Đang tải... (xem toàn văn)
Bài toán QHTT các tính chất1.1. Một vài bài toán trong kinh tếBài toán lập kế hoạch sản xuấtTình huống: Một doanh nghiệp dự định sản xuất 4 loại sản phẩm S1, S2, S3, S4 từ 3 loại nguyên liệu N1, N2, N3.Biết hao phí nguyên liệu, nguyên liệu dự trữ, lợi nhuận thu được từ mỗi đơn vị sản phẩm cho trong bảng (1).Lập kế hoạch sản xuất (xác định khối lượng sản phẩm mỗi loại), để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, trong điều kiện nguyên liệu dự trữ hiện có, và các yếu tố sản xuất khác doanh nghiệp luôn có đủ.
QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH Bài tốn QHTT tính chất Giải tốn QHTT ∇ Các cặp toán đối ngẫu ∇ 1 Bài toán QHTT & tính chất 1.1 Một vài tốn kinh tế a) Bài toán lập kế hoạch sản xuất Tình huống: Một doanh nghiệp dự định sản xuất loại sản phẩm S 1, S2, S3, S4 từ loại nguyên liệu N1, N2, N3 Biết hao phí nguyên liệu, nguyên liệu dự trữ, lợi nhuận thu từ đơn vị sản phẩm cho bảng (1) Lập kế hoạch sản xuất (xác định khối lượng sản phẩm loại), để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, điều kiện nguyên liệu dự trữ có, yếu tố sản xuất khác doanh nghiệp có đủ Bảng Nguyên liệu S1 S2 S3 S4 Nguyên liệu dự trữ N1 a11 a12 a13 a14 b1 N2 a21 a22 a23 a24 b2 X= x1 x x3 x4 N3 a31 a32 a33 a34 b3 Mô hình tốn: Gọi xj khối lượng sản phẩm loại Sj mà doanh nghiệp cần sản xuất Lợi nhuận j=1,2,3,4; F tổng lợi nhuận c1 c2 c3 c4 Ta có tốn sau: Mơ hình tốn tốn lập kế hoạch sản xuất F=c1x1+c2x2+c3x3+c4x4→Max a11x1+a12x2+a13x3+a14x4 ≤ b1 a21x1+a22x2+a23x3+a24x4 ≤ b2 a41x1+a32x2+a33x3+a34x4 ≤b3 xj ≥0 ∀j b) Bài tốn lựa chọn danh mục đầu tư Tình huống: Một công ty đầu tư dự định dùng khoản quỹ 500 tỷ để mua số cổ phiếu thị trường chứng khoán Biết lãi suất loại cổ phiếu, giới hạn mua loại cổ phiếu cho bảng sau: Loại chứng khoán Lãi suất năm Giới hạn A 7% 100 tỷ B 8.5% 300 tỷ C 7.8% 250 tỷ D 8.2% 320 tỷ Tình Để ngăn ngừa rủi ro quỹ đầu tư quy định khoản đầu tư vào cổ phiếu A, C phải chiếm 55%, cổ phiếu B chiếm 15% tổng số tiền đầu tư Xác định số tiền công ty mua loại cổ phiếu (một danh mục đầu tư) cho không vượt khoản dự kiến ban đầu, có mức lãi suất trung bình lớn Mơ hình tốn: Gọi xA,xB,xC,xD khoản tiền mà quỹ dùng để mua loại cổ phiếu cơng ty tương ứng Bài tốn đặt tìm danh mục đầu tư (x A,xB,xC,xD) thỏa: F = 0.07xA+0.085xB+0.078xC+0.082xD→Max xA+xC≥0.55(xA+xB+xC+xD) xB ≥0.15(xA+xB+xC+xD) xA+xB+xC+xD≤500 0≤xA ≤100 ≤xB ≤300 ≤xC ≤250 ≤xD ≤320 1.2 Bài toán QHTT a) Các khái niệm toán QHTT (1) n F = ∑ c j x j → Min / Max j=1 (2) I1, I2, I3⊂I={1,2, m} ∑ aij x j = bi i ∈ I1 j=1n a x ≤ b i ∈I ∑ ij j i n j=1 a) Các khái niệm toán QHTT F(X) gọi hàm mục tiêu, hệ (2) hệ ràng buộc toán QHTT Với i∈I ta có phương trình bất phương trình gọi ràng buộc thứ i Với i∈I, ta có véctơ dòng: A*i=(ai1, ai2, , ain) Hệ {A*j} tạo thành ma trận Am×n=(aij) Hệ ràng buộc có hệ véctơ {A*i} độc lập tuyến tính gọi hệ ràng buộc độc lập Trong hệ ràng buộc (2), ẩn x j tương ứng với vectơ cột Aj =(a1j,a2j, ,amj)T, gọi vectơ điều kiện a) Các khái niệm toán QHTT Vectơ X=(x1,x2, ,xn) thỏa hệ (2), gọi phương án (PA) toán QHTT, D tập PA toán Nếu ràng buộc thứ i thỏa dấu “=“ với phương án X, ta nói ràng buộc thứ i chặt X Ngược lại ta nói ràng buộc thứ i lỏng X Một PA thỏa chặt n ràng buộc độc lập, gọi phương án cực biên (PACB) (n số ẩn số toán QHTT) PACB thỏa n ràng buộc chặt gọi PACB không suy biến 10 BT2: Cho toán QHTT F=x1+5x2-3x3+6x4→Min -x1+3x2-x3+x4 =-2 3x1-x2+2x3-x4 ≥14 2x1+x2+x3-3x4 ≤30 a) b) xj≥0 ∀j Chứng tỏ X0=(0,2,8,0) PACB, lợi dụng X0 giải toán bắng phương pháp đơn hình Có kết luận F→Max Khi xác định PA có thành phần X4>0 F(X)=0 56 BT3: Cho tốn QHTT F = x1 - 3x2 - 4x3 + x4 + 5x5 → Max 2x1 + x2 - 3x3 +2x4 = 30 x2 – x3 + x4 – x5 = 23 • • 3x1 – 2x2 + x3 + x4 + 4x5 ≥ -10 xj ≥ ∀j • •a) Giải toán QHTT PP đơn hình •b) Tìm tập tất PATƯ toán 57 BT4: Cho toán QHTT: F = 5x1 + 2αx2 - αx3 + 8x4 - 8αx5 + 10x6 → Min 2x1 – x2 + x4 –3x6 = –4 –7x1+3x2 + x3 –3x4 – 2x5 +13x6 = –4 4x1 – 3x3 + 2x4 +4x5 –11x6 = 53 xj ≥ ∀j a) Chứng tỏ X0 = (7, 0, 0, 18, 0, 12) PACB • •b) Tìm điều kiện α để X0 PATƯ •c) Tìm điều kiện α để toán không giải 58 BT5: Cho toán QHTT: F=2x1+4x2+3x3+2x4→Min 4x1-3x2+3x3+x4 ≤31 -x1+2x2-x3 ≥-6 2x1-x2+3x3+x4 ≥33 a) b) xj≥0 ∀j Giải toán bảng đơn hình Tìm PATƯCB khác, mô tả tập PATƯ tìm PATƯ không cực biên có x3=10 ĐS: X*=(0,3,12,0,4,0,0); X’=(0,1,8,10,0,0,0) X(λ)= λX*+(1-λ)X’ với λ∈[0,1] X’’=(0,2,10,5,2,0,0) TƯ không cực biên 59 BT6: Cho toán QHTT: F=3x1-2x2+4x3-x4→Min 2x1+x2+2x3+ x4=15 2x2+ x3-2x4=6 x1+5x2 a) b) -x4=45 xj≥∀j Giải toán Có kết luận b3=39? ĐS: Bài toán PATƯ Nếu b3=39 toán có PATƯ X*=(0,9,0,6) 60 Các cặp tốn đối ngẫu 3.1 Định nghĩa cặp ràng buộc đối ngẫu Bài toán gốc F=c1x1+c2x2+ +cnxn→Min(Max) ai1x1+ai2x2+ +ainxn = bi Bài toán đối ngẫu i∈I1 ai1x1+ai2x2+ +ainxn ≤bi i∈I2 G=b1y1+b2y2+ +bmym→Max(Min) ↔ yi tự ai1x1+ai2x2+ +ainxn ≥ bi i∈I3 xj Tự j∈J1 xj ≥0 j∈J2 xj ≤0 j∈J3 ↔ yi ≤(≥) ↔ yi ≥(≤) ↔ aj1y1+aj2y2+ +ajym = ci ↔ aj1y1+aj2y2+ +ajym ≤(≥) ci ↔ aj1y1+aj2y2+ +ajym ≥(≤) ci 61 Bài toán gốc F= 3x1-2x2+x3→Min x1+x2 + x3=3 -2x1 +x2 +3x3≤5 3x1 -2x2-3x3≥-1 xj≥0 ∀j F= -2x1+x2-3x3→Max x1 - x2 + x3≥3 Bài toán đối ngẫu G= 3y1+5y2-y3→Max y1-2y2+3y3≤3 y1+y2-2y3≤-2 y1+3y2-3y3≤1 y2≤0; y3≥0 2x1 + x2 -3x3=5 x1 -2x2 - x3 ≤1 xj≥0 ∀j G= 3y1+5y2+y3→Min y1+2y2+y3≥-2 -y1+ y2 -2y3 ≥1 y1-3y2-y3 ≥-3 y1≤0; y3≥0 62 3.2 Các tính chất Gọi D tập PA toán gốc, D* tập PA toán đối ngẫu ĐL1: Giả sử X=(x1,x2, ,xn)∈D, Y=(y1,y2, ,ym)∈D* 1/ Bài toán gốc F→Min: F(X)≥G(Y) ∀X∈D,∀Y∈D* 2/ Bài tốn gốc F→Max: F(X)≤G(Y) ∀X∈D,∀Y∈D* ĐL2: Bài tốn gốc có PATƯ ⇔ Bài tốn đối ngẫu có PATƯ trị tối ưu hai tốn ĐL3: Giả sử X=(x1,x2, ,xn)∈D, Y=(y1,y2, ,ym)∈D* Khi X, Y PATƯ tương ứng Hoặc: 1) Nếu: xj≠0 ⇒ a1jy1+a2jy2+ +amjyi = cj 2) Nếu: ai1x1+ai2x2+ +ainxn ≠ bi ⇒ yi=0 63 Hoặc: 3) Nếu: yi≠0 ⇒ ai1x1+ai2x2+ +ainxn = bi 4) Nếu: a1jy1+a2jy2+ +amjym ≠ ci ⇒ xj=0 (Phát biểu khác ĐL3: X,Y hai PATƯ tương ứng khi: Nếu ràng buộc tốn chặt, ràng buộc đối ngẫu tương ứng toán phải lỏng) TD1: Dùng ĐL3 để kiểm tra tính TƯ X* F=3x1+4x2+2x3+2x4→Min 2x1+2x2 + x4 =28 x1+5x2+3x3-2x4 ≤31 2x1-2x2+2x3 + x4 =16 xj≥0 ∀j Hỏi X*=(11,3,0,0) có PATƯ hay khơng? 64 Giải: X*=(11,3,0,0)∈D; x1=11>0 ⇒ 2y1+y2+2y3 =3 * x2=3>0 ⇒ 2y1+5y2-2y3=4 ** x1+5x2+3x3-2x4=26