Xuân Đức 66 Đề số 10 Đề thi hs giỏi môn toán 9 vòng 2 năm học: 2008 - 2009 (Thời gian 150 phút ) Bài 1:(3 điểm) 1. Cho 2 1 1 2 1 1 2 1 1 x = + + + tính giá trị của biểu thức sau 4 3 2 2009 ( 2 1)A x x x x= + 2. Giải hệ phơng trình: 2 2 2 2 2 19( ) 7( ) x xy y x y x xy y x y + + = + = Bài 2: (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC và một điểm M trong tam giác. Chứng minh: . . . 4. ABC AM BC BM AC CM AB S+ + . Dấu bằng sảy ra khi nào? Bài 3: (6 điểm) 1. Tìm các số a, b, c biết: 1 2008 2009 2 ( ) 2 a b c a b c+ + + = + + 2. Cho x, y, z > 2 thõa mãn: 1 1 1 1 x y c + + = . Chứng minh: ( 2)( 2)( 2) 1x y z 3. Tìm giá trị nhỏ nhất: 2 2 2 2 1 2 4 4y x x x x= + + + + Bài 4: (5 điểm) Cho đờng tròn (O; R) và đờng tròn ( ( ; ) 2 R I tiếp xúc ngoài tại A. Trên đờng tròn (O) lấy điểm B sao cho AB = R. Tia MA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai tại N. Qua N kẻ đ- ờng thẳng song song với AB cắt đờng thẳng MB ở P. 1. Chứng minh OM//IN. 2. Chứng minh độ dài đoạn NP không phụ thuộc vào vị trí của điểm M 3. Xác định vị trí điểm M để ABPN S đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị đó theo R Bài 5: (3 điểm) 1. Cho các số thực x, y, z thõa mãn: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 9x y x y y z x y z+ + + + = Tìm giá trị nhỏ nhất của xyz. 2. Tìm các số nguyên dơng x, y, z thõa mãn phơng trình: 4 2 2 0x x yz z + = Bài 6: (1 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho chu vi tam giác MCN bằng 2. Tính góc MAN. Xuân Đức 66 H ớng dẫn chấm Bài 1: (3 điểm) Môic ý 1,5 điểm Câu 1: (1,5 điểm): Ta có: 2 1 1 2 1 1 2 1 1 x = + + + = 2 4 3 2 2009 ( 2 1)A x x x x= + 2009 (4 2 2 2 2 2 1) 1= + = Câu 2: (1,5 điểm): Ta có: 2 2 2 2 2 19( ) 7( ) x xy y x y x xy y x y + + = + = 2 2 6( ) 0 ( ) 7( ) 0 x y xy x y x y xy = + = đặt: ;u x y v xy= = hệ trên trở thành 2 2 6 0 7 0 u v u u v = + = Giải hệ ta đợc 2 nghiệm (u; v) là (0; 0) và (1; 6). Do đó hệ ban đầu có 3 nghiệm: (x; y) là (0; 0) và (3; 2); (-2; -3) Bài 2:(2 điểm) Kéo dài AM cắt BC tại I Kẻ ;BE AM CF AM Ta có . . 2 BAM BI AM BE AM S = . . 2 CAM CI AM CF AM S ( ). 2( ) BAM CAM BI CI AM S S + + Hay . 2( ) BAM CAM AM BC S S + (1) Tơng tự ta chứng minh đợc: . 2( ) CAM CBM CM AB S S + (2) . 2( ) CBM BAM BM AC S S + (3) Cộng vế với vế của (1); (2) và (3) ta đợc: . . . 4( ) BAM CAM BMC AM BC CM AB BM AC S S S + + + + . . . 4 ABC AM BC CM AB BM AC S + + Dấu = sảy ra khi: ; ;AM BC BM AC CM AB hay M là trực tâm của tam giác ABC. Bài 3: (6 điểm) Câu1: (2,0 điểm) ĐK: 2008; 2009; 2x b c Cách 1:Ta có: 1 2008 2009 2 ( ) 2 a b c a b c+ + + = + + 2 2008 2 2009 2 2a b c a b c + + + = + + ( 2008) 2 2008 1 ( 2009) 2 2009 1 ( 2) 2 2 1 0a a b b c c + + + + + + + = 2 2 2 ( 2008 1) ( 2009 1) ( 2 1) 0a b c+ + + = 2007 2010 3 a b c = = = F I E M C B A Xuân Đức 66 Cách 2: Ta có 2009 2008 2 a a + + 2008 2009 2 b b 1 2 2 c c 2008 2009 2a b c a b c+ + + + + Dấu = sảy ra khi: 1 2008 2007a a= + = 1 2009 2010b b= = 1 2 3c c= = Câu 2: ( 2 điểm) Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 y z x y c x y z y z + + = = + = + Mà y; z > 2 nên: 1 ( 2)( 2) 2 4 y z x yz = ( 2)( 2)y z yz (1) Tơng tự: 1 ( 2)( 2)x z y xz (2) 1 ( 2)( 2)x y z xy (3) Từ (1); (2) và (3) ta có: 2 1 ( 2)( 2)( 2)x y z xyz xyz ( 2)( 2)( 2) 1x y z (đpcm) Câu 3: (2 điểm) ta có: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) (1)a b c d a c b d+ + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2) 2 2 2 2 2 ( )( 2 2a b c d a b c d a b c d ac bd + + + + + + + + + + + 2 2 2 2) ( )(a b c d ac bd + + + (2) * Nếu: ac + bd < 0 thì (2) đợc chứng minh * Nếu: ac + bd 0 thì (2) tơng đơng với 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) 2a b c d a c b d abcd+ + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a c b d a d b c a c b d abcd+ + + + + 2 ( ) 0ad bc (đpcm) Ta có: 2 2 2 2 1 2 4 4y x x x x= + + + + 2 2 2 2 ( 1) (2 )x x x x= + + + + áp dụng BĐT trên ta đợc: 2 2 2 ( 1 2 ) (2 ) 9 4 3y x x x x + + + = + min 3y = khi x = 0 Bài 4: (5 điểm) Câu a: (1,5 điểm) Ta có: OA = OM = R MOA cân tại O ã ã OMA OAM= (1) Tơng tự: IA = IN = 2 R IAN cân tại I H B P N M A I O Xuân Đức 66 ã ã IAN INA = (2) Mà (O; R) và (I: 2 R ) tiếp xúc tại A do đó O, A, I thẳng hàng Nên ã ã OAM IAN= (đđ) (3) Từ (1); (2) và (3) suy ra: ã ã OMA INA= (ở vị trí so le trong) Do đó OM//IN (đpcm) Câu 2: (2 điểm) Ta có: OM//ON suy ra 2 2 AM OM R AN IN R = = = 2 2 2 1 3 AM AM AN = = + + Mà AB//PN ( gt) 2 3 3 3 2 2 AB AM NP AB R NP MN = = = = Vậy độ dài PN không đổi. Câu 3: (1,5 điểm) Từ A kẻ AH PN kéo dài tại H. 1 1 3 5 ( ). ( ). . 2 2 2 4 ABPN S AB PN AH R AH R AH R = + = + = Vì R không đổi nên ABPN S lớn nhất khi và chỉ khi AH lớn nhất. Do AH AN nên AH lớn nhất lkhi AH = AN. H N AN PN AM AB tại A (do AB//PN) khi đó AMB vuông ở A nen ta có: 2 2 2 2 2 (2 ) 3AM MB AB R R AM R= = = Do 2 3 AM MN = mà 1 1 . 3 2 2 AN AM AN R= = ABPN S đạt giá trị lớn nhất = 2 5 3 5 3 . 4 2 8 R R R = (đơn vị diên tích) Khi M thuộc cung lớn AB và AM AB Bài 5: (3 điểm) Câu 1: (1,5 điểm) Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 9x y x y y z x y z+ + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) 2( 2 ) 3( 2 1) 12x xyz y z y xyz x z x y z xyz + + + + + + + = 2 2 2 ( ) 2( ) 3( 1) 12x yz y xz xyz + + + + = 2 2 3( 1) 12 ( 1) 4xyz xyz 2 1 2 3xyz xyz Mà xyz = -1 0 0 ( ; ; ) (1, 1,1);(1,1, 1);( 1,1,1);( 1, 1, 1) 1 x yz y xz x y z xyz + = + = = = Vậy giá trị nhỏ nhất của xyz = -1 Câu 2: (1 điểm) Ta có: 4 2 2 0x x yz z + = 2 2 ( ) 2 (1)x x yz z = Xét 3 trờng hợp: Xuân Đức 66 * Nếu z = 1 thì (1) 2 2 ( ) 1x x y = 2 1 1 2 1 1 x x y y = = = = * Nếu z = 2 thì (1) 2 2 2 ( 2 ) 0 2x x y x y = = nên có nghiệm: 2 2 ; 2x k y k= = (với k Z + ) * Nếu z > 2 thì (1) ta có: z- 2 > 0 và 2 2z x M nên 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0z x z x x x yz x x y + > < < (vô lý) Vậy bộ ba số nguyên dơng (x; y; z) thõa mãn đề bài là: (1; 2; 1) và (2k; 2k 2 ; 2) với k là số nghuên dơng. Bài 6:(1 điểm) Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho BK = DN Khi đó MK = MB + BK = MB + DN = 1 CM +1 CN = 2 ( CM + CN ) = MN (vì CM +CN + MN = 2 ) Và ADN ABK AN AK = = ã ã DAN BAK = . Từ đó suy ra: AMN AMK = (CCC) ã ã ã ã ã ã ã ã ã 0 0 2 90 45MAN MAK MAN NAK NAB BAK NAB DAN MAN = = = + = + = = K N M D C BA . Xuân Đức 66 Đề số 10 Đề thi hs giỏi môn toán 9 vòng 2 năm học: 2008 - 20 09 (Thời gian 150 phút ) Bài 1:(3 điểm) 1. Cho. 20 09; 2x b c Cách 1:Ta có: 1 2008 20 09 2 ( ) 2 a b c a b c+ + + = + + 2 2008 2 20 09 2 2a b c a b c + + + = + + ( 2008) 2 2008 1 ( 20 09) 2 20 09 1