Phòng giáo dục và dào tạo Nam Đàn Trờng THCS Hng Thái Nghĩa Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi lớp 7 Một số kinh nghiệm nhỏ về tìm chử số tận cùng và ứng dụng vào các bài toán chứng minh chia hết của các lớp 6,7 I. phần mở đầu : Tìm chử số tận cùng của một luỷ thừa đây là những bài toán tơng đối phức tạp của học sinh các lớp 6,7 nhng lại là những bài toán hết sức lí thú , nó tạo cho học sinh lòng say mê khám phá từ đó các em ngày càng yeu môn toán hơn . có những bài có số mủ rất lớn tởng nh là mình không thể giãi đợc . Nhng nhờ phát hiện và nắm bắt đợc qui luật , vận dungj qui luật đó các em tự giãi đợc và tự nhiên thấy mình làm đợc một việc vô cùng lớn lao . từ đó gieo vào trí tuệ các em khả năng khám phá , khả năng tự nghiên cứu Tuy là khó nhng chúng ta hớng dẩn các em một cách từ từ có hệ thống ,lô rích và chặt chẻ thì các em vẩn tiếp fhu tốt . đây là một kinh nghiệm nhỏ mà tôi muốn trình bày và trao đổi cùng các bạn II. Nội dung cụ thể : 1. Lí thuyết về tìm chử số tận cùng : phần này rất quan trọng , cần lí giải cho học sinh một cách kỉ lởng ,đầy đủ ( ) 0X n = 0A một số có tận cùng là 0 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 0 ( ) 1X n = 1B một số có tận cùng là 1 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 1 ( ) 5X n = 5C một số có tận cùng là 5 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 5 ( ) 6X n = 6D một số có tận cùng là 6 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 6 5X *a = 0F với a chẳn : một số có tận cùng là 5 khi nhân với mmột số chắn sẻ có chử số tận cùng là 0 5x *a = 5N với a lẻ : một số có tận cùng là 5 khi nhân với một số lẻ sẻ có tận cùng là 5 Qua các công thức trên ta có quy tắc sau : Một số tn nhiên có chử số tận cùng là : (0,1,5,6) khi nâng lên luỷ thừa với số mủ tự nhiên thì có chử số tự nhiên không thay đổi Kết luận trên là chìa khoá để giả các bài toán về tìm chử số tận cùng của một luỷ thừa 2. Các bài toán cơ bản . Bài toán 1 : Tìm chử số tận cùng của các luỷ thừa sau a) 2 100 ; b) 3 100 ; c) 4 100 d) 5 100 ; e) 6 100 ; f) 7 100 g) 8 100 ; 9 100 Ta nhận thấy các luỷ thừa 5 100 , 6 100 thuộc về dạng cơ bản đả trình bày ở trên nay còn lại các luỷ thừa mà cơ số là 2, 3 , 4 , 7 , 8 , 9 Muốn giãi các bài toán này thì ta phai đa chúng về một trong 4 dạng cơ bản trên . thực chất chỉ có đa về hai dạng cơ bản đó là : ( ) 1X n = 1M , ( ) 6X n = 6N giải bài toán 1 a) 2 100 = 2 4*25 = ( ( ) 2 4 ) 25 = (16) 25 = 6A b) 3 100 = 3 4*25 = ( ( ) 3 4 ) 25 = (81) 25 = 1B c) 4 100 = 4 4*50 =( ( ) 4 2 ) 50 = (16) 50 = 6C d) 7 100 = 7 4*25 =( ( ) 7 4 ) 25 = 2401 25 = 1D e) 8 100 = 8 4*25 = ( ( ) 8 4 ) 25 = 4096 25 = 6E f) 9 100 = 9 2*50 = ( ( ) 9 2 ) 50 = 81 50 = 1F Bài toán 2 : tìm chử số tận cùng của các số sau : a) 2 101 ; b) 3 101 ; c) 4 1o1 , d) 7 101 ; e) 8 101 ; f) 9 101 Giải bài toán 2 _ nhận xét đầu tiên . số mủ ( 101 không chia hết cho 2 và 4 ) _ Ta viết 101 = 4.25 +1 101 = 2 .50 +1 _ áp dụng công thức a m+n = a m .a n ta có : a) 2 101 = 2 4.25+1 = 2 100 . 2 = 6Y .2 = 2M b) 3 101 = 3 100+1 = 3 100 . 3 = 1B .3 = 3Y c) 4 1o1 = 4 100 +1 = 4 100 . 4 = 6C . 4 = 4k d) 7 101 = 7 100+1 = 7 100 . 7 = 1D .7 = 7F e) 8 101 = 8 100+1 = 8 100 . 8 = 6E .8 = 8N f) 9 101 = 9 100 +1 = 9 100 . 9 = 1F . 9 = 9M 3. Một số bài toán phức tạp hơn Bài toán 3: Tìm chử số tận cùng của các luỷ thừa sau : a) 1292 1997 ; b) 3333 1997 ; c) 1234 1997 ; d) 1237 1997 ; e) 1238 1997 ; f) 2569 1997 Bài giải Nhận xét quan trọng : Thực chất chử số tận cùng của luỷ thừa bậc n của mộtsố tự nhiên chỉ phụ thuộc vào chử số tận cùng của số tự nhiên đó mà thôi (cơ số) . Nh vậy bài toá 3 thực chất là bài toán 2 a) 1292 1997 = 1292 4. 499 +1 = (1292 4 ) 499 .1292 = 21292.6 MA = b) 3333 1997 = 3333 4. 499 +1 =(3333 4 ) 499 +1 . 3333 = )1(B 499 .3333 = 3D c) 1234 1997 = 1234 4 .499 +1 = (1234 4 ) 499 . 1234 = ( 6C ) 499 . 1234 = 4G d) 1237 1997 = 1237 4 .499 +1 = (1237 4 ) 499 . 1237 = ).1(D 499 .1237 = 7X 4. vận dụng vào các bài toán chứng minh chia hết áp dụng dấu hiệu chia hết Ta dể dàng nhận thấy : Nếu hai số có chử số tận cùng giống nhau thì khi thực hiện phép trừ sẻ có chử số tận cùng là 0 ta sẻ có các bài toán chứng minh chia hết cho { 2,5,10 } . Nếu một số có tận cùng là 1 và một số có tận cùng là 3 chẳng hạn ta sẻ có bài toán chứng minh tổng hai số đó chia hết cho 2 (vì chử số tận cùng của tổng là 4) Các bài toán cụ thể : Hảy chứng minh a) 1292 1997 + 3333 1997 5 Theo bài toán trên ta có 1292 1997 = 2M 3333 1997 = 3D nh vậy tổng của hai số này sẻ có tận cùng là 5 1292 1997 + 3333 1997 5 b) Chứng minh 1628 1997 + 1292 1997 10 Ap dụng qui tắc tìm chử số tận cùng ta có 1628 1997 sẻ có tận cùng là 8M 1292 1997 Sẻ Có tận cùng là 2N Nh vậy 1628 1997 + 1292 1997 10 (vì chử số tận cùng của tổng này sẻ là 0) Ta củng có thể vận dung hiệu của hai số hoặc tích của hai số để ra các bài toán chứng minh tơng tự III. Kết luận : Trên đây tôi đã trình bày phần cơ bản của vấn đề tìm chử số tận cùng của một luỷ thừa và những ứng dụng của nó trong bài toán chứng minh chia hết trong tập hợp số tự nhiên Trong những năm học qua tôi đã trực tiếp hớng dẩn cho một số học sinh các em tỏ ra rất thích thú và xem đó nh là những khám phá mới của chính các em với cách đặt vấn đề nh trên các em đã tự ra đề đợc và có nhiều bài rất hay . Cách đặt vấn đề cung nh trình bày nội chắc sẻ không tránh khỏi phần sai sót mong các đồng nghiệp góp ý chân thành đề thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp 7 Năm học 2006-2007 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: a) 1 .16 2 8 n n = ; b) 27 < 3 n < 243 Bài 2. Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 1 3 5 7 . 49 ( . ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 + + + + Bài 3. a) Tìm x biết: 2x3x2 +=+ b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x20072006x + Khi x thay đổi Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng. Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC Đáp án toán 7 Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm mỗi câu 2 điểm) a) 1 .16 2 8 n n = ; => 2 4n-3 = 2 n => 4n 3 = n => n = 1 b) 27 < 3 n < 243 => 3 3 < 3 n < 3 5 => n = 4 Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm) 1 1 1 1 1 3 5 7 . 49 ( . ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 . 49) ( . ). 5 4 9 9 14 14 19 44 49 12 + + + + + + + + + = 1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9 ( ). 5 4 49 89 5.4.7.7.89 28 + = = Bài 3. (4 điểm mỗi câu 2 điểm) a) Tìm x biết: 2x3x2 +=+ Ta có: x + 2 0 => x - 2. + Nếu x - 2 3 thì 2x3x2 +=+ => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn) + Nếu - 2 x < - 2 3 Thì 2x3x2 +=+ => - 2x - 3 = x + 2 => x = - 3 5 (Thoả mãn) + Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x20072006x + Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x 2006 + 2007 x = 1 + Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x 4013 Do x > 2007 => 2x 4013 > 4014 4013 = 1 => A > 1. Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 x 2007 Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng. (4 điểm mỗi) Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đờng thẳng, ta có: x y = 3 1 (ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ) và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) Do đó: 33 1 11: 3 1 11 yx 1 y 12 x 1 12 y x == ===>= => x = 11 4 x)vũng( 33 12 ==> (giờ) Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng là 11 4 giờ Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) Đờng thẳng AB cắt EI tại F ABM = DCM vì: AM = DM (gt), MB = MC (gt), ã AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM =>FB // ID => ID AC Và FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Từ (1) và (2) => CAI = FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) và E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB (5) Từ (3), (4) và (5) => AFE = CAB =>AE = BC BI TP V CC I LNG T L D B A H I F E M 1. Ba đơn vị kinh doanh góp vốn theo tỉ lệ 2 : 3 : 5. Hỏi mỗi đơn vị được chia bao nhiêu tiền nếu tổng số tiền lãi là 350 000 000 đ và tiền lãi được chia theo tỉ lệ thuận với số vốn đóng góp. 2. Hai nền nhà hình chữ nhật có chiều dài bằng nhau. Nền nhà thứ nhất có chiều rộng là 4 mét, nền nhà thứ hai có chiều rộng là 3,5 mét. Để lát hết nền nhà thứ nhấtngười ta dùng 600 viên gạch hoa hình vuông. Hỏi phải dùng bao nhiêu viên gạch cùng loại để lát hết nền nhà thứ hai? 3. Khi tổng kết cuối năm học người ta thấy số học sinh giỏi của trường phân bố ở các khối 6,7,8,9theo tỉ lệ 1,5 : 1,1 : 1,3 : 1,2. Hỏi số học sinh giỏi của mỗi khối lớp, biết rằng khối 8 nhiều hơn khối 9 là 3 học sinh giỏi. 4. Ba đội máy san đất làm 3 khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba hoàn thành công việc lần lượt trong 4 ngày, 6 ngày, 8 ngày. Hỏi mỗi đội có mấy máy, biết rằng đội thứ nhất có nhiều hơn đội thứ hai là 2 máy và năng suất các máy như nhau. 5. Với thời gian để một người thợ lành nghề làm được 11 sản phẩm thì người thợ học nghề chỉ làm được 7 sản phẩm. Hỏi người thợ học việc phải dùng bao nhiêu thời gian để hoàn thành một khối lượng công việc mà người thợ lành nghề làm trong 56 giờ? 6. Một vật chuyển động trên các cạnh của một hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài của cạnh hình vuông biết rằng tổng số thời gian vật chuyển động trên 4 cạnh là 59s. BÀI TẬP HÌNH HỌC 1. Cho 2 góc xOz và yOz kề bù. Ot và Ot ’ lần lượt là phân giác của hai góc xOy và yOz từ điểm M bất kỳ trên Ot hạ MH ⊥ Ox ( H ∈ Ox ). Trên tia Oz lấy điểm N sao cho ON = MH. Đường vuông góc kẻ từ N cắt tia Ot ’ tại K. Tính số đo góc KM ^ O ? 2. Cho tam giác ABC có B ^ = 30 0 , C ^ = 20 0 .Đường trung trực cùa AC cắt BC tại E cắt BA tại F.Chứng minh rằng : FA = FE. 3. Cho tam giác ABC tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại O. Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D và AC ở E. Chứng minh rằng : DE = BD + EC. 4. Cho tam giác ABD có B = D2 . Kẻ AH vuông góc với BD (H ∈ BD ) trên tia đối của tia BA lấy BE = BH, đường thẳng EH cắt AD tại F. Chứng minh rằng : FH = FA = FD. 5. Cho tam giác cân ABC (AB = AC) trên tia đối của tia CA lấy điểm D bất kỳ . a) Chứng minh rằng : ABD = 2 CBD + CDB . b) Giả sử A = 30 0 , ABD = 90 0 , hãy tính góc CBD. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ 1. Tìm x, y, biết : a) (x – 1) 2 + (y + 2) 2 = 0 b) 2005 + x + 1 + y = 0 2. Trong một cuộc chạy đua tiếp sức 4 × 100m ( Mỗi đội tham gia gồm 4 vận động viên, mỗi VĐV chạy xong 100m sẽ truyền gậy tiếp sức cho VĐV tiếp theo. Tổng số thời gian chạy của 4 VĐV là thành tích của cả đội, thời gian chạy của đội nào càng ít thì thành tích càng cao ). Giả sử đội tuyển gồm : chó, mèo, gà, vịt có vận tốc tỉ lệ với 10, 8, 4, 1. Hỏi thời gian chạy của đội tuyển là ? giây. Biết rằng vịt chạy hết 80 giây? 3. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn : 8 31 8 =− y x QuËn t©n phó - tphcm Năm học 2003 – 2004 (90 phút) Bài 1 (3đ): 1, Tính: P = 1 1 1 2 2 2 2003 2004 2005 2002 2003 2004 5 5 5 3 3 3 2003 2004 2005 2002 2003 2004 + − + − − + − + − 2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203 3, Cho: A = 3 2 2 2 3 0,25 4x x xy x y − + − + Tính giá trị của A biết 1 ; 2 x y= là số nguyên âm lớn nhất. Bài 2 (1đ): Tìm x biết: 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117 Bài 3 (1đ): Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy. [...]... chữ số tận cùng của 9 18 A = 195 0 6 19 + 29 9 Đề số 6 Câu 1: (2 điểm) 3 3 0,375 0,3 + + 1,5 + 1 0,75 11 12 : 1890 + 115 A= + a) Tính 2,5 + 5 1,25 0,625 + 0,5 5 5 2005 3 11 12 1 1 1 1 1 1 b) Cho B = + 2 + 3 + 4 + + 2004 + 2005 3 3 3 3 3 3 Chứng minh rằng Câu 2: (2 điểm) a) Chứng minh rằng nếu B< 1 2 a c = b d thì (giả thi t các tỉ số đều có nghĩa) b) Tìm x biết: 5a + 3b 5c + 3d =... với AB và AC Tính số đo các góc AIC và AKB ? Bài 5: (1 điểm) Cho x = 2005 Tính giá trị của biểu thức: x 2005 2006 x 2004 + 2006 x 2003 2006 x 2002 + 2006 x 2 + 2006 x 1 đề thi học sinh giỏi Môn Toán lớp 7 ( Thời gian 120 phút) đề bài: Câu 1 ( 2đ) Cho: Chứng minh: a b c = = b c d 3 a a +b +c = d b +c +d Câu 2 (1đ) Tìm A biết rằng: a c b = = b +c a +b c +a Câu 3 (2đ) Tìm x Z để x +3 a) A... BH,CK AE, (H,K AE) Chứng minh MHK vuông cân Đề thi học sinh giỏi toán lớp 7 Câu 1: (2đ) Rút gọn A= x x2 x + 8 x 20 2 Câu 2 (2đ) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc 5 cây, Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh Biết rằng số cây mỗi lớp trồng đợc đều nh nhau Câu 3: (1,5đ) Chứng minh rằng 102006... trung điểm của AC b, BH = AC 2 c, VKMC đều Câu 5 (1,5 đ) Trong một kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt 4 giải 1,2,3,4 Biết rằng mỗi câu trong 3 câu dới đây đúng một nửa và sai 1 nửa: a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải 2 b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải 3 c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải 4 Em hãy xác định thứ tự đúng của giải cho các bạn  THI THễNG TIN PHT HIN HC SINH GII BC... nhiêu km ? Câu 3: (2 điểm) a) Cho đa thức f ( x) = ax 2 + bx + c (a, b, c nguyên) CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3 b) CMR: nếu a c = b d nghĩa) thì 7 a 2 + 5ac 7b 2 + 5bd = 7 a 2 5ac 7b 2 5bd (Giả sử các tỉ số đều có Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia... khi lng nh nhau Thi gian hon thnh cụng vic ca i , , ln lt l 3, 5, 6 ngy Biờt i nhiu hn i l 2 ngi v nng sut ca mi cụng nhõn l bng nhau Hi mi i cú bao nhiờu cụng nhõn ? Cõu 4 (6): Cho ABC nhn V v phớa ngoi ABC cỏc u ABD v ACE 1, Chng minh: BE = DC 2, Gi H l giao im ca BE v CD Tớnh s o gúc BHC Bi 5 (2): Cho m, n N v p l s nguyờn t tho món: Chng minh rng : p2 = n + 2 p m 1 = m +n p Đề số 5 Bài 1:... Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi APQ bằng 2 Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450 Câu 5: (1 điểm) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 9 + + + + < 5 15 25 1985 20 Đề số 8 Bài 1: (2 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dơng đều có: A= 5n (5n + 1) 6n (3n + 2) 91 b) Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho P 2 + 14 là số nguyên tố Bài 2: ( 2 điểm) a) Tìm số nguyên n sao cho b) Biết n 2 + 3 ... biết: b) x y y z = ; = 2 3 4 5 2 Cho f ( x) = ax + bx + c và x 2 y 2 = 16 Biết f(0), f(1), f(2) đều là các số nguyên Chứng minh f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên Câu 4: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng cao AH ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH) a) Chứng minh: EM... tc 3m/s Hi di cnh hỡnh vuụng bit rng tng thi gian vt chuyn ng trờn bn cnh l 59 giõy à Bi 5: (4 im) Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú A = 200 , v tam giỏc u DBC (D nm trong tam giỏc ABC) Tia phõn giỏc ca gúc ABD ct AC ti M Chng minh: a) Tia AD l phõn giỏc ca gúc BAC b) AM = BC Bi 6: (2 im): Tỡm x, y Ơ bit: 25 y 2 = 8( x 2009)2 - P N THI Bi 1: 3 im 1 2 2 3 1 18 (0, 06 :... hay x = 5 5 5 x+ 1 0.25 0.25 b) 15 3 6 1 x+ = x 12 7 5 2 6 5 3 1 x+ x = + 5 4 7 2 6 5 13 ( + )x = 5 4 14 49 13 x= 20 14 130 x= 343 0.5 0.5 0.5 0.5 Bi 4: Cựng mt on ng, cn tc v thi gian l hai i lng t l nghch 0.5 Gi x, y, z l thi gian chuyn ng ln lt vi cỏc vn tc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s 5.x = 4 y = 3.z v x + x + y + z = 59 Ta cú: 1 x y z x + x + y + z 59 = = = = = 60 hay: 1 1 1 1 + 1 + 1 + 1 59 5 4 3 5 5 4 . Phòng giáo dục và dào tạo Nam Đàn Trờng THCS Hng Thái Nghĩa Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi lớp 7 Một số kinh nghiệm nhỏ về tìm chử số tận cùng. mới của chính các em với cách đặt vấn đề nh trên các em đã tự ra đề đợc và có nhiều bài rất hay . Cách đặt vấn đề cung nh trình bày nội chắc sẻ không