Trần Đức Minh Luyện thi vào THPT III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH III.1 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: *Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:      =+ =+ )2(''' )1( cybxa cbyax Trong đó phương trình (1) và (2) là hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y Phương pháp giải: a) Phương pháp thế: 1. Từ một PT biểu diễn ẩn này theo ẩn kia, rồi thế vào PT còn lại để thu được một phương trình mới. 2. Giải phương trình mới, tìm được một ẩn, rồi thế vào một trong hai PT của hệ để tìm ẩn còn lại b) Phương pháp cộng đại số: 1. Biến đổi 2 phương trình sao cho chúng có hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau, bằng cách nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp. 2. Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình sau khi biến đổi để thu được một phương trình một ẩn. 3. Giải phương trình thu được, tìm được một ẩn, rồi thế vào một trong 2 phương trình của hệ để tìm ẩn còn lại. Ví dụ: Giải hệ:      =− =+ )2(772 )1(62 yx yx (bằng phương pháp thế) Giải: Từ PT (1) ta có: x = 6 – 2y (*). Thay x = 6 – 2y và PT (2), ta được PT: 2(6-2y) – 7y = 7 ⇔ -11y = -5 ⇔ y = 5/11 Thay y=5/11 vào (*) ta được: x = 56/11 Vậy nghiệm của hệ là x=56/11 và y=5/11 Ví dụ: Giải hệ:      =− =+ )2(772 )1(62 yx yx (bằng phương pháp cộng đại số) Giải: Nhân hai vế của PT (1) với 2, ta được PT: 2x + 4y = 12 (3) Trừ từng vế của PT (2) và PT (3) ta được PT: (2x – 7y) – (2x + 4y) = 7 – 12 ⇔ -11y = -5 ⇔ y = 5/11 Thay y=5/11 vào PT (1) ta được: x = 56/11 Vậy nghiệm của hệ là x=56/11 và y=5/11 *Bài tập Bài 1: Giải các hệ sau: a)    =− =+ 853 72 yx yx b)    =− =+− 652 573 yx yx 1 Trần Đức Minh Luyện thi vào THPT Bài 2: Cho hệ phương trình:    =+ =+ 2 1 yax ayx a) Giải hệ khi a = 2 b) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất Bài 3: Cho hệ phương trình:    +=+ =+ 1 2 mmyx mymx Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm x, y là các số nguyên Bài 4: Với giá trị nào của m thì hệ phương trình:    =− =+ 1 4 myx ymx có nghiệm thỏa mãn điều kiện 1 8 2 + =+ m yx *Các hệ phương trình đưa về được dạng hệ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn Bài 5: Giải các hệ sau: a)        =+ =+ 7 532 5 211 yx yx b)      =− −=+ 33115 39137 2 2 yx yx c)      =++− =+−− 152512 2231 yx yx d)    +=−+ =−+ 6)3)(4( )2)(2( xyyx xyyx III.2 Hệ phương trình đối xứng loại I *Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ mà trong từng phương trình của hệ khi ta thay đổi vai trò của hai biến thì phương trình không thay đổi. Cụ thể là hệ có dạng:    = = 0),( 0),( yxg yxf với f(x ,y) = f(y, x ) và g(x, y) = g(y, x) *Phương pháp giải: Đặt    = += xyP yxS hệ đã cho thành (*)    = = 0),( 0),( PSG PSF Giải hệ (*) tìm S, P. Từ đó suy ra x, y. *Chú ý: Điều kiện để hệ có nghiệm là: S 2 – 4P ≥ 0 2 Trần Đức Minh Luyện thi vào THPT Ví dụ: Giải hệ phương trình:    =+ =++ 1 1 22 yx xyyx Giải: Đặt    = += xyP yxS . Hệ thành:      =−+ −= ⇔    =− =+ )2(02 )1(1 1 1 2 2 SS SP PS PS Giải (2):    −= = ⇔=−+ 2 1 02 2 S S SS Khi S=1 ta có P=0 và khi S=-2 ta có P=3 Với S=1 và P=0, ta có:           = =    = = ⇔    =− −= ⇔    = =+ 1 0 0 1 0)1( 1 0 1 y x y x yy yx xy yx Với S=-2 và P=3, ta có: S 2 – 4P = 4 – 12 = - 8 < 0 nên hệ vô nghiệm Vậy hệ có hai nghiệm: (0; 1) và (1; 0) *Bài tâp: 1. Giải các hệ sau: a)    =+ =+ 4 10 22 yx yx b)    = =+ 12 25 22 xy yx c)    =++ =+ 5 6 22 yxxy xyyx d)    =+ =+ 2)( 2 33 yxxy yx 3 Trần Đức Minh Luyện thi vào THPT 2. Xác định m để hệ sau có nghiệm:    =+ =++ myx mxyyx 22 III.3 Hệ phương trình đối xứng loại II *Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ mà nếu đổi vị trí hai ẩn trong hệ thì phương trình này trở thành phương trình kia. *Phương pháp giải: +Trừ từng vế của hai phương trình, ta được một phương trình +Đưa phương trình thu được về dạng phương trình tích có dạng (x – y).f(x) +Xét từng trường hợp: x – y = 0 và f(x) = 0 để tìm x, y +Tổng hợp nghiệm từ các trường hợp *Chú ý: Hệ có nghiệm duy nhất khi x = y (do nếu (a, b) là nghiệm thì (b, a) cũng là nghiệm) Ví dụ: Giải hệ:      −=− −=− )2(12 )1(12 2 2 xy yx Giải: Trừ từng vế của hai phương trình ta được: (x 2 – 2y) – (y 2 – 2x) = - 1 – (-1) ⇔ (x 2 -y 2 ) + 2(x – y) = 0 ⇔ (x-y)(x+y+2) = 0 *Trường hợp: x – y =0 ⇒ x = y (1) ⇒ x 2 – 2x + 1 = 0 ⇒ x = 1 *Trường hợp: x + y + 2 = 0 ⇒ x = 2 – y (1) ⇒ y 2 – 2(2 – y) = -1⇒ y 2 + 2y -3 = 0 ⇒ y = 1 hoặc y = -3 Khi y = 1 thì x = 1 Khi y = - 3 thì x = 5 (loại) Vậy nghiệm của hệ là: (1; 1) *Bài tập: 1. Giải các hệ sau: a)      += += xyy yxx 23 23 2 2 b)      += += xyy yxx 2 2 3 3 2*. Xác định m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:      +=+− +=+− 11 11 mxy myx III.4 Hệ đẳng cấp bậc 2 Dạng:      =++ =++ '''' 22 22 dycxybxa dcybxyax Phương pháp giải: Phương pháp 1: +Xét xem x =0 có phải là nghiệm hay không? +Với x khác 0, đặt: y = kx, thế vào hệ, khử x ta được phương trình bậc hai theo k +Giải phương trình tìm k. Từ đó suy ra x, y 4 Trần Đức Minh Luyện thi vào THPT Phương pháp 2: +Dùng phương pháp cộng đại số khử x 2 hoặc y 2 +Tính y theo x thế vào một trong hai phương trình được phương trình theo x +Tìm x, sau đó tìm y 5 Trần Đức Minh Luyện thi vào THPT Ví dụ: Giải hệ: (I)      =++ =++ )2(1732 )1(1123 22 22 yxyx yxyx Giải: Cách 1: *Với x = 0, ta có:      = = 173 11 2 2 y y suy ra hệ vô nghiệm *Với x khác 0, đặt y = kx (k khác 0)      =++ =++ ⇔      =++ =++ ⇔ 17)321( 11)23( 1732 1123 )( 22 22 2222 2222 kkx kkx ykkxx xkkxx I Suy ra:     −= = ⇔=−−⇔++=++ 4 5 2 01034)321(11)23(17 222 k k kkkkkk Khi k = 2, ta có:    ±= ±= ⇔    = = 2 1 2 1111 2 y x xy x Khi k = 4 5 − , ta có:        = ± = ⇔        −= = 3 5 3 4 4 5 11 16 33 2  y x xy x Vậy hệ có 4 nghiệm. Cách 2:      =++ =++ ⇔ 1732 33369 )( 22 22 yxyx yxyx I 6 Trần Đức Minh Luyện thi vào THPT Suy ra: 8x 2 + 4xy = 16 ⇒ x x x x y 22 24 4 816 − = − = (do x=0 không phải là nghiệm) Thay vào (1), ta được: 11 2424 .23 2 22 2 =         − + − + x x x x xx      ± = ±= ⇔      = = ⇔ =+−⇔ 3 4 1 3 16 1 016193 2 2 24 x x x x xx Khi x = 1, ta có: y = 2 Khi x = -1, ta có: y = -2 Khi x = 3 4 − , ta có: y = 3 5 Khi x = 3 4 , ta có: y = 3 5 − Vậy hệ có 4 nghiệm. *Bài tập: Giải các hệ sau: a)      =+− −=+− 1333 13 22 22 yxyx yxyx b)      =−− =−+ 15395 38453 22 22 yxyx yxyx Lời giải: *Hệ 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn Bài 2: Khi a = 0 hệ có nghiệm duy nhất x = 1 và y = 2 Khi a≠0, ta có:      +−= +−= ⇔    =+ =+ 2 1 1 2 1 axy x a y yax ayx Suy ra hệ có nghiệm duy nhất khi 1 1 ≠⇔−≠− aa a Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi a≠1 Bài 3: Ta có: y = 2m – mx. Suy ra: x + m(2m – mx) = m + 1 hay mm mm m mm x + −= − −+− = − −+ = 1 1 2 1 )1(21 1 21 2 2 2 2 Suy ra: x∈Z ⇔ 1 + m = 1 hoặc 1 + m = -1 ⇔ m = 0 hoặc m = -2 Vậy với m =0 hoặc m = -2 thì hệ có nghiệm x, y là các số nguyên Bài 4: Từ phương trình (1), ta có: y = 4 –mx (*), thay vào phương trình hai ta có: x – 4m + m 2 x = 1 ⇔ 1 41 2 + + = m m x Thay vào (*), ta được: 1 4 1 )41( 4 22 + − = + + −= m m m mm y Suy ra: hệ có nghiệm với mọi m và 1 35 1 4 1 41 222 + + = + − + + + =+ m m m m m m yx Do đó: 1358 1 35 1 8 1 8 222 =⇔+=⇔ + + = + ⇔ + =+ mm m m mm yx 7 Trần Đức Minh Luyện thi vào THPT Vậy với m=1 hệ có nghiệm (x, y) thỏa điều kiện 1 8 2 + =+ m yx Bài 5: Đặt: u = x 2 ; v = y Hệ thành:    =− −=+ ⇔    =− −=+ 2317735 1656535 33115 39137 vu vu vu vu Suy ra: 142v = - 396 ⇔ 71 198 142 396 − = − = v Suy ra: 355 2541 71.5 19871.33 5 71 198 33 = + = − − = u Do đó: 355 2541 ±= x và 71 198 − = y 8 . Trần Đức Minh Luyện thi vào THPT III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH III.1 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: *Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có. Trần Đức Minh Luyện thi vào THPT 2. Xác định m để hệ sau có nghiệm:    =+ =++ myx mxyyx 22 III.3 Hệ phương trình đối xứng loại II *Hệ phương trình đối