CHƯƠNG II. HÀM SỐ LUỸ THỪA,HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LỔGARÍT I.LÝ THUT §1. LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ 1.LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ NGUN ĐN: luỹ thừa bậc n của số a ( hay luỹ thừa của a với số mũ n ) là số a n và xác định bởi : a n = a.a…a , n > 1. Trong đó : a 1 = a. a : gọi là cơ số, n : gọi là số mũ. a> Luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm ĐN : víi a ≠ 0,n = 0 hc n lµ mét sè nguyªn ©m,l thõa bËc n cđa a lµ sè a n x¸c ®Þnh bëi: a 0 = 1, a n = 1 n a − ch ó ý : +> KH : 0 0 , 0 n kh«ng cã nghÜa. +> víi a ≠ 0 vµ n nguyªn,ta cã a n = 1 n a − . +> ta thêng dïng l thõa cđa 10 víi sè mò nguyªn ®Ĩ biĨu diƠn nh÷ng sè rÊt lín vµ rÊt bÐ. b> TÝnh chÊt cđa l thõa víi sè mò nguyªn Quy t¾c tÝnh : §Þnh Lý 1: víi a ≠ 0, b ≠ 0 vµ víi c¸c sè nguyªn m,n ta cã : 1.a n .a m = a m + n 2. n n m m a a a − = 3. (a n ) m = a n.m 4. (ab) n = a n .b n 5. n n n a a b b   =  ÷   So s¸nh c¸c c¸c l thõa §Þnh lý 2 : cho m,n lµ nh÷ng sè nguyªn.khi ®ã : 1. víi a > 1 th× a n > a m khi vµ chØ khi n > m 2. víi 0 < a < 1 th× a n > a m khi vµ chØ khi n < m H q1 : víi 0 < a < b vµ n lµ sè nguyªn th× : 1. a n > b n khi vµ chØ khi n < 0. 2. a n < b n khi vµ chØ khi n > 0 H Ư qu¶ 2 : víi a < b , n lµ sè tù nhiªn lỴ th× a n < b n H Ư qu¶ 3: a,b d¬ng,n lµ sè nguyªn kh¸c 0 th× : a n = b n khi vµ chØ khi a = b. 2. C¨n bËc n vµ l thõa víi sè mò h÷u tØ a. C ¨n bËc n Đ N2: víi n nguyªn d¬ng,c¨n bËc n cđa sè thùc a lµ sè thùc b sao cho : b n = a. Chó ý : ta thõa nhËn c¸c kh¼ng ®Þnh sau : +> khi n lỴ,mçi sè thùc a cã 1 c¨n bËc n.kÝ hiƯu : n a +> khi n ch½n, mçi sè thùc d¬ng a cã 2 c¨n bËc n lµ 2 sè ®èi nhau.kÝ hiƯu : n a vµ - n a nhËn xÐt : 1. c¨n bËc 1 cđa sè a lµ a 2.c¨n bËc n cđa 0 lµ 0 3. sè ©m kh«ng cã c¨n bËc ch½n v× l thõa bËc ch½n lu«n d¬ng. 4. với n nguyên dương lẻ,ta có : n a > 0 khi a > 0 và n a < 0 khi a < 0. 5. n n a = , ~ , , a nle a ncha n      b. Tính chất của căn bậc n : với 2 số a,b dương.hai số nguyên dương m,n và 2 số nguyên p,q ta có: 1. . n n n ab a b= 2. ( 0) n n n a a b b b = > 3. ( ) p n p n a a= (a > 0) 4. m n mn a a= 5. nếu p q n m = thì n p m q a a= ( a > 0 ), đặc biệt nm m n a a= c.Lũy thừa với số mũ hữu tỉ ĐN3: cho a > o, r là một số hữu tỉ,giả sử r = m n ,m nguyên còn n nguyên dương.khi đó luỹ thừa của a với số mu hữu tỉ là số a r và xác đònh bởi : m r n m n a a a= = Chú ý: luỹ thừa với số mũ hữu tỉ ( của số thực dương) có nay đủ tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên. §2 .LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC 1.Khái niệm luỹ thừa với số mũ thực Vdụ : cho số vô tỉ α = 2 . Luôn tồn tại moat dãy số hữu tỉ r 1 ,r 2 , r n mà limr n = 2 Chẳng hạn : r 1 = 1, r 2 = 1,4 , r 3 = 1,41 , r 4 = 1,414 , r 5 = 1,4142 …… và limr n = 2 . Cho a là số thực dương và α là số vô tỉ xét dãy số hữu tỉ r 1 ,r 2 , r n mà limr n = 2 .khi đó người ta chứng minh được rằng dãy số thực 1 2 , , , , n r r r a a a có giới hạn không phụ thuộc vào dãy số hữu tỉ ( r n ).ta gọi giới hạn đó là luỹ thừa của a với số mũ α . KH : a α và a α = lim n r n a →+∞ GHI NHỚ : về cơ số của luỹ thừa 1. khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và nguyên âm thì cơ số phải khác 0. 2.khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương. 2.Công thức lãi ké C = A( 1 + r ) N A: tiền gửi , r : lãi suất, N : kì hạn ( N : tính bằng năm ) §3 . LÔGARÍT 1.ĐỊNH NGHĨA Cho số thực a dương, α tuỳ ý ta luôn xác đònh a α .ta có : +> a α là một số dương. +> nếu α = 1 thì a α = 1 α = 1, R α ∀ ∈ +> nếu a > 1, thì a α < a β khi và chỉ khi α β < +> nếu 0 < a <1 thì a α < a β khi và chỉ khi α β > +> 0 < a 1≠ a α = a β khi và chỉ khi α β = Ta thừa nhận khi : 0 < a 1≠ ,với mỗi số dương b,có một số α để : a α = b, α là duy nhất. ĐỊNH NGHĨA 1 Cho 0 < a 1≠ ,b là một số dương.số thực α để a α = b được gọi là cơ số a của b Và kí hiệu : log a b ,tức là : α = log a b ⇔ a α = b . CHÚ Ý : 1. không có lôgrít của 0 và số âm vì a α luôn dương với α ∀ 2. cơ số của lôgrit a : 0 < a 1≠ . 3. theo đònh nghóa lôgrit ta có : log log 1 0,log 1 log , , , 0 a a a b a b a a b b R a b b R b = = = ∀ ∈ = ∀ ∈ > 2.TÍNH CHẤT a> SO SÁNH HAI LÔGARIT CÙNG CƠ SỐ ĐỊNHLÝ 1: cho số dương a khác 1 và các số b,c dương. 1. khi a > 1 thì log log a a b c b c> ⇔ > 2. khi 0 < a <1 log log a a b c b c> ⇔ < . HỆ QỦA: cho số dương a khác 1 và các số b,c dương. 1. khi a > 1 thì log a b > 0 ⇔ b > 1 2. khi o < a < 1 thì log a b > 0 ⇔ 0 < b < 1 3. log log a a b c b c= ⇔ = b> CÁC QUY TẮC TÍNH LÔGARIT ĐỊNH LÝ 2 : cho số dương a khác 1 và các số b,c dương,Ta có : 1 log ( ) log log ; 2 log log log ; 3 log log . a a a a a a a a bc b c b b c c b b α α > = + > = − > = Chú ý : với các số dương b 1 ,b 2 ,…,b n , ta có : 1 2 1 2 log ( . ) log log . log a n a a a n b b b b b b= + + + HỆ QUẢ: với a dương khác 1, số dương b và số nguyên dương n,ta có : 1. 1 log log a a b b = − 2. 1 log log n a a b b n = 3. ĐỔI CƠ SỐ CỦA LOGARIT ĐỊNH LÝ 3: với a,b là 2 số dương khác 1 và c là số dương,ta có : log log log a b a c c b = hay log .log log . a b a b c c= HỆ QUẢ 1: với a,b là 2 số dương khác 1, ta có : 1 log log a b b a = hay log .log 1 a b b a = HỆ QUẢ 2 : với a là số dương khác 1, c là số dương và 0 α ≠ ,ta có : 1 log log a a c c α α = . Chu y : log log b b c a a c= 4.LÔGARIT THẬP PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ĐỊNH NGHĨA 2: lôgrit cơ số 10 của một số dương x được gọi là lôgrit thập phân của x và kí hiệu là : logx hoặc lgx. Đọc chú ý : lôgrit thập phân có nay đủ tính chất của lôgrit với cơ số lớn hơn 1. ứng dụng : tìm các chữ số của một số khi viết số đó trong hệ thập phân. Vd : tìm các chữ số của số a n , ta làm như sau : [ n.loga ] + 1 = ? là số cần tìm. §4 .SỐ e VÀ LÔGARIT TỰ NHIÊN 1. lãi kép liên tục và số e. Ta có ,công thức tính lãi kép : C = A( 1 + r ) N A: tiền gửi , r : lãi suất, N : kì hạn ( N : tính bằng năm ) Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì ( ngày,tuần,tháng,quý )để tính lãi và vẫn giữ nguyên lãi suất năm. Thì r lãi suất mỗi kì là r m và số tiền thu được sau N năm ( hay sau Nm kì ) là : (1 ) Nm r A m + Chú ý : khi tăng số kì m trong năm thì số tiền thu được sau N năm ( hay Nm kì ) cũng tăng theo.tuy nhiên nó không thể tăng lên vô hạn được. Thật vậy,ta xét dãy số : S m = (1 ) Nm r A m + = 1 1 Nr m r A m r        ÷   +  ÷    ÷         (1) Để xét giới hạn của dãy số (1) ta xét giới hạn : 1 lim 1 m r m m r →+∞    ÷ +  ÷  ÷   Ta xét giới hạn tổng quát : 1 lim 1 x x x →+∞   +  ÷   Người ta cm được : e = 1 lim 1 x x x →+∞   +  ÷   ≈ 2,718281828….(2) Từ (1) và (2) ta suy ra rằng : limS m = A.e Nr Vâỵ ta có công thức tính lãi kép liên tục : S = A.e Nr 2.LÔGARIT TỰ NHIÊN Đn :lôgrit cơ số e của một số dương a được gọi là lôgrit tự nhiên ( hay lôgrit Ne-pe ) của số a. KH: lna và đọc : loga nêpe của a. CHÚ Ý : lôgarit tự nhiên có nay đủ tính chất của lôgarit với cơ số lớn hơn 1. §5 . HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT 1.khái niệm hàm số mũ và hàm số lôgarit Với 0 < a ≠ 1 . +> với mỗi x R∈ ta luôn xác đònh một giá trò a x ( duy nhất ) +> với mỗi x R∈ , x > 0,ta luôn xác đònh được 1 giá trò log a x ( duy nhất ) = > hàm số y = a x xác đònh trên R, hàm số y = log a x xác đònh trên ( 0; + ∞ ) ĐỊNH NGHĨA : giả sử 0 < a ≠ 1. i. Hàm số dạng y = a x được gọi là hàm số mũ cơ số a. ii. Hàm số dạng y = log a x được gọi lag hàm số lôgarit cơ số a. chú ý : +> kí hiệu y = logx để chỉ hàm lôgarit cơ số 10. + kí hiêụ y = lnx để chỉ hàm lôgarit cơ số e. ( một số tài liệu y = exp(x) ). 2.GIỚI HẠN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT +> hàm số mũ và hàm số lôgarit liên tục tại mọi điểm mà nó xác đònh +> giới hạn đã biết : 1 lim 1 t t e t →±∞   + =  ÷   . Bằng cách đặt x = 1 t ta được : 1 0 lim(1 ) x x x e → + = Đònh lí 1 : 0 ln(1 ) lim 1 x x x → + = và 0 1 lim 1 x x e x → − = 3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM MŨ VÀ LÔGARIT a. Đạo hàm của hàm mũ. Đònh lí 2: i> hàm số y = a x có đạo hàm tại mọi điểm x R∈ và ( a x )’ = a x .lna; riêng ( e x )’ = e x . ii> hàm số u = u(x) có đạo hàm trên K thì hàm số y = a u(x) có đạo hàm trên K và (a u(x) )’ = u’(x)a u(x) .lna; riêng ( e u(x) )’ = u’(x). e u(x) . b. Đạo hàm của hàm số lôgarit Đònh lí 3: i.hàm só y = log a x có đạo hàm tại mọi x > 0 và (log a x )’ = 1 .lnx a ; riêng ( lnx )’ = 1 x . ii. nếu hàm số u = u(x) nhận giá trò dương và có đạo hàm trên K thì hàm số y = log a u(x) có đạo hàm trên K và (log a u(x) )’ = ' ( ) ( ).ln u x u x a ; riêng ( lnu(x) )’ = '( ) ( ) u x u x . Hệ quả : i. ( ln|x| )’ = 1 ; 0 x ∀ ≠ ii. nếu u = u(x) nhận giá trò khác 0 và có đạo hàm trên K thì ( ln|u(x)| )’ = '( ) , ( ) u x x K u x ∈ . 4. SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT a. Hàm số y = a x +> TXĐ : R +> y’ = a x .lna TH1: a > 1 => y’ > 0 => hàm số đồng biến trên R. Cm được : lim x x a →+∞ = +∞ và lim 0 x x a →−∞ = => đồ thò hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 ( trục ox ) Btt : x −∞ 0 +∞ y= a x +∞ ( a >1 ) 1 0 từ Btt : hàm số :y= a x nhận giá trò (0; +∞ ) TH2: 0 < a < 1. => lna < 0 => hàm sô nghòch biến trên R. Cm được : lim x x a →−∞ = +∞ và lim 0 x x a →+∞ = => đồ thò hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 ( trục ox ) Btt: x −∞ 0 +∞ +∞ y= a x 1 ( 0 < a < 1) −∞ từ Btt : hàm số :y= a x nhận giá trò (0; +∞ ) Từ 2 TH trên ta có nhận xét : đồ thò của hàm số mũ. i. luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1. ii. đồ thò hoàn toàn nằm trên trục hoành. GHI NHỚ: hàm số y= a x 1. có TXĐ : R và TGT : (0; +∞ ) 2. đồng biến trên R khi a > 1, nghòch biến trên R khi 0 < a < 1. 3. có đồ thò : +> đi qua điểm ( 0; 1) +> nằm o phía trên trục hoành. +> nhận trục hoành làm tiệm can ngang. b. Hàm số y = log a x +> TXĐ : D = (0; +∞ ) +> y’ = 1 lnx a . Hàm số y = log a x với a > 1 Hàm số y = log a x với 0 < a < 1 +> y’ > 0 , (0; )x∀ ∈ +∞ +> hàm số đồng biến trên (0; +∞ ) và nhận mọi giá trò thuôc R. +> 0 lim log a x x + → = −∞ và lim log a x x →∞ = +∞ +> y’ < 0 , (0; )x∀ ∈ +∞ +> hàm số nghòch biến trên (0; +∞ ) và nhận mọi giá trò thuôc R. +> 0 lim log a x x + → = +∞ và lim log a x x →∞ = −∞ GHI NHỚ : hàm số y = log a x 1. có TXĐ : D = (0; +∞ ) và có TGT : R 2. ĐBiến trên (0; +∞ ) khi a > 1, NBiến trên (0; +∞ ) khi 0 < a < 1. 3. có đồ thò: +> đi qua điểm (1; 0) +> nằm bên phải trục tung +> nhận oy làm tiệm can đứng. Nhận xét: đồø thò hàm số y= a x và y = log a x đối xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. §6 . hµm sè l thõa 1. Hµm sè l thõa §N: hµm sè l thõa lµ hµm sè cã d¹ng y = x α , α lµ sè t ý. Tõ c¸c ®Þnh nghÜa vỊ l thõa ta cã : +> hµm sè y = x n , n: nguyªn d¬ng,x¸c ®Þnh víi x R ∀ ∈ +> hµm sè y = x n , n: nguyªn ©m hc n = 0,x¸c ®Þnh víi 0x ∀ ≠ +>hµm sè y = x α , α kh«ng nguyªn,cã tËp x¸c ®Þnh lµ nh÷ng sè thùc d¬ng. +> hµm sè l thõa liªn tơc trªn tËp x¸c ®Þnh cđa nã. Chó ý : 1 n n x x= , nÕu x > 0.do ®ã : 1 n y x= kh«ng ®ång nhÊt víi hµm sè y = n x ( n * N∈ ) Vdụ : hàm số y = 3 x , xác định x R .hàm số y = 1 3 x ,xác định 0x > . 2.Đạo hàm của hàm số luỹ thừa. Định lý : a> hàm số y = x , R có đạo hàm tại mọi điểm x > 0.và ( x ) = . x -1 . b> hàm số u = u(x) nhận gía trị dơng và có đạo hàm trên J,thì hàm số y = u (x) cũng có đạo hàm trên J và ( u (x)) = . u -1 (x).u(x). chú ý : +> áp dụng định lí trên ta có: ( n x ) = 1 1 n n n x . +> u(x) >0 , n chẵn. thì : ( ( ) n u x ) = 1 '( ) ( ) n n u x n u x . 3.sự biến thiên của hàm số luỹ thừa. Ta chỉ xét hàm số luỹ thừa y = x , 0 và TXĐ: (0; + ) Ta có: ( x ) = . x -1 .mà x -1 > 0. +> > 0 => hàm số đồng biến trên (0; + ) +> < 0 => hàm số nghịch biến trên (0; + ). Đ7. ph ơng trình mũ và lôgrit 1.Phơng trình cơ bản. a>Phơng trình mũ cơ bản có dạng : x = m (1), m là số đã cho. Pt xác định mọi x và x > 0.do đó: +> m 0 => pt(1) vô nghiệm +> m > 0 => pt(1) có một nghiệm duy nhất x = log m . b> phơng trình lôgarit cơ bản có dạng : log x = m pt xác định khi : x (0; + ), 0 < 1. Pt có nghiệm m (0; + ), log x = m m x = . 2. Một số phơng pháp giảI phơng trình mũ và lôgarit a. phơng pháp đa về cùng cơ số. Sử dụng tính chất : i> ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x a a f x g x= = . ii> nếu f(x) > , g(x) > 0 thì log ( ) log ( ) ( ) ( ) a a f x g x f x g x= = ( 0 < a 1). . II. HÀM SỐ LUỸ THỪA,HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LỔGARÍT I.LÝ THUT §1. LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ 1.LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ NGUN ĐN: luỹ thừa bậc n của số a ( hay luỹ. lnx để chỉ hàm lôgarit cơ số e. ( một số tài liệu y = exp(x) ). 2.GIỚI HẠN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT +> hàm số mũ và hàm số lôgarit