lời giải Theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta a b �a b ; ab �1 ab Do ta a b ab a b 2 a b ab � a b 2 ab a b 1 � 4 a b 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a 0; b a 1; b Ví dụ 19 Cho a, b, c số thực đôi không đồng thời Chứng minh rằng: a 1 a 2 b b c c 1 a b2 b2 c2 c2 a2 2 2 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a a Phân tích: Ta viết lại bất đẳng thức b b c c a b2 b2 c2 c2 a2 2 2 1, 2 2 đánh giá a b �a b tốn chứng minh Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a a 2 b b c c a b2 b2 c2 c2 a2 2 2 1 2 2 Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức a b �a b Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với a a � b2۳ b2 4a2b2 , Đúng với a, b Chứng minh tương tự ta b2 c2 �b2 c2 ; c2 a2 �c2 a2 Nhân theo vế kết ta a a 2 b b 2 Vì đẳng thức không xẩy nên ta a a 2 c c a �1 c c a 1 b2 b2 c2 c2 a2 b b 2 b2 b2 c2 c2 a2 2 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 20 Cho a, b, c số thực khơng âm Chứng minh rằng: 33 abc a b b c c a �a b c Phân tích: Nhận định tìm hiểu bất đẳng thức tìm cách phá giá trị tuyệt đối Quan sát kĩ ta thấy khơng thể bình phương khơng thể xét dấu đại lượng để phá giá trị tuyệt đối Trong trường hợp ta thử nghĩ đến cách thứ tự biến để phá giá trị tuyệt đối xem chứng minh hay khơng Chẳng hạn ta chọn a �b �c , ta phá giá trị tuyệt đối bất đẳng thức viết lại thành 33 abc a b 3c �0 , nhận thấy a b �0; abc 3c �0 nên bất đẳng thức thu hồn tồn Lời giải Vì vai trị a, b, c nên khơng tính tổng quát ta giả sử a �b �c Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 33 abc a b b c a c �a b c � 33 abc a b 3c �0 � a b 33 c ab c2 �0 Bất đẳng thức cuối ln a �b �c Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 21 Cho a, b, c số thực Chứng minh rằng: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a b b c c a �2 a2 b2 c2 ab bc ca Lời giải Vì vai trị a, b, c nên khơng tính tổng qt ta giả sử a �b �c Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành a b b c a c �2 a2 b2 c2 ab bc ca � 4 a c �2 � �a b b c c a � � � � � a c � b c c a � � � b c c a a b b c � � � � 2 a b b c �0 � a c �2 a2 b2 c2 ab bc ca 2 2 2 2 2 Bất đẳng thức cuối a �b �c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Ví dụ 22 Cho a, b, c số thực khơng âm Chứng minh rằng: a b b c c a a3 b3 c3 �abc Phân tích: Trước hết ta dự đốn đẳng thức xẩy a b c Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế phải xuất đại lượng a b; b c; c a nên suy nghĩ biến đổi bất đẳng thức cần phải làm để xuất vế trái đại lượng a b; b c; c a , yêu cầu làm ta liên tưởng đến đẳng thức bậc ba quen thuộc 2 � Như sau áp dụng a3 b3 c3 3abc a b c � a b b c c a � � � � 2 vế trái bất đẳng chứa đại lượng a b b c c a mà bên vế phải lại tích đại lượng a b; b c; c a , từ chiều bất đẳng thức cần chứng minh ta Bây ta cần �3 � a b b c c a � � � 2 a b c �3 a b b c c a hoàn thành chứng minh bất 2 nghĩ đến đánh giá a b b c c a đánh giá kiểu 2 3 đẳng thức Chú ý đến dấu giá trị tuyệt đối biến không âm ta có đánh giá a b �a b ; b c �b c ; c a �c a , đến u cầu để chứng minh tốn xử lí, việc trình bày lời giải hồn tồn đơn giản Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b c � a b b c c a � � � a b b c c a � �� 2 � � � a b c �a b b c c a ��9 a b b c c a � � Theo tính chất bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta có a b �a b ; b c �b c ; c a �c a 2 Do áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a b c a b b c c a �a b b c c a �33 a b b c c a a b b c c a 2 �33 �a b b c c a � � � Nhân theo vế hai bất đẳng thức ta 2 ��9 a b b c c a a b c � a b b c c a � � � � Vậy Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Và Ví dụ 23 Cho n số thực x1; x2; ;xn (với n �3) Chứng minh rằng: x1 x2 xn x1 x2 x2 x3 xnx x1 Max{x1; x2; ; xn} � n 2n Max{x ; x ; ; x } Trong số lớn số thực x1; x2; ;xn n Lời giải Để ý hai số thực x, y ta ln có Min{x,y} �x, y �Max{x, y} Max{x, y} x y x y x y x y Sử dụng đẳng thức Max{x,y} , ta có: x1 x2 xn x1 x2 x2 x3 xn x1 n 2n x1 x2 x1 x2 x2 x2 x2 x3 xn x1 xn x1 2n 2n 2n Max{x1, x2} Max{x2,x} Max{xn, x1} � �Max{x1; x2; ; xn} n Vậy toán chứng minh Đẳng thức xẩy x1 x2 xn Sử dụng tính chất tam thức bậc hai Ví dụ 24 Cho a, b số thực thỏa mãn a2 a 2b 4b2 4ab �0 �a 2b �1 Chứng minh rằng: Phân tích: Để ý bất phương trình bậc hai At Bt C �0 � t1 t t2 với A , t1; t2 nghiệm tam thức At2 Bt C Phân tích bất đẳng thức giả thiết ta thu a 2b a 2b �0 , ta xem vế trái đa thức biến a 2b , ta có lời giải sau Lời giải Bât đẳng thức giả thiết tương đương với a2 4ab 4b2 a 2b �0 � a 2b a 2b �0 Đặt t �� a� 2b t2 t 0 �� t � a 2b http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Vậy tốn chứng minh Ví dụ 25 Cho a, b số thực Chứng minh rằng: a2b4 a2 b2 4ab a2 �4ab3 Phân tích: Bất đẳng thức có hai biến biến a có bậc cao 2, ta biến đổi bất đẳng thức theo hướng xuất tam thức bậc hai có biến a sau b a2 4b b2 a 4b2 �0 Ta xem vế trái bất đẳng thức tam thức bậc hai, để ý đến b2 0, ta cần chứng minh biệt thức tam thức có giá trị âm Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với b a2 4b b2 a 4b2 �0 f(a) b2 a2 4b b2 a 4b2 Xét đa thức � 4b b2 � b2 4b2 16b2 �0 � � Khi ta có Do ta có b2 f(a) �0 mà b2 nên ta f(a) b2 a2 4b b2 a 4b2 �0 Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 26 Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn b c d Chứng minh rằng: a b c d ac bd Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 b 3c d a b c d 8bd Khi ta có f(a) a2 b 3c d a b c d 8bd Xét tam thức ' b 3c d b c d 8bd c b c d 2 Do b c d nên ta ' suy f(a) Hay a2 b 3c d a b c d 8bd Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 27 Cho a, b, c, d, e số thực Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d2 e2 �a � b c d e Phân tích: Bất đẳng thức chứng minh kĩ thuật biến đổi tương đương Ở ta sử dụng tư tưởng tam thức bậc hai để chứng minh Để ý ta viết a b2 c2 d2 e2 , đến ta lại bất đẳng thức sau f(a) a b c d e � b2 c2 d2 e2 �0 Việc hoàn cần phải chứng minh b c d e � http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word toàn thực nhờ phép biến đổi tương đương bất đẳng thức Bunhiacpoxki Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e �0 � f(a) a2 b c d e � a b2 c2 d2 e2 Xét b c d e � b2 c2 d2 e2 Khi ta có Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có � b c c e b2 c2 d2 e2 b2 c2 d2 e2 b c d e � b2 c2 d2 e2 �0 Suy Do ta f(a) a2 b c d e � a b2 c2 d2 e2 �0 Hay bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 28 Cho a, b, c số thực thỏa mãn 1 �a, b, c �2 a b c Chứng minh rằng: a2 b2 c2 �6 � Phân tích: Từ giả thiết 1 �a �2, ta thiết lập bất đẳng thức bậc hai dạng a a �0 , áp dụng tương tự ý đến giả thiết a b c Giải Theo tính chất dấu tam thức bậc hai ta có 1 �b �2 � b 2 b 1 �0 1 �c �2 � c 2 c 1 �0 1 �a �2 � a a �0 Cộng vế ba bất đẳng thức ta a a b2 b c2 c �� 0� a2 b2 c2 a b c �� Vì a b c nên a2 b2 c2 �6 � Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 29 Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki a) Cho số thực a1, a2, a3, b1, b2, b3 khác Chứng minh rằng: ab 1 a2b2 a3b3 Đẳng thức xẩy � a12 a22 a23 b12 b22 b23 a1 b1 a2 b2 a3 b3 b) Cho số thực a1, a2, , an, b1, b2, , bn khác Chứng minh rằng: ab a2b2 anbn Đẳng thức xẩy � a12 a22 a2n b12 b22 b2n a1 b1 a2 b2 an bn http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Lời giải a) Xét đa thức a x f(x) a12 a22 a23 x2 a1b1 a2b2 a3b3 b12 b22 b23 2 2a1b1x b a x 2a2b2x b a x 2a3b3x b23 a1x b1 2 a x b a x b 2 2 2 2 �0 Vì f(x) �0, x �R nên ta có ' a1b1 a2b2 a3b3 ab Hay a2b2 a3b3 a a22 a32 b12 b22 b23 �0 � a12 a22 a23 b12 b22 b23 Đẳng thức xẩy a1 a1x b1 a2x b2 a3x b3 � Vậy bất đẳng thức chứng minh b) Xét da thức a x b1 a2 b2 a3 b3 f(x) a12 a22 a2n x2 a1b1 a2b2 anbn b12 b22 b2n 2 2a1b1x b a x 2a2b2x b a x 2anbnx b a1x b1 a x b 2 2 2 anx bn 2 n 2 n �0 Vì f(x) �0, x �R nên ta có ' a1b1 a2b2 anbn Hay ab 1 a2b2 anbn a 2 a22 a2n b12 b22 bn2 �0 � a12 a22 a2n b12 b22 b2n Đẳng thức xẩy a1x b1 a2x b2 anx bn � a1 b1 a2 b2 an bn Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 30 Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn a d b c Chứng minh rằng: Nếu tồn số thực m cho 2m ad bc với x �R ta ln có: x a x b x c x d m 2� �� Phân tích: Quan sát biểu thức bên vế trái ta nhận thấy đa thức bậc 4, a d x x2 b c x , vế trái trở thành đa thức với phép đặt biến phụ y�x bậc hai, ta cần chứng minh biệt thức âm, cần ý đến giả thiết 2m ad bc chắn phải cần đến chứng minh Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với � x2 a d x ad�� x2 b c x bc� m2 �0 � �� � ad bc y abcd m a d x x2 b c x , ta bất đẳng thức Do a d b c nên ta đặt y�x y ad y bc m �0 � y2 �0 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word f(y) y2 ad bc y abcd m2 Xét y ad bc 4.1 abcd m2 ad bc 4m2 Ta có x a x b x c x d m Vì 2m ad bc nên 4m2 � ad bc � y �0 ta có f(y) �0 2� Hay �� Vậy toán chứng minh Ví dụ 31 Cho a, b, c số thực thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: 3a 4b 5c �44 ab bc ca Phân tích: Bất đẳng thức có bậc hai biến, nên ta nghĩ đến việc đưa tam thức bậc hai Bất đẳng thức có ba biến có thêm điều kiện a b c ta chuyển bất đẳng thức thành bất đẳng thức có hai biến Đến ta chọn biến làm biến chính, cịn lại ta xem tham số sử dụng tính chất tam thức bậc hai ý tưởng không tồi chút Lời giải Từ giả thiết a b c suy c a b , thay vào bất đẳng thức ta 3a 4b 5a 5b �44ab 44 a b a b � 48a 16 3b 4 a 45b 54b 25 �0 16 3b 4 a 45b 54b 25, ta 2 Xét f(a) 48a 2 ' 64 3b 48 45b2 54b 25 176 3b �0 2 Do suy f(a) �0 hay 48a 16 3b a 45b 54b 25 �0 Vậy bất đẳng thức chứng minh 1 ;b ;c Ví dụ 32 Cho a, b số thực Chứng minh rằng: Đẳng thức xẩy a a a2 b b2 �2 ab a2b2 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy, bất đẳng thức có tính đối xứng với hai biến a, b có bậc hai biến cách tự nhiên ta nghĩ đến sử dụng tính chất tam thức bậc hai để chứng minh Trước hết ta viết lại bất đẳng thức b 3b a2 3b2 5b a 3b2 3b �0 Xem vế trái tam thức bậc hai biến a đó, để ý đến b2 3b ta cần chứng minh biệt thức �0 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với b 3b a2 3b2 5b a 3b2 3b �0 Xét tam thức bậc hai f(a) b2 3b a2 3b2 5b a 3b2 3b http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Khi ta 3b2 5b b2 3b 3b2 3b a2 3a �0 � 3� Để ý ta thấy b 3b � b � , ta f(a) �0 � 2� 2 2 Hay b 3b a 3b 5b a 3b 3b �0 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy ki � b2 3b � 3� � 3b2 5b � a b � a � b2 3b � Ví dụ 33 Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: a a2 b b2 c c2 �1 abc a2b2c2 Phân tích: Trước hết ta dự đốn đẳng thức xẩy a b c Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy bất đẳng thức có tính đối xứng có bậc hai biến, cách tự nhiên ta nghĩ đến tam thức bậc hai Như ta cần chọn biến chính, c chẳng hạn, biến a, b đóng vai trị tham số Để ý thấy 2 vế trái bất đẳng thức có đại lượng a a b b cồng kềnh biến đổi, ta cần thay đại lượng đại lượng bé hơn, ý đến dấu đẳng thức xẩy ta có hai ý tưởng a a b b � 2a a 2b b ab b a2b2 a b a 2 a2b2 � 2 Nhận thấy ý tưởng đầu không thực chẳng hạn ab Hoặc a a2 b b2 2 2 bất đẳng thức 3ab c c � abc a b c không Do ta theo ý tưởng thứ hai Lúc ta bất đẳng thức a a2 b b2 c c2 � a2b2 c c2 2 2 2 Bây ta cần chứng minh a b c c �2 abc a b c , viết 2 2 2 thành f(c) a b c 2ab 3a b c 3a b �0 Công việc cuối chứng minh 2ab 3a2b2 a2b2 3a2b2 �0 tốn xem chứng minh Ở ta không chứng minh biệt thức �0 ý tưởng hồn tồn phá sản Cũng may toán ta thu 3 ab cần trình bày lại lời giải xong Lời giải Ta có b a a2 b b2 a2b2 a b a 2 �1 a2b2 Do ta bất đẳng thức http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word �0 Đến a a2 b b2 c c2 � a2b2 c c2 Ta cần chứng minh a2b2 c c2 �2 abc a2b2c2 � a2b2 c2 2ab 3a2b2 c 3a2b2 �0 2 2 2 Xét tam thức bậc hai f(c) a b c 2ab 3a b c 3a b Khi ta 2ab 3a2b2 a2b2 3a2b2 3 ab �0 Dễ thấy a2b2 nên ta f(c) �0 Hay a b c 2ab 3a b c 1 3a b 2 2 2 �0 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Nhận xét: Đây toán khó, ban đầu xem c biến a, b tham số mà chứng minh biệt thức �0 thực khó khăn, ý tưởng làm đơn giản hóa vế trái hồn tồn tự nhiên Nhưng để có đánh giá hợp lí cần phải xem xét toán cách tổng thể ln để ý đến tình xẩy Ví dụ 34 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn abc ab bc ca Chứng minh rằng: a b c �ab bc ca Phân tích: Dự đốn dấu đẳng thức xẩy a b c a b 2; c Quá trình đánh giá bất đẳng thức cần ý đến đẳng thức xẩy Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy bất đẳng thức có tính đối xứng ba biến có điều kiện nên ta đưa dạng tam thức bậc hai Chẳng hạn từ giả thiết ta rút a bc Khi bất đẳng thức viết lại thành: b c bc bc bc b c� b c bc b c bc b c bc Và xem b biến c tham số ta thu bất đẳng thức có bậc hai 2 2 biến f(b) c c b c c b c 4c �0 5c 8 Bây Lúc ta có c2 c c c2 c2 4c c c ta cần phải �0 c c2 �0 Chú ý trường hợp đẳng thức xẩy c c , ta nhận thấy c �1 hai yêu cầu đáp ứng Nhận thấy từ giả thiết abc a b c chọn c nhỏ ta có c �1, ta giả sử c số bé ba số a, b, c Việc giả sử hồn tồn vai trị biến Đến ta trình bày lại lời giải sau Lời giải Khơng tính tổng quát ta giả sử c số bé ba số a, b, c Khi ta có abc � ab bc ca Từ abc ab bc ca suy a c3 3c2 c bc Như ta cần chứng minh b c bc bc bc b c� b c bc b c bc b c bc http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word c c b c c 4 b c 4c �0 f(b) c c b c c 4 b c 4c Xét Khi ta có c c 4 4 c c c 4c 4 c c 1 5c 8 Hay 2 2 2 2 2 5c 8 �c c 1 8 3c c 1 Vì c �1 nên ta có c c 2 Lại thấy c �1 c c2 �0 nên f(b) �0 1 c c b c Hay 2 2 �0 c b c2 4c �0 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c a b 2; c hoán vị Nhận xét: Sử dụng ngun lí Dirichlet chứng minh bất đẳng thức trên, nhiên để sử dụng ngun lí Dirichlet khơng đơn giản Qua ta nhận thấy với bất đẳng thức bậc hai nghĩ đến sử dụng tính chất tam thức bậc hai điều tự nhiên thực tế tính chất tam thức bậc hai cho thấy hiệu chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 35 Cho a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện: a b c a3 b3 c3 3abc Gọi M số lớn m số nhỏ ba số a, b, c M m� Chứng minh rằng: Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta thấy vai trò ba biến a, b, c nên để đơn giản ta thứ tự biến để quy định M m cho bất đẳng thức Chẳng hạn ta chọn M a; m c , ta cần chứng minh a c � 2 a b b c c a � Chú ý đẳng thức a3 b3 c3 3abc a b c � , kết � � � � hợp với a b c 2, ta viết lại chứng minh a c � a b b c c a 2 2, ta cần phải nên ta xem đẳng thức bên phương trình bậc hai ẩn X a c viết lại ta X b c X b c Đến ta thấy hai ý tưởng để chứng minh X � chứng minh X � 3 Một ta cần giải nghiệm X theo b c sau Hai đổi vai trị phương trình xem X tham số, từ điều kiện có nghiệm phương trình ta suy X � Lời giải Vì vai trị a, b, c nên khơng tính tổng qt ta giả sử a số lớn c số nhỏ ba số a, b, c Khi ta cần chứng minh a c � Ta có a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Hay a b b c c a Đặt X a c , ta � X a c b c b c � X a c 2 b c 2 a c b c � 2X 2 b c X 2 b c � X b c X b c X2 a b b c 2 2 2 2 2 Xem phương trình có ẩn b c , để phương trình có nghiệm � X2 X2 Suy a c � X2 X Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a ; b ; c hoán vị 3 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ... lớn 2 ba số a, b, c Khi ta có b ? ?1; c ? ?1 2 a2 1? ?? b 1? ?? c � a ; � b ; �c2 2 1? ?? b 1? ?? c 1? ?? a a2 Từ ta bất đẳng thức a2 b2 c2 ? ?2 a2 b2 c2 2 1? ?? b 1? ?? c 1? ?? a a2 2 1 ? ?2. .. a 12 a 22 a23 b 12 b 22 b23 a1 b1 a2 b2 a3 b3 b) Cho số thực a1, a2, , an, b1, b2, , bn khác Chứng minh rằng: ab a2b2 anbn Đẳng thức xẩy � a 12 a 22 a2n b 12 b 22. .. a2b2 a3b3 a a 22 a 32 b 12 b 22 b23 �0 � a 12 a 22 a23 b 12 b 22 b23 Đẳng thức xẩy a1 a1x b1 a2x b2 a3x b3 � Vậy bất đẳng thức chứng minh b) Xét da thức