Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến Ths.Phạm Huy Tân - Trờng THPT Lơng Tài I/ Phơng pháp biến đổi tơng đơng Ví dụ Cho ab ≥1 Chøng minh:  1 a b Giải: Đpcm (đúng) ( a b) ( ab 1) Bài tập áp dông:   ab Cho a, b, c ≥1 Chøng minh 1    3  abc 1 a 1b 1 c Cho a, b, c, d, e ≥1 Chøng minh 1 1      5 5  abcde 1 a 1b 1 c 1 d 1 e Cho Chøng minh 1 1 1 1     a  ,b  ,c  ,d  2 2  12abcd  4ad¬ng  9Chøng b  16 c  25d a, b > 0,4 m và5 n hai số nguyên Ví dô Cho minh: (am + bm)(an + bn) ≤ 2(am+n + bm+n) ambn + anbm ≤ am+n + bm+n Giải: Cả hai BĐT tơng đơng với BĐT : (an-bn)(am-bm) (đúng) Bài tập áp dơng: Cho a, b, c d¬ng Chøng minh: 1) (a + b)(a2 + b2)(a3 + b3) ≤ 4(a6+ b6) 2) với n nguyên dơng n 3) 4) a b an  bn      1 1    abc víi 3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc ab bc =1 ac  1 VÝ dơ 3.a 5Víi b,c.a 5Chøng minh: a2+ b2+ c2 ≥ab + bc + ca  b mäi  ab sèb 5thùc  c a,  bc  c  ac Gi¶i: Đpcm tơng đơng với (a - b)2+(b - c)2 + (c - a)2 (đúng) Bài tập áp dơng: Víi mäi sè thùc a,b,c d¬ng chøng minh: 1) a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c) 2) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) Ths Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến Bài tập tự luyện 1) Cho ab>0, c≥ ab Chøng minh: c2  a2 2) Cho a, b, c d¬ng Chøng minh: a) b) a3 2a  b  a  ab  b ca  c b c2  b2 a2 bc  a bc c 4a  b  c  a3 b3   a  ab  b b  bc  c c ca a II Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi với x1,x2,,x,xn dơng Ví dụ CMR: Giải: áp dụng BĐT Côsi ta cã ( x1  x   x n )( vµ 1    ) n x1 x xn Nh©n vÕ víi vÕ bất đẳng thức ta đợc x x   x n n x1 x x n Đpcm Đẳng thức xảy x1= x22=,x= xnn 1 Bài tập ápdụng: n n x1 x2 xn bc ac ab 1      a 2b  a c b a  b c c a  c 2b 2a 2b 2c x1 x x n 1) Víi mäi a,b,c d¬ng, chøng minh: ab minh: 2) Víi mäibctam gi¸cacABC, chøng  a 2b  a 2c b2a  b2c c a  c 2b dơng 1 Chó ý: Ta xem ví dụ nh kết đợc a ¸p b3 cho1 c¸c c vÝ dơ 1ë phÇn  sau  VÝ dơ 2: Cho a, b, c d¬ng Chøng 1)  3c a3 2b3 c a b  2c 4a b 2ac 3 b  c a a b minh: 1 2      p a p b p c a b c 4b  4c (a  x)(b  y ) ( ab  xy ) 2) (a  x)(b  y )(c  z ) (3 abc  xyz ) Gi¶i: 1)a b c  b c   c a a b 2 2  bab  c aybx  xy ( ab  xy ) VP VT aab  (bay bxc)   xya  Chó ý:b Cã c thĨ c  sử a dụng a b BĐT2Bunhia để chứng minh BĐT VT abc ( abz bcx acy)  ( ayz  bzx  cxy)  xyz abc  33 ( abc) xyz  33 abc( xyz) xyz 2) áp dụng BĐT Côsi ta có Ta có BĐT tơng tự nh ( abc  xyz ) VP a b đợc Đpcm c CộngVT vếvới vế ( BĐT 1) ( lại ta 1)  (  1) bc ca a b Chó ý : BĐT 9Bunhia chứng minh cách1sử dụng BĐT  a  b  (b  c)  (a  c)        VT M (12 x)(1  y )(1  z )  a  b b  c c  a sử dụng kết2quả BĐT 1) Bài tập áp dụng : a, b, c d¬ng   chøng minh:  1) Víi        P   1 1 A  B  C  sin   sin   sin   Ths Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài 1 2 1 x 1 y 1 z xyz  Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến 2) Cho a, b, c dơng abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 3) Víi mäi tam gi¸c ABC chøng minh VÝ dơ 3: 1) Víi mäi a, b, x, y d¬ng chøng minh 2) Víi mäi a, b, c, x, y, z dơng chứng minh Giải: 1) 2) Bài tập áp dụng: 1) Cho x, y,z dơng xyz =8 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2) Với tam giác ABC tìm giá trị nhỏ biểu thøc VÝ dơ : Cho x, y, z d¬ng Chứng minh Giải: Từ giả thiết áp dụng BĐT Côsi ta có: 1  y z yz   1      2  x   y    z   y  z (1  y )(1  z ) Ta có thêm 2BĐT tơng tự nh Nhân vế với vế BĐT thu gọn ta đợc Đpcm Bài tập áp dụng : Cho x, y, z, t dơng Chứng minh xyzt 81 x Tìm y giá Ví dơ : Cho x, y d¬ng, 1 1    3 1 x 1 y 1 z 1 t trÞ nhá nhÊt cđa S x 4y Giải : áp dụng Côsi ta có :  x  x  x  x  y     x x x Đẳng thức xảy chØ x 4    25  4 x  y    25  S 5    4y   x 4y  x    y   1  VËy minS = P  Ths Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài x 1 1  y 1 z 1 BÊt đẳng thức cực trị hàm đa biến Ví dụ : Cho x, y, z dơng x+y+z = Tìm Giải : áp dụng BĐT C«si ta cã :   x  1   y  1   z  1  x 1  y 1  z 1 1 9  P  x  y 9 z 94 Đẳng thức xảy vµ chØ x  y z  Vậy Bài tập áp dụng : Cho x,y, z dơng x+y+z = Ví dụ : Cho y4 x4 z4   yz zx xy P  x2 y2 z2  trÞ lín TìmCgiá yz zx xy y x z Q   y x yz x3 x x+y+z y  1= z T×m giáz trị nhỏnhất x,y,z dơng ( x  y )( x  z ) ( y  z )( y  x) ( z  x)( z y ) Giải : áp dụng BĐT x  y x  z 3x x3    x ( x y3 y )( x z 3z ) 8 A   C«si ta Ta còng y cã z :z  x x  y nh Công BĐT lại ta đợcx yz x = y = z = VËy minA = Bài tập áp B dụngP: y Đẳng z thức 3x biểu thức có BĐT tơng tự xảy A 6 y3 x3 z3   ( x  y )( x  z ) ( y  z )( y  x) ( z  x)( z y ) 1) Cho x, y, z dơng x+y+z = Tìm giá trị nhỏ 2) Cho x, y, z dơng vàx 2xyz = y1.2 Tìm zgiá trịx nhỏ y z x  yz  y  zx  z  xy  VÝ dơ : Cho x, y, z d¬ng Chøng minh: A 3 x  y  3 y  z  3 z  x Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có: tơng tự nh thÕ Céng vÕ víi 3x  y   3 x  y 3 (3 x y ).1.1 vế đẳng thức ta đợc Đpcm Bài tập áp dụng : giá x y z  1) Cho x, y, z dơng xyz = Tìm Ta có 2BĐT trị nhỏ B 4 x y  4 y  z  4 z x 2) Cho x, y, z dơng xy + yz + zx = xyz Chøng minh : M x  y 4 3x   y  4x y2 VÝ dô : Cho x 1x, y, z2dơng y y 4xx+ 4y y + 4z x 1= Tìm giá y ytrÞ 4lín9nhÊt cđa A          4   x   y 2  3.3   x y 4 2 Ths Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng 2Tµi A  2x  3y  10 18 x y Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến Giải : áp dụng Côsi ta có : Ta có BĐT tơng tự nh Cộng phân thức lại ta đợc A3 Đẳng thức xảy Vậy maxA = 3 xyz Bài tập áp dụng : Cho x, y, z, t dơng2 5x+5y+5z +5t= Tìm giá trị lớn 1 cña P x  y  z    x y z  VÝ dô 10 : Cho x,1 y dơng Tìm giá trị nhỏ 15 P x     y     z    3 x  y  z  4     x  y  z 2  15 minP  x y z  2 Gi¶i : Đẳng thức xảy x = y = VËy 1 9 15   x  y  z  4( x  y  z )   3( x  y  z ) 2.6   y z : Cho x, y d¬ng x  y vµz x + y ≥ Chøng x  y minh: z 2 ¸px dơng P x  y  z   Bµi tËp VÝ dơ 11 : Cho x, y, z dơng Tìm giá trị nhỏ Q xy Giải : Cách : Đẳng thức xảy raMkhi sinvàA sinkhi B  sin C  xy VËy 1   sin A sin B sin C C¸ch 2: A x  y  z Chú ý: Học sinh dễ bị sai lầm tìm minP = ?! Bài tập(áp B 48 x dông:  8)  ( y   8)  ( z   8) 33 2.x  33 y  33 z 12( x  y  z ) 72 1) Cho  B 24x, y dơng x + y = Tìm giá trị nhỏ 2) Xác định góc tam giác ABC để biểu thức sau nhỏ B x VÝ dô 12 : Cho x, y, z dơng x + y + z = Tìm giá trị nhỏ y6 z6 A B C  sin  sin 2 2 2 a b c d 1 1        b c d a a b c d M sin Giải : Đẳng thức xảy x = y = z = VËy minB = 24 Bài tập a áp a dông a2    5    3a   b x, by , zbdơng a vàax + by + z = b bTìmagiá trị nhỏ 1) Cho 2) Với tam giác ABC tìm giá trị nhỏ Ths Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài a3 b  b3 c  c3 d  d3 a  a  b  c  d4 Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến VÝ dơ 13 : Cho a, b, c, d d¬ng Chøng minh: Gi¶i: 5 a b Ta cã  3 b c  c5 d  d5 a Ta có BĐT tơng tự nh a  b  c  d Cộng BĐT lại ta đợc Đpcm Bài tập áp dụng : Cho x a,1b, c, dd¬ng   minh y 1Chøng z  P x    y    z     zx   xy  1)  yz  2) x  y  z x  y  z x  y  z xy  yz  zx  x   y   z            2 xyz xyz x   y   z   14 : Cho x, y , z dơng tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa P VÝ dơ x2 x2 1       P x 2x 2x 2 P  Gi¶i : Mặt khác : Đẳng thức xảy vµ chØ x = y = z = Vậy Lời bình: Còn tìm đợc cách giải khác sử dụng BĐT Côsi Mời bạn thử sức! Ví dụ 15: Cho a, b,c số thực dơng thoả mÃn điều kiện a2+b2+c2+abc = Chøng minh r»ng a+ b + c ≤ Gi¶i:  bc  (  b )(4  c ) a Cách 1: Đây BĐT có điều kiện Một phơng pháp xử lí toán khử điều kiện từ đầu Coi điều kiện a2+b2+c2+abc = nh phơng trình bậc hai theo a, ta đợc b2   c2  (b  c) Một cách tự nhiên, biểu thức trên, ta Côsi cho a áp dụng BĐT thức bc có đánh giá  (b  c)  4(b  c) 12  (b  c  2) 12   3 4 a bc  bc t ®ã Từ Cách 2: Đặt , ta có = a2+ b2 + c2+ abc 2 = a2 + 2t2 + at2+(b(2+ - t2) 2 c a- )(2tb ) +c)a(bc a  2t  at   a  (2  a )t Ths Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài t 2  a a  1.(2  a ) a    a 3 Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến = Từ suy có đánh giá a  b  c a  2t  a  2 a Cách : Từ điều kiện a2+b2+c2+abc = ta suy a, b, c  (0;2) Từ áp dụng BĐT Côsi cho sè – a, – b, – c ta cã 27(2  a )(2  b)(2  c) (  a   b   c)  27(8  4(a  b  c)  2(ab  bc  ca)  abc) (6  a  b  c ) y  ca)  a  b12  c  4) (6  a  b  c)  27(8  4(a  b Ac) x2(ab bc xy xy  27( s  s  4) (61 s )x3  y  x 3)( s  12s  36) 0 0 ray( s Tõ ®ã suy s 3.1 x y y x Cách : Cũng điều kiện a, b, c (0;2) đà gợi đến phép lợng giác Rõ ràng đặt a= 2cosA vµ b =2 cosB, c = cosC, víi A, B góc nhọn Khi đó, tính c theo a, b, ta đợc c (4 a )(4  b )  ab    cos A cos B  sin A sin B   cos( A3  B)  23cos(  A  B) a3 b c a b c VËy c = 2cos C víi A  B  C .Nh thÕ ®iỊu kiƯn2 a2 2+b22 + c22 +abc = đÃ2đợc a b b c c2 a2 tham số hoá thành a = cosA, b= 2cosB, c= 2cosC , A, B, C> a víi b A  B  C    7( a  b) 8 2( a  b ) b thuộc a Yêu cầu toán trở thành bất đẳng thức quen tam giác: Đó lời giải ngắn gọn cho bất đẳng thøc 2 2 P cos A  cos(B  cos C )  A  B a1b1A B a n2bn ) (2a1C   a nC)(b1   b2 n C C 1   P 2 cos cos   sin 2 sin   sin   2 sin    2  Bài tập áp dụng: Cho x, y, z x yz 2 b b1 dơng x2+n  a1 an 2  2 y2 + z2 + 2xyz = Chøng minh Bµi tËp tù lun 1) Cho x, y d¬ng Chøng minh: 1  x    2) Cho x > y > Tìm giá trị nhỏ y    1 x    A x 3) Cho x, y, z dơng Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa  y  256 xy ( x  y )  x y z  A 3 4( x  y )  4( y  z )  4( z  x )  2    y z x 4) Cho x, y không âm x + y = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn A x y y1  x  minA   A x y z  3 minB 5) Cho x,y9 dơng x + y < Tìm giá trị nhỏ minC 6) Cho 27 Chøng minh   1 1 M  x     y   x 7y Ths Phạm Huy Tân2 Trờng THPT 2Lơng Tài   1  1  25 M    x     y     1       1      x  y     x y   x y 2 Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến 7) Cho x, y dơng x + y = Tìm giá trị lớn biểu thức a) A= x2y b) B = x4y3 x y  M 8) Cho a, b, c số d¬ng Chøng minh r»ng 25 9) Cho a, b số dơng Chứng minh III Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia Nội dung: 1 M x  y  z x y z Đẳng thức xảy Ví dụ 1: Cho x + y+ z = Tìm giá trị nhá nhÊt cña a) A= x22a+2 y2b+ z2  ab b) B= x4 + y4 + z4 2b  c 2c  a   bc ca c) C = x8 +2ya +bz8  ab a  a  b 2a  b  ab 3ab Gi¶i : a) 3A = 3(x2 + y2 + z2 )≥ (x + y+z)2 = Vậy P b) c) Đẳng thøc x¶y 3a  4b 3b  4c 3c  4a   ab bc ac a b c   1 b  2c c  2a a  2b VÝ dụ : Cho x, y dơng x + y = 1.2 Tìm giá trị nhỏ a ( a  b  c)  Gi¶i : Ta cã  b  2c  a (b  2c)    VT (ab  2ac   ) 3VT (ab  bc  ca )  (a  b  c ) 3( ab  bc  ca )  1 ab  bc ac) và3(chỉ ab bc ac) thức3(xảy rakhi VT Đẳng Vậy Chú ý : Có thể sử dụng BĐT Cô si để chứng minh BĐT Bài tập áp dụng : Cho x, y, z dơng x + y + z = Tìm giá trị nhỏ a b c    pb  qc pc  qa pa  qb p  q VÝ dô : Cho a, b, c dơng ab + bc + ca = abc Chøng minh: P x ( y  z) y y  2z z  y ( z  x) z z  2x x  z ( x  y) x x  2y y Ths Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng a bTµi  p bc  c a  p  a  p  b  p  c 3p Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến Giải: Ta có Ta có BĐT tơng tự nh Cộng BĐT sử dụng giả thiết ta đợc Đpcm Bài tập áp dụng : Cho a, b, c dơng ab + bc + ca = abc Tìm giá trị nhá nhÊt cđa VÝ dơ : Cho a, b, c dơng Chứng minh: x Giải: Ta có  y 1 y2 x yz x2 z2    yz zx x y c(a  c)  c(b c) ab Đẳng thức xảy vµ chØ a = b = c x 02   a  b  Bµi tập áp dụng: 1) Cho a,x 2b, c,y 2p,qx dơng  y 2Chøng  y minh: x2 2) Cho x, y, z dơng xyz = Tìm giá trị nhỏ x  x x  x  11 Bµi tËp tù luyÖn 2 a  b  c 4S 1) Cho a, b, c dơng a + b + c = Chøng minh 4  btam  cgi¸c 16S 2) Víiamäi ABC chứng minh 3) Cho x, y dơng Tìm giá trị nhỏ M = x+ y 4) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cña S = x+ y biÕt 2x(x – 1) + 2y(y-1) ≤3 xy  yz  zx  xyz  5) Cho x, y, z d¬ng Chøng minh 27 6) Cho a > c > 0, b > c Chøng minh: 7) Gäi x0 lµ nghiƯm cđa phơng trình x + ax + b = Chøng minh x  y z   x  8) Cho Chøng minh 3x + 4y 9) Giải phơng trình 10) Với tam gi¸c ABC Chøng minh  1  0;   f(x) 27 a) b) IV Phơng pháp hàm số phơng pháp khác 1  2( x  y  z )  4( xy  yz  zx )  xyz Ths Phạm27Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài 27  xy  yz  zx  xyz  27 (1  x)(1  y )(1 z ) Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến Ví dụ 1: Cho x, y, z dơng x + y + z = Chứng minh Giải : Cách : Giả sư Khi ®ã ta cã  y  z   xy  yz   x  x 1  (1  x)  zx  xyz   f ( x) VT  xy  xz   ( yz  xyz )  x( y  z )  yz (1  x)  x ( y  z )   4  Lập bảng biến thiên f(x) nửa khoảng ta đợc Cách : ( x y ) xy x  y Do (1-2x)+(1-2y)+(1-2z)=1> nªn ba sè 1-2x, 1-2y, 1-2z ph¶i cã Ýt nhÊt 1 A số dơng Nếu cảx bay số dơng, áp dụng BĐT Côsi ta có : B x  y3 t  t 1 t (t  1) t  t 1 t 1 y  c¸c trêng , x hợp còn(lại t !? 1) Bất đẳng thức vÉn ®óng 1 t  2t  A    f (t ) x y t dụng t : Bài tập áp  f (t )  f (1) 4 1) Cho x, y, z không âm 2và x + y +2 z = Chøng minh ) B   ( x  y )( x  xy  y  ( x  y ) xy  A 16 ( xy ) 2)x Choy x, y, z không âm x + (yxy+) z =3 Chøng minh x2 + y2 + z2 +xyz ≥4 x y vµxy  x  y  xy VÝ dô : Cho x,y khác không A Tìm giá trị lớn x y B ( x  1)  y  ( x  1)  y  y  1) 2) Giải : 1) Đặt x=ty,2 từ giả thiết suy ra2 2  Do ®ã ( x  1)  y  ( x  1)  y   y 2  y  B 2  y  y   f ( y ) LËp b¶ng biến thiên f(t) ta đợc B  ( x; y ) (0, VËy maxA = ) 1 VËy maxB ( a  b  =16 c)(   ) 10 a Bài tập áp dụng: Cho a b b c a c      7 b a c b c a b c Tìm giá trị lớn Ví dụ 3: Tìm giá trị nhá nhÊt cña a b a     b a b c a c a c c c b  ( a  b)(b  c) 0  ab  bc b  ac    (  )  (  )     VT 2(  )  c b c c b a b c a c a 1     a a b Ths Ph¹m Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài 10 Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến Giải: Trên mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét điểm M(-1+x;-y) vµ N(1+x;y) Ta cã OM + ON≥ MN a b c Lập bảng biến thiên f(y)1ta đợc 1 S a  b  c  a   b c VÝ dô 4: Cho a, b, c thuộc đoạn [1;2] Chứng minh  a b c    a b b c c a b, c   ;3 Giải: BĐT tơnga,đơng với Giả sử a b c 1 Đặt b a 1 c b  1 a c  b a b aab c   1  VT   ?! c x  ,1  x 2 a cVT  c f ( x) 2( x  ) b2 1 c x 1 b c Lập bảng biến thiên f(x) [1;2] ta đợc VT => Đpcm b c t Bàit tập áp,1 dụng: a, b, fc(tdơng t Cho VT )  VÝ dơ : Cho Gi¶i: Chøng minh Đpcm 2 Tìm giá trị nhỏ 2 Giả sử Đặt t2 t2 x x        2y   2y      x  ( x  y) x2  4y2 2  2 2   x     y  1   t x  2y   2   f (t )  4t  t 2 Lập bảng biến thiên f(t) đoạn [1;3] ta đợc Đpcm Ví dụ 6: Cho x2 + y2 d¬ng Chøng minh r»ng a  b  c 2(a  b c ) Giải: Đpcm tơng đơng víi (y ≠0) ( a  2a )  (b  2b )  (c  2c ) 0  f ( a ) f (b) f (c) Đặt Đpcm tơng đơng với biến thiên f(t) ta đợc Đpcm (Khi y = BĐT đúng) Lập bảng x  R VÝ dô 7: Cho a, b, c  R vµ a + b + c = Chøng minh r»ng: f ( x)  (8 x  16) x  x  x  16 ( x  2) ( x x 4) 0x Ths Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài a 2a  (8a  16) ( a  2) ( a  2a  4) 0x  R  a  2a 8a  16a  R 11 Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến Nhận xét: Ta thấy đẳng thức xảy a = b = c = BĐT cần chứng minh có dạng Trong f(x) = x4 2x3 Ta có tiếp tuyến đồ thị hàm số y=f(x) điểm có b 2b 8b  16; c  2c 8c  16 hoành độ x = alà4 y=8x b  c–  16 2(a Ta  b 3hy  cväng ) 8(cã a  sù b  ®¸nh c)  48gi¸: 0 f(x)≥8x – 16 víi Ta cã VËy ta cã lêi gi¶i nh sau: Lời giải : Ta có : Tơng tự ta có Cộng BĐT lại với ta có (Đpcm) Chú ý : Vì y = 8x - 16 tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x 2x3 điểm có f(x) ax  b x  ( ;  ) f(x) ax b x ( ; ) hoành độ x = nên ta có phân tích f(x) – (8x - 16) = (x - 2) k g(x) víi k ≥ vµ g(2)≠0 NhËn xÐt: NÕu y = ax + b tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm x uốn), x n x tồn khoảng A(x0 ;y0) (A xlà1 điểm n điểm x0 cho ( ;  )chøa hc  xi k Đẳng i thức xảy x = x0 Từ ta có : f(x1) + f(x2)+,x.+ f(xn)≥a(x1+ x2+…,x+ xn) +nb ( hc f(x1) + f(x2)+…,x.+ f(xn) ≤ a(x1+ x2+…,x+ xn) +3n, víi mäi 1 đẳng thức xảy a b c NÕu c¸c biÕn xi cã tỉng x , x , ., x n  ( ;  ) 4.     a b b c c a a bc  (k không đổi) đợc viết lại dới dạng sau f(x1) + f(x2)+…,x.+ f(xn) ≥ ak + nb hc f(x1) + f(x2)+…,x.+ f(xn) ≤ ak + nb VÝ dô : Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:   f ( axÐt: )  f B§T (b)  fcÇn (c) chøng NhËn 4            9 1 a a  1 b b  1 c c  5x  f ( x) minh x nên ta giả sử không làm tính tổng quát toán a b c a+b+c = mà Khi BĐT đà cho trở thành: , ở(đó x 1) (2 x  1) f(x) - (18x - 3)  x x2 Ths Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài a 1  a, b, c   0;  12 Bất đẳng thức cực trị hàm đa biến Bất đẳng thức đà cho xảy dấu = số y = f(x) điểm có hoành độ x Tiếp tuyến đồ thị hàm là: y= 18x -3 Phải ta có đánh giá: (1)?! Vì a,b,c độ dài ba cạnh tam giác thoả mÃn điều kiện a+b+c = 1, giả sử a = max{a,b,c}, ®ã 1=a+b+c>2a Do ®ã (1) Lời giải: Không làm tính tổng quát ta giả sử a+b+c = 1, BĐT trở thành Vì a, b,c độ dài ba cạnh tam giác vµ a+b+c = 5a  5b  5c    9 2 a a b b c c suy Ta cã: (3a  1) (2a  1) 5a  1 5a  1  ( 18 a  )   a   18a   a, b, c  2 2 a  a a  a a  a Ta có BĐT tơng tự Cộng BĐT lại với ta có : 5a 5b  5c   x¶y2 ra 18(a  b  c)  9 Đẳng a a thức b b c c a b c Bµi  3) Cho tËp tù luyÖn Chøng minh r»ng 1) Cho 2) Cho a, b, c  0; a 22  b 22  c 22 3 Chøng minh r»ng a, b, c  0; a  b  c 1.Chøng 4) Cho minh r»ng Chøng minh r»ng 5) Cho a, b, c   Chøng ; a  b  c 1 minh r»ng 6) Cho a,b,c d¬ng Chøng minh r»ng a, b, c  0; a  b  c 3 7) Cho x,y,z kh¸c Chøng minh r»ng 8) Cho (§pcm)  1 1       a  b  c  2  a b c 1     a  b  c  7 a b c a b c    a  b  c  10 a  b  c ab  bc  ca a b c giá trị lớn  bc  ca  ab 10 b  c  a    c  a  b    a  b  c   b  c   a  c  a   b  a  b   c 2 xc¶m 2y2 2z Xin chân thành ơn ! x  ( y  z ) 2 y  ( z  x) 2 z  ( x  y ) a, b, c  0; a  b  c 1 T×m x y Thứa-Lơng Tài, ngày 05 tháng 022 xynăm S x y 2009 Ths.Phạm Huy Tân - THPT Lơng Tài - ĐT: 0126.234.6595 Ths Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài 13 ... = 2cos C víi A  B  C .Nh thÕ ®iỊu kiƯn2 a2 2+b22 + c22 +abc = ®·2®ỵc a b b c c2  a2 tham sè hoá thành a = cosA, b= 2cosB, c= 2cosC , A, B, C> a víi b A  B  C    7( a  b) 8 2(