ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II-MÔN TOÁN – LỚP 11 A. PHẦN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Chương III : DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Phương pháp quy nạp toán học: Để c/m mệnh đề A(n) đúng ∀ n ∈ N * ta thực hiện: B1: C/m A(n) đúng khi n=1. B2: ∀ n ∈ N * giả sử A(n) đúng với n=k, cần chứng minh A(n) cũng đúng với n=k+1. 2. Dãy số tăng, dãy số giảm: Dãy số ( ) n u được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có 1 + < nn uu . Dãy số ( ) n u được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có 1 + > nn uu . Phương pháp để chứng minh một dãy số tăng hoặc giảm Cách 1: (u n ) là dãy số tăng ⇔ u n < u n+1 ∀ n ∈N * Cách 2: (u n ) là dãy số tăng ⇔ u n+1 - u n > 0∀ n ∈N * (xét dấu u n+1 - u n ) Cách 3: u n >0 ∀ n, (u n ) là dãy số tăng ⇔ 1+n n u u < 1 3. Dãy số bị chặn: a) Dãy số )( n u được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho MuNn n ≤∈∀ , * . b) Dãy số )( n u được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho muNn n ≥∈∀ , * . c) Dãy số )( n u được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; nghĩa là, tồn tại một số M và một số m sao cho MumNn n ≤≤∈∀ , * . 4. Cấp số cộng Dãy số hữu hạn hoặc vô hạn (u n ) là cấp số cộng ⇔ u n =u n-1 + d, ∀ n ≥ 2. + d không đổi gọi là công sai. + Kí hiệu cấp số cộng : ÷ u 1 , u 2 , u 3 , …, u n , … *. Tính chất (u n ) là cấp số cộng ⇔ 2 11 +− + = kk k uu u , (k ≥ 2) * . Số hạng tổng quát: Số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu u 1 và công sai d được cho bởi công thức : u n =u 1 +(n-1)d * Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng: Cho cấp số cộng (u n ), gọi S n =u 1 +u 2 +…+u n 2 )( 1 nuu S n n + = , ∀ n ≥ 1. Chú ý: [ ] 2 )1(2 1 ndnu S n −+ = , ∀ n ≥ 1 5. Cấp số nhân(u n ) là CSN ⇔ . 2 1 u u q n n n = ∀ ≥ − Số q được gọi là công bội của CSN. * Tính chất: Cho cấp số nhân (u n ). Ta có: 2 . 1 1 u u u k k k = − + ∀ k ≥ 2, k ∈ N * * Số hạng tổng quát: Cho cấp số nhân (u n ). n-1 1 . q n u u= với q 0≠ *Tổng n số hạng đầu tiên của CSN Giả sử có cấp số nhân (u n ) với công bội q. Với mỗi số nguyên dương n, gọi S n là tổng n số hạng đầu tiên của nó: S n = u 1 + u 2 + . + u n Nếu q=1 thì u n = u 1 với mọi n 1 ≥ . Khi đó: S n = nu 1 . Nếu q 1≠ , ta có kết quả: 1 (1 ) 1 n n u q S q − = − với q 1≠ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Dãy số nào sau đây không bị chặn trên: A) 1 sin n u n n = B) 1 sin n u n n = C) 1 ( 1) sin n n u n = − D) 1 sin( 1) n n u n = − Câu 2. Cho dãy số ( n u ) với ( 5) n n u = − . Khi đó số hạng 2n u bằng: A) 25 n B) 10 n C) -25 n D) 2 ( 5) n − Câu 3. Cho cấp số cộng ( n u ).Đẳng thức nào sau đây là đúng: A) 10 20 15 2u u u+ = B) 10 20 15 . 2u u u= C) 2 10 20 15 .u u u= D) 10 20 30 u u u+ = Câu 4. Cho cấp số nhân ( n u ).Đẳng thức nào sau đây là đúng: A) 1 11 6 2u u u+ = B) 2 1 11 6 u u u+ = C) 2 1 11 6 .u u u= D) 1 11 12 .u u u= Câu 5. Cho cấp số cộng x; 1; y; 9. Khi đ ó: A) x = -3, y = 5 B) x = -5, y = 3 C) x = -1, y = 7 D) x = -2, y = 6 Câu 6. Cho cấp số nhân 3 số hạng: 2,5 ; x; 40. Hãy chọn kết quả đúng: A) x = 10 B) x = 5 C) x = 20 D) x = 25 Câu 7.Cho dãy số ( n u ) với 1 1 2; 2 , 2 n n u u u n − = = ≥ . Khi đó: 7.1. Số hạng thứ 100 bằng: A) 2 99 B) 2 100 C) 2 101 D)200 7.2. Tổng của 100 số hạng đầu tiên bằng: A) 2 99 - 1 B) 2 100 - 1 C) 2 101 - 1 D) 1 - 2 101 Câu 8. Cho cấp số cộng -2; -5; -8; -11; . Khi đó công sai d và tổng 20 số hạng đầu tiên là: A) d = 3; S 20 = 510; B) d = -3; S 20 = -610 C) d = -3; S 20 = 610 D) d = 3; S 20 = -510 Câu 9. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng: A) 1 2 n n u − = B) 1 2 n n u   =  ÷   C) 2 n u = − D) 2 1 n u n= + Câu 10. Ba số xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng là: A) 7; 12; 17 B) 6; 10; 14 C)8; 13; 18 D) 5; 10; 17 Câu 11. Cho cấp số cộng có 1 1 1 ; 4 4 u d= = − . Tổng của 5 số hạng đầu tiên là: A) 5 4 B) 4 5 C) 5 4 − D) 4 5 − Câu 12. Cho cấp số cộng có 5 0,1; 0,5d s= = − . Số hạng đầu tiên là: A) 0,3 B) 10 3 C) 10 3 − D) -0,3 Câu 13. Cho cấp số cộng có 5 20 15; 60u u= − = . Tổng của 20 số hạng đầu tiên là: A) 200 B)-200 C)250 D)-250 Câu 14. Cho tam giác có số đo 3 góc lập thành một cấp số cộng. Biết số đo một góc là 25 0 , số đo 2 góc còn lại là: A) 65 0 ; 90 0 B)75 0 ; 80 0 C) 60 0 ; 95 0 D)70 0 ; 85 0 Câu 15. Cho cấp số nhân với u 1 = -1; q = - 0,1. Số 10 -103 : A) là số hạng thứ 103 của cấp số nhân đã cho. B) là số hạng thứ 104 của cấp số nhân đã cho. C) là số hạng thứ 102 của cấp số nhân đã cho. D) không phải là một số hạng của cấp số nhân đã cho. Câu 16.Cho dãy số 1 ; ; 2 2 b− . Chọn b để dãy số trên là một cấp số nhân: A) b = -1 B) b = 1 C) b = 2 D) b = -2 Câu 17. Cho cấp số nhân 1; 1 1 1 ; ; ; . 2 4 8 Số hạng thứ 10 bằng: A) 2 9 B) 2 10 C) 2 -9 D) 2 -10 Câu 18. Các giá trị của x để 3 số 2x – 1; x; 2x + 1 lập thành một cấp số nhân là: A) 1 3 x = ± B) 1 3 x = ± C) 3x = ± D) 1 9 x = ± . Câu 19. Dãy số nào là cấp số nhân? A) 1; 0,2; 0,04; 0,008; . B) 2; 22; 222; 2222; . C) x, 2x, 3x, 4x, 5x, . D) 1 1 1 1 ; ; ; ; . 2 3 4 5 Câu 20. Cho cấp số nhân có u 1 = -3; q = 2 3 . Số 96 243 − A) là số hạng thứ 6 của cấp số nhân đã cho. B) là số hạng thứ 5 của cấp số nhân đã cho. C) là số hạng thứ 7 của cấp số nhân đã cho. D) không phải là một số hạng của cấp số nhân đã cho. Câu 21. Cho cấp số nhân có 2 5 1 ; 16. 4 u u= = Khi đó: A) 1 1 1 ; 2 2 u q= = B) 1 1 1 ; 2 2 u q= − = − C) 1 1 ; 4 16 u q= = D) 1 1 ; 4 16 u q= − = − Câu 22.Cho dãy số 1 1 1 2; 2 , * n n u u n u + = − = − − ∈ ¥ . Công thức số hạng tổng quát của dãy này là: A) 1 n n u n − + = B) 1 n n u n + = C) 1 n n u n + = − D) 1 n n u n − = Câu 23. Cho dãy số (u n ) có số hạng tổng quát u n = 2n + 3. Khẳng định nào sau đây là đúng? A) (u n ) là cấp số cộng với công sai là d = 3 B) (u n ) là cấp số cộng với công sai là d = 2 C) (u n ) là cấp số nhân với công bội là q = 3 D) (u n ) là cấp số nhân với công bội là q = 2 Câu 24. Một cấp số nhân có 3 số hạng a, b, c khác 0 và công bội q ≠ 0. Đẳng thức nào dưới đây là đúng? A) 2 1 1 a bc = B) 2 1 1 b ac = C) 2 1 1 c ba = D) 1 1 2 a b c + = Câu 25. Đặt S n = 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 . 1 2 3 4 n       − − − −  ÷ ÷ ÷ ÷       , , 2n n∈ ≥¥ . Khi đó : A) 1 n n S n − = B) 1 2 n n S n − = C) 1 n n S n + = D) 1 2 n n S n + = Bài tập tự luận Bài 1: Chứng minh bằng phương pháp qui nạp: * n N∀ ∈ , 3n ≥ ta có 2 n > 2n + 1 Bài 2: Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết 7 3 2 7 8 . 75 u u u u − =   =  Bài 3: Cho dãy số (u n ), biết: 1 1 1 3 í i 1 n n u u u v n + ì ï = - ï ï í ï = + ³ ï ï î a) Viết sáu số hạng đầu của dãy số b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát u n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp qui nạp Bài 4: Xác định cấp số nhân (u n ), biết : 3 5 6 15 135 0 u u u ì ï = ï ï ï = í ï ï ï < ï î Bài 5: Người ta xếp 3655 học sinh theo đội hình đồng diễn là một tam giác: hàng thứ nhất có 1 học sinh, hàng thứ hai có 2 học sinh, hàng thứ ba có 3 học sinh, .Hỏi có bao nhiêu hàng? Bài 6:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 ≥ , biểu thức 13 1 n n S = − chia hết cho 6. Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn luôn có ( ) 2 2 3 3 3 1 1 2 4 . n n n + + + + = Bài 8: Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm công bội của cấp số nhân đó? Bài 9: Bốn số lập thành một cấp số cộng. Biết rằng tổng của chúng bằng 22 và tích của chúng bằng 166. Tìm 4 số đó. ------- ( Hết) ------- Chương 4 : GIỚI HẠN I. Vấn đề 1: Dãy số có giới han 0 * Phương pháp a) 1 lim 0 n = b) * 2 1 lim 0( )k N n = ∈ c) 1 lim 0 n = d) 3 1 lim 0 n = e) Nếu |q| < 1 thì lim 0 n q = f) Nếu | | n n u V< thì V n = 0 thì lim u n = 0 4.1. Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0. a) ( 1) 5 n n − + b) sin 5 n n + c) os2n n 1 c + 4.2. Chứng minh hai dãy số (u n ) và (v n ) với: 1 ( 1) n u n n = + : 2 ( 1) osn n 1 n n c V − = + có giới hạn 0 4.3. Chứng minh rằng các dãy số (u n ) sau đây có giới hạn 0 a) (0,99) n n u = b) ( 1) 2 1 n n n u − = + c) sin 5 (1,01) n n n u π = − 4.4. Cho dãy số (u n ) với 3 n n n u = a) Chứng minh rằng 1 2 3 n n u u + ≤ với mọi n. b) Bằng phương pháp qui nạp chứng minh rằng 2 0 3 n n u   < <  ÷   với mọi n. c) Chứng minh dãy số (u n ) có giới hạn 0. II. Vấn đề 2: Dãy số có giới hạn hữu hạn * Phương pháp 1) lim lim( ) 0 n n u L u L= ⇔ − = 2) Sử dụng định lí 1 và định lí 2 . 3) Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u n ) với công bội q. Ta có: 1 lim 1 n u S q = − 4.5. Cho dãy số (u n ) với 15 1 n n u n + = . Chứng minh lim u n = 15 4.6. Tìm các giới hạn sau: a) ( 1) lim 2 2 n n   − +  ÷ +   b) sin 3 lim 1 4 n n   −  ÷   c) 1 lim n n − d) 2 lim 1 n n + + 4.7. Tìm các giới hạn: a) 6 1 lim 3 2 n n − + b) 2 2 3 5 lim 2 1 n n n + − + 4.8. Tìm giới hạn: a) 2 2 4 5 lim 3 n n n + − b) 3 2 3 2 17 3 4 lim 2 n n n n + + + 4.9. Tìm giới hạn 2 3 1 3 2 lim 2 n n n n −    +  ÷ ÷ −    4.10. Tìm các giới hạn: a) 2 2 2 3 1 lim 3 n n n n − + + + b) 3 2 2 lim 1 n n n + − 4.11. Tìm các giới hạn sau: a) 1 lim 1 n n + + b) 3 3 lim 2 n n n + + c) 2 lim( )n n n+ − 4.12. Tìm các giới hạn: a) 2 lim( 1 )n n n+ + − b) 3 3 2 lim( 2 )n n n− + c) 2 3 3 lim( 1 1)n n+ − + 4.13. Tìm các giới hạn a) 4 lim 2.3 4 n n n + b) 3 5.4 lim 4 2 n n n n + + 4.14. Tìm các giới hạn: a) 3 5.7 lim 2 3.7 n n n n + − b) 1 1 5 11 lim 3 11 n n n n + + + + 4.15. Tìm giới hạn 1 1 1 1 lim 1.2 2.3 3.4 ( 1)n n   + + + +  ÷ −   4.16. Tìm giới hạn 2 1 2 3 . lim n n + + + + 4.17. Tìm tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau: a) 2 3 1 1 1 1 , , , ., , . 2 2 2 2 n b) 1 1 1 1 1 1, , , , ., 2 4 8 2 n−   − − −  ÷   4.18. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777… dưới dạng phân số. III. Vấn đề 3: Dãy số có giới hạn vô cực * Phương pháp 1) limn = +∞ 2) lim n = +∞ 3) 3 lim n = +∞ 4) * lim ( ) k n k= +∞ ∈ ¥ 5) lim n q = +∞ nếu q > 1 6) Nếu lim (–u n ) = +∞ thì lim u n = –∞ 7) lim lim( ) n n u u= +∞ ⇔ − = −∞ 8) Nếu lim | | n u = +∞ thì 1 lim 0 n u = 9) Các qui tắc tìm giới hạn vô cực. 4.20. Tìm các giới hạn: a) 2 1 lim 2 4 1n n+ + b) 3 3 lim 6 3n n − − + − 4.21. Tìm các giới hạn: a) 3 2 3 5 4 lim n n n n + + − b) 3 2 lim 3 2 n n n − + − 4.22. Tìm giới hạn của các dãy số (u n ), với: a) 4 3 3 5 7 n u n n n= + − b) 3 6 3 7 5 8 12 n n n n u n − − + = + 4.23. Tìm các giới hạn sau: a) lim(2 osn)n c+ b) 2 1 lim 3sin 2 5 2 n n   − +  ÷   4.24. Tìm giới hạn của các dãy số (u n ), với: a) 3 1 2 1 n n n u + = − b) 2 3 n n n u = − 4.25. Tìm các giới hạn: a) 2 5 lim .3" n n + b) 2 2 5 1 lim .2 n n n n − §GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I. Vấn đề 1: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn 4.26. Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số. Tìm các giới hạn sau: a) 2 1 3 4 lim 1 x x x x →− − − + b) 1 1 lim 5 x x → − 4.27. Tìm các giới hạn: a) 3 lim x x → b) 2 lim( 7) x x → − c) 5 lim(4 3) x x → + d) 4 lim( 7)( 1) x x x → + − e) 4 4 lim 3 x x x → + − f) 1 lim 15 x x → + 4.28. Tìm các giới hạn sau: a) 2 2 lim(3 7 11) x x x → + + b) 3 4 1 lim (2 1)( 3) x x x x x → − − − c) 0 1 lim 1 x x x →   −  ÷   d) 2 9 3 lim 9 x x x x → − − e) 2 3 lim | 4| x x → − f) 4 2 2 3 1 lim 2 1 x x x x → + − − 4.29. Tìm các giới hạn: a) 2 2 5 2 lim 1 x x x x →+∞ + + b) 2 2 5 2 lim 1 x x x x →−∞ + + 4.30. Tìm các giới hạn: a) 2 3 1 lim 2 x x x x →+∞ − + + b) 4 2 2 lim 1 x x x x →−∞ − + − 4.31. Tìm các giới hạn a) 4 2 4 2 1 lim 2 3 x x x x x →+∞ − + + + b) 3 5 2 2 lim 2 1 x x x x x →−∞ + − + 4.32. Tìm các giới hạn: a) 2 3 2 2 lim 8 3 x x x x x →−∞ + − + b) 2 lim 2 x x x x x →+∞ − + II. Vấn đề 2: • Giới hạn một bên • Giới hạn vô cực • Phương pháp LxfxfLxf oo o xxxx xx ==⇔= +− →→ → )(lim)(lim)(lim 1. Cho hàm số f(x) =    ≥− −< 132 1x 2 3 xkhix xkhi . Tìm 1 lim ( ) x f x →− 2. Tìm các giới hạn: a) 1 lim 1 x x + → − b) 5 lim( 5 2 ) x x x − → − + c) 3 1 lim 3 x x + → − d) 3 1 lim 3 x x − → − 3. Tìm các giới hạn: a) 2 | 2 | lim 2 x x x + → − − b) 2 | 2 | lim 2 x x x − → − − c) 2 | 2 | lim 2 x x x → − − 4. Tìm các giới hạn: a) 2 5 1 lim 2 x x x − → + − b) 2 5 1 lim 2 x x x + → + − 5. Tìm các giới hạn: a) 2 3 3 lim 3 x x x x − → + − − b) 2 3 3 lim 3 x x x x + → + − − 6. Tìm các giới hạn: a) 3 lim ( 2 ) x x x →+∞ − b) 3 lim ( 2 ) x x x →−∞ − c) 4 2 lim (2 1) x x x →+∞ + − d) 4 2 lim (2 1) x x x →−∞ + − 7. Tìm các giới hạn: a) 3 lim ( 2 1) x x x →+∞ − + + b) 3 lim ( 2 1) x x x →−∞ − + + c) 4 2 lim ( 5 2) x x x →+∞ − + + d) 4 2 lim ( 5 2) x x x →−∞ − + + 8. Tìm giới hạn: 2 lim 3 5 x x x →−∞ − III. Vấn đề 3: Các dạng vô định 0 , ,0, 0 ∞ ∞ ∞ và ∞ - ∞ * Phương pháp Khi tìm giới hạn các dạng này, ta phải thực hiện một vài phép biến đổi để có thể sử dụng các định lí và qui tắc đã biết. Làm như vậy ta gọi là khử dạng vô định. 1. Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau: a) 2 3 4 3 lim 3 x x x x → − + − b) 2 2 1 2 3 1 lim 1 x x x x →− + + − 2. Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau: a) 3 2 1 1 lim 1 x x x x x → − + − − b) 4 4 lim x a x a x a → − − 3. Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau: a) 2 2 1 2 3 lim 2 1 x x x x x → + − − − b) 2 2 4 lim 7 3 x x x → − + − 4. Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau: a) 2 0 1 1 lim x x x x x → + − + + b) 2 2 lim 4 1 3 x x x x → − − + − 5. Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau: a) 3 2 3 4 3 1 lim 3 x x x x x →+∞ − + + − b) 2 1 2 lim 2 3 x x x x →−∞ + − − 6. Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau: a) 2 2 3 1 lim 2 4 x x x + →   −  ÷ − −   b) 4 lim ( 4 2 ) x x x x →−∞ − + 7. Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau: a) 0 1 1 lim 1 1 x x x →   −  ÷ +   b) 2 0 1 1 lim (1 . ) 1 n n x x x x x x →   − + + + +   −   § HÀM SỐ LIÊN TỤC I. Vấn đề 1: Hàm số liên tục tại một điểm * Phương pháp Để chứng minh f(x) liên tục tại x o , ta qua 3 bước • B 1 : Tính f(x o ) • B 2 : Tìm lim ( ) o x x f x → • B 3 : So sánh f(x) và lim ( ) o x x f x → Nếu lim ( ) ( ) o o x x f x f x → = thì kết luận f(x) liên tục tại điểm x = x o . 1. Xét tính liên tục của hàm số: 2 4 ( ) 2 4 x f x x  −  = −    . Tại điểm x o = 2. 2. Cho hàm số: 3 1 ( ) 3 2 x x f x x  − + =  +  Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x o = 1. 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x o = 3. a) 2 2 3 ( ) 3 x x f x x − − = − b) 2 2 3 ( ) 3 4 x x f x x  − −  = −    4. Cho hàm số 3 1 ( ) 1 x f x x a  −  = −    Xác định a để hàm số f(x) liên tục tại điểm x o = 1. II. Vấn đề 2: Hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn * Phương pháp 1. Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a, b) ⇔ f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a, b). 2) Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a, b) và: lim ( ) ( ); x a f x f a − → = lim ( ) ( ); x b f x f b → = Nếu x ≠ 2 Nếu x = 2 Nếu x >1 Nếu x ≤1 Nếu x ≠ 3 Nếu x =3 Nếu x ≠ 1 Nếu x = 1 1. Xét tính liên tục của hàm số: 3 1 ( ) 2 4 x x f x x  + + =  +  Trên tập xác định của nó. 2. Xét tính liên tục của hàm số: 2 2 3 ( ) 3 4 x x f x x  − −  = −    Trên tập xác định của nó. 3. Cho hàm số: 2 2 1 ( ) x x f x x a  + + =  +  Định a để hàm số f(x) liên tục trên ¡ 4. Cho hàm số 2 3 1 ( ) 3 7 4 x x f x x  + −  =   −  Xét tính liên tục của hàm số tại điểm: a) x o = 0 b) x o = 1 III. Vấn đề III: Chứng minh phương trình có nghiệm nhờ tính liên tục của hàm số *Phương pháp Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a, b). 1. Chứng minh phương trình: 4 2 4 2 3 0x x x+ − − = , có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng (–1, 1). 2. Chứng minh phöông trình : 3 3 1 0x x− + = coù 3 nghieäm phaân bieät 3.Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (m 2 + 1)x 4 – x 3 – 1 = 0 có ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng (– 1; 2 ). 4.Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm:cosx + mcos2x = 0 5.Chứng minh rằng phương trình 3 2 4 1 4 3 0( ) ( )m x x x− − + − = luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của m. Chương V : ĐẠO HÀM Một số câu hỏi trắc nghiệm 1.Cho hàm số y= f(x) = 2 -3 x . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? A. f(-1)=-3 B. f(1)=3 C. f’(1)=-3 D. f(0)=0 2. Tiếp tuyến với parabol y= x 2 +3x tại điểm M 0 (1;4) có hệ số góc k bằng bao nhiêu ? A. 5 B. 4 C. 0 D. tan5 3. Lập phương trình tiếp tuyến với parabol (P): y= x 2 tại điểm M(2;4) A. y= 4x-4 B. y=4x+4 C. y= -4x-4 D. y=4x 4. Cho đường cong (C): y=x 3 .Lập phương trình tiếp tuyên với (C) tại M (-1; -1) ,ta được : A. y=3x+2 B. y= 3x C. y= 3x-2 D. y= -3x+2 5. Một vật rơi tự do theo phương trình s= 1 2 gt 2 với g=9,8 m/s 2 . Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t= 5s là bao nhiêu ? A. 122,5 m/s B. 29,5 m/s C. 10m/s D. 49m/s 6. Cho hàm số y= f(x) = x 5 - 1 +1 x . Tính f’(1) A. 1 B. 7 C. 4 d. 6 7. Cho hàm số f(x)= x.(x+1) 10 . Tính f’(0) . Nếu x ≥ 1 Nếu x< 1 Nếu x ≠ 3 Nếu x = 3 Nếu x < 0 Nếu x ≥ 0 Nếu x < 1 Nếu x = 1 Nếu x > 1 A. 0 B. 1 C. 11 D. Một kết quả khác 8. Cho hàm số y= ax + b a + b ( a+b khác 0 ) . Tính f’(0) A. b a + b B. 0 C. 1 D. a a + b 9. Trong các mệnh đề sau ,hàm số nào là đạo hàm của hàm số y= ( ) ( ) ( ) x -1 x - 2 x -3 A. 3x 2 -12x +11 B. 3x 2 +12x-11C. 3x 2 -12x-11 D. ( ) ( ) ( ) ( ) x - 2 x -3 x -1 x - 2+ 10. Cho hàm số y= 3 3 x +2x 2 -5x+6.Tìm x để f’(x) ≤ 0 A.x=1 và x=-5 B. x=1 hay x=-5 C. x5 1− ≤ ≤ D. x < -5 hoặc x >1 11. Cho f(x)= 1- x 1+ x .Tìm mệnh đề đúng A. f’(x) =0 , với mọi x B. f’(x)= ( ) 2 2 1+ x , với mọi x khác -1 C. f’(x)= ( ) 2 -2 1+ x , với mọi x khác -1 . D. Hàm liên tục trên R . 12. Hệ số góc của cát tuyên MN với đường cong (C): y= x 2 –x+1 với M , N lần lượt có hoành độ là 1 và 2 A.1 B. 2 C. 3 D. 7 2 13.Cho hàm số y= 3 2 x - mx + 4x - m 3 . Mệnh đề nào sau đây đúng A. y’= (x-m) 2 B. y’>0 với mọi x thuộc R. C. y’>0 với mọi x thuộc R khi 2 2m − ≤ ≤ D. y’>0 với mọi x thuộc R khi 2 2m − < < 14. Cho hàm số y= x - 2 x +1 .Mệnh đề nào sau đây đúng A. y’ 0, 1≥ ∀ ≠ −x B. y' > 0, x R∀ ∈ C. y’ 0, 1> ∀ ≠ −x D. y’ 0, 1< ∀ ≠ −x 15.Đạo hàm của hàm số y= 2 2 x - x +1 x + x +1 là kết quả nào sau đây : A. ( ) 2 2 2x - 2 x + x +1 B. ( ) 2 2 2x - 2x +1 x + x +1 C. 2x -1 2x +1 D. ( ) 2x -1 2x +1 2 16. Hàm số y= 2 2 x - 6x + 9 có đạo hàm là A. y’=0 ,với mọi x B. y’= 2 , 2 6x − với mọi x khác 3 C. y’= - 1 , 3x − với mọi x khác 3 . D. y’= - ( ) 3 4 3x − , với mọi x khác 3 . 17. Cho y= 2 x + x -6− .Tìm mệnh đề đúng : A. y’= 2 -2x +1 2 -x + x - 6 , với mọi x ( ) ( ) ; 2 3;∈ −∞ − ∪ +∞ B. y’= 2 -2x +1 2 -x + x - 6 , với mọi x R∈ C. y’= 2 -x +1 -x + x - 6 , với mọi x ( ] [ ) ; 2 3;∈ −∞ − ∪ +∞ D. y’= 2 1 2 -x + x -6 , với mọi x R∈ 18.Tìm mệnh đề đúng : [...]... nằm trong mặt phẳng α đều song song với β II Hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng song song thì song song III Thiết diện được cắt bởi mặt phẳng và tứ diện luôn luôn là tứ giác IV Có thể tìm được hai đường thẳng song song cắt đồng thời hai đường thẳng chéo nhau Chọn câu đúng trong các câu sâu đây: a Chỉ I đúng b Chỉ I, II đúng c Chỉ I, II, III đúng d I, II, III, IV đúng 20 Cho các giả thiết sau đây... lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau b Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau c Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung d Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau 11 Cho hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau Có bao nhiêu mặt phẳng chứa d1 và song song d2 ? a Vô số b 2 c 1 d Không có mặt phẳng nào 12 Cho tứ diện ABCD Điểm M ∈AC Mặt phẳng α qua M và song... Chương 2: QUAN HỆ SONG SONG 1 Cho hai đường thẳng d1 và d2 điều hiện nào sau đây đủ để kết luận d1 và d2 chéo nhau? a d1 và d2 không có điểm chung b d1 và d2 là hai cạnh của một hình tứ diện c d1 và d2 nằm trên hai mặt phẳng phân biệt d d1 và d2 không cùng nằm trên một mặt phẳng bất kì 2 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, có bao nhiêu đường chéo của hình lập phương chéo nhau với cạnh AB? a 1 b c 3 d 4 3... // d2 và d2 ⊂ α d d1 // (β) và (β) // (α) 21 Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: (với giả thiết các đoạn thẳng và đường thẳng không song song hoặc trùng với phương chiếu) a Phép chiếu song song bảo tồn thứ tự của ba điểm thẳng hàng b Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng c Hình chiếu của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau... Vô số b 2 c 1 d Không có mặt phẳng nào 12 Cho tứ diện ABCD Điểm M ∈AC Mặt phẳng α qua M và song song với AB Thiết diện của α với tứ diện ABCD là: a Hình thang b Hình bình hành c Hình chữ nhật d Hình vuông 13 Trong các giả thiết sau đây Giả thiết nào kết luận đường thẳng d1 song song với mặt phẳng α? a d1 // d2 và d2 // α b d1 ∩ α = ∅ c d1 // d2 và d2 ⊂ α d d1 // d2 và d2 ∩ α= ∅ 14 Cho đường thẳng d... d // β b d song song với một đường thẳng d’ nào đó nằm trong β c d song song với mọi đường thẳng nằm trong β d Có hai đường thằng phân biệt nằm trong β cùng song song với d 17 Khẳng định nào sau đây không suy ra được hai mặt phẳng α và β song song nhau? a α ∩ β = ∅ b Trong α có chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này cùng song song với β c Trong β có chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai... cos2x ( x − 2) 2 sin x 1 − cos x sinx - cosx i) y= sinx + cosx c) y= tan(sinx) h) y= d) y= cot x − 2 k) y= 1 + 1 1 + 1 1 + 1 cos x 2 2 2 2 2 2 2 2 Bài 2: Định a sao cho f(x) = cos2x-a sin x +2cos x không phụ thuộc x 3 cos 5 x 2 Bài 3: a) Giải phương trình y’=0 với y= sin 5 x − + sin 3 x 5 5 3 cost - tsint Tính f’( π ) b) Cho f(t) = sint - tcost Bài 4:a) Cho y= x cos2x Tính đạo hàm cấp hai cuả hàm... Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số taị điểm x=2; b) Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiếp tuyến song song vói đường thẳng 45x-y+54=0 ; 1 c) Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= - x+1 9 2 d) Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiếp tuyến đi qua điểm M( ; −1 ) 3 Bài 10*: Gọi (P) và (P’) lần lượt là đồ thị hai hàm số y= f(x) = -x2 -2x+1 (P) và y= g(x) =... song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau d Hình chiếu song song của đường thẳng là đường thẳng 22 Hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau: a Hình lập phương có 6 mặt là 6 hình vuông bằng nhau b Hình lập phương có 8 đỉnh c Hình lập phương có 16 cạnh bằng nhau d Hình lập phương có 4 đường chéo bằng nhau 23 Cho hình bình hành ABCD Qua các đỉnh A, B, C, D ta dựng các nửa đường thẳng... nhau b Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau c Một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cắt đường thẳng còn lại d Hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau 25 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi M là trung điểm của AB Qua M dựng mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (BCD) Tìm diện tích thiết diện của (P) và tứ diện a2 3 a 4 a2 3 b 8 . ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II- MÔN TOÁN – LỚP 11 A. PHẦN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Chương III : DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN KIẾN. câu đúng trong các câu sâu đây: a. Chỉ I đúng b. Chỉ I, II đúng c. Chỉ I, II, III đúng d. I, II, III, IV đúng 20. Cho các giả thiết sau đây. Giả thiết nào