BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ TUYẾT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VOLTERRA - FREDHOLM LOẠI HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - NGUYỄN THỊ TUYẾT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VOLTERRA - FREDHOLM LOẠI HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60.46.01.02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI, 2017 Lời cảm ơn Bản luận văn thực trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh Nhân dịp tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người dành nhiều công sức thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ việc tìm hiểu kiến thức chuyên ngành hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Phòng Sau Đại học đến thầy khoa Tốn trường Đại học Sư Phạm Hà Nội kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Xin cám ơn Lãnh đạo thầy cô trường THPT Vĩnh Yên điều kiện thuận lợi dành cho tác giả để tác giả hồn thành khố học luận văn Cuối tơi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân, chỗ dựa tinh thần vật chất cho sống học tập Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Tuyết Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Tuyết Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các không gian hàm 1.1.1 Không gian Metric 1.1.2 Không gian định chuẩn 1.1.3 Không gian C[a,b] 1.2 Một số kiến thức Giải tích 1.2.1 Chuỗi lũy thừa 1.2.2 Tích phân phụ thuộc tham số tính chất 1.2.3 Công thức khai triển Taylor 1.3 Phương pháp cầu phương 1.4 Định nghĩa phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai 1.4.1 Hàm trừu tượng 1.4.2 Toán tử Fredholm 1.4.3 Toán tử Volterra 1.4.4 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai 7 10 10 11 12 12 13 13 13 13 14 Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai 2.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp dựa điều kiện Lipschitz 2.1.1 Định lý tồn nghiệm 2.1.2 Ví dụ 2.2 Phương pháp giải tích 15 15 15 18 22 2.3 2.2.1 Phương pháp chuỗi 2.2.2 Phương pháp phân tích Adomian Phương pháp hội tụ đơn điệu 2.3.1 Các định lý bất đẳng thức tích phân 2.3.2 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm 2.3.3 Giải gần phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai 22 24 27 27 39 43 Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai 54 3.1 Công thức hình thang 54 3.2 Áp dụng cơng thức hình thang vào giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai 55 Kết Luận 60 Tài liệu tham khảo 61 Mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình tích phân cơng cụ hữu ích nhiều lĩnh vực nên quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác tồn nghiệm, xấp xỉ nghiệm, tính chỉnh hay khơng chỉnh Trong phương trình tích phân ta khơng thể khơng nhắc tới phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai, phương trình xuất nhiều ứng dụng khoa học Trong ứng dụng thực tế việc tìm nghiệm phương trình tích phân đơi lúc gặp phải nhiều khó khăn, lúc người ta quan tâm đến phương pháp giải xấp xỉ Để giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai người ta sử dụng nhiều phương pháp xấp xỉ liên tiếp, chuỗi lũy thừa, phương pháp số Với mong muốn tìm hiểu nghiên cứu sâu phương pháp giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai, hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh, chọn đề tài: “ Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai” để thực luận văn Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tồn nghiệm phương trình, số phương pháp giải xấp xỉ phương trình ứng dụng vào giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai cụ thể Phương pháp nghiên cứu: - Sưu tầm, nghiên cứu tài liệu liên quan - Vận dụng số phương pháp Giải tích hàm, Giải tích số, Lí thuyết phương trình tích phân lập trình máy tính - Phân tích, tổng hợp hệ thống kiến thức liên quan tới phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai Dự kiến đóng góp đề tài - Hệ thống hóa vấn đề nghiên cứu - Áp dụng giải xấp xỉ số phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai cụ thể Chương Kiến thức chuẩn bị (Các kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [1], [4] [5]) 1.1 1.1.1 Các không gian hàm Không gian Metric Định nghĩa 1.1.1 Không gian Metric tập (X, d), X tập hợp, d ánh xạ d : X × X → R thỏa mãn điều kiện sau: d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇔ x = y d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ∀x, y, z ∈ X Sự hội tụ không gian Metric Định nghĩa 1.1.2 Dãy {xn } ⊂ (X, d) gọi hội tụ tới điểm x ∈ X d(xn , yn ) → ta viết lim xn = x Tính chất 1: Mọi dãy có khơng q giới hạn Nói cách khác, dãy hội tụ có giới hạn Tính chất 2: d(x, y) hàm liên tục theo hai biến, tức lim xn = a, lim yn = b lim d(xn , yn ) = d(a, b) Tính chất 3: Nếu xn → x dãy xnk hội tụ đến x Ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.1.3 Ánh xạ f từ (X, dX ) vào (Y, dY ) gọi liên tục điểm xo ∈ X ∀ε > ∃δ > cho ∀x ∈ X dX (x, x0 ) < δ ⇒ dY (f (x), f (x0 )) < ε Ánh xạ f gọi liên tục X liên tục điểm x ∈ X Tính chất 1: Ánh xạ f : X → Y liên tục x ∈ X ⇔ ∀ dãy xn ∈ X, xn → x lim f (xn ) = f (x0 ) Tính chất 2: Nếu f : X → Y g : Y → Z ánh xạ liên tục g ◦ f : X → Z liên tục Nguyên lý ánh xạ co Định nghĩa 1.1.4 Ánh xạ A : X → X gọi ánh xạ co ∃α : < α < để ∀x, y ∈ X ta có: d(Ax, Ay) ≤ αd(x, y) Định nghĩa 1.1.5 Điểm x ∈ X gọi điểm bất động ánh xạ A x = Ax 1.1.2 Không gian định chuẩn Cho X không gian vectơ trường P Định nghĩa 1.1.6 Một chuẩn, kí hiệu X ánh xạ từ X vào P thỏa mãn điều kiện (i) x ≥ ∀x ∈ X (ii) x = x = θ 47 Ngoài điều kiện (2.41) thỏa mãn Khi phương trình (2.32) có nghiệm nghiệm giới hạn dãy xấp xỉ (2.45), tốc độ hội tụ đánh giá công thức |xn (t) − x(t)| ≤ εn (t) (2.46) εn (t)(n = 1, 2, ) tương ứng nghiệm phương M1 T trình (2.4.4) với δn = n Chứng minh: Ta chứng minh bất đẳng thức sau: |xn (t) − xm (t)| ≤ εn (t) (2.47) với n < m, từ từ bổ đề (2.3) suy dãy {xn (t)} xác định (2.45) hội tụ Đưa vào kí hiệu vn,m (t) = |xn (t) − xm (t)| ta có T t− m t− Tn |K1 [t, s; xn (s)] − K1 [t, s; xm (s)]|ds + vn,m (t) ≤ |K1 [t, s; xm (s)]|ds+ t− Tn T t |K2 [t, s; xn−1 (s)]−K2 [t, s; xm−1 (s)]|ds ≤ ϕ1 [t, s; |xn (s)−xm (s)|]ds+ T + ϕ2 [t, s; |xn−1 (s) − xm−1 (s)|]ds + t vn,m (t) ≤ M1 T ; n T ϕ1 [t, s; vn,m (s)]ds + ϕ2 [t, s; vn−1,m−1 (s)]ds + M1 T n giả sử n = , t v1,m (t) ≤ T ϕ1 [t, s; v1,m (s)]ds + ϕ2 (t, s; 2r)]ds + M1 T 48 sử dụng định lý 2.2 ta có v1,m (t) ≤ ε1 (t) Giả sử vn−1,m (t) ≤ εn−1 (t) t vn,m (t) ≤ T ϕ1 [t, s; vn,m (s)]ds + ϕ2 [t, s; εn−1 (s)]ds + M1 T n Lại sử dụng định lý 2.4 ta có vn,m (t) < εn (t) bất đẳng thức (2.47) thực với n < m Như {xn (t)}được xác định (2.45) hội tụ Đặt x(t) = lim xn (t) n→∞ Chuyển qua giới hạn đẳng thức (2.45) ta x(t) nghiệm phương trình (2.32) Cho m → ∞ từ (2.47) ta suy (2.46) Bây ta phải chứng minh tính nghiệm phương trình (2.32) Giả sử y(t) nghiệm khác phương trình (2.32) Khi ta có T t ϕ1 [t, s; |x1 (s) − y(s)|]ds + |x1 (t) − y(t)| ≤ ϕ2 (t, s; 2r)ds + M1 T Từ lại áp dụng định lý (2.2) ta có |x1 (t) − y(t)| ≤ ε1 (t) Giả sử |xn−1 (t) − y(t)| ≤ εn−1 (t) Khi ta có t |xn (t) − y(t)| ≤ T ϕ1 [t, s; |xn (s) − y(s)|]ds + ϕ2 [t, s; εn−1 (s)]ds + 0 M1 T n Áp dụng lần (2.4) ta được: |xn (t) − y(t)| ≤ εn (t) (2.48) 49 Cho nên bất đẳng thức sau với n, n = 1, 2, Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức (2.48) ý lim xn (t) = x(t), lim εn (t) = ta x(t) ≡ y(t), nghiệm n→∞ n→∞ phương trình (2.32) Định lý chứng minh Trong mục ta giả thiết với hàm liên tục cho trước η(t) ∈ [x0 − r, x0 + r] phương trình tích phân Fredholm T t x(t) = x0 + K1 [t, s; η(s)]ds+ K2 [t, s; x(t)]ds (2.49) 0 có nghiệm thuộc đoạn [x0 − r; x0 + r] tìm nghiệm  Ta xây dựng dãy xấp xỉ liên tiếp nhờ phương trình:    x0 (t) = x0 (0 ≤ t ≤ T ) t    xn (t) = x0 + (2.50) T K1 [t, s; xn−1 (s)]ds + k2 [t, s; xn (s)]ds (n = 1, 2, ) với      x0 (t) = x0 (0 ≤ t ≤ T ),      T T xn (t) = x0 + K2 [t, s; xn (s)]ds, (0 ≤ t ≤ ), (2.51)  n    t− Tn  T  T   x (t) = x + K [t, s, x (s)]ds + K2 [t, s; xn (s)]ds, ( ≤ t ≤ T ) n  n n 0 n = 1, 2, Định lý 2.14 Nếu hàm Ki (t, s; x)(i = 1, 2) xác định R liên tục theo biến thỏa mãn điều kiện (2.41) có hàm ϕi (t, s; u)(i = 1, 2) thỏa mãn bổ đề 2.4 Khi phương trình (2.32) có nghiệm nghiệm giới hạn dãy xấp xỉ (2.50) Tốc độ hội tụ dãy {xn (t)} đến nghiệm 50 x(t) phương trình (2.32) xác định cơng thức |xn (t) − x(t)| ≤ εn (t), εn (t) nghiệm phương trình (2.38) Chứng minh: Trước tiên ta chứng minh dãy {xn (t)}, dãy bản, {xn (t)} xác định 2.49 Để khẳng định điều ta cần chứng minh bất đẳng thức: |xn (t) − xm (t)| ≤ εn (t) (2.52) m > n, lim εn (t) = Giả sử vn,m (t) = |xn (t) − xm (t)| ta n→∞ có T t vn,m (t) ≤ ϕ1 [t, s; vn−1,m−1 (s)]ds + ϕ2 [t, s; vn,m (s)]ds Từ đó, với n = ta có T t v1,m (t) ≤ ϕ1 (t, s; 2r)ds + ϕ2 [t, s; v1,m (s)]ds Sử dụng định lý 2.9 ta v1,m (t) ≤ ε1 (t) Giả sử vn−1,m (t) ≤ εn−1 (t) với m > n − 1, viết t vn,m (t) ≤ T [t, s; εn−1 (s)]ds + ϕ2 [t, s; vn,m (s)]ds Lại sử dụng định lý 2.9 ta có vn,m (t) ≤ εn (t), nghĩa bất đẳng thức (2.52) với m > n Cho nên, {xn (t)} hội tụ đến đến x(t) với t ∈ [0, T ] Chuyển qua giới hạn (2.49) Ta thấy rằng, x(t) nghiệm phương trình (2.32) tính nghiệm Đánh giá tốc độ hội tụ suy từ bất đẳng thức (2.52) m → ∞ Định lý 2.15 Giả sử hàm liên tục Ki (t, s; x)(i = 1, 2) xác định 51 R thỏa mãn điều kiện (2.40), ϕi (t, s; u)(i = 1, 2) thỏa M1 T mãn bổ đề 2.5, đặt δn = n Khi dãy xấp xỉ liên tiếp xác định từ phương trình (2.50), hội tụ đến nghiệm phương trình (2.32) với tốc độ hội tụ: |xn (t) − x(t)| ≤ εn (t), x(t) nghiệm (2.32), εn (t) tương ứng nghiệm M1 T phương trình (2.46) với δn = n Chứng minh: Từ điều kiện định lý chứng minh tính nghiệm phương trình (2.32) dựa vào định lý 2.12 Vì để chứng minh định lý ta cần chứng minh tính chất dãy {xn (t)} ta dựa vào kí hiệu vn,m (t) = |xn (t) − xm (t)| Ta có t vn,m (t) ≤ T ϕ1 [t, s; vn,m (s)]ds + ϕ2 [t, s; vn,m (s)]ds + M1 T n Áp dụng định lý 2.9 ý εn (t) nghiệm phương trình T t ϕ1 [t, s; u(s)]ds + u(t) = ϕ2 [t, s; u(s)]ds + M1 T n ta vn,m ≤ εn (t) với m > n Do lim εn (t) = theo t ∈ [0, T ] dãy xn (t) dãy n→∞ Trong mục trước ta giả thiết phương trình (2.49) có nghiệm xác định Thế trường hợp hàm K2 (t, s; x) tuyến tính theo x điều kiện lúc đạt Giả sử xác định nghiệm 52 phương trình (2.49) giả thiết phương trình Volterra t x(t) = x0 + T ϕ1 [t, s; x(s)]ds + ϕ2 [t, s; η(s)]ds có nghiệm thuộc [x0 − r; x0 + r] với hàm liên tục η(t) ∈ [x0 − r; x0 + r] nghiệm xác định Trong trường hợp này, dãy xấp xỉ liên tiếp nghiệm phương trình (2.32) xác định theo công thức     x0 (t) = x0 (0 ≤ t ≤ T ) t    xn (t) = x0 + (2.53) T K1 [t, s; xn (s)]ds + K2 [t, s; xn−1 (s)]ds, (n = 1, 2, ) Định lý sau chứng minh tương tự định lý 2.13, cho ta điều kiện đủ hội tụ dãy (2.53) tới nghiệm phương trình (2.32) Định lý 2.16 Giả sử hàm Ki (t, s; x)(i = 1, 2) xác định R, liên tục theo tất biến thỏa mãn điều kiện (2.41), ϕi (t, s; u), (i = 1, 2) thỏa mãn điều kiện bổ đề 2.3 với δn = 0, (n = 1, 2, ) Khi phương trình (2.32) có nghiệm nghiệm giới hạn dãy (2.53) tốc độ hội tụ xác định bất đẳng thức: |xn (t) − x(t)| ≤ εn (t), εn (t) tương ứng nghiệm phương trình (2.36)− (2.37) với δn = (n = 1, 2, ) Hệ 2.3 Giả sử hàm Ki (t, s; x)(i = 1, 2) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến x nghĩa hàm ϕi (t, s; u)(i = 1, 2) có dạng ϕ1 (t, s; u) = L1 u, ϕ2 (t, s; u) = L2 u 53 giả thiết thêm eL1 T < + L1 L2 Khi hệ hàm ϕ1 (t, s; u) = L1 u ϕ2 (t, s; u) = L2 u thỏa mãn điều kiện bổ đề 2.3 Vì kết luận định lý 2.16 chứng minh, tốc độ hội tụ xác n−1 L2 L1 T định công thức |xn (t) − x(t)| ≤ 2rL2 T (e − 1) eL1 T L1 54 Chương Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai (Kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [1] [3].) 3.1 Cơng thức hình thang Xét phương trình b x u(x) = f (x) + K1 [x, t; u(t)]dt + a K2 [x, t; u(t)]dt (3.1) a Chia đoạn [a; b] thành n phần cho h= b−a , a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b, xi = x0 + ih, i = 0, n n Thay x = xi vào công thức (3.1) ta xi u(xi ) = f (xi ) + b K1 [xi , t; u(t)]dt + a K2 [xi , t; u(t)]dt a (3.2) 55 Áp dụng cơng thức hình thang b g(t)dt ≈ h g(t0 ) + g(tn ) + g(t1 ) + g(t2 ) + · · · + g(tn−1 ) (3.3) a b−a n g1 (t) = K1 [xi , t; u(t)] t0 = a, ti = xi , h = g2 (t) = K2 [xi , t; u(t)] xi g1 (t)dt ≈ h g1 (t0 ) + g1 (ti ) + g1 (t1 ) + g1 (t2 ) + · · · + g1 (ti−1 ) a b h g2 (t0 ) + g2 (tn ) + g2 (t1 ) + g2 (t2 ) + · · · + g2 (tn−1 ) a g1 (tj ) = K1 [xi , tj ; u(tj )] h u(xi ) = f (xi ) + K1 (xi , t0 ; u(t0 )) + K1 (xi , ti ; u(ti ) g2 (t)dt = +2 K1 (xi , t1 ; u(t1 ))+K1 (xi , t2 ; u(t2 ))+· · ·+K1 (xi , ti−1 ; u(ti−1 )) + h K2 (xi , t0 ; u(t0 )) + K2 (xi , ti ; u(ti ) +2 K2 (xi , t1 ; u(t1 ))+K2 (xi , t2 ; u(t2 ))+· · ·+K2 (xi , ti−1 ; u(ti−1 )) Với i = 0, n, j = 0, i, n ≥ 3.2 Áp dụng cơng thức hình thang vào giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai Ví dụ Giải phương trình tích phân sau cơng thức hình thang x −1 5 x + x − x2 + x − + u(x) = 30 3 (x − t)u2 (t)dt + (x + t)u(t)dt 56 Ta chia đoạn [0; 1] thành phần điểm chia x0 = 0; x1 = 0.25; x2 = 0.5; x3 = 0.75; x4 = h = 0.125 Đặt u0 = u(0) = a; u1 = u(0.25) = b; u2 = u(0.5) = c; Khoảng cách điểm chia h = 0.25, u3 = u(0.75) = d; u4 = u(1) = e, với a, b, c, d, e ∈ R Khi áp dụng cơng thức hình thang ta có −5 u(0) = + tu(t)dt −5 = + 0.125[u(1) + 2(0.25u(0.25) + 0.5u(0.5) + 0.75u(0.75))] −5 1 ⇔a= + e+ b+ c+ d 16 16 0.25 u(0.25) = −0.894539388 + (0.25 − t)u (t)dt + (0.25 + t)u(t)dt 0 = −0.894539388 + 0.125[0.25u (0)] + 0.125[0.25u(0) + 1.25u(1) + +2(0.5u(0.25) + 0.75u(0.5) + u(0.75))] 1 ⇔ b = −0.894539388 + a2 + a + e + b + c + d 32 32 32 16 −1241 0.5 + (0.5 − t)u2 (t)dt + (0.5 + t)u(t)dt u(0.5) = 1920 0 −1241 + 0.125[0.5u2 (0) + 2(0.25u2 (0.25))] + 0.125[0.5u(0) + = 1920 +1.5u(1) + 2(0.75u(0.25) + u(0.5) + 1.25u(0.75))] −1241 1 3 ⇔c= + a2 + b + a + e + b + c + d 1920 16 16 16 16 16 16 0.75 u(0.75) = −0.4629638672 + (0.75 − t)u (t)dt + (0.75 + t)u(t)dt 2 = −0.4629638672+0.125[0.75u (0)+2(0.5u (0.25)+0.25u2 (0.5))]+ +0.125[0.75u(0)+1.75u(1)+2(u(0.25)+1.25u(0.5)+1.5u(0.75))] 1 3 ⇔ d = −0.4629638672 + a2 + b2 + c2 + a + e + b + c + d 32 16 32 32 16 1 17 u(1) = − + (1 − t)u2 (t)dt + (1 + t)u(t)dt 60 0 57 17 + 0.125[u2 (0) + 2(0.75u2 (0.25) + 0.5u2 (0.5) + 0.25u2 (0.75))] 60 + 0.125[u(0) + 2u(1) + 2(1.25u(0.25) + 1.5u(0.5) + 1.75u(0.75))] 17 1 1 ⇔ e = − + a2 + b2 + c2 + d2 + a + e + b + c + d 60 16 16 16 16 Do  ta có hệ phương trình   1   −a + e + b + c + d =   16 8             1    a + a + e − b + c + d = 0.894539388   32 32 32 16           2 3 1241 a + b + a + e + b − c + d =   16 16 16 16 16 16 1920             2 5   a + b + c + a + e + b + c − d = 0.4629638672    32 16 32 32 16               a2 + b2 + c2 + d2 + a − e + b + c + d = 17 16 16 16 16 60 =− Ta sử dụng phần mềm Maple giải hệ phương trình theo bước sau: Bước 1: Nhập phương trình vào phần mềm Maple > eqn1 := −a + (1/8) ∗ e + (1/16) ∗ b + (1/8) ∗ c + (3/16) ∗ d = 5/4; 1 eqn1 := −a + e + b + c + d = 16 16 > eqn2 := (1/32) ∗ a + (1/32) ∗ a + (5/32) ∗ e − (7/8) ∗ b + (3/16) ∗ c + (1/4) ∗ d = 0.894539388; 1 eqn2 := a2 + a + e − b + c + d = 0.894539388 32 32 32 16 58 > eqn3 := (1/16) ∗ a2 + (1/16) ∗ b2 + (1/16) ∗ a + (3/16) ∗ e + (3/16) ∗ b − (3/4) ∗ c + (5/16) ∗ d = (1241/1920); 1 3 1241 eqn3 a2 + b2 + a + e + b − c + d = 16 16 16 16 16 16 1920 2 > eqn4 := (3/32) ∗ a + (1/8) ∗ b + (1/16) ∗ c + (3/32) ∗ a + (7/32) ∗ e + (1/4) ∗ b + (5/16) ∗ c − (5/8) ∗ d = 0.4629638672; 1 5 = 0.4629638672 eqn4 := a2 + b2 + c2 + a + e + b + c − 32 16 32 32 16 8d > eqn5 := (1/8) ∗ a2 + (1/4) ∗ b2 + (1/4) ∗ c2 + (1/4) ∗ d2 + (1/8) ∗ a + (1/16) ∗ b − (3/4) ∗ e + (3/8) ∗ c + (7/16) ∗ d = 17/60; 1 17 eqn5 := a2 + b2 + c2 + d2 + a − e + b + c + d = 16 16 16 16 60 Bước 2: Nhập lệnh giải hệ phương trình > solve({eqn1, eqn2, eqn3, eqn4, eqn5}, {a, b, c, d, e}); (Các bước tìm hiểu từ tài liệu [3]) Khi phần mềm cho ta kết sau: Trường hợp 1: {a = −1.965708258, b = −1.893766238, c = −1.7049527, d = −1.399255101, e = −0.9749475905}, Trường hợp 2: {a = 0.2338190318, b = 1.132868003, c = 2.004853453, d = 3.063258817, e = 4.704376576}, Bằng phương pháp chuỗi ta tìm nghiệm xác u(x) = x2 − So sánh kết trường hợp với nghiệm xác u(x) = x2 − nút ta có bảng sau 59 i xi 0 ui u(xi ) |u(xi ) − ui | −1.965708258 −2 0.034291742 0.25 −1.893766238 0.5 −1.7049527 0.75 −1.399255101, −1.9375 0.043733762 −1.75 0.0450473 −1.4375 0.038244899 −0.9749475905 −1 0.0250524095 Như ta nhận thấy kết phương pháp cầu phương cho ta sai số nhỏ so với nghiệm xác 60 Kết luận Luận văn giải vấn đề sau đây: Trình bày phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp chuỗi, phương pháp Adomian giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai Trình bày nội dung phương pháp hội tụ đơn điệu phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai Ứng dụng phần mềm Maple giải số phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai Mặc dù có nhiều cố gắng lực thân hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi điều thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhận bao dung lời góp ý quý báu quý thầy, cô bạn Tôi xin trân trọng cảm ơn! 61 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Ya D Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình tốn tử, NXB Khoa học kỹ thuật [3] Phạm Huy Điển (2002) Tính tốn , lập trình giảng dạy tốn học Maple,NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [4] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [5] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Abdul-Majid Wazwaz (2011), Linear and nonlinear Integral Equations, Springer [7] A.F Verlan, V.C.Sizikov (1986), Integral Equations, Handbook, Naukova Dumka, Kiev [8] J.D.Mamedov, C.A.Ashirov (1977), Nonlinear Volterra - Fredholm equations, Ashhabad ... tài: “ Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai để thực luận văn Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu số phương pháp giải xấp xỉ phương trình. .. phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai Đối tượng... cứu: Phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tồn nghiệm phương trình, số phương pháp giải xấp xỉ phương trình ứng dụng vào giải xấp xỉ phương