Kinh nghiệm ------------------------------------------------------------------------------------------------- kinh nghiệm trong dạy học giải toán chứng minh hình học 8 bằng cách vẽ thêm đờng phụ A: Lời nói đầu : Trong chơng trình hình học lớp 8,đặc biệt là chơng trình bồi dỡng học sinh giỏi , có những bài toán chứng minh mà trong quá trình chứng minh phải vẽ thêm đờng phụ mới đi đến kết quả . Có nhiều bài toán khó , chỉ sau vài đờng kẻ thêm thì phơng pháp chứng minh hiện ra thật đơn giản , thậm chí có thể nhìn thấy ngay ra cách giải . Tuy nhiên với học sinh việc giải toán bằng cách vẽ thêm đờng phụ là rất khó khăn và thờng thì học sinh vấp phải một trong hai vấn đề sau : Thứ nhất : Lúng túng trong việc tìm cách vẽ thêm đờng hay cụ thể hơn là trong việc tìm cách vẽ thêm nh thế nào cho có lợi, kết quả là có nhiều đờng vẽ thêm không cần thiết ,không đúng hớng chứng minh dẫn đến hình rối và lạc hớng . Thứ hai : Ngộ nhận các tính chất của đờng vẽ thêm để áp dụng vào lời giải mà không chứng minh . Thực tế cho thấy ,có nhiều đờng phụ khác nhau và không có phơng pháp chung ,đòi hỏi sự khéo léo ,sáng tạo ,sự linh hoạt tuỳ theo yêu cầu của mỗi bài toán cụ thể . điều quan trọng là khi vẽ phải xác định đợc đờng phụ này tạo điều kiện để chứng minh nghĩa là vẽ có mục đích chứ không vẽ tuỳ tiện và cần tuân theo các phép dựng và bài toán dựng hình cơ bản . Xuất phát từ những suy nghĩ trên tôi xin đề cập một khía cạnh nhỏ về một phơng pháp chứng minh bài toán hình học thông qua cách vẽ đờng phụ . Trong chuyên đề nhỏ này ngời viết không có tham vọng sẽ trình bày đợc tất cả các phơng pháp vẽ thêm đờng phụ ( vì vấn đề này là vô cùng rộng ,đa dạng mà với mỗi ngời lại có cách thể hiện riêng ,độc đáo khác nhau ) mà chỉ nêu ra một bài toán điển hình ,một số nhận xét suy nghĩ để tìm tòi cách vẽ . Ngời viết cho rằng ,dạy học sinh vẽ thêm đờng phụ là dạy suy nghĩ ,tìm tòi sáng tạo ,dạy cho các em biết định hớng mục đích công việc và bản chất sự việc chứ không ------------------------------------------------------------------------------------------------ Kinh nghiệm ------------------------------------------------------------------------------------------------- phải dạy cách giải những bài toán cá thể . Hớng cho học sinh biết rút ra những nhận xét có tính chất khái quát để tìm lời giải . Ngời viết cũng hy vọng rằng chuyên đề nhỏ này sẽ mang lại cho một vài điều bổ ích cho các em học sinh nhất là học sinh giỏi trong quá trình học và giải toán chứng minh hình học . Nội dung chuyên đề gồm 3 phần * Phần I : Một số đờng phụ thờng vẽ và những điểm cần dùng khi vẽ thêm đờng phụ. * Phần II : Một số phơng pháp vẽ thêm đờng phụ để giải các bài toán chứng minh hình học . * Phần III : Các bài tập đề nghị . B : Nội dung Phần I : Một số loại đ ờng phụ th ờng vẽ và những điểm cần chú ý khi vẽ thêm đ ờng phụ : a. Một số loại đ ờng phụ th ờng vẽ nh sau : 1, Kéo dài một đoạn bằng đoạn thẳng cho trớc hay đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trớc 2, Vẽ một đờng thẳng song song với đoạn thẳng cho trớc từ một điểm cho trớc . 3, Từ một điểm cho trớc vẽ đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng cho trớc 4, Nối hai điểm cho trớc hoặc xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho trớc 5, Dựng đờng phân giác của một góc cho trớc 6,Dựng một góc bằng một góc cho trớc hay bằng nửa góc cho trớc b. Những điểm cần chú ý khi vẽ đ ờng phụ 1, Vẽ đờng phụ phải có mục đích ,không vẽ tuỳ tiện phải nắm thật vững đề bài ,định h- ớng chứng minh từ đó mà tìm xem cần vẽ đờng phụ nào phục vụ cho mục đích chứng minh của mình 2, Vẽ đờng phụ phải chính xác và tuân theo đúng các phép dùng hình cơ bản . 3, Với một bài toán nhng vẽ đờng phụ khác nhau thì cách chứng minh cũng khác nhau , có khi cùng một đờng phụ nhng cách vẽ lại khác nhau ------------------------------------------------------------------------------------------------ Kinh nghiệm ------------------------------------------------------------------------------------------------- Phần II : Một số ph ơng pháp vẽ thêm đ ờng phụ để giải các bài toán chứng minh hình học : 1. Vẽ đ ờng phụ để tạo ra mối liên hệ giữa các điều kiện đã cho hoặc giữa các yếu tố trong kết luận của bài toán với nhau . * Ví vụ 1: Cho hình thang ABCD ( BC// AD ) có góc A > góc C . Chứng minh đờng chéo AC< BD H ớng giải : Bình thờng hai đờng chéo AC và BD không có mối liên hệ nào giúp ta so sánh . Nếu đa hai đoạn thẳng ấy về chung một tam giác ta có thể vận dụng mối liên hệ giữa các cạnh và góc trong một tam giác để so sánh Muốn vậy ta có nhiều cách vẽ đờng phụ . Có thể từ B hoặc C vẽ đờng thẳng song song với AC hoặc BD cũng có thể ở giữa A và D ta chọn một điểm E sao cho BE = AC ( hoặc CF = AB ) điều này hoàn toàn có thể làm đợc bằng phơng pháp dựng hình và nh vậy ta đã làm xuất hiện tam giác BDE có BE = AC việc so sách AC với BD đợc chuyển thành so sách BE với BD trong tam giác BDE để so sách BE với BD ta so sánh các góc đối diện chúng trong tam giác BDE lấy góc A > gócD làm góc trung gian . * Ví dụ 2 : Cho hình vuông ABCD lấy 1 điểm M tuỳ ý trên CD vẽ phân giác của góc BAM cắt cạnh BC tại E chứng minh DM + BE = AM H ớng giải : Từ kết luận cần chứng minh của bài toán gợi ý cho ta cách vẽ thêm đờng phụ sao cho hai đoạn thẳng BE và DM về cùng một đờng thẳng tạo ra một đờng thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng liên tiếp có độ dài bằng BE + DM ------------------------------------------------------------------------------------------------ Kinh nghiệm ------------------------------------------------------------------------------------------------- Trên tia MD ta đặt đoạn DF liên tiếp với MD sao cho DF = BE để có FD + DM = BE hoặc đặt BF liên tiếp với EB sao cho BF = DM để có BE + BF = BE + DM =EF với cách vẽ đờng phụ ở hình trên ta chuyển từ chứng minh AM = DM + DE thành chứng minh AM =MF Còn với cách vẽ đờng phụ ở hình dới ta phải cần thên một bớc chứng minh AM = AF sau đó mới chứng minh AF = FE . 2. Vẽ thêm đ ờng phụ để tạo ra yếu tố trung gian có tính chất bắc cầu giữa các yếu tố cần chứng minh hoặc cần so sánh với nhau . * Ví dụ 3: Cho hình bình ABCD trên AB và BC lấy hai điểm E và F sao cho AE =CF ( E AB ; F BC ) kẻ DH AF và DK CE chứng minh rằng DH = DK H ớng giải : Ta thừa nhận ngay việc chứng minh cho DH = DK thực chất là chứng minh cho tam giác AFD = tam giác CED có diện tích bằng nhau vì hai tam giác này đã có hai cạnh đáy AF và CE = nhau . Nếu hai tam giác có hai cạnh đấy = nhau và có đờng cao thuộc hai cạnh đáy đó cũng bằng nhau thì diện tích bằng nhau . ------------------------------------------------------------------------------------------------ Kinh nghiệm ------------------------------------------------------------------------------------------------- Vì vậy nếu ta vẽ đờng chéo AC và lấy tam giác ACD làm trung gian để so sánh diện tích tam giác CED và diện tích tam giác AFD ta thấy ngay diện tích tam giác AFD = diện tích tam giác ACD ( cùng đáy AD cùng chiều cao hạ từ F và C xuống AD ) Diện tích tam giác CED = S ACD ( cùng đáy CD cùng chiều cao hạ từ A , E xuống CD S AED = S CED hay 1/2 DH . AF = 1/2 DK. CE mà AF = CE => DH=DK * Ví dụ 4 : Chứng minh rằng đờng trung bình của hình thang cân thì nhỏ hơn đờng chéo của nó H ớng giải : Gọi hình thang cân ABCD có BC// AD , AB= CD và BC < AD , M là đ- ờng trung bình của hình thang ta phải chứng minh MN < BD nhng giữa MN và BD không có mối liên hệ nào giúp ta so sánh đợc . Nếu từ M kẻ đờng thẳng // với cạnh CD cắt AD tại E và ED làm trung gian để so sánh MN với DE và DE với BD bằng cách chứng minh MNBE là hình bình hành và tam giác BDE vuông tại E 3. Vẽ đ ờng phụ để tạo nên một hình mới biến đổi bài toán để bài toán dễ chứng minh hơn . * Ví dụ 5 : Cho tam giác ABC có AB> AC vẽ hai đờng cao BE và CD . Chứng minh rằng AB + CD > AC+ CE . H ớng giải : ------------------------------------------------------------------------------------------------ Kinh nghiệm ------------------------------------------------------------------------------------------------- ở bài này nếu ta biến đổi để có một đoạn thẳng AB + CD ra một đoạn thẳng khác = AC + BE thì cũng chẳng giúp gì cho việc chứng minh , nhng nếu ta dựa vào đề bài cho AB > AC để biến đổi Kết luận Bằng cách chuyển vế AC và CD trong bất đẳng thức của kết luận ta có AB AC > BE CD . A B B / Nh vậy bài toán có thể thành một bài toán mới tơng đơng .Cho tam giác ABC có AB > AC chứng minh rằng : Hiệu hai cạnh AB và AC thì lớn hơn hiệu hai đờng cao tơng ứng thuộc hai cạnh đó . Biến đổi bài toán nh vậy sẽ gợi ý cho ta vẽ đờng phụ bằng cách đặt đoạn AB chồng lên đoạn AC để làm xuất hiện đoạn thẳng hiệu của AB và AC . Đó là CB / = AB / - AC ta có ABB / cân tại A từ B / kẻ B / H AB và CF B / H . Đến đây ta thấy việc giải bài toán trở nên rất dễ dàng . Ta chỉ cần chứng minh cho BE = B / H và CDHF là hình chữ nhật , từ đó => đợc B / F = BE- CD . Cuối cùng bài toán đợc đa về việc so sánh B / F và B / C trong tam giác B / FC . 4. Vẽ thêm những đại l ợng bằng nhau hoặc thêm vào những đại l ợng bằng nhau mà đề bài đã cho để tạo ra mối liên hệ giữa các đại l ợng cần chứng minh giúp cho việc chứng minh đ ợc dễ dàng . * Ví dụ 6 : Cho tam giác ABC . P là một điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác góc PAC = góc PBC và M,N là hình chiếu tơng ứng của P xuống AC và BC . Nối M,N với trung điểm D của AB . CMR : MD = ND H ớng giải : Ta thấy AD là ND cha có mối liên hệ gì giúp ta so sánh . Nếu ta xác định thêm hai trung điểm I và K của BP và AP rồi nối DK ,MK , nối DI ,NI khi đó ta thấy xuất hiện hai tam giác DMK và DNI . Từ đó gợi ý cho ta nghĩ đến việc tìm cách chứng minh cho hai tam giác = nhau từ đó rút ra MD = ND , mà tam giác DMK = tam giác DNI là điều dễ chứng minh . ------------------------------------------------------------------------------------------------ Kinh nghiệm ------------------------------------------------------------------------------------------------- A B C * Ví dụ 7 : CMR : Trong một tam giác vuông trung tuyến thuộc cạch huyền thì bằng nửa cạnh ấy . Hớng giải : Ta thấy AC và tia MB giao nhau tại M . Khai thác tính chất đờng chéo của hình bình hành gợi ý cho ta lấy trên tia BM một đoạn MD sao cho MD = MB . Ta đợc tứ giác ABCD là hình bình hành , lại có góc B = 90 o lên là hình chữ nhật từ đó => MB = 1/2 AC . A D B C 5. Vẽ thêm đ ờng phụ để bài toán có thể áp dụng một định lý nào đó . * Ví dụ 8 : Cho tam giác ABC và một đờng thẳng xy không cắt tam giác . CMR : Khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến đờng thẳng xy = 1/3 tổng khoảng cách từ 3 đỉnh của tam giác tới đờng thẳng đó . H ớng giải : Dựa vào tính chất trung tuyến đờng phân giác ta nghĩ ngay đến việc nối một đỉnh nào đó của tam giấc ABC với trọng tâm G thì đờng thảng nối hai điểm đó phải đi qua trung điểm cạnh đối diện . ------------------------------------------------------------------------------------------------ O Kinh nghiệm ------------------------------------------------------------------------------------------------- A B C Giả sử nối B với G thì BG sẽ đi qua trung điểm N của AC . Và lấy một điểm E là trung điểm của BG từ đó ta có BE = EG = GN = 1/3 BN . Khai thác tính chất này và dựa vào định lý Hai đờng thẳng cùng vuông góc với đờng thẳng thứ 3 thì // với nhau . Tiếp tục vẽ các đờng EE / và NN / vuông góc với xy tạo nên các hình thang AA / C / C và BB / G / G . Vận dụng tính chất đờng trung bình của mỗi hình thang trên so với hai đáy của nó rồi biến đổi dần ta đợc kết quả cần chứng minh . Ví dụ 9 ; Cho hình bình hành ABCD và đờng thẳng xy không có điểm trung với hình bình hành . Gọi AA / , BB / , CC / , vàDD / là các đờng vuông góc kẻ từ A,B,C,D đến đờng thẳng xy . CMR : AA / + CC / = BB / + DD / . H ớng giải : Ta thấy các đoạn thẳng AA / , BB / , CC / , vàDD / // với nhau . hơn nữa vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD . A B OO D C điều này giúp ta nghĩ đến tính chất đ- ờng trung bình của hình thang , đờng phụ OO / xy ; O / xy là chìa khoá để giải bài toán . Trên đây ngời viết xin đề cập đến năm phơng pháp thờng dùng để vẽ thờng dùng để vẽ đờng phụ để giải toán chứng minh hình học với những ví dụ điển hình . Tất cả những bài toán trên đều sử dụng phơng pháp vẽ thêm đờng phụ bằng những suy luận từ giả thiết và sự linh hoạt trong phơng pháp . Phần III : Các bài tập đề nghị : ------------------------------------------------------------------------------------------------ o Kinh nghiệm ------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài 1: ở miền ngoài hình bình hành ABCD lấy điểm P sao cho góc PAB = góc BCD . Các đỉnh A và C nằm trong những nửa mặt phẳng khác nhau đối với đờng thẳng PB . CMR : góc APB = góc DPC . Bài 2: Cho tam giác cân ABC tại A . Từ trung điểm H của BC kẻ HE AC ( E AC ) . Gọi O là trung điểm của HE . CMR : OA BE . Bài 3: Giả sử AC là đờng chéo lớn của hình bình hành ABCD . Từ C kẻ các đờng thẳng CE , CF tơng ứng vuông góc với AB , AD . CMR : AB . AE + AD.AF = AC 2 . Bài 4: Cho hình bình hành ABCD . Một đờng thẳng cắt AB tại E . AD tại F và đ- ờng chéo AE tại G . CMR : AE AB + AG AC AF AD = Bài 5: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm . Một đờng thẳng bất kỳ qua G cắt cạnh AB , AC tại M và N . CMR : 3 =+ AN AC AM AB Bài 6 : Cho tam giác ABC có góc A = 90 o chọn trên AB một điểm D , kẻ Dx // AC , cắt BC tại E sao cho AE CD tại K . Cho n m AE CD = . Tính ADEC BDE S S . Bài 7 : Cho hình thang ABCD ( AB//CD ) gọi E là giao điểm của AD và BC , F là giao điểm của AC và BD . CMR : EF đi qua trung điểm của AB và CD . Bài 8 : Cho A / , B / , C / , D / , lần lợt nằm trên cạnh BC , AC , AB của tam giác ABC . Biết rằng AA / , BB / , CC / , đồng quy tại M . CMR : / / / / / BC AC CB AB MA AM += C. Kết luận Trong quả trình nghiên cứu về phơng pháp chứng minh một bài toán hình học , ngời viết chỉ đa ra 5 phơng pháp cơ bản thờng trong chơng trình phổ thông cơ sở . Chuyên đề nhỏ này đã hệ thống hoá các tình huống vẽ hình phụ trong bài tập hình học , bên cạnh đó là một số ví dụ chứng minh minh hoạ cụ thể cho các tình huống đó và các bài tập tham khảo . Tuy nhiên chuyên đề này vẫn có những hạn chế về thể loại , cha đáp ứng đợc hết các đối tợng học sinh . Trong những phơng pháp trên vẫn còn những hạn chế về ------------------------------------------------------------------------------------------------ Kinh nghiệm ------------------------------------------------------------------------------------------------- nội dung và phơng pháp . tôi rất mong nhận đợc sự góp ý xây dựng của các đồng chí đồng nghiệp nhất là những đồng chí giàu kinh nghiệm trong giảng dạy môn toán ở THCS để chuyên đề này đợc sửa chữa , củng cố đáp ứng đợc với các đối t- ợng học sinh . Tôi xin chân thành cảm ơn ! Thụy Duyên , Ngày 10 tháng 11 năm 2006 Ngời viết Hà Huy Sơn Xác nhận của nhà trờng ------------------------------------------------------------------------------------------------ . trong dạy học giải toán chứng minh hình học 8 bằng cách vẽ thêm đờng phụ A: Lời nói đầu : Trong chơng trình hình học lớp 8, đặc biệt là chơng trình bồi. chứng minh mà trong quá trình chứng minh phải vẽ thêm đờng phụ mới đi đến kết quả . Có nhiều bài toán khó , chỉ sau vài đờng kẻ thêm thì phơng pháp chứng minh