Đang tải... (xem toàn văn)
Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Nguyễn Công Lợi CHUONG 1_CHU DE 1Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Nguyễn Công Lợi CHUONG 1_CHU DE 1Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Nguyễn Công Lợi CHUONG 1_CHU DE 1Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Nguyễn Công Lợi CHUONG 1_CHU DE 1Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Nguyễn Công Lợi CHUONG 1_CHU DE 1Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Nguyễn Công Lợi CHUONG 1_CHU DE 1Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Nguyễn Công Lợi CHUONG 1_CHU DE 1Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Nguyễn Công Lợi CHUONG 1_CHU DE 1Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Nguyễn Công Lợi CHUONG 1_CHU DE 1Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức Nguyễn Công Lợi CHUONG 1_CHU DE 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I Định nghĩa Giả sử A B hai biểu thức số chữ Khi + A > B; A < B; A ≥ B; A ≤ B gọi bất đẳng thức + Các bất đẳng thức viết lại sau A − B > 0; A − B < 0; A − B ≥ 0; A − B ≤ + Một bất đẳng thức đúng, sai Quy ước: Khi nói bất đẳng thức mà khơng nói thêm ta hiểu bất đẳng thức II Tính chất bất đẳng thức + Tính chất giao hoán Với số thực A B bất kì, ta ln có A ≤ B ⇔ B ≥ A + Tính chất bắc cầu Với số thực A, B, C bất kì, ta ln có A ≤ B, B ≤ C ⇒ A ≤ C + Tính chất liên hệ với phép cộng - Với số thực A, B M bất kì, ta ln có A ≤B ⇔A ±M ≤B±M - Với số thực A, B, C, D , ta ln có • A ≤ B; C ≤ D ⇒ A + C ≤ B + D • A ≤ B; C ≤ D ⇒ A − D ≤ B − C + Tính chất liên hệ với phép nhân - Với số thực A, B bất kì, ta ln có • A ≤ B; M > ⇒ A.M ≤ B.M • A ≤ B; M < ⇒ A.M ≥ B.M - Với số thực A, B, C, D , ta ln có 0 < A < B ⇒ < A.C < B.D < C < D + Tính chất liên hệ với lũy thừa - Với số thực A, B bất kì, ta ln có • A ≥ B ≥ ⇔ A n ≥ B n ≥ , với n số thực dương • A ≥ B ⇔ A n ≥ B n , với n số tự nhiên lẻ • A ≥ B ⇔ A n ≥ B n ≥ , với n số tự nhiên chẵn • m ≥ n > 0; A ≥ ⇒ A m ≥ A n • m ≥ n > 0; < A < ⇒ A m ≤ A n + Tính chất liên hệ với tính nghịch đảo - Với số thực dương A, B bất kì, ta ln có A ≥ B ⇔ 1 ≤ A B III Một số bất đẳng thức cần nhớ http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word + A ≥ với ∀ A A 2k ≥ với ∀ A k số tự nhiên + A ≥0 + với ∀A + A+B ≥ A + B + A −B ≤ A − B http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Chương I – MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Nội dung chương I gồm: • Giới thiệu phương pháp chứng minh bất đẳng thức • Nêu số tính chất liên quan, số lưu ý phương pháp chứng minh bất đẳng thức • Giới thiệu tập mẫu trình phân tích, suy luận để tìm lời giải lời giải trình bày cụ thể • Giới thiệu số tập tự luyện Chủ đề MỘT SỐ KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Kiến thức cần nhớ Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức A ≥ B Tư tưởng phương pháp biến đổi tương đương bất đẳng thức thành bất đẳng thức mà phổ biến dạng sau: + Sử dụng định nghĩa bất đẳng thức: A ≥ B ⇔ A − B ≥ + Dạng tổng bình phương: A ≥ B ⇔ mX + nY + kZ2 ≥ 0, với số m, n, k dương + Dạng tích hai thừa số dấu: A ≥ B ⇔ X.Y ≥ A ≥ B ⇔ X 2n.Y ≥ + Xây dựng bất đẳng thức từ điều kiện ban đầu: Nếu x, y, z ∈ [a,b] ta nghĩ tới bất đẳng thức sau ( x − a) ( x − b) ≤ 0; ( x − a) ( y − a) ( z − a) ≥ 0; ( x − b) ( y − b) ( z − b) ≤ Một số đẳng thức cần nhớ ( a ± b) + = a ± 2ab + b ; a + b 2 2 ( a + b) = 2 ( a − b) + 2 ( a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca + ( a + b) ( b + c) ( c + a) = a b + ab + b c + bc + c a + ca + 2abc + ( a + b + c) ( ab + bc + ca) = a b + ab + b c + bc + c a + ca + 3abc + ( a + b) ( b + c) ( c + a) + abc = ( a + b + c) ( ab + bc + ca) + ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) = abc + ab + bc + ca + a + b + c + + ( a − 1) ( b − 1) ( c − 1) = abc − ( ab + bc + ca) + a + b + c − + a + b + c − 3abc = ( a + b + c) ( a + b + c − ab − bc − ca) + 2 2 2 ( 3 ) + a+ b+ c 2 ( 2 )( 2 2 2 )( = a3 + b3 + c3 + a + b b + c c + a ) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word )( ( ) 2 3 2 2 2 + a + b + c a + b + c = a + b + c + a b + ab + b c + bc + c a + ca Một số bất đẳng thức ( ) ( ) + a2 + b2 ≥ 2ab; a2 + b2 ≥ a + b + a2 + b2 − ab ≥ ( ) a+ b ≥ 4ab + a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ( + 3( a ) ( ) ) ( + c ) ≥ ( ab + bc + ca) ≥ 3abc ( a + b + c) + a2 + b2 + c2 ≥ a + b + c ≥ ab + bc + ca + b4 + Bất đẳng thức tam giác b− c < a < b+ c a + b − c > c − a < b < c + a ⇔ b + c − a > a− b < c< a+ b c + a − b > Với a, b, c ba cạnh tam giác Một số kỹ thuật phép biến đổi tương đương + Kỹ thuật xét hiệu hai biểu thức + Kỹ thuật sử dụng đẳng thức + Kỹ thuật thêm bớt số, biểu thức + Kỹ thuật đặt biến phụ + Kỹ thuật thứ tự biến + Kỹ thuật khai thác tính bị chặn biến Một số ví dụ minh họa Ví dụ Cho a, b, c số thực Chứng minh rẳng: a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ( ) b) a2 + b2 + c2 + ≥ a + b + c Phân tích: Các bất đẳng thức quen thuộc, ta giải cách xét hiệu vế trái vế phải phân tích thành tổng bình phương Lời giải a) Xét hiệu hai vế bất đẳng thức ( ) ( ) a2 − 2ab + b2 + b2 − 2bc + c2 + c2 − 2ca + a2 2 2 a− b + b− c + c− a = ≥0 a2 + b2 + c2 − ab + bc + ca = ( ) ( ) ( ) Suy a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c b) Xét hiệu hai vế bất đẳng thức (a ) ( ) + b2 + c2 + − a + b + c = a2 − 2a + + b2 − 2b + + c2 − 2c + ( ) ( ) ( + ≥ 2( a + b + c) 2 ) = a−1 + b−1 + c−1 ≥ Suy a2 + b2 + c2 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = Ví dụ Cho a, b, c số thực Chứng minh rẳng: a2 + b2 + c2 a + b + c ≥ ÷ 3 Phân tích: Đây bất đẳng thức quen thuộc, ta giải cách xét hiệu vế trái vế phải phân tích thành tổng bình phương Lời giải Xét hiệu hai vế bất đẳng thức a a + b + c a + b + c − ÷ = 3 2 ( ) ( ) a2 + b2 + c2 − a + b + c ( a − b) + ( b − c) + ( c − a) = 2 a2 + b2 + c2 a + b + c Suy ≥ ÷ 3 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Nhận xét: Qua hai ví dụ ta nhận thấy biến đổi tương đương bất đẳng thức bậc hai thường xuất đại lượng ( a − b) ; ( b − c) ; ( c − a) 2 với điều kiện dấu đẳng thức xẩy a = b = c Do trước biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu đẳng thức xẩy để từ có hướng hợp lí Ví dụ Cho a, b, c số thực Chứng minh rẳng: ( ) a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a b + c + d + e Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức tương tự bất đẳng thức trên, ta giải cách xét hiệu vế trái vế phải phân tích thành tổng bình phương Để tích ab, ac, ad, ae vào bình phương ta cần ghép a với b, c, d, e, vai trò b, c, d, e nên ta nghĩ đến việc biến đổi sau ( ) a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a b + c + d + e ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ a − kb + a − kc + a − kd + a − ke ≥ Trong trường hợp ta chọn k = , tức ta phải nhân hai vế với Lời giải Xét hiệu hai vế bất đẳng thức ( ) a2 + b2 + c2 + d2 + e2 − a b + c + d + e http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word = = = ( ) ( ) a2 + b2 + c2 + d2 + e2 − ab + ac + ad + ae ( a2 − 4ab + 4b2 + a2 − 4ac + 4c2 + a2 − 4ad + 4d2 + a2 − 4ae + 4e2 ( a − 2b + a − 2c + a − 2d + a − 2e ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ≥0 ( ) a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a b + c + d + e Suy Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = 2b = 2c = 2d = 2e Nhận xét: Với bất đẳng thức trên, phép biến đổi tương đương ta dùng tính chất tam thức bậc hai để chứng minh Ví dụ Cho a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện a, b, c ≥ Chứng minh rẳng: a) 1 + ≥ 2 + ab 1+ a 1+ b b) 1 + + ≥ 3 + abc 1+ a 1+ b 1+ c Phân tích: Để ý ta thấy, mẫu biểu thức xuất hiệt bình phương, ý tưởng chứng minh bất đẳng thức xét hiệu phân tích làm xuất bình phương Chú ý đến giả thiết a, b ≥ ⇒ ab − ≥ Lời giải a) Xét hiệu hai vế bất đẳng thức 1 1 1 + − = − + − 2 2 + a + b + ab + a + ab + b + ab a − b ab − = ≥0 a + b2 + ab + ( ( )( )( )( ) ) 1 + ≥ 2 + ab 1+ a 1+ b Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = Suy b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 1 1 + + ≥ ⇔ + + + ≥ + a3 + b3 + c3 + abc + a3 + b3 + c3 + abc + abc Áp dụng bất đẳng thức câu a ta 1 1 2 + + + ≥ + 3 1+ a 1+ b + c + abc + a3b3 + abc4 4 ≥ = + a3b3 abc4 + abc 1 + + ≥ 3 + abc 1+ a 1+ b 1+ c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = Suy Ví dụ Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a3 + b3 = a − b Chứng minh rẳng: a2 + b2 + ab < http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy có biểu thức a2 + b2 + ab Trong giả thiết lại xuất biểu thức a − b Vậy mối liên hệ hai biểu )( ( ) 2 3 thức nào? Dễ thấy đẳng thức a − b a + b + ab = a − b Do cách tự nhiên ta nhân hai vế giả thiết với biểu thức a2 + b2 + ab để làm xuất a3 − b3 a2 + b2 + ab , ta a2 + ab + b2 = cần chứng minh a3 − b3 Tới a3 + b3 a3 − b3 < xong a3 + b3 Lời giải Biến đổi giả thiết ta ( ⇔ (a )( + b ) (a ) ( + ab + b ) = a )( a3 + b3 = a − b ⇔ a3 + b3 a2 + ab + b2 = a − b a2 + ab + b2 3 2 ) − b3 ⇔ a2 + ab + b2 = a3 − b3 a3 + b3 Ta cần chứng minh a3 − b3 < ⇔ a3 − b3 < a3 + b3 ⇔ < 2b3 ⇔ < b 3 a +b Do b > hiển nhiên Nên bất đẳng thức chứng minh Ví dụ Cho a, b số thực dương thỏa mãn điều kiện a > b Chứng minh rằng: a2 − b2 + 2ab − b2 > a Phân tích: Bất đẳng thức có chứa bậc hai biểu thức có chứa bình phương, lại có thêm điều kiện a > b > , nên ta bình phương hai vế để biến đổi bất đẳng thức Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: ( a2 − b2 + 2ab − b2 ) > a2 ⇔ a2 − b2 + a2 − b2 2ab − b2 + 2ab − b2 > a2 ( ) ⇔ 2b a − b + a2 − b2 2ab − b2 > ( ) Vì a > b > nên b a − b > Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: ( ) a4 + b4 + c4 ≥ abc a + b + c Phân tích: Bất đẳng thức bất đẳng thức có vế trái lũy ( ) thừa bậc chẵn Để ý ta thấy abc a + b + c = ab.bc + bc.ca + ca.ab , tự nhiên ta nghĩ đến việc biến đổi bất đẳng thức thành tổng bình phương Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a4 + b4 + c4 − a2bc − b2ac − c2ab ≥ ⇔ 2a4 + 2b4 + 2c4 − 2a2bc − 2b2ac − 2c2ab ≥ ( ⇔ (a ) + 2a b + ( b − c ) + 2b c + ( c − a ) + 2a c − 2a bc − 2b ac − 2c ab ≥ − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) + ( ab − bc) + ( bc − ac) + ( ab − ac) ≥ ⇔ a2 − b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) a4 + b4 + c4 ≥ abc a + b + c Suy Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Ví dụ Cho a, b số thực dương tùy ý Chứng minh rẳng: (a 10 )( ) ( )( + b10 a2 + b2 ≥ a8 + b8 a4 + b4 ) 10 10 Phân tích: Để ý ta thấy a a = a a , b b = b b , ta biến đổi tương đương để thu gọn chứng minh bất đẳng thức Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức (a 10 )( ) ( )( + b10 a2 + b2 ≥ a8 + b8 a4 + b4 ) ⇔ a + a b + a b + b ≥ a + a b + a b + b12 12 10 2 10 12 12 ( ⇔ a b (a 4 ) ( ) − b ) ( a + a b + b ) ≥ ( )( ) ⇔ a8b2 a2 − b2 + a2b8 b2 − a2 ≥ ⇔ a2b2 a2 − b2 a6 − b6 ≥ 2 2 2 Bất đẳng thức cuối Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: ab + 2bc + 3ca ≤ Phân tích: Từ giả thiết a + b + c = ta rút biến theo biến lại, chẳng hạn c = −a − b , thay vào biểu thức bất đẳng thức ta 3a2 + 4ab + 2b2 biểu thức chứa hai biến xuất bình phương Đến ta tìm cách phân tích thành tổng bình phương để chứng minh bất đẳng thức Lời giải ( ) Theo giả thiết c = − a + b , nên bất đẳng thức cho tương ứng với ( ) ( )( ) ab + c 2a + 3a ≤ ⇔ ab + −a − b 2b + 3a ≤ ( ) ⇔ ab − 2ab − 3a2 − 2b2 − 3ab ≤ ⇔ 3a2 + 4ab + 2b2 ≥ ⇔ a2 + a + b ≥0 Từ ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a = b = c = Ví dụ 10 Chứng minh với số thực a dương, ta có: ( ) a2 + 11 a + ≥ 2a a2 + Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh chứa biến a, nên thông thường ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh Để ý thêm ta thấy, bất đẳng thức chứa đại lượng a2 + 2a làm ta liên tưởng đến đẳng ( ) thức a − , lại thấy đẳng thức xẩy a = nên suy nghĩ tự nhiên biến đổi ( ) tương đương bất đẳng thức làm xuất đại lượng a − xem chứng minh http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word tốn khơng Với a = ta có ( ) 11 a a +1 = + nên = ; = 2 2a a2 + ta chuyển vế để biến đổi bất đẳng thức Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức ( ) ( ) a2 + 11 a a a +1 + ≥ ⇔ − + − 5≥ 2a 2a a2 + a +1 2 2 − a−1 a−1 a−1 5 ⇔ + ≥ ⇔ − ÷≥ 2a a a2 + 1 a2 + ( ) ( ( a − 1) ⇔ ) ( ) 5a2 − a + ( ) a a +1 ( ) ( a − 1) ( a − 1) ≥ 0⇔ 2 ( ( ) ≥0 + a2 + ) a +1 Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = Ví dụ 11 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 + + ≥ a+ b+ c ab bc ca Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta nhận thấy đặc điểm ( ) sau: + Hai vế bất đẳng thức có bậc + Bất đẳng thức cần chứng minh làm ta liên tưởng đến bất bất đẳng thức ( ) 3 hay dùng x + y ≥ xy x + y Lời giải ( ) 3 Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức x + y ≥ xy x + y với x, y số dương Thật ( ) ( )( ) ( ) ( x3 + y3 ≥ xy x + y ⇔ x + y x2 + y2 − xy ≥ xy x + y ⇔ x − y Áp dụng bất đẳng thức ta ( ) ( ) ( ) ) ≥0 bc b + c ca c + a a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 ab a + b + + ≥ + + = a+ b+ c ab bc ca ab bc ca ( ) a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 + + ≥ a+ b+ c ab bc ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c ( Suy ) Ví dụ 12 Chứng minh với số thực x ta ln có ( 2x + 1) ( ) x2 − x + > 2x − x2 + x + Phân tích: Bất đẳng thức chứa biến có chứa bậc hai Trước hết ta kiểm tra điều kiện xác định thức http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 2 1 1 x − x + = x − ÷ + > x2 + x + = x + ÷ + > 2 2 Nên bất đẳng thức xác định với x Quan sát bất đẳng thức ta thấy thay x −x vế trái bất đẳng ( ) ( ) thức trở −2x + x2 + x + vế phải bất đẳng thức 2x − x2 − x + , ( ) ( ) nhân hai vế với −1 2x − x2 + x + < 2x + x2 − x + , tức bất đẳng thức khơng thay đổi Như ta cần xét trường hợp x không âm Với ≤ x ≤ , ta thấy vế trái dương vế phải nhỏ khơng nên ta chia nhỏ trường hợp ≤ x ≤ 1 x > để chứng minh bất 2 đẳng thức Lời giải 2 1 1 Vì x − x + = x − ÷ + > x2 + x + = x + ÷ + > 2 2 Nên bất đẳng thức xác định với x Nếu x < 0, ta đặt x = − t, t > bất đẳng thức trở thành ( −2t + 1) t + t + > ( −2t − 1) ⇔ ( 2t + 1) t − t + > ( 2t − 1) t t2 − t + 2 + t+1 Bất đẳng thức cuối có dạng bất đẳng thức đề quan trọng lúc ta lại có t > Như vậy, với lập luận ta thấy cần xét toán trường hợp x ≥ đủ Lúc có hai khả xảy : + Nếu ≤ x ≤ ( ( 2x + 1) ) suy 2x + + Nếu x > ( ) x2 − x + > 0; 2x − x2 + x + ≤ ( ) x2 − x + > 2x − x2 + x + Nên bất đẳng thức hai vế dương, nên bình phương hai vế ta ( 2x + 1) ( x 2 ) ( ) (x − x + > 2x − 2 ) + x+1 ⇔ 4x + x + 3x + > 4x + x − 3x + ⇔ x > 4 nên bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Mà x > Ví dụ 13 Cho số thực a,b,c ∈ [0, 1] Chứng minh rằng: a4 + b3 + c2 − ab − bc − ac ≤ Phân tích: Từ giả thiết a,b,c ∈ [0, 1] ta ≤ a,b,c ≤ 1, theo tính chất lũy thừa ta a ≥ a ; b ≥ b ; c ≥ c Biểu thức vế trái bất đẳng thức thay đại lượng a + b + c − ab − bc − ca Cũng từ giả thiết a,b,c ∈ [0, 1] biểu thức http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Nhận xét: Trong bất đẳng thức trên, có kinh nghiệm nên nhớ tìm lời giải tìm cách đổi chiều bất đẳng thức Cách đơn giản nhân hai vế với −1 ta được: Vậy bất đẳng thứ chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = bc − a ca − b ab − c + + ≥− a + bc b + ca c + ab Bây ta chưa biến đổi mà tìm cách triệt tiêu đại lượng âm biểu thức trước đổi dấu vế phải Để ý ta thấy a + bc + bc − a = 2bc , cần cộng vào phân số quy đồng ta triệt tiêu đại lượng âm, khơng ta đổi dấu bên vế phải, cụ thể bc − a ca − b ab − c 2bc 2ca 2ab + 1+ + 1+ ≥ 3− ⇔ + + ≥ a + bc b + ca c + ab a + bc b + ca c + ab Đến ta tìm thấy hướng khác để xử lí tốn 1+ Ví dụ 39 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a b c + + ≥ b+ c c+ a a+ b Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức Neibizt tiếng, có nhiều cách chứng minh cho bất đẳng thức Để chứng minh phương pháp biến đổi tương đương ta có ý tưởng sau + Thứ ta xét hiệu hai vế ý a a− b a− c − = + , ta có b+ c 2 b+ c b+ c ( ) ( ) phân thức Dự đoán dấu đẳng thức xẩy a = b = c , nên ta ghép hai phân thức làm nhóm cho phân tích thành bình phương hiệu hai ba số a, b, c Để ý ( ) a− b a− b a− b − = b+ c c+ a b+ c c+ a ( )( ) a a+ b+ c Do ta cộng vào hai vế + 1= b+ c b+ c bất đẳng thức với 3, thực biến đổi ta đươc bất đẳng thức dạng 1 + + sau 2a + 2b + 2c ÷ ≥ , đến ta đơn giản hóa bất b + c c + a a + b đẳng thức việc đặt biến phụ x = b + c; y = c + a; z = a + b + Thứ hai ta để ý đến biến đổi ( ) + Thứ ba ta tiến hành đặt biến phụ x = b + c; y = c + a; z = a + b từ đầu, y+ z− x z+ x− y x+y−z bất đẳng thức cần chứng ;b= ; c= 2 y+ z− x z+ x− y x+ y− z + + ≥ chứng minh dễ dàng minh thu x y z Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ta a = http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a b c − + − + − ≥0 b+ c c+ a a+ b a− b a− c b− c b− a c− a c− b ⇔ + + + + + ≥0 b+ c b+ c c+ a c+ a a+ b a+ b a − b a − b b − c b − c c − a c − a ⇔ − − − ÷+ ÷+ ÷≥ b + c c + a c + a a + b a + b b + c ( a − b) + ( b − c) + ( c − b) ⇔ ( b + c) ( c + a) ( c + a) ( a + b) ( a + b) ( b + c) 2 ≥0 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Cách 2: Bất đẳng thứ cần chứng minh tương đương với a b c + + + + + ≥ ⇔ 2a + 2b + 2c b+ c c+ a a+ b 2 ) b 1+ c + c +1 a + a +1 b ÷ ≥ ( Đặt x = b + c; y = c + a; z = a + b , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành ( x + y + z) x1 + y1 + 1z ÷ ≥ ⇔ xy + yx + yz + xz + xz + xz ≥ ( ) ( ) ( ) ) ( ) x−y y−z z− x x y y z x z ⇔ + − 2÷ + + − 2÷ + + − 2÷ ≥ ⇔ + + ≥0 2xy 2yz 2zx y x z y z x Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Cách 3: Đặt x = b + c; y = c + a; z = a + b , ta y+ z− x z+ x− y x+y−z ;b= ; c= 2 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành a= y+ z− x z+ x− y x+ y− z + + ≥3 x y z ( ) ( x−y y−z z− x x y y z x z ⇔ + − 2÷ + + − 2÷ + + − 2÷ ≥ ⇔ + + ≥0 2xy 2yz 2zx y x z y z x Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Ví dụ 40 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 6a + 2b + 3c = 11 Chứng minh rằng: 2b + 3c + 16 6a + 3c + 16 6a + 2b + 16 + + ≥ 15 6a + 2b + 3c + Phân tích: Quan sát giả thiết bất đẳng thức cần chứng minh ta nghĩ đến việc đổi biến x = 6a + 1; y = 2b + 1; z = 3c + 1, việc đổi biến ta thu kết hợp lý x + y + z = 14 bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x y y z z x 1 1 + ÷ + + ÷ + + ÷ + 14 + + ÷ ≥ 15 y x z y x z x y z Đến việc chứng minh bất đẳng thức đơn giản Lời giải Đặt x = 6a + 1; y = 2b + 1; z = 3c + 1, suy x + y + z = 14 Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word y + z + 14 z + x + 14 x + y + 14 + + ≥ 15 x y z x y y z z x 1 1 ⇔ + ÷ + + ÷ + + ÷ + 14 + + ÷ ≥ 15 y x z y x z x y z x y y z z x 1 1 ⇔ + ÷ + + ÷ + + ÷ + x + y + z + + ÷ ≥ 15 y x z y x z x y z x y y z z x ⇔ 2 + ÷ + 2 + ÷ + 2 + ÷ + ≥ 15 y x z y x z ( ) ( ) ( ) ( ) x−y y−z z− x x y y z x z ⇔ + − 2÷ + + − 2÷ + + − 2÷ ≥ ⇔ + + ≥0 y x z y z x 2xy 2yz 2zx Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh 14 11 11 11 hay a = ;b= ;c= 18 Ví dụ 41 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: Đẳng thức xẩy x = y = x = ( ) ( ) ( ) ab a + b − 2c + bc b + c − 2a + ca c + a − 2b ≥ Phân tích: Với bất đẳng thức ta có ý tưởng chứng minh sau: + Thứ ta khai triển tích nhóm hạng tử với cách hợp ( ) ( ) lý, ý ab2 + ac2 − 2abc = a b2 + c2 − 2bc = a b − c + Thứ hai a số thực dương nên ta có ( ) ab a + b − 2c = abc tương tự ta biến đổi bất đẳng thức dạng đơn giản Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b + − , áp dụng c c a2b + ab2 − 2abc + b2c + bc2 − 2abc + c2a + ca2 − 2abc ≥ ( ) ( ) ( ) ⇔ a b2 + c2 − 2bc + b c2 + a2 − 2ca + c a2 + b2 − 2ab ≥ ( ) ( ) ( ) ⇔ a b− c + b c− a + c a− b ≥0 Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( ) + bc( b + c − 2a) + ca ( c + a − 2b) ab a + b − 2c ≥0 abc abc abc a + b − 2c b + c − 2a c + a − 2b a b b c c a ⇔ + + ≥ 0⇔ + + + + + ≥ c a b b a c b a c Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Ví dụ 42 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: ( a3 + b3 + c3 abc ) + 9( a + b + c) a2 + b2 + c2 ≥ 33 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Phân tích: Dự đốn dấu đẳng thức xẩy a = b = c Khi ta có kết ( a3 + b3 + c3 đẹp ) = 6; 9( a + b + c) = 27 , ta tự nhiên ta nghĩ đến xét hiệu abc a2 + b2 + c2 hai vế bất đẳng thức Hơn ta lại có hai kết sau ( ) ( )( ) − ab − bc − ca) a3 + b3 + c3 − 6abc = a + b + c a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca ( ) ( ) ( 27 a2 + b2 + c2 − a + b + c = 18 a2 + b2 + c2 Đến thấy yên tâm hướng Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( ) − + 9( a + b + c) a3 + b3 + c3 abc ⇔ )( ( a2 + b2 + c2 − 27 ≥ ) − 18( a a + b + c a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca ) ≥0 + b2 + c2 − ab − bc − ca a2 + b2 + c2 a+ b+ c ⇔ a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca − ÷≥ a + b2 + c2 abc 2 ⇔ a − b + b − c + c − a a + b + c a2 + b2 + c2 − 9abc ≥ abc ( ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Do a − b + b − c + c − a ( a + b + c) ( a ⇔a +b +c 3 )( ) ( ) ≥ nên ta cần chứng minh ) − 3abc + a ( b ) + b2 + c2 − 9abc ≥ ) ( ) ( ) + c2 + b c2 + a2 + c a2 + b2 − 6abc ≥ Bất đẳng thức ta có ( a + b + c) ( a − b) + ( b − c) + ( c − a) a3 + b3 + c3 − 3abc = ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ≥0 ( Và a b + c + b c + a + c a + b − 6abc = a b − c + b c − a + c a − b 2 2 2 ) ≥0 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c Ví dụ 43 Cho a, b, c số thực tùy ý Chứng minh rằng: ( a + b + c) + ( b + c − a) + ( c + a − b) + ( a + b − c) 4 4 ( ≤ 28 a4 + b4 + c4 ) Phân tích: Bài toán gợi cho ta đẳng thức: ( x − y) + ( x + y) 4 ( = x4 + 6x2y2 + y4 ) Khi ta có ( a + b + c) + ( b + c − a) ( c + a − b) + ( a + b − c) ( b + c) + ( b − c) = 2( b 4 ( ( ) ) ( ( ) Để ý đến bất đẳng thức x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx Lời giải ( Dễ dàng chứng minh x − y ) ) = b + c + 6a2 b + c + a4 4 4 = b − c + 6a b − c + a 2 + 6b c + c ) + ( x + y) 4 ( = x4 + 6x2y2 + y4 ) Áp dụng đẳng thức ta http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ( a + b + c) + ( b + c − a) ( c + a − b) + ( a + b − c) ( b + c) + ( b − c) = 2( b ( ( 4 ) ) ( ( ) ) = b + c + 6a2 b + c + a4 4 4 = b − c + 6a b − c + a 2 + 6b c + c 4 ) Do ta ( a + b + c) + ( b + c − a) + ( c + a − b) + ( a + b − c) = 4( a + b + c ) + 24b c + 12a ( b + c) + ( b − c) 4 4 ( 2 ) 2 ( = a4 + b4 + c4 + 24 a2b2 + b2c2 + c2a2 Như ta cần chứng minh ( ) ( ) ) ( a4 + b4 + c4 + 24 a2b2 + b2c2 + c2a2 ≤ 28 a4 + b4 + c4 ) ⇔ ab +bc +ca ≤ a +b +c Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c Ví dụ 44 Cho a, b, c số thực khác thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + ≥1 2 a−1 b−1 c−1 2 2 2 ( 4 ) ( ) ( ) 1 ; b= ; c= x y z + ≥ 1− z Phân tích: Từ giả thiết abc = ta nghĩ đến cách đặt biến phụ a = Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành ( − x) + ( − y) ( ) Sử dụng biến đổi giả thiết xyz = ta có kết sau ( ) 3− x + y + z 1 + + = 1+ 1− x 1− y 1− z xy + yz + zx − x + y + z + 1 + ( − x) ( − y) ( − y) ( − z) ( − z) ( − x) ( = ( ) ) 3− x + y + z ( xy + yz + zx − x + y + z ) Đến ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành 1 1 ≥1 + + − + + ÷ 1− x 1− y 1− y 1− z 1− z 1− x 1− x 1− y 1− z Và sử dụng kết Lời giải 1 Vì abc = nên a,b,c ≠ Đặt a = ; b = ; c = , xyz = x, y,z ≠ x y z 1 + + ≥1 2 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 1− x 1− y 1− z ( )( ) ( ( ) )( ( ) ( ) ( )( ) ) Bất đẳng thức tương đương với http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1 1 ≥1 + + + + ÷ −2 − x − y − z − x − y − y − z − z − x − x + y + z + xy + yz + zx 3− x + y + z − 2 ≥1 ⇔ xy + yz + zx − x + y + z xy + yz + zx − x + y + z 3− x + y + z 3− x + y + z + 1≥ ⇔ 1+ − 1+ xy + yz + zx − x + y + z xy + yz + zx − x + y + z 3− x + y + z ≥0 ⇔ 1 + xy + yz + zx − x + y + z Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 45 Cho a, b, c số thực đôi khác Chứng minh rằng: ( ) ( ( ( ( ( ( )( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) )( ( ) )( ) ) ) ) ( a + b) ( a − b) 2 ( b + c) + ( b − c) 2 ( c + a) + ( c − a) 2 ≥2 Phân tích: Quan sát kĩ bất đẳng thức cần chứng minh ta có nhận xét sau a+ b 2a a+ b 2b , ta có kết sau + 1= , − 1= a− b a− b a− b a− b a+ b b + c c+ a a+ b b + c c+ a + 1÷ + 1÷ + 1÷ = − 1÷ − 1÷ − 1÷ a−b b − c c− a a− b b − c c− a + Để ý ta thấy a+ b b+ c c+ a , ;y= ;z= a− b b− c c− a x + y + z + = x − y − z − hay xy + yz + zx = −1 bất đẳng Để đơn giản hóa bất đẳng thức ta đặt x = ta ( )( )( ) ( )( )( ) thức cần chứng minh viết lại x2 + y2 + z2 ≥ Đến ta chứng minh bất đẳng thức a+ b b+ c + Với cách đặt x = ta có kết khác sau ;y= a− b b− c a + b b + c a + c xy + a + b b + c = + 1÷ : + ÷= x+ y a− b b− c a − b b − c a − c Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2 xy + 1 xy + 1 x +y + ÷ ≥ 2⇔ x + y + ÷ − 2xy ≥ x+y x+ y Đến ta chứng minh bất đẳng thức Lời giải a+ b b+ c c+ a Cách 1: Đặt x = ;y= ;z= a− b b− c c− a 8abc x+1 y+1 z+1 = Khi ta có a− b b− c c− a ( Và Suy ( )( )( ) ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) = ) ( )( )( ) 8abc ( a − b) ( b − c) ( c − a) ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) = ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) ⇔ 2( xy + yz + zx) = −2 ⇔ xy + yz + zx = −1 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành ( ) ( ) x2 + y2 + z2 ≥ ⇔ x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx ≥ ⇔ x + y + z ≥0 Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy x + y + z = hay ba số a, b, c a+ b b+ c Cách 2: Đặt x = Khi ta ;y= a− b b− c a + b b + c xy + a + b b + c = + 1÷ : + ÷ x+ y a− b b− c a − b b − c a+ b b+ c + a− b b− c a+ b b− c + a− b b+ c = : a− b b− c a− b b− c 2ab + 2bc a + c = = 2ab − 2bc a − c Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành ( )( ( ) ( )( ) )( ) ( )( ) ( )( ( ) )( ) 2 xy + 1 xy + 1 x +y + ÷ ≥ 2⇔ x + y + ÷ − 2xy ≥ x+y x+ y ( ( Dễ thấy ) xy + 1 x+y + ÷ ≥ xy + x+ y ) 2 ( ) xy + 1 Do ta x+y + ÷ − 2xy ≥ xy + − 2xy = x+ y Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy ba số a, b, c ( ) ( ) Ví dụ 46 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a b c + + ≤ 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta đưa ý tưởng sau a a+ b+ c + Thứ ta để ý đến biến đổi sau − Áp dụng tương tự = 2a + b + c 2a + b + c ta đổi chiều bất đẳng thức Đến để đơn giản hóa bất đẳng thức ta đặt biến phụ x = 2a + b + c; y = a + 2b + c; z = a + b + 2c + Đặt biến phụ x = 2a + b + c; y = a + 2b + c; z = a + b + 2c từ đầu ta 3x − y − z 3y − x − z 3z − x − y + + ≤ 4x 4y 4z + Đặt biến phụ x = b + c; y = a + c; z = a + b viết lại bất đẳng thức cần chứng bất đẳng thức minh sau y+ z− x ( ) y+z + z+ x− y ( z+ x ) + x+ y−z ( x+y ) ≤ Với bất đẳng thức ba ý tưởng ta chứng minh tiếp biến đổi tương đương Lời giải Cách 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a b c + 1− + 1− ≥ 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c ⇔ + + ≥ 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 1− 1 ⇔ a+ b+ c + + ÷≥ 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c ( Đặt ) ( ) x = 2a + b + c; y = a + 2b + c; z = a + b + 2c ⇒ x + y + z = a + b + c Khi bất đẳng thức trở thành x−y z− x ( x + y + z) x1 + y1 + 1z ÷ ≥ ⇔ xy + xy − 2÷ + yz + yz − 2÷ + xz + xz − 2÷ ≥ ⇔ ( 2xy ) y−z ( + ) 2yz + ( ) 2zx ≥0 Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Cách 2: Đặt x = 2a + b + c; y = a + 2b + c; z = a + b + 2c 3x − y − z 3y − x − z 3z − x − y ;b= ; c= 4 Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành a= Suy 3x − y − z 3y − x − z 3z − x − y + + ≤ 4x 4y 4z x y y z z z x y y z z z ⇔ + + + + + ÷≥ ⇔ + + + + + ≥ 4 y x z y x x y x z y x x ( ) ( ) ( ) x−y y−z z− x x y y z x z ⇔ + − 2÷ + + − 2÷ + + − 2÷ ≥ ⇔ + + ≥0 2xy 2yz 2zx y x z y z x Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Cách 3: Đặt x = b + c; y = a + c; z = a + b y+ z− x x+ z− y x+y−z ;b= ; c= 2 Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành a= Suy y+ z− x ( ) y+z + z+ x− y ( z+ x ) + x+ y−z ( x+y ) ≤ x y z ⇔ + + ≥ y+ z z+ x x+ y Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Neibizt Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Ví dụ 47 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: 1 b+ c c+ a a+ b + + ≥ + + a b c a + bc b + ca c + ab Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh thực gây nhiều khó khăn giải Khi thực biến đổi tương đương ý nghĩ chuyển vế xét hiệu theo nhóm, ta cần ghép nhóm cho phù hợp Để ý http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word công cụ hiệu lúc bế tắc vai trò biến nên thứ tự biến Cho nên ta ghép đại nhóm sau 1 a+ b 1 b+ c 1 c+ a − ÷+ − ÷+ − ÷ a c + ab c a + bc b b + ca c − a c + a bc + ab − ab b− c b− a = + b3 + abc ca a2 + bc c2 + ab ( )( )( ( )( ) ( ) )( ) Đến hay rồi, cần chọn b số lớn ba số a, b, c tốn coi xong Nói thật ghép theo cách khác kết khác ta thứ tự biến theo kiểu khác không Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức sau 1 b+ c c+ a a+ b + + ≥ + + a b c a + bc b + ca c + ab a+ b 1 b+ c c+ a ⇔ − ÷+ − ÷+ − ÷≥ a c + ab c a + bc b b + ca b− c b− a 1 2 + ⇔ c −a − ≥0 a c2 + ab b3 + abc c a2 + bc c − a c + a bc + ab − ab b− c b−a ⇔ + ≥0 b3 + abc ca a2 + bc c2 + ab ( ) ( )( ( ( )( ) ( )( ) ( ) ) ( )( )( ) ) Khơng tính tổng quát ta giả sử b số lớn ba số a, b, c ta bc + ab − ca ≥ 0; ( b − c) ( b − a) ≥0 b3 + abc Do bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Ví dụ 48 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a b c + + ≥ + + 2 2 2 b+ c c+ a a+ b b +c a +c a +b Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức cồng kềnh phức tạp, ta có dấu xẩy a = b = c nên biến đổi tương đương ta thường ( ) ( ) ( ) 2 nghĩ đến đại lượng a − b ; b − c ; c − a Ta để ý đến việc xét hiệu Kết thu a2 a b2 b c2 c − ; − ; − 2 2 b+ c a + c c+ a a + b a+ b b +c ( ) ( ) ab a − b ac c − a a2 a − = − b2 + c2 b + c b2 + c2 b + c b2 + c2 b + c ( ( )( ) ) ( ( )( ) ) bc b − c ab a − b b2 b − = − a2 + c2 c + a c2 + a2 c + a c2 + a2 c + a ( ( )( ) ) ( ( )( ) ) ca c − a bc b − c c2 c − = − a2 + b2 a + b a2 + b2 a + b a2 + b2 a + b ( )( ) ( )( ) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Khi có phân thức phức tạp Đến ta chọn biểu thức tử để ghép cặp ghép phân thức mẫu lại không cho ta kết tốt Chẳng hạn (b ( ) ab a − b +c − ( ) ab a − b ) ( b + c) ( c +a 2 ) ( c + a) Với biểu thức ta biến đổi tiếp tìm cách thứ tự biến Lời giải Xét hiệu hai vế ta bất đẳng thức a2 a b2 b c2 c − + − + − ≥0 2 2 2 b+ c a + c c+ a a + b a+ b b +c a2 a b2 b c2 c A= − ; B= − ; C= − 2 b+ c c+ a a+ b b +c a +c a +b Đặt Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) a2 b + c − a b2 + c2 ab a − b ac c − a a2 a A= − = = − b + c2 b + c b2 + c2 b + c b2 + c2 b + c b2 + c2 b + c ( )( Chứng minh tương tự ta B= (c ( ) bc b − c +a 2 − ) ( c + a) ( c ( ) ) ab a − b +a ( ; C= ) ( c + a) ( (b ( ) )( − ) (b + c2 b + c ( ) ac c − a )( + (a ) (c + c2 b + c + ) +b ( )( ) (a ) ca c − a +b − ) (c + a2 c + a ( − ) ( a + b) ( a bc b − c ) ( ca c − a Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành ab a − b )( ( ( )( ) ) bc b − c +b ) ( a + b) ) ab a − b − )( + a2 c + a ) ( a + b) ( a ( ) bc b − c +b ) ) ( a + b) ≥0 Đến ta có hai hướng chứng minh bất đẳng thức + Hướng 1: Xét hiệu sau ( ( ) ab a − b )( − ) ( b2 + c2 b + c ( ) ab a − b )( ) c2 + a2 c + a = ( ) ( a + b + c + ab + bc + ca) ( b + c ) ( b + c) ( c + a ) ( c + a) ab a − b 2 2 2 2 ) ( a + b + c + ab + bc + ca) − = ( c + a ) ( c + a) ( a + b ) ( a + b) ( c + a ) ( c + a) ( a + b ) ( a + b) ca ( c − a) ( a + b + c + ab + bc + ca) ca ( c − a) ac( c − a) − = ( a + b ) ( a + b) ( b + c ) ( b + c) ( a + b ) ( a + b) ( b + c ) ( b + c) ( ) ( bc b − c 2 ) bc b − c 2 ( bc b − c 2 2 2 2 2 2 2 2 ≥0 ≥0 2 ≥0 Cộng theo vế bất đảng thức ta bất đẳng thức cần chứng minh Vậy toán chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c + Hướng 2: Vì vai trò a, b, c nên khơng tính tổng qt ta giả sử a ≥ b ≥ c > Khi ta có http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ( ) ( ) − = a− b 2 b + c b+ c c + a c+ a bc b − c bc b − c − = b − c c2 + a2 c + a a2 + b2 a + b ca c − a ac c − a − 2 = a− c a2 + b2 a + b b + c b+ c Cộng theo vế bất đảng thức ta ab a − b ( ( ( ( ( )( ) )( ) )( ab a − b ) ( ( ) ( ( ) ( )( )( ) ) ) ) )( ) ( ) ( ) ( ) ab (b )( ( − ) ( + c2 b + c bc )( c2 + a2 c + a ca (b )( − )( ) ) ( )( ) − )( ) ) ( + c2 b + c ≥0 2 c + a c+ a bc ≥0 a2 + b2 a + b ca ≥0 a2 + b2 a + b cần chứng minh ab bất đẳng thức Vậy toán chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Một số tốn khác Ví dụ 49 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a2 + b2 b2 + c2 + + 2 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với c2 + a2 a2 b2 c2 + + ≥ b c a a2 b2 c2 a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 a + b + c − 2a + b + − 2b + c + − 2c + a ≥ + + − b c a 2 2 2 a− b b− c c− a a2 + b2 a + b b2 + c2 b + c c2 + a2 c + a ⇔ + + ≥ − + − + − b c c 2 2 2 2 2 a− b b− c c− a a− b ⇔ + + ≥ b c c 2 a2 + b2 + a + b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ( b − c) ( ) ) ) ( ) ) ( c − a) ( ) 2 b + c + b+ c ( ( + ( ) ( 2 c2 + a2 + c + a ) ⇔ A a − b + B b− c + C c− a ≥ Với A= 1 − b 2 a2 + b2 + a + b B= 1 − c 2 b2 + c2 + b + c C= 1 − c 2 c2 + a2 + c + a ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) Chứng minh hoàn tất ta A,B,C ≥ Thật ( ) 2 a2 + b2 + 2a + b 1 A= − = >0 b 2 a2 + b2 + a + b 2 a2 + b2 + a + b ( ) ( ) ( ) ( ) Hồn tồn tương tự ta có B,C ≥ Vậy toán chứng minh xong Ví dụ 50 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + ≥ a2 + b2 − ab + b2 + c2 − bc + c2 + a2 − ca b c a http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Lời giải Nhận thấy ( ) ( ) a− b a − ab + b − a + b = a2 − ab + b2 + 2a + 2b Áp dụng tương tự ta bất đẳng thức tương đương với a−b a2 − 2a + b = b b ( a − b) b ( b − c) + c ( c − a) + c ( ) ( ) ( ≥ ( + 2 ) a− b ( ) a2 + b2 − 2ab + a + b ( ) b− c ( ) b2 + c2 − bc + b + c ) + ( ) c− a ( ) c2 + a2 − ca + c + a ⇔ A a − b + B b− c + C c− a ≥ Với − b a2 + b2 − ab + a + b B= − 2 c b + c − bc + b + c C= − c c2 + a2 − ca + c + a A= ( ) ( ) ( ) Chứng minh hoàn tất ta A,B,C ≥ Thật A= a2 + b2 − ab + 2a + b − = >0 b a2 + b2 − ab + a + b a2 + b2 − ab + a + b ( ) ( ) Hồn tồn tương tự ta có B,C ≥ Vậy toán chứng minh xong Nhận xét: Hai bất đẳng thức phép biến đổi tương đương ta chứng minh nhiều cách khác Lời giải cách khác trình bày chủ đề “Tuyển chọn bất đẳng thức hay khó” Ví dụ 51 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a2 b2 c2 + + ≥ + + b+ c c+ a a+ b a+ b b+ c c+ a Lời giải Ta có Do a2 − b2 b2 − c2 c2 − a2 + + = a− b+ b− c+ c− a = a+ b b+ c c+ a a2 b2 c2 b2 c2 a2 + + = + + a+ b b+ c c+ a a+ b b+ c c+ a 2a2 2b2 2c2 a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 Khi ta cần chứng minh + + ≥ + + b+ c c+ a a+ b a+ b b+ c c+ a Bất đẳng thức tương đương với http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 2a2 − b2 + c2 2b2 − c2 + a2 2c2 − a2 + b2 + + ≥0 b+ c c+ a a+ b 2 a−b a+ b b− c b+ c c− a c+ a ⇔ + + ≥0 a+ c b+ c a+ b a+ c a+ b b+ c ( )( )( ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ) Như bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 52 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 + + ≥ 2 2 a − 2ab + b b − 2bc + c c − 2ca + a Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( a + b) + ( a − b) ( a − b) ( a + b) + ( b + c) ⇔ ( a − b) ( b − c) 2 Đặt x = ( b + c) + ( b − c) + ( b − c) ( c + a) ≥ + ( c − a) 2 2 2 ( c + a) + ( c − a) + ( c − a) 2 2 ≥5 a+ b b+ c c+ a , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành ;y= ;z= a− b b− c c− a x2 + y2 + z2 ≥ Ta có xy + yz + zx = ) ( )( )( ) ( ( a − b) ( b − c) ( c − a) ( a − b) ( b − c) ( c − a) = −1 =− ( a − b) ( b − c) ( c − a) Mà ( x + y + z) ≥ , x + y + z ≥ −2( xy + yz + zx) = = ( a+ b b+ c b+ c c+ a c+ a a+ b × + × + × a− b b− c b− c c− a c− a a− b a+ b b+ c c− a + b+ c c+ a a− b + c+ a a+ b b− c )( )( 2 )( )( Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = c Ví dụ 53 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: ( 2 a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 a + b + c + + ≤ a+ b b+ c c+ a a+ b+ c Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức sau ) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ) ( ) 2 a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 a + b + c + + ≤ a+ b b+ c c+ a a+ b+ c 2 c a +b a b + c2 b c2 + a2 2 ⇔2 a +b +c + + + ≤ a2 + b2 + c2 a+ b b+ c c+ a 2 c a + b − 2ab a b + c − 2bc b c + a − 2ca + + ≤ a2 + b2 + c2 ⇔ a+ b b+ c c+ a 1 ⇔ ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 + abc + + ÷ a + b b + c c + a ( ( ) ( ) ) ( ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ) Theo bất đẳng thức dạng 1 + + ≥ ta x y z x+y+z 1 9abc 2 a2 + b2 + c2 + 2abc + + ÷≥ a + b + c + a+ b+ c a + b b + c c + a 9abc ≥ ab + bc + ca , bất đẳng thức tương a+ b+ c ( Ta cần a2 + b2 + c2 + ( ) ) ( ) ( ) 3 đương với a + b + c + 3abc ≥ a b + c + b c + a + c a + b Không tính tổng quát ta giả sử a số lớn ba số a, b, c Khi ta có ( a − b) ( a + b − c) + c( a − c) ( b − c) ≥ ⇔ a + b + c + 3abc ≥ a ( b + c) + b ( c + a) + c ( a + b) 3 Như bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = c Ví dụ 54 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: 5b3 − a3 5c3 − b3 5a3 − c3 + + ≤ a+ b+ c ab + 3b2 bc + 3c3 ca − 3a2 Lời giải 5b3 − a3 ≤ 2b − a với a, b số thực dương ab + 3b2 Thật vậy, biến đổi tương đương bất đẳng thức ta Cách 1: Ta chứng minh )( ( ) 5b3 − a3 ≤ 2b − a ab + 3b2 ⇔ 5b3 − a3 ≤ 2ab2 + 6b3 − a2b − 3ab2 ( )( ) ⇔ a3 + b3 ≥ a2b + ab2 ⇔ a + b a − b ≥0 Bất đẳng thức cuối ln đúng, bất đẳng thức chứng minh Chứng minh tương tự ta 5c3 − b3 5a3 − c3 ≤ 2c − b; ≤ 2a − c bc + 3c3 ca − 3a2 5b3 − a3 5c3 − b3 5a3 − c3 + + ≤ a+ b+ c ab + 3b2 bc + 3c3 ca − 3a2 Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xẩy a = b = c Cách 2: Ta có Cộng theo vế bất đẳng thức ta ( ) a3 − 5b3 + 2b ab + 3b2 = a3 + b3 + 2ab2 ( ) ( ) ( = a3 + ab2 + b3 + a2b + 2ab2 − a2b + ab2 ( ≥ 2a b + 2ab + 2ab − a b + ab 2 2 ) ) = a ( ab + 3b ) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Do ta có a3 − 5b3 5b3 − a3 hay ta + 2b ≥ a ≤ 2b − a ab + 3b2 ab + 3b2 5c3 − b3 5a3 − c3 ≤ 2c − b; ≤ 2a − c bc + 3c3 ca − 3a2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta Áp dụng tương tự ta 5b3 − a3 5c3 − b3 5a3 − c3 + + ≤ a+ b+ c ab + 3b2 bc + 3c3 ca − 3a2 Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xẩy a = b = c Nhận xét: Trong hai cách chứng minh trên, mục đích chung chứng minh 5b3 − a3 ≤ 2b − a , vấn đề đặt làm để tìm ab + 3b2 đại lượng 2b − a Câu trả lời trình bày phụ lục “Phương pháp hệ số bất định chứng minh bất đẳng thức” bất đẳng thức Ví dụ 55 Cho a, b, c số thực thỏa mãn ≤ a,b,c ≤ a + b + c = Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 ≤ Lời giải Cách 1: Đặt A = a3 + b3 + c3 kết hợp với giả thiết toán ta ( ) ( ) = 27 − 3( − c) ( − a) ( − b) = 27 − 9( ab + bc + ca) + 3abc Mặt khác, ≤ a,b,c ≤ nên ( − a) ( − b) ( − c) ≥ hay − 4( a + b + c) + 2( ab + bc + ca) − abc ≥ ⇔ 2( ab + bc + ca) − abc ≥ 4( a + b + c) − = ⇔ 2( ab + bc + ca) ≥ abc + )( )( A = a3 + b3 + c3 = a + b + c − a + b b + c c + a Khi ta ( ) ( ) 2A = 54 − 9.2 ab + bc + ca + 6abc ≤ 54 − abc + + 3abc = 18 − 6abc ≤ 18 Suy A ≤ 9, ta bất đẳng thức a3 + b3 + c3 ≤ abc = Dấu đẳng thức xẩy 2 ab + bc + ca = a + b + c = Giải hệ ta a = 2; b = 1; c = hốn vị ( ) Cách 2: Khơng tính tổng quát, ta giả sử a số lớn Khi ta ( )( ) = a + b + c ≤ 3a , suy ≤ a ≤ Do ta a − a − ≤ Ta có ( ) ( ) A = a3 + b3 + c3 ≤ a3 + b3 + c3 + 3bc b + c = a3 + b + c ( = a3 + − a ) ( )( ) = 9+ a − a − ≤ Hay ta bất đẳng thức a3 + b3 + c3 ≤ Dấu đẳng thức xẩy a = 2; b = 1; c = hốn vị http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ... )( ) + 1) ( y + 1) − 2( x + 1) y + ( x + 1) ( y + 1) ( y − 1) + ( y + 1) ( x − 1) ≥ + y + y2 + y ≤ x2 + y2 + 2 2 ) ( 2 ) + − y2 + x ≥ Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy... Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc ta a 1 b 1= ( a − 1) ≤ a − 21 + = a2 ( b − 1) ≤ b − 21 + = b2 ab ab + = ab 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = a b 1+ b a 1 ≤ Do ta ( )... đến chiều bất đẳng thức điều kiện dấu xẩy a = b = ta đánh giá ( a − 1) ≤ a − 21 + = a2 ; a 1 ( b − 1) ≤ b − 21 + = b2 b 1= Lời giải Cách 1: Đặt x = a − 1; y = b − , x ≥ 0; y ≥ Bất đẳng thức cần