Bài tập chơng III Dãy số - Cấp số cộng ã Cấp số nhân ******* Đ1. Phơng pháp quy nạp toán học 1) CMR: * n Ơ a) 1 + 3 + 5 + . + (2n-1) = n 2 b) 1 4 7 10 . (3 2) (3 1) 2 n n n+ + + + + = c) 1 2 + 2 2 + 3 2 + . + n 2 = 6 )12)(1( ++ nnn d) 1 3 + 2 3 + 3 3 + . + n 3 = 4 )1( 22 + nn e) 1.2 + 2.3 + 3.4 + . + n(n+1) = 3 )2)(1( ++ nnn . 2) CMR: a) 2 n > 2n + 3 (n 4) b) (1 + a) n > 1 + na (a > 0, n 2) c) 1 1 1 . 2 2 n n + + + < n Ơ d) ( 1) 2 2 2 . sin 2 nx n x sin sin sinx sin x nx x sin + + + + = * n Ơ 3) CMR: n Ơ a) (13 n - 1) chia hết cho 12 b) (19 n - 1) chia hết cho 9. c) 2 2 2 1 7.2 3 n n + chia hết cho 5 ( 1n ).c) 3 2 3 1 5.3 2 n n + chia hết cho 19. ( 1n ). Đ2. Dãy số 1) Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: a) u n = 2n 2 - n + 1 c) u n = 1 - 3 n b) u n = n 3 1 d) u n = 2n + sinn 2) Xét tính bị chặn của các dãy số sau: a) u n = 5 n c) nn n + + 2 2 13 e) cos 2 n n u = b) u n = n 5 2 d) u n = 4 n - 3 f) 2 n n n u = . 4) Cho (u n )xác định bởi: = = + nn uu u 2 3 1 1 Tìm số hạng tổng quát. 5) Cho (u n )xác định bởi: 66 .66 ++++= n u (n dấu căn). Chứng minh dãy tăng và bị chăn trên. 8) Cho (u n )xác định bởi: 22 .22 ++++= n u (n dấu căn). a) Chứng minh dãy tăng và bị chặn trên. b) Chứng minh: 1 2 cos2 + = n n u . 11) Viết 5 số hạng đầu của dãy số: 1 2 1 1 1 2 1 n n n u u u u u + = = + = * , 2n n Ơ . GT 11 11U Đ3 Cấp số cộng 1) Cho cấp số cộng: 3 , 3 . Tính u 10. 2) Cho biết: = = 75. 8 72 37 uu uu Tính u 1 , d. 3) Tìm S 20 của 1 cấp số cộng biết: 6 10 18; 110S S= = . 4) Chứng minh rằng: a 2 , b 2 , c 2 là cấp số cộng khi và chỉ khi baaccb +++ 1 , 1 , 1 là cấp số cộng. 5) Cho cấp số cộng với các số hạng dơng: u 1 , u 2 , . u n , . Chứng minh rằng: 1 2 1 u u + + 2 3 1 u u + + . 1 1 n n u u + = + 1 1 n n u u + . Và đảo lại. 6) Cho ABC. Chứng minh rằng: tan 2 A , tan 2 B , tan 2 C lập thành csc khi và chỉ khi cosA, cosB, cosC lập cấp số cộng. 7) Giải phơng trình; a) 1 + 4 + 7 + . + x = 287 (x là số hạng thứ n của cấp số cộng). b) 2 + 4 + 8 + . + y = 1022 ( y là số hạng thứ n của cấp số nhân). c) (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + . + (x + 28) = 155. 8) Tìm x biết: 4x - 3, 2x 2 + 4, 7x + 5 là cấp số cộng. 9) a) Tìm u n và n biết: u 1 = 2, d= 5, s n = 245. b) Tìm 4 số biết: 4 số đó lập thành 1 csc có tổng bằng 5 và tổng bình phơng bằng 245. 10) Cho 4 số nguyên lập thành một cấp số cộng có tổng bằng 20, tích bằng 384. Tìm 4 số đó. 11) Tìm cấp số cộng biết: a) =+ =+ 17. 10 61 351 uu uuu b) =+ =+ 1170. 60 12 2 4 2 157 uu uu c) = = 2 45 9 6 4 s s d) =++ =++ 21. 168 654 321 uuu uuu 12) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 1 1 1 , ,a b c c a b c a b ữ ữ + + + + + . 13) Cho . 0 . CMR: n i u u iữ 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 . . n n n n n n u u u u u u u u u u u u + + + + = + + + . 14) Chứng minh rằng: 1 2 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 , , ., . 0 n i n n n n u u u u u u u u u u u u ữ + + + = . 15) Cho ABC có: = ữ1. CMR: cot ,cot ,cot b c mc B A C b m 16) Cho ABC có: ữ ữ 2 2 2 cot ,cot ,cot . CMR: , ,A g C a b c 17) Xen giữa các số 1 và 25 năm số, tạo với 2 số đã cho 1 cấp số cộng. 18) Tìm csc gồm 3 số hạng có tổng bằng 21, tổng các bình phơng của chúng bằng 309 19) Cho hệ: = 2 3 2 2 cos cos 1 cos cos 1 70 x x x tg x x x Tìm tổng các nghiệm của hệ. 20) Ba số: 2, 3, 5 có thể là 3 số hạng cùng có mặt trong 1 cấp số cộng đợc không? Đ4 Cấp số nhân 1) Ba số dơng lập cấp số cộng có tổng bằng 21. Thêm lần lợt 2, 3, 9 vào 3 số đó ta đợc cấp số nhân. Tìm 3 số của cấp số cộng. 2) Cho 2 số 2 và 54. Điền vào giữa 2 số ấy 2 số sao cho 4 số mới lập cấp số nhân. 3) Cho 2 số 3 và 48. Xen giữa 3 số để đợc cấp số nhân. 4) Tìm cấp số nhân có tổng 4 số hạng đầu bằng 15, tổng bình phơng bằng 85. 5) Cho cấp số cộng và cấp số nhân cùng có 3 số hạng. Số hạng đầu của chúng bằng 3, các số hạng thứ 3 giống nhau. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng nhiều hơn số hạng thứ 2 của cấp số nhân là 3. Tìm 2 cấp số ấy. 6) Ba số nguyên có tổng bằng 15 lập thành cấp số cộng. Lần lợt thêm 1, 1, 4 vào chúng đợc cấp số nhân. Tìm cấp số cộng. 7) Ba số dơng có tổng là 114 có thể coi là 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số nhân hoặc là u 1 , u 4 , u 25 của 1 cấp số cộng. Tìm 3 số ấy. 8) Cho 1 dãy số gồm 4 số nguyên. Ba số hạng đầu lập cấp số cộng, 3 số hạng cuối lập cấp số nhân. Tổng số hạng đầu và số hạng cuối bằng 37, tổng 2 số hạng giữa bằng 36. Tìm 4 số ấy. 9) Cho 4 số lập csn. Theo thứ tự ta bớt đi 2, 1, 7, 27 thì đợc cấp số cộng. Tìm cấp số nhân. 10) Tính tổng: 2 2 99 1 2 2 10 10 . 10 9 99 . 999 9 (n so 9). 7 77 777 . 777 .7 (n so 7) 1 2.2 3.2 . 100.2 P 1. 2. . . n n A B C P x x nx = + + + = + + + = + + + + = + + + + = + + + 11) Xác định cấp số nhân biết: a) 4 2 5 3 24 72 u u u u = = b) 1 3 5 7 1 13 18 65 32 u u u u u + = + = 12) Tính các góc của tam giác vuông có độ dài 3 cạnh lập thành cấp số nhân. 13) Tìm 3 số có tổng bằng 146 là 3 số hạng đầu của 1 cấp số nhân, đồng thời là các số hạng thứ nhất, thứ 17 và 19 của 1 cấp số cộng. 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781 640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223 172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881 097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432 664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171 536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575 959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489 1227938183011949. (1000 chữ số sau dấu phẩy) . )2)(1( ++ nnn . 2) CMR: a) 2 n > 2n + 3 (n 4) b) (1 + a) n > 1 + na (a > 0, n 2) c) 1 1 1 . 2 2 n n + + + < n Ơ d) ( 1) 2 2 2 . sin. số lập csn. Theo thứ tự ta bớt đi 2, 1, 7, 27 thì đợc cấp số cộng. Tìm cấp số nhân. 10) Tính tổng: 2 2 99 1 2 2 10 10 . 10 9 99 . 999 9 (n so 9).