LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC CÂU TÍCH PHÂN – NGUYÊN HÀM HAY VÀ KHĨ Biên soạn: Đồn Trí Dũng – Điện thoại: 0902.920.389 Câu 1: Tính nguyên hàm: dx  cosxsin x Chú ý: Nếu tích phân phân thức lượng giác mà đơn thức có bậc số chẵn, ta chia tử mẫu số cho cosn x / sinn x với n bậc cao biểu thức Để biết nên chia cho cosn x hay sinn x , ta xem phân thức chứa nhiều sin hay cos từ lựa chọn biểu thức tương ứng Trong toán ta viết lại nguyên hàm: dx  cosxsin x   cosxsin xdx 3 Tử số (bậc 0), mẫu số cosxsin3 x (bậc   , ý nhiều em nhầm này) Mà chứa nhiều sin 1 sin4 x dx ta chia tử mẫu số cho sin4 x ta được:  dx   cotx cosxsin3 x Nhận thấy xuất cotx mẫu số, điều làm ta ý đến việc đổi biến dcotx  dx sin2 x 2 sin2 x dx   cot x  1dcotx    cotx  dcotx   cot x  ln cotx  C dx    cosxsin3 x  cotx sin2 x  cotx   cotx  Câu 2: Tính nguyên hàm: 1  sin2x  dx  2sinxcos x  cos4 x Lập luận tương tự câu 1, ý sin2x  2sinxcosx (bậc 2) Ta chia hai vế cho cos4 x ta được: 1  2sinxcosx  dx  2sinxcos x  cos x Nhận thấy tanx mẫu số ta đưa   2sinxcosx dx 2tanx  cos x 1 vào dx, đồng thời lại ta kết hợp với tử số cos x cos2 x đưa tanx biến đổi đây: 2sinxcosx   2sinxcosx dx    cos x cos2 x tan2 x   2tanx  2sinxcos3 x  cos4 x  2tanx  cos2 x dx   2tanx  dtanx Do bậc tử số lớn bậc mẫu số ta chia đa thức, ý khia chia đa thức thì: 𝐏𝐡â𝐧 𝐬ố = 𝐓𝐡ươ𝐧𝐠 + 𝐒ố 𝐝ư 𝐌ẫ𝐮 𝐬ố Về việc chia đa thức, khơng phải điều khó, nhiều bạn không quen, không nắm cách làm, bạn hỏi bạn bè lớp để chia đa thức Tuy nhiên, xin chia sẻ với bạn cách chia đa thức đơn giản mà nhanh: tan2 x  8tanx   tan x  2tanx   6tanx    dtanx  2sinxcos3 x  cos4 x   2tanx  dtanx   2tanx  1  2sinxcosx  dx CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN – NGUN HÀM HAY VÀ KHĨ BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – ĐIỆN THOẠI: 0902.920.389  1  2sinxcosx  dx 2sinxcos x  cos x  Câu 3: Tính nguyên hàm:  1    2tanx    dtanx   tan x  3tanx  ln 2tanx    C   2tanx   4   dx   sinxsin x   6  Đầu tiên, ta biến đổi nguyên hàm công thức lượng:  dx 2    sinx  sinxsin x   6   sinx  cosx  dx Ta nhận thấy tử số bậc 0, mẫu số bậc chứa nhiều sin hơn, ta chia tử mẫu cho sin2 x  dx 1  2 dx  2 dcotx  2ln cotx   C  sin x  cotx  cotx  sinxsin x   6  Câu 4: Tính nguyên hàm: sinxdx   sinx  cosx  Tử số bậc nhất, mẫu số bậc chứa nhiều sin hơn, ta chia tử mẫu cho sin3 x : sinxdx  sinx  cosx    cotx  1 Câu 5: Tính nguyên hàm: 1 dx   dcotx  C 2 sin x  cotx    cotx  1 cos2xdx   sinx  cosx  2 Do mẫu số có đơn thức với bậc khơng số chẵn ta lựa chọn  sinx  cosx  cosx  sinx dx cos2xdx cos2 x  sin2 x hướng khác Ta thấy rằng:   dx   3   sinx  cosx  2  sinx  cosx  2  sinx  cosx  2 Mặt khác,  cosx  sinx  dx  d sinx  cosx  , vậy: sinx  cosx cos2xdx sinx  cosx     sinx  cosx  2   sinx  cosx  2 d sinx  cosx    sinx  cosx  2 dsinx  cosx   cos2xdx  sinx  cosx  2     1  C d sinx  cosx   sinx  cosx    sinx  cosx    sinx  cosx     Câu 6: Tính ngun hàm: Ta có:    cos3 x sinxcos5 xdx  cos3 x sinxcos5 xdx    cos3 x cos5 xdcosx    cos3 x cos3 xcos2 xdcosx     1 Chú ý rằng: cos2 xdcosx  u2du  d u3  d cos3 x , vậy: 3   cos3 x sinxcos5 xdx   CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN – NGUN HÀM HAY VÀ KHĨ   cos3 x cos3 xd cos3 x   BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – ĐIỆN THOẠI: 0902.920.389   Đặt u   cos3 x  cos3 x   u6  d cos3 x  6u5du Khi ta có:      2  cos3 x sinxcos5 xdx  2 u  u6 u5du  2 u6  u12 du  u7  u13  C 13  Thay u   cos3 x ta được: Câu 7: Tính nguyên hàm:   cos3 x sinxcos5 xdx    cos3 x  13    cos3 x   13 C dx ex  4 Nhân tử mẫu số với ex ta được:  dx ex  4  ex  exdx ex    ex  dex ex  u    udu 4u3du 4du Đặt u  e  e  u  de  4u du      x u u   u u   u u   e 4   x x x  1 x    du  ln u  ln u   C Thay u  e ta được: u u    e 4 dx x dx ex   ln ex  ln ex   C  ln Câu 8: Tính nguyên hàm: Sử dụng nhân liên hợp:  dx x3dx x2  x  4 C ex  x3dx  x2  x4  x3dx  x2  x 1  x3 x    x3 x4  1dx   x5dx  Câu 9: Tính tích phân: ex  x   x2 x 1   x 1  x  dx   x3   1 x  1d x    x5dx      x   x2 dx x4    x6 C dx x  x 1 1 Có hai thức, đặt bé u Ta có: u  x  x  u2 ,dx  2udu Khi đó:   1 2u  u  u2  1 2u du   x  x  dx    u  u2  du   2 0 u u 1 u u 1  2u  u   dx   2u  x  x 1  u 1  du  CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN – NGUN HÀM HAY VÀ KHÓ      u  u2  du    u2  1du BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – ĐIỆN THOẠI: 0902.920.389 Xét:   0   u2  1du     0   1 cosv dv  dv  cosv cos v cos v 0 u2  1du , đặt u  tanv   u2  1du   tan2 v  1dtanv   1 dsinv  1  sin v   4 1 1    dsinv    0   sinv  2  sinv  2 sinv  sinv      1 1 sinv   u  1du      ln  ln  2 4  sinv  sinv  sinv    Do vậy, ta có: 1  3 dx   ln  2 x  x 1 Câu 10: Tính tích phân: x 2x3  3x x2    2x3  3x dx   dx Bạn đọc ý rằng: u'dx  du , đó:  x x 3 4 2x3  3x x x2   Ta đặt u  x4  3x2     4x3  6x x  3x  4 dx   x  3x  4  d x4  3x2  u   d u2  2 du  2    du   8ln2 u  u  u    0 dx   CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN – NGUN HÀM HAY VÀ KHĨ BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – ĐIỆN THOẠI: 0902.920.389 ...   dx   2u  x  x 1  u 1  du  CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN – NGUYÊN HÀM HAY VÀ KHÓ      u  u2  du    u2  1du BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – ĐIỆN THOẠI: 0902.920.389 Xét:   0  ... d cos3 x , vậy: 3   cos3 x sinxcos5 xdx   CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN – NGUN HÀM HAY VÀ KHÓ   cos3 x cos3 xd cos3 x   BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – ĐIỆN THOẠI: 0902.920.389   Đặt u   cos3 x... d u2  2 du  2    du   8ln2 u  u  u    0 dx   CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN – NGUN HÀM HAY VÀ KHĨ BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – ĐIỆN THOẠI: 0902.920.389