BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— NGUYỄN VĂN ĐẮC DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC BAO HÀM THỨC VI PHÂN CĨ TRỄ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— NGUYỄN VĂN ĐẮC DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC BAO HÀM THỨC VI PHÂN CĨ TRỄ Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Trần Đình Kế PGS TS Cung Thế Anh Hà Nội - 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn PGS TS Trần Đình Kế PGS TS Cung Thế Anh Các kết phát biểu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình tác giả khác Nghiên cứu sinh Nguyễn Văn Đắc LỜI CẢM ƠN Luận án thực Bộ môn Giải tích Khoa Tốn-Tin, trường Đại học sư phạm Hà Nội, hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo PGS TS Trần Đình Kế PGS TS Cung Thế Anh Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc hai Thầy, PGS.TS Trần Đình Kế người Thầy giảng dạy tác giả từ ngày học đại học sau dẫn dắt tác giả vào hướng nghiên cứu trình bày luận án này, PGS.TS Cung Thế Anh đem đến cho tác giả giảng chuẩn bị chu đáo, đầy cảm hứng phương pháp làm việc khoa học Những dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng tập thể hướng dẫn dành cho tác giả động lực giúp tác giả khơng hồn thành luận án mà có định hướng cho nghiên cứu Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt thầy cô giáo Bộ mơn Giải tích ln giúp đỡ, động viên, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Thủy lợi, đồng nghiệp cơng tác Bộ mơn Tốn, Khoa Công nghệ Thông tin, Trường Đại học Thủy lợi tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, người ln u thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án Tác giả Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 16 1.1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM 16 1.2 ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG 18 1.3 LÍ THUYẾT NỬA NHĨM 21 1.4 GIẢI TÍCH ĐA TRỊ VÀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 23 1.4.1 Một số vấn đề giải tích đa trị 23 1.4.2 Ánh xạ nén số định lí điểm bất động 26 1.5 TẬP HÚT LÙI CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHÔNG Ô-TÔ-NÔM ĐA TRỊ 27 Chương TẬP HÚT LÙI CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ HỮU HẠN 30 2.1 ĐẶT BÀI TOÁN 30 2.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN 30 2.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI 37 2.4 ÁP DỤNG 44 2.4.1 Phương trình vi phân đạo hàm riêng hàm dạng đa diện 44 2.4.2 Hệ phương trình vi phân lưới 45 Chương TẬP HÚT LÙI CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN 49 3.1 ĐẶT BÀI TOÁN 49 3.2 TIÊU CHUẨN TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI 49 3.3 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN 51 3.4 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI 55 3.5 ÁP DỤNG 61 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN YẾU CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ VƠ HẠN 66 4.1 ĐẶT BÀI TOÁN 66 4.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM PHÂN RÃ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH YẾU 66 4.2.1 Độ đo không compact BC(R+ τ , X) 67 4.2.2 Sự tồn nghiệm phân rã 68 4.2.3 Tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm tầm thường 79 4.3 ÁP DỤNG 80 Chương TÍNH HÚT TRONG KHOẢNG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN HÀM NỬA TUYẾN TÍNH 86 5.1 ĐẶT BÀI TOÁN 86 5.2 ĐIỀU KIỆN ĐỦ 87 5.3 TÍNH HÚT CỦA NGHIỆM TẦM THƯỜNG 87 5.3.1 Sự tồn nghiệm tích phân 87 5.3.2 Tính hút nghiệm tầm thường 90 5.4 ÁP DỤNG 92 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 97 TÀI LIỆU THAM KHẢO 98 MỞ ĐẦU Tổng quan vấn đề nghiên cứu lí chọn đề tài Bao hàm thức tiến hóa mơ hình cho nhiều tốn khác Xét tốn sau lí thuyết điều khiển (xem [9]) x = f (x, u), u ∈ U u nhân tố điều khiển Khi đó, hệ điều khiển bao hàm thức x ∈ f (x, U) := f (x, u) u∈U có tập quĩ đạo Nếu tập nhân tố điều khiển phụ thuộc vào x, tức U = U(x), ta nhận bao hàm thức x ∈ f (x, U(x)) Sự tương đương hệ điều khiển bao hàm thức vi phân tương ứng yếu tố then chốt để chứng minh định lí tồn lí thuyết điều khiển tối ưu Ở hướng nghiên cứu khác, ta xét phương trình vi phân x (t) = f (x(t)), t ∈ [0, T ], với f : Rn → Rn hàm không liên tục Khi tốn Cauchy x (t) = f (x(t)), x(0) = x0 vơ nghiệm Chẳng hạn, xét toán Cauchy sau x (t) = 1, x x(t) = −t + c+ nghiệm Trong áp dụng, phương trình vi phân với vế phải khơng liên tục mơ hình cho số tốn vật lí, kỹ thuật, sinh học kinh tế Các toán dạng Filippov nghiên cứu [37], kỹ thuật quy hóa hàm phi tuyến vế phải dẫn đến bao hàm thức vi phân Ngoài ra, nghiên cứu bất đẳng thức vi biến phân, phương pháp hiệu chuyển chúng bao hàm thức vi phân (xem [63]) Có thể thấy rằng, bao hàm thức tiến hóa phát sinh từ toán nhiều hướng nghiên cứu khác nhau, tiêu biểu tốn quy hóa phương trình vi phân với phần phi tuyến khơng liên tục, toán điều khiển số bất đẳng thức vi biến phân Đối với hệ tiến hóa mơ tả tốn thực tế sinh học, hóa học, kỹ thuật, kinh tế, trễ thời gian thường xuất yếu tố tự nhiên, cho phép việc mơ tả q trình xác Vì vậy, bao hàm thức vi phân có trễ thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Trong luận án này, tập trung vào vấn đề trung tâm lí thuyết định tính hệ vi phân tiến hóa, dáng điệu nghiệm bao hàm thức vi phân khơng ơ-tơ-nơm có trễ, bao gồm tồn nghiệm tích phân, tồn tập hút lùi, tính ổn định tiệm cận yếu tính hút khoảng thời gian hữu hạn nghiệm Lí thuyết định tính hệ vi phân không gian hữu hạn chiều (phương trình vi phân thường) nghiên cứu từ đầu kỷ 20 thu thành tựu quan trọng dựa lí thuyết ổn định Lyapunov (xem [32, 44]), phương pháp hàm Lyapunov công cụ hiệu nhiều nhà nghiên cứu sử dụng Ngoài ra, phương pháp khác phương pháp điểm bất động (xem [17]), phương pháp so sánh (xem [61]) lựa chọn để phân tích dáng điệu tiệm cận nghiệm Với bao hàm thức tiến hóa hữu hạn chiều, chuyên khảo [9, 29] trình bày cách hệ thống kết tính giải được, cấu trúc tập nghiệm Tuy nhiên, tính chất khơng nghiệm tốn Cauchy cho bao hàm thức vi phân, lí thuyết Lyapunov gặp nhiều khó khăn việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm Khi đó, khái niệm ổn định yếu Filippov đề xuất (xem [37]) phương pháp hàm Lyapunov cải tiến để chứng minh tính ổn định yếu xây dựng [1] Trong khoảng hai thập kỷ qua, bao hàm thức vi phân không gian Banach tổng quát ứng dụng thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học, trở thành chủ đề nghiên cứu có tính thời Có thể tìm thấy chun khảo tiêu biểu [48, 49, 51, 68] kết nghiên cứu có tính hệ thống Dựa vào lí thuyết nửa nhóm, kết tính giải bao hàm thức tiến hóa thiết lập nhiều điều kiện khác (xem [25, 38, 62]) Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm, cơng cụ lí thuyết tập hút tồn cục hay lí thuyết ổn định Lyapunov đóng vai trò quan trọng Lí thuyết tập hút toàn cục xây dựng (xem [27, 67]) nhằm phân tích dáng điệu nghiệm hệ vi phân ơ-tơ-nơm (autonomous) góc nhìn hệ động lực, theo nghĩa có tồn hay khơng tập compact, bất biến hút quĩ đạo nghiệm Lí thuyết phát triển mạnh mẽ thu nhiều kết có tính hệ thống cho hệ động lực đơn trị (xem [27, 42, 67]) hệ động lực đa trị (xem [59, 60, 70]) Nói riêng với hệ vi phân đa trị, lí thuyết tập hút phát triển với số lược đồ nghiên cứu, lược đồ nửa dòng suy rộng Ball [11, 12], nửa dòng đa trị Melnik Valero [59] Hai cách tiếp cận so sánh [23] Có thể tham khảo số kết dáng điệu nghiệm phương trình vi phân đạo hàm riêng đa trị thiết lập [3, 4, 52, 70] nhờ ứng dụng lược đồ Melnik Valero Ngồi ra, Chepyzov Vishik [26] phát triển lí thuyết tập hút quỹ đạo để nghiên cứu dáng diệu hệ vi phân không nghiệm Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm hệ vi phân khơng ơ-tơ-nơm (nonautonomous), lí thuyết tập hút tập hút lùi xây dựng cho trường hợp đơn trị đa trị (xem [19, 20, 21, 60]) Trong đó, phải kể đến kết nghiên cứu quan trọng Caraballo, Kloeden cộng tập hút lùi cho hệ vi phân tất định hệ vi phân ngẫu nhiên với lược đồ thống Gần đây, [28], tác giả Zelati Kalita đưa cải tiến đáng ý lược đồ nghiên cứu tập hút lùi, giảm nhẹ tính liên tục (chỉ u cầu tính đóng) hệ động lực đưa tiêu chuẩn compact tiệm cận dựa độ đo không compact Trong lược đồ nghiên cứu tập hút, bước then chốt để chứng minh tồn tập hút toàn cục kiểm tra điều kiện tính compact tiệm cận hệ động lực sinh hệ Điều kiện thỏa mãn nửa nhóm sinh phần tuyến tính nửa nhóm compact Tuy nhiên, hệ vi phân đạo hàm riêng miền khơng bị chặn nói chung khơng thỏa mãn điều kiện này, tức nửa nhóm sinh phần tuyến tính khơng có tính chất compact Trong trường hợp không gian pha không Hilbert tách được, để kiểm tra điều kiện compact tiệm cận, ta kiểm tra điều kiện xấp xỉ hữu hạn chiều (flattening) (xem [28, 57, 75, 76]) Tuy nhiên, cách không khả thi cho trường hợp hệ đạo hàm riêng có trễ khơng gian pha tương ứng có cấu trúc phức tạp hơn, theo nghĩa ta khơng thể tìm sở khơng gian pha để áp dụng điều kiện xấp xỉ hữu hạn chiều Mục tiêu nghiên cứu luận án xây dựng số tiêu chuẩn để kiểm tra tính compact tiệm cận hệ động lực tình kể Đề cập đến khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov cho bao hàm thức vi phân, thấy việc chứng minh tính ổn định theo phương pháp hàm Lyapunov khó áp dụng tính khơng nghiệm tốn Cauchy Do đó, kết tính ổn định cho bao hàm thức vi phân theo nghĩa Lyapunov hạn chế Mục tiêu sử dụng cách tiếp cận điểm bất động [17] (trong nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho phương trình vi phân thường/vi phân hàm) để phân tích dáng điệu nghiệm bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính có trễ vơ hạn khơng gian Banach tổng qt, tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm tầm thường (nghiệm không) xem xét Theo góc nhìn khác, dáng điệu nghiệm hệ vi phân thời gian đủ lớn đóng vai trò quan trọng nhiều tốn thực tiễn, có lịch sử nghiên cứu lâu dài đạt kết có tính hệ thống, dáng điệu nghiệm khoảng thời gian hữu hạn lại có vai trò quan trọng tốn liên quan đến q trình sinh-hóa (biochemical networks), q trình chuyển đổi tín hiệu (signal transduction), q trình cần quan sát xảy khoảng thời gian ngắn Từ đó, hướng nghiên cứu hệ động lực thời gian hữu hạn thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Một số kết tiêu biểu theo hướng nghiên cứu cho hệ vi phân thường tìm thấy cơng trình [14, 33, 34, 35, 39, 55] Sử dụng khái niệm hệ động lực thời gian hữu hạn [39], đặt vấn đề nghiên cứu tính hút thời gian hữu hạn bao hàm thức tiến hóa nửa tuyến tính có trễ khơng gian Banach, chúng tơi tìm kiếm điều kiện chấp nhận áp đặt lên phần tuyến tính phần phi tuyến để chứng minh số điều kiện đủ cho tính hút nghiệm tầm thường Sau đây, chúng tơi trình bày cách ngắn gọn nội dung nghiên cứu Sử dụng lược đồ tập hút lùi Caraballo Kloeden, nghiên cứu tồn tập hút lùi cho số lớp bao hàm thức vi phân hàm có trễ khơng gian Banach Cụ thể, trường hợp hệ có trễ hữu hạn, chúng tơi xét lớp tốn sau u (t) ∈ Au(t) + F (t, u(t), ut ), t ≥ τ, (1) 90 δ= (1 − M m L1 (J) ) − 4M m L1 (J) ( ϕ Ch + M ϕ(0) ), với điều kiện 1≥M m L1 (J) (2 (1 − M m ϕ L1 (J) ) Ch + ) ≥ 4M m L1 (J) ( Điều kiện sau thỏa mãn với m đầu nhỏ ϕ L1 (J) Ch + M ϕ(0) ) nhỏ kiện ban 5.3.2 Tính hút nghiệm tầm thường Trong phần này, ta xét tính hút khoảng thời gian hữu hạn cho nghiệm tầm thường toán (5.1)-(5.2) Để đạt kết mong muốn, cần giả thiết mạnh cho A F : (A*) Nửa nhóm S(t), t ≥ liên tục theo chuẩn ổn định mũ, tức S(t)x ≤ M e−αt x , với t ≥ 0, x ∈ X, M ≥ 1, α > (F*) Hàm phi tuyến F thỏa mãn (F) với Ψ hàm Lipschitz cục ta có Ψ(r) = βr + o(r) r → với β số không âm Nhận xét 5.3 Từ (F*), ta có F (t, 0) = Tức hệ có nghiệm tầm thường Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 5.2 Với giả thiết (A*) (F*), ta có lim ϕ sup ut Ch →0 u∈S(ϕ) Ch = 0, ∀t ∈ (0, T ] Chứng minh Trước tiên ta ý v nghiệm tích phân tốn Cauchy v (t) = p(t)Ψ(v(t)), t ∈ (0, T ], v(0) = 0, p ∈ L1 (J; R+ ), tức t p(s)Ψ(v(s))ds, ∀ t ∈ [0, T ] v(t) = 91 v nghiệm tầm thường giả thiết Ψ có tính chất Lipschitz cục Từ theo nguyên lý so sánh, v ∈ C(J; R+ ) thỏa mãn t ≤ v(t) ≤ p(s)Ψ(v(s))ds, ∀t ∈ [0, T ], v ≡ Bây với u ∈ S(ϕ), theo giả thiết ta có đánh giá sau t u(t) ≤ M ϕ(0) + M m(s)Ψ( us Ch )ds t ≤ M ϕ(0) + M m(s)Ψ( ϕ + sup u(τ ) )ds Ch τ ∈[0,s] Do biểu thức cuối hàm tăng theo biến t nên ta có t sup u(τ ) ≤ M ϕ(0) + M m(s)Ψ( ϕ τ ∈[0,t] Ch + sup u(τ ) )ds, với u ∈ S(ϕ) Qua giới hạn ϕ Ch τ ∈[0,s] → 0, ta có t v(t) ≤ M m(s)Ψ(v(s))ds, với v(t) = lim ϕ Ch →0 sup sup u(τ ) Từ đây, ta suy kết luận bổ u∈S(ϕ) τ ∈[0,t] đề Kết chương trình bày định lí sau Định lí 5.3 Giả sử (A*) (F*) thỏa mãn Khi nghiệm khơng (5.1)-(5.2) hút mũ đoạn [0, T ] ta có ln M + αh + M βeαh m L1 (J) < αT (5.5) Chứng minh Theo giả thiết (F*) hàm Ψ, với > bất kỳ, tồn δ > cho Ψ(r) ≤ (β + )r, ∀r ∈ (0, δ) (5.6) Theo Bổ đề 5.2, tồn η > cho với ϕ ut Ch < δ Kết hợp với (5.6), ta có Ψ( ut ϕ Ch Ch ) ≤ (β + ) ut Ch , ∀t Ch < η u ∈ S(ϕ) ta có ∈ (0, T ], < η Do vậy, với θ ∈ [−h, 0], ta có đánh giá T +θ u(T + θ) ≤ M e −α(T +θ) e−α(T +θ−s) m(s)Ψ( us ϕ(0) + M Ch )ds 92 T ≤ Me −αT αh e e−α(T −s) m(s)Ψ( us ϕ(0) + Ch )ds Từ suy T e αT uT Ch ≤ Me αh m(s)(β + )eαs us ϕ(0) + Ch ds , ϕ Ch < η Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta thu eαT uT Ch ≤ M eαh ϕ(0) eM e Từ điều kiện (5.5), ta chọn αh (β+ ) m L1 (J) (5.7) < αT (5.8) > cho ln M + αh + M (β + )eαh m L1 (J) Khi đó, bất đẳng thức (5.7) cho ta uT Ch Hơn nữa, cố định uT < ϕ ∈ S(ϕ), ∀ϕ ∈ Bη (0) cho (5.8) thỏa mãn, từ (5.7) ta có αh Ch Ch , ∀u ≤ M e−αT +αh+M e (β+ ) m L1 (J) ϕ Ch , ∀u ∈ S(ϕ), ∀ϕ ∈ Bη (0) Do lim sup sup ϕ Ch →0 u∈S(ϕ) uT ϕ Ch < Ch Định lí chứng minh 5.4 ÁP DỤNG Cho Ω ⊂ Rn miền bị chặn với biên trơn ∂Ω Ta xét toán sau: ∂u (t, x) = ∆u(t, x) + f (t, x), x ∈ Ω, t ∈ [0, T ], (5.9) ∂t f (t, x) ∈ co f˜i (t, u(t − h, x)) : i = 1, 2, , m , (5.10) u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0, (5.11) u(s, x) = ϕ(x, s), x ∈ Ω, s ∈ [−h, 0], (5.12) f˜i : J × R → R, i = 1, 2, , m, hàm liên tục, m co f˜1 , f˜2 , , f˜m ηi f˜i : ηi ≥ 0, η1 + η2 + + ηm = = i=1 93 Xét X = C0 (Ω) = {v ∈ C(Ω) : v = ∂Ω}, với chuẩn v = sup |v(x)| x∈Ω Đặt A = ∆ với D(A) = {v ∈ C0 (Ω) ∩ H01 (Ω) : ∆v ∈ C0 (Ω)}, Ch = C([−h, 0]; C0 (Ω)) Khi đó, ta có A tốn tử sinh nửa nhóm co X , tức S(t) ≤ 1, ∀t ≥ (xem [71], Định lí 4.1.4) Hơn nữa, S(·) nửa nhóm compact (xem [8], Định lí 2.3), nên giả thiết (F)(3) thỏa mãn Ký hiệu λ1 giá trị riêng −∆ H01 (Ω), tức λ1 = sup Ω |∇u|2 dx : u ∈ H01 (Ω), u = Ω u dx Theo Định lí 4.2.2 [46], ta có λ1 |Ω| n −λ1 t S(t) ≤ M e , M = exp 4π Như vậy, (A*) thỏa mãn với α = λ1 M = exp λ1 |Ω| n 4π Các hàm f˜i : [0, T ] × R → R, i = 1, m, thỏa mãn (1) f˜i (·, z) đo với z ∈ R; f˜i (t, ·) liên tục với t ∈ J ; (2) |f˜i (t, z)| ≤ m(t)z với (t, z) ∈ J × R, m ∈ L1 (J, R+ ); Xét hàm fi : J × Ch → X cho fi (t, v)(x) = f˜i (t, v(−h, x)) Đặt F (t, v) = co{fi (t, v) : i = 1, 2, , m} Khi F : J × Ch → P(X) ánh xạ đa trị với giá trị lồi đóng Ta thấy rằng, với cặp cố định (t, v), F (t, v) tập bị chặn không gian hữu hạn chiều span{f1 , f2 , , fm }, nên F có giá trị compact Ta F (t, ·) nửa liên tục Thật vậy, lấy dãy {vk } ⊂ Ch hội tụ đến v Khi đó, theo tính liên tục f˜i , fi (t, vk ) → fi (t, v) X Với > 0, tồn số N ∈ N fi (t, vk ) ∈ fi (t, v) + BX [0, 1], ∀k ≥ N ; i = 1, 2, , m Từ suy F (t, vk ) ⊂ F (t, v) + BX [0, 1], ∀k ≥ N Vì F có giá trị compact, nên bao hàm thức cuối suy tính nửa liên tục F (t, ·) Như vậy, (F)(1) thỏa mãn Lấy z ∈ F (t, v), 94 theo cách xác định F ta có m ηi |f˜i (t, v(−h, x))| |z(x)| ≤ i=1 ≤ m(t)|v(−h, x)|2 Khi z ≤ m(t) v(−h, ·) ≤ m(t) v Ch Tức F (t, v) ≤ m(t) v Ch Như vậy, (F*) thỏa mãn với Ψ(z) = z (β = 0) |Ω| n 4π Theo Định lí 5.3, Do điều kiện (5.5) thỏa mãn T > h + nghiệm tầm thường toán (5.9)-(5.12) hút mũ [0, T ] Kết luận Chương Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tính hút nghiệm tầm thường khoảng thời gian hữu hạn cho bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính với trễ hữu hạn Các kết đạt bao gồm: 1) Chứng minh tính hút mũ nghiệm tầm thường cho tốn (5.1)-(5.2) (Định lí 5.3) 2) Áp dụng kết thu cho hệ vi phân đạo hàm riêng dạng đa diện (Mục 5.4) Theo hiểu biết chúng tôi, kết chương nghiên cứu tính hút khoảng thời gian hữu hạn cho hệ vi phân không gian Banach tổng quát Các kĩ thuật ước lượng lược đồ chứng minh sử dụng để nghiên cứu số lớp toán khác 95 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Các kết đạt Trong luận án, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận số lớp bao hàm thức vi phân hàm có trễ khơng gian Banach Luận án đạt kết sau: (a) Đối với lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính khơng ô-tô-nôm với trễ hữu hạn, nhận được: • Sự tồn nghiệm tích phân, tồn tập hút lùi Áp dụng kết cho hệ vi phân đạo hàm riêng dạng đa diện với trễ biến thiên hệ vi phân lưới • Điều kiện đủ cho tồn nghiệm đoạn compact với phần phi tuyến tăng trưởng tuyến tính Tính hút khoảng thời gian hữu hạn cho nghiệm tầm thường Áp dụng kết lí thuyết cho hệ vi phân đạo hàm riêng dạng đa diện (b) Đối với lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính khơng ơ-tơ-nơm với trễ vơ hạn, thu được: • Kết tính giải được; tồn tập hút lùi cách sử dụng tiêu chuẩn đề xuất tính compact tiệm cận q trình đa trị sinh toán Áp dụng kết cho hệ điều khiển với biến không gian thuộc vào miền bị chặn có biên đủ trơn • Điều kiện đủ cho tồn nghiệm phân rã tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm tầm thường Áp dụng kết lí thuyết cho lớp phương trình đạo hàm riêng parabolic đa trị Rn Đề xuất số vấn đề nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề mở liên quan cần tiếp tục nghiên cứu: 96 • Tìm điều kiện đủ cải thiện điều kiện đủ cho tồn tập hút nửa dòng/q trình đa trị Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận (theo cách tiếp cận lí thuyết tập hút lí thuyết ổn định) số lớp bao hàm thức vi phân với trễ biến thiên đa trễ với vấn đề liên quan tính qui nghiệm, tính trơn tập hút • Nghiên cứu tồn tính ổn định nghiệm cho hệ vi phân đa trị bậc phân số số bất đẳng thức vi biến phân đoạn compact nửa trục 97 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 1) N.V Dac, T.D Ke, Asymptotic behavior for non-autonomous functional differential inclusions with measures of noncompactness, Topological Methods in Nonlinear Analysis, Volume 49:2 (2017), 383-400 2) N.V Dac, T.D Ke, Pullback attractor for differential evolution inclusions with infinite delays, Applied Mathematics and Computation, Volume 265 (2015), 667-680 3) N.V Dac, T.D Ke, Decay solutions and weak stability for differential inclusions with infinite delays, submitted 4) N.V Dac, T.D Ke, Finite-time attractivity for semilinear differential inclusions with finite delays, submitted 98 Tài liệu tham khảo [1] S Adly and L.B Khiet (2014), Stability and invariance results for a class of non-monotone set-valued Lur’e dynamical systems Appl Anal 93, no 5, 1087-1105 [2] R.R Akhmerov, M.I Kamenskii, A.S Potapov, A.E Rodkina and B.N Sadovskii (1992), Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Birkhăauser, Boston-Basel-Berlin [3] C.T Anh, N.M Chuong and T.D Ke (2010), Global attractor for the m-semiflow generated by a quasilinear degenerate parabolic equation, J Math Anal Appl 363, 444-453 [4] C.T Anh and T.D Ke (2010), On quasilinear parabolic equations involving weighted p-Laplacian operators, Nonlinear Differ Equ Appl 17, 195-212 [5] N.T Anh and T.D Ke (2015), Decay integral solutions for neutral fractional differential equations with infinite delays, Math Methods Appl Sci 38 , No.8, 1601-1622 [6] N.T Anh, T.D Ke and N.N Quan (2016), Weak stability for integrodifferential inclusions of diffusion-wave type involving infinite delays, Discrete Contin Dyn Syst Ser B 21, 3637-3654 [7] W Knapp (2005), Basic Real Analysis, Birkhăauser, Boston-BaselBerlin [8] W Arendt and P Bénilan (1999), Wiener regularity and heat semigroups on spaces of continuous functions, in Topics in Nonlinear Analysis Progress in Nonlinear Differential Equations Application, vol 35, 29-49 [9] J.P Aubin and A Cellina (1984), Differential Inclusions Set-valued Maps and Viability Theory, Springer-Verlag, Berlin [10] J M Ayerbe Toledano, T Domínguez Benavides and G López Acedo (1997), Measures of Noncompactness in Metric Fixed Point Theory 99 Operator Theory: Advances and Applications, 99 Birkhăauser Verlag, Basel [11] J.M Ball (1997), Continuity properties and global attractor of generalized semiflows and the Navier-Stokes equations, J Nonlinear Sci 7, 475-502 [12] J.M Ball (2004), Global attractor for damped semilinear wave equations, Discrete Contin Dyn Syst 10, 31-52 [13] J Banas and L Olszowy (2009), On a class of measures of noncompactness in Banach algebras and their application to nonlinear integral equations, J Anal Appl 28, 475-498 [14] A Berger (2011), On finite-time hyperbolicity, Commun Pure Appl Anal 10, 963-981 [15] D Bothe (1998), Multivalued perturbations of m-accretive differential inclusions, Israel J Math 108, 109-138 [16] H Bouzahir, H You and R Yuan (2011), Global attractor for some partial functional differential equations with infinite delays, Funkcialaj Ekvacioj 54, 139-156 [17] T.A Burton (2006), Stability by Fixed Point Theory for Functional Differential Equations, Dover Publications, New York [18] T.A Burton and T Furumochi (2001), Fixed points and problems in stability theory for ordinary and functional differential equations, Dyn Sys Appl 10, 89-116 [19] T Caraballo, M J Garrido-Atienza, B Schmalfuss and J Valero (2008), Non-autonomous and random attractors for delay random semilinear equations without uniqueness Discrete Contin Dyn Syst 21, 415-443 [20] T Caraballo and P.E Kloeden (2009), Non-autonomous attractors for integro-differential evolution equations, Discrete Contin Dyn Syst Ser S 2, 17-36 [21] T Caraballo, J A Langa, V S Melnik and J Valero (2003), Pullback attractors of nonautonomous and stochastic multivalued dynamical systems, Set-Valued Analysis 11, 153-201 100 [22] T Caraballo and K Lu (2008), Attractors for stochastic lattice dynamical systems with a multiplicative noise, Front Math China 3, no 3, 317-335 [23] T Caraballo, P Marin-Rubio and J.C Robinson (2003), A comparision between to theories for multi-valued semiflows and their asymptotic behaviour, Set-Valued Anal 11, 297-322 [24] T Caraballo, F Morillas and J Valero (2014), On differential equations with delay in Banach spaces and attractors for retarded lattice dynamical systems, Discrete Contin Dyn Syst 34, no 1, 51-77 [25] T Cardinali and P Rubbioni (2006), Mild solutions for impulsive semilinear evolution differential inclusions J Appl Funct Anal 1:3, 303325 [26] V.V Chepyzhov and M.I Vishik (1997), Evolution equations and their trajectory attractors, J Math Pures Appl 76, 913-964 [27] V.V Chepyzhov and M.I Vishik (2002), Attractors for Equations of Mathematics Physics, in: American Mathematical Society Colloquium Publications, vol 49, American Mathematical Society, Providence [28] M Coti Zelati and P Kalita (2015), Minimality properties of set-valued processes and their pullback attractors, SIAM J Math Anal 47, 15301561 [29] K Deimling (1992), Multivalued Differential Equations, Walter de Gruyter-Berlin-New York [30] J Diestel, W M Ruess and W Schachermayer (1993), Weak compactness in L1 (µ, X), Proc Amer Math Soc 118, 447-453 [31] P Drábek and J Milota (2007), Methods of Nonlinear Analysis Applications to Differential Equations, Birkhauser Advanced Texts, Birkhauser, Basel [32] R.D Driver (1977), Ordinary and Delay Differential Equations, Springer-Verlag, New York [33] L.H Duc and S Siegmund (2008), Hyperbolicity and invariant manifolds for planar nonautonomous systems on finite time intervals, Inter J Bifur Chaos 18, 641-674 101 [34] L.H Duc and S Siegmund (2011), Existence of finite-time hyperbolic trajectories for planar Hamiltonianows, J Dyn Diferential Equations 23, 475-494 [35] L.H Duc, J.P Cha ´vez, D.T Son and S Siegmund (2016), Finite-time Lyapunov exponents and metabolic control coeficients for threshold detection of stimulus-response curves, J Biol Dyn 10, 379-394 [36] K.-J Engel and R Nagel (2000), One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, in: Graduate Texts in Mathematics, vol 194, Springer-Verlag, New York [37] A F Filippov (1988), Differential Equations with Discontinuous Righthand Sides, Translated from the Russian, Mathematics and its Applications (Soviet Series), Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [38] E P Gatsori, L Górniewicz, S K Ntouyas and G Y Sficas (2005), Existence results for semilinear functional differential inclusions with infinite delay, Fixed Point Theory 6:1, 47-58 [39] P Giesl and M Rasmussen (2012), Areas of attraction for nonautonomous diferential equations on finite time intervals J Math Anal Appl 390, 27-46 [40] C Gori, V Obukhovskii, M Ragni and P Rubbioni (2002), Existence and continuous dependence results for semilinear functional differential inclusions with infinite delay, Nonlinear Anal 51, 765-782 [41] A Halanay (1966), Differential Equations, Stability, Oscillations, Time Lags, Academic Press, New York and London [42] J K Hale (1988), Asymptotic Behavior of Dissipative Systems, Mathematical Surveys and Monographs, Vol 25, Amer Math Soc., Providence [43] J.K Hale and S.M Verduyn Lunel (1993), Theory of Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York [44] J.K Hale and S.M Verduyn Lunel (1993), Introduction to Fuctional Differential Equations, Springer-Verlag, New York [45] J.K Hale and J Kato (1978), Phase spaces for retarded equations with infinite delay, Funkcial Ekvac 2111-41 102 [46] A Haraux and M.A Jendoubi (2015), The Convergence Problem for Dissipative Autonomous Systems Classical Methods and Recent Advances, Springer, New York [47] Hino Y, Murakami S and Naito T (1991), Functional Differential Equations with Infinite Delay, Lecture Notes in Mathematics, vol 1473 Springer-Verlag, Berlin [48] S.Hu and N.S Papageorgiou (1997), Handbook of Multivalued Analysis Vol.I Theory Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [49] S.Hu and N.S Papageorgiou (1997), Handbook of Multivalued Analysis Vol.II Theory Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [50] L.V Hien and D.T Son (2015), Finite-time stability of a class of nonautonomous neural networks with heterogeneous proportional delays, Appl.Math.Comput 251, 14–23 [51] M.Kamenskii, V.Obukhovskii and P.Zecca (2001), Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, in: de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol 7, Walter de Gruyter, Berlin, New York [52] T.D Ke and D Lan (2014), Global attractor for a class of functional differential inclusions with Hille-Yosida operators, Nonlinear Anal 103, 72-86 [53] C T Kinh, L V Hien and T D Ke (2016), Short-time behaviour analysis of fractional-order model of generalized pantograph-type neural networks, International Journal of Computer Mathematics: Computer Systems Theory, 1:3-4, 113-128 [54] M.P Lazarevi´c and A.M Spasi´c (2009), Finite-time stability analysis of fractional order time-delay systems: Gronwall’s approach, Math.Comput.Model 49, 475–481 [55] M Rasmussen (2007), Attractivity and Bifurcation for Nonautonomous Dynamical Systems, Lecture Notes in Mathematics 1907 Springer, Berlin [56] G Raugel, Global Attractors in Partial Differential Equations, In Handbook of Dynamical Systems, Vol 2, North-Holland, Amsterdam 103 [57] Q Ma, S.Wang and C Zhong (2002), Necessary and sufficient conditions for the existence of global attractors for semigroups and applications, Indiana Univ Math J Vol 51, 1541-1559 [58] P Marin-Rubio and J Real (2009), On the relation between two different concepts of pullback attractors for non-autonomous dynamical systems, Nonlinear Anal 71, 3956-3963 [59] V.S Melnik and J Valero (1998), On attractors of multivalued semiflows and differential inclusions, Set-Valued Analysis 6, 83-111 [60] V.S Melnik and J Valero (2000), On global attractors of multivalued semiprocesses and nonautonomous evolution inclusions, Set-Valued Analysis 8, 375-403 [61] P.H.A Ngoc (2015), Novel criteria for exponential stability of nonlinear differential systems with delay IEEE Trans Automat Control 60, no 2, 485-490 [62] V Obukhovskii and P Zecca (2011), On semilinear differential inclusions in Banach spaces with nondensly defined operators, J Fixed Point Theory Appl 9:1, 85-100 [63] J.-S Pang and D.E Stewart (2008), Differential variational inequalities, Math Program Ser A 113, 345-424 [64] A Pazy (1983), Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Spring-Verlag, NewYork [65] G.R Sell and Y You (2002), Dynamics of Evolutionary Equations, Springer-Verlag, New York [66] J Simsen and J Valero (2016), Characterization of pullback attractors for multivalued nonautonomous dynamical systems, Advances in Dynamical Systems and Control, Studies in Systems, Decision and Control 69, 179-195 [67] R Temam (1997), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer-Verlag, New York [68] A.Tolstonogov (2000), Differential Inclusions in a Banach Space, Translated from the 1986 Russian original and revised by the author Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 104 [69] F Troăltzsch (2010), Optimal Control of Partial Differential Equations, American Mathematical Society [70] J Valero (2001), Attractors of parabolic equations without uniqueness, J Dynam Differential Equations 13, 711-744 [71] I.I Vrabie (2003), C0 -Semigroups and Applications, North-Holland Publishing Co., Amsterdam [72] B Wang (2006), Dynamics of systems on infinite lattices, J Differential Equations 221, no 1, 224-245 [73] W Wang (2010), A generalized Halanay inequality for stability of nonlinear neutral functional differential equations, J Ineq Appl., Vol ArtID 475019, 16 pages [74] Y Wang and S Zhou (2009), Kernel sections on multi-valued processes with application to the nonlinear reaction-diffusion equations in unbounded domains, Quart Appl Math 67, 343-378 [75] Y Zhang, C Zhong and S Wang (2010), Attractors in Lp (RN ) and H (RN ) for a class of reaction-diffusion equations, Nonlinear Anal 72, 2228-2237 [76] C Zhong, M Yang and C Sun (2006), The existence of global attractors for the norm-to-weak continuous semigroup and applications to the nonlinear reaction-diffusion equations, J Differential Equations 223, 367-399 [77] C Zhao and S Zhou (2009), Sufficient conditions for the existence of global random attractors for stochastic lattice dynamical systems and applications, J Math Anal Appl 354, 78-95 ... xét hai lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính khơng ơ-tơ-nơm khơng gian Banach tổng qt: • Lớp thứ nhất: Bao hàm thức vi phân có trễ hữu hạn; • Lớp thứ hai: Bao hàm thức vi phân có trễ vơ hạn;... HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— NGUYỄN VĂN ĐẮC DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC BAO HÀM THỨC VI PHÂN CĨ TRỄ Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC... định tiệm cận yếu nghiệm tầm thường lớp bao hàm thức tiến hóa có trễ vơ hạn 3) Xây dựng điều kiện đủ cho tính hút thời gian hữu hạn nghiệm tầm thường lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính có trễ