SỞ GD&ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12-THPT Năm học: 2006-2007 Đề chính thức Môn thi: Toán học (Thời gian:180 phút-không kể thời gian giao đề) Câu I.(7đ) 1.Khảo sát: 2 1 1 x x y x + + = + 2.Tìm m để đường thẳng: (2-m)x-y+1=0 cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến tại A,B tới đồ thị song song với nhsu. 3.CMR phương trình: 2 2 1 ( 1) 9x x x x+ + = + − có đúng hai nghiệm phân biệt. Câu II.(5đ) 1.Áp dụng khai triển nhị thức NIWTƠN ( ) 100 2 x x+ , chứng minh rằng: 99 100 198 199 1 1 1 1 0 1 99 100 100 101 . 199 200 0 100 100 100 100 2 2 2 2 C C C C         − + − + =  ÷  ÷  ÷  ÷         2.Cho 0 sin 2 2 2 n nx I dx a cos x π = − ∫ , n N ∈ .Tìm a để , , 2006 2007 2008 I I I theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Câu III.(7đ) 1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn: (C): 2 2 4 6 3 0x y x y+ − + − = tâm I và đường thẳng (d):x+by-2=0.CMR: (d) và (C) luôn cắt nhau tại hai điểm P,Q với mọi b.Tìm b để tam giác PIQ có diện tích lớn nhất. 2.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A(2;0;0),B(0;8;0),C(0;0;3) và N thoả mãn: ON OA OB OC= + + uuur uuur uuur uuur .Một mặt phẳng (P) thay đổi cắt các đoạn OA,OB,OC,ON lần lượt tại A’,B’,C’,N’. Hãy xác định toạ độ điểm N’ sao cho: 2007 ' ' ' OA OB OC OA OB OC + + = . Câu IV.(1đ) Tìm tập hợp các điểm M trong không gian có tổng bình phương các khoảng cách mặt của một tứ diện đều ABCD cho trước bằng một số dương k không đổi. HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: . SỞ GD&ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12-THPT Năm học: 2006-2007 Đề chính thức Môn thi: Toán học (Thời gian:180 phút-không