n căn Trờng thpt cẩm thuỷ i Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trờng Khối 11 THPT - Năm học 2007-2008 Môn thi: Toán (Thời gian làm bài: 180 phút ) Bài 1(5 điểm) a) Giải phơng trình: 1)3 2 (sin)2(coscos 222 =+++ xxx b) Cho Rba , . Chứng minh rằng trong hai phơng trình sau phải có ít nhất một phơng trình có nghiệm: bxax =+ cossin2008 bxax .2cottan2008 =+ Bài 2 ( 5 điểm) a) Dãy số n uuuu , .,,, 321 đợc xác định nh sau: 1, .,1,1,0 123121 +=+=+== nn uuuuuuu Chứng minh rằng: 2 1 ) .( 1 21 +++ n uuu n . b) Tìm giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát: 22 .22 2 . 22 2 . 2 2 ++++ + = n u Bài 3 (5 điểm) a) Trên mặt phẳng cho đa giác lồi 10 cạnh 21 n AAAT = Xét các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác T . Hỏi trong số các tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó đều không phải là ba cạnh của đa giác T ? b) Tìm các giá trị nguyên dơng của x thoả mãn xk k k CCCCCCCCCC 2.2008 0 1 2007 2008 2007 20082008 2005 2006 2 2008 2006 2007 1 2008 2007 2008 0 2008 =++++++ Bài 4 (5 điểm) Cho hình lập phơng 1111 . DCBAABCD . a) Hãy tìm điểm M trên đờng chéo BD của mặt ABCD và điểm N trên đờng chéo 1 CD của mặt bên 11 CCDD sao cho .// 1 ACMN b) Gọi I và J lần lợt là trung điểm của BDA 1 B và 11 . Chứng minh rằng . 1 ACIJ Họ, tên thí sinh: . SBD: . Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Trờng thpt cẩm thuỷ i Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trờng Khối 11 THPT - Năm học 2007-2008 Đề thi chính thức đáp án h ớng dẫn chấm môn Toán (Thời gian làm bài: 180 phút ) Câu Nội dung điểm Câu 1 5 điểm a) Giải phơng trình: 1)3 2 (sin)2(coscos 222 =+++ xxx (1) 2 điểm +) Ta có (1) 13cos2coscos 222 =++ xxx (2) +) Đặt xt 2 cos = , điều kiện [ ] (*)1;0 t 0.5 +) Khi đó (2) trở thành: = = = =+ 4 3 2 1 0 0)3108( 2 t t t ttt 0.5 +) Giải tìm nghiệm x 0.5 +) Kết luận: Nghiệm của phơng trình đã cho là: ZmmxZllxZkkx +=+=+= , 6 ;, 24 ;, 2 0.5 b) 3 điểm *) Có hai trờng hợp xảy ra: +) Trờng hợp 1: 222 2008 ba + thì (1) có nghiệm 0.5 +) Trờng hợp 2: 222 2008 ba <+ Ta có =+ 0sin )3(0tan.2tan2008 )2( 2 x axbx 0.5 Nhận xét: (2) có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm 0tan x 0.5 Ta có: *) 0)2008(2)2008.22008(22008.4)2( 2222 =+= aaaab *) 0 2008 2 = b S (luôn đúng, do có 222 2008 ba <+ nên 0 b Do đó (3) có nghiệm khác 0 1 +) Kết luận: 0.5 Câu 2 5 điểm a) 2 điểm Ta chọn số 1 + n u sao cho 1 1 += + nn uu Khi đó ta có: 0.25 n căn 12)1( 12)1( 12)1( 0 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3 1 2 1 2 1 2 2 2 1 ++=+= ++=+= ++=+= = + nnnn uuuu uuuu uuuu u 1 Suy ra: 2 1 ) .( 1 ) .(2 ) .(2 321 2 1321 321 22 3 2 2 2 1 2 1 2 3 2 2 2 1 ++++ =++++ ++++++++++=++++ + + n nn nnn uuuu n nnuuuuu nuuuuuuuuuuuu 0.5 +) Kết luận: 0.25 b) Ta có: 1 3 2 2 cos222 .22 . 2 cos2 8 cos222 2 cos2 4 cos22 + =++++ ==+ == n 0.75 (Chứng minh bằng quy nạp) 0.5 Ta có 1 1 1432 2 sin2 2 sin 2 sin2 2 cos 1 2 cos 1 . 2 cos 1 . 2 cos 1 + + + === n n n n n n u 1 2 ) 2 2 sin . 2 (limlim 1 1 == + + ++ n n n n n u 0.75 Câu 3 5 điểm a) 2 điểm +) Số tam giác phân biệt có 3 đỉnh là 3 trong các đỉnh của đa giác T là 120 3 10 = C 0.5 +) ứng với mỗi cạnh của đa giác T sẽ có 8 cách chọn các đỉnh còn lại để tạo thành một tam giác chứa cạnh này. Suy ra số tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác T là 80 (tam giác). 0.5 +) Trong 80 tam giác trên có 10 tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác T đ ợc lặp lại hai lần. 0.5 +) Kết luận: Số các tam giác cần tìm là (120 80) + 10 = 50 (tam giác) 0.5 b) Tìm các giá trị nguyên dơng của x thoả mãn xk k k CCCCCCCCCC 2.2008 0 1 2007 2008 2007 20082008 2005 2006 2 2008 2006 2007 1 2008 2007 2008 0 2008 =++++++ 3 điểm +) Ta có kk k k C k k kk CC 2007 2007 20082008 2008 )!2007( !)2008( . )!2008(! !2008 = = 1 +) Do đó )/(2007 22 2 . 2.2008) .(2008 2.2008 2007 2007 2007 2 2007 1 2007 0 2007 2007 2007 2 2007 1 2007 0 2007 0 1 2007 2008 2007 20082008 2005 2006 2 2008 2006 2007 1 2008 2007 2008 0 2008 mtx CCCC CCCC CCCCCCCCCC x x x xk k k =⇔ =⇔ =++++⇔ =++++⇔ =++++++ − − +) KÕt luËn: 0.75 0.75 0.5 C©u 4 5 ®iÓm a) 3 ®iÓm §Æt cAAbADaAB === 1 ,, . Ta cã cbaAC ++= 1 V× )1(:// 1 * 1 ckbkakMNhayACkMNRknenACMN ++==∈∃ 1 MÆt kh¸c ta cã: )2()1()()()( 1 cmbnamnacmbban CDmBCDBnCNBCMBMN +−+−=−++−= ++=++= 0.75 Tõ (1) vµ (2) ta suy ra          = = = ⇔      = =− =− 3 2 3 1 3 1 1 n m k km kn kmn 0.75 VËy víi 1 3 1 3 2 CDCNvaDBMB == th× 1 // ACMN 0.5 A B D A 1 B 1 C C 1 D 1 M N I J b) Gọi I và J lần lợt là trung điểm của BDA 1 B và 11 . Chứng minh rằng . 1 ACIJ 2 điểm +) cbaAC ++= 1 0.5 +) cbaIJ 2 1 2 1 = 0.5 +) 0))( 2 1 2 1 (. 1 =++= cbacbaACIJ 0.75 +) Vậy 1 ACIJ (đpcm). 0.25 . 2 0082 008 2 008 )!2 007( !)2 008( . )!2 008( ! !2 008 = = 1 +) Do đó )/(2 007 22 2 . 2.2 008) .(2 008 2.2 008. . 2 007 2 007 2 007 2 2 007 1 2 007 0 2 007 2 007 2 007. 2.2 008. . 0 1 2 007 2 008 2 007 2 0082 008 2005 2006 2 2 008 2006 2 007 1 2 008 2 007 2 008 0 2 008 =++++++ 3 điểm +) Ta có kk k k C k k kk CC 2 007 2 007 2 0082 008