I. Lý do chọn đề tài: Trong chơng trình toán của trung học phổ thông, thì dạng toán tìm các giá trị của tham số để bất phơng trình bậc hai nghiệm đúng trên một tập D nào đó là một trong những dạng toán rất phổ biến và tơng đối quan trọng. Nhng việc giải nó thì học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn, kể cả khi có những lời giải sẵn nhng học sinh cũng không hiểu tại sao lại phải đa ra các điều kiện nh thế. Giả sử ta xét các bài toán sau đây: Bài toán 1: Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình f(x) = (m 2 +1)x 2 + (2m - 1)x 5 < 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-1 ; 1). Bài toán 2: Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình f(x) = -(m 2 +2)x 2 2mx +1 m > 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng (2 ; + ). Bài toán 3: Tìm các giá trị của tham số m 0 để bất phơng trình f(x) = 2mx 2 (1 5m)x +3m +1 > 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-2 ; 0). Trên đây là 3 bài toán có đề bài hoàn toàn hợp lý. Khi giải bài toán 1 thì điều kiện đúng đa ra là: ( 1) 0 (1) 0 af af Với bài toán 2 thì khi gặp thờng học sinh cũng bắt tay ngay vào việc giải nó mà không biết nhận xét để đa ra kết quả nhanh và chính xác hơn. Nếu để ý thì ta thấy hệ số a = -(m 2 +2) < 0, m R nên không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện bài toán (bài toán vô nghiệm). Khi gặp bài toán 3 thì học sinh gặp rất nhiều khó khăn, nếu không cẩn thận thì sẽ dẫn đến thiếu nghiệm ngay. Để giải bài toán 3 thì ta phải xét 4 trờng hợp sau: TH1: 0 0 a > < TH2: 0 0 . ( 2) 0 2 2 a a f s > TH3: 0 0 . (0) 0 0 2 a a f s > TH4: 0 . ( 2) 0 . (0) 0 a a f a f < 1 Nhng chắc chắn rằng nhiều học sinh không hiểu đợc là tại sao ta lại phải xét các trờng hợp nh thế. Song nếu có sự giúp đỡ của đồ thị thì việc giải bài toán 3 trở nên nhẹ nhàng hơn rất nhiều và ít xảy ra tình trạng thiếu nghiệm. Thật vậy để tìm đợc các giá trị của tham số thỏa mãn điều kiện bài toán thì (về mặt đồ thị) ta có các trờng hợp sau (có thể) xảy ra giữa vị trí của đồ thị hàm số f(x) = 2mx 2 (1 5m)x +3m +1 và trục Ox thỏa mãn bài toán nh sau: Nhìn vào đồ thị trong các trờng hợp trên thì ta dễ dàng suy ra điều kiện cho các trờng hợp của bài toán 3: ứng với a) ta có điều kiện là TH1 ứng với b) và c) ta có điều kiện chung là TH2 ứng với d) và e) ta có điều kiện chung là TH3 ứng với f) ta có điều kiện là TH4 Vì lý do đó mà tôi chọn đề tài: Sử dụng đồ thị để giải một số bài toán tìm các giá trị của tham số để bất phơng trình bậc hai nghiệm đúng trên tập D nhằm giúp các em học sinh cũng nh các thầy cô giáo có những nhận xét đúng đắn để đa ra lời giải đúng cho những bài toán về dạng này. II. Thực trạng cũ và giải pháp mới: 1.Thực trạng cũ: Khi gặp các bài toán dạng này thì học sinh rất lúng túng và gặp nhiều khó khăn trong vấn đề đa ra các trờng hợp đúng để từ đó đi tìm đ- ợc các giá trị của tham số thỏa mãn điều kiện bài toán. 2 ( ) -2 0 ( ) -2 0 ( ) -2 0 ( ) -2 0 ( ) -2 0 ( ) -2 0 a) b) c) d) e) f) 2.Giải pháp mới: Khi gặp bài toán dạng này thì học sinh nên vận dụng đồ thị để đa ra các trờng hợp đúng của bài toán, từ đó tìm đợc các giá trị của tham số thỏa mãn điều kiện của bài toán mà lại tránh đợc nhiều thiếu sót. III. Nội dung: Trong khi chúng ta đi giải dạng toán này, nhng chúng ta rất ít khi chú ý tới một kết quả rất đơn giản mà lại rất hữu ích sau đây: Nếu hệ số a > 0 thì Parabol y = ax 2 + bx + c có bề lõm quay lên trên. Trong hệ trục tọa độ Oxy, nếu ta xét vị trí tơng đối của Parabol y = ax 2 + bx + c với trục Ox thì có 3 khả năng sau: Nếu hệ số a < 0 thì Parabol y = ax 2 + bx + c có bề lõm quay xuống dới. Trong hệ trục tọa độ Oxy, nếu ta xét vị trí tơng đối của Parabol y = ax 2 + bx + c với trục Ox thì có 3 khả năng sau: *Chú ý: Trong các hình vẽ của các bài toán thì trục nằm ngang là trục Ox và Parabol là đồ thị của hàm số bậc hai. Để tìm các giá trị của tham số m sao cho tam thức bậc hai f(x,m) > 0 (hay f(x,m) < 0) trên tập D nào đó, có nghĩa là ta phải tìm các giá trị của tham số m để cho đồ thị hàm số f(x,m) nằm phía trên (hay nằm phía dới) trục hoành (trục Ox) với mọi x thuộc tập D. Dựa vào những nhận xét đó thì việc giải các bài toán nh đã nêu trong phần I là tơng đối đơn giản. Ta lần lợt xét một số bài toán sau đây: Bài toán 4: Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình 3 a) b) c) a) c)b) f(x) = x 2 + 2(2m+1)x + 4m 2 3 > 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (0 ; 1). Chỉ dẫn: Nếu khi gặp bài toán này mà chúng ta không cẩn thận thì việc giải nó thờng rất dễ nhầm lẫn và dẫn đến thiếu nghiệm. Nhng nếu dựa vào đồ thị, ta có nhận xét sau: Để tìm các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán, thì ta phải tìm các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số f(x) = x 2 +2(2m+1)x +4m 2 3 nằm phía trên trục hoành (trục Ox) với mọi x thuộc khoảng (0 ; 1). Vì hệ số a = 1 > 0 nên ta có các trờng hợp có thể xảy ra sau đây: Với trờng hợp a) thì tơng ứng điều kiện là: 0 0 a > < Với trờng hợp b) và c) thì tơng ứng điều kiện là: 0 0 (1) 0 1 2 a af s > Với trờng hợp d) và e) thì tơng ứng điều kiện là: 0 0 (0) 0 0 2 a af s > Từ đó ta có lời giải bài toán này nh sau: Giải: 4 a) b) c) d) e) ( ) 0 1 ( ) 0 1 ( ) 0 1 ( ) 0 1 ( ) 0 1 Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn 1 trong 3 trờng hợp sau: TH1: 0 0 a > < 2 2 1 0 4(2 1) 4(4 3) 0m m > + < m < -1 TH2: 0 0 . (1) 0 1 2 a a f s > 2 1 0 1 8 0 (2 1) 1 m m m > + -1 m 1 TH3: 0 0 . (0) 0 0 2 a a f s > 2 1 0 1 4 3 0 (2 1) 0 m m m > + 1 3 3 2 2 1 2 m m m m Kết hợp kết quả của 3 trờng hợp trên ta đợc m R đều thỏa mãn điều kiện bài toán. Bài toán 5: Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình f(x) = x 2 m(m-2)x + 2m 2 4 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn [1 ; 2]. Chỉ dẫn: Với bài toán này nếu chúng ta biết minh họa bằng đồ thị thì nó có các trờng hợp sau có thể xảy ra: Với trờng hợp a) thì tơng ứng điều kiện là: 0 (1) 0 (2) 0 a af af > = < Với trờng hợp b) thì tơng ứng điều kiện là: 0 (1) 0 (2) 0 a af af > 5 3 2 m a) [ ] 1 2 b) [ ] 1 2 c) [ ] 1 2 Với trờng hợp c) thì tơng ứng điều kiện là: 0 (1) 0 (2) 0 a af af > < = Kết hợp 3 điều kiện trên ta đợc điều kiện chung là: 0 (1) 0 (2) 0 a af af > Do đó ta có lời giải bài toán 5 nh sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn điều kiện sau: 0 . (1) 0 . (2) 0 a a f a f > Giải hệ trên ta sẽ tìm đợc kết quả của bài toán. Bài toán 6: Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình f(x) = -2x 2 +(m-3)x +m-3 < 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn [-1; 0]. Chỉ dẫn: Đây là bất phơng trình bậc hai có hệ số a < 0, nên khi giải ta nên để ý rằng đồ thị của f(x) có thể có các khả năng sau đây xảy ra thỏa mãn điều kiện bài toán: Với trờng hợp a) thì tơng ứng điều kiện là: 0 0 a < < 6 a) c)b) d) e) -1 0 [ ] -1 0 [ ] -1 0 [ ] -1 0 [ ] -1 0 [ ] Với trờng hợp b) và c) thì tơng ứng điều kiện là: 0 0 ( 1) 0 1 2 a af s < > < Với trờng hợp d) và e) thì tơng ứng điều kiện là: 0 0 (0) 0 0 2 a af s < > > Từ nhận xét đó ta có lời giải bài toán nh sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn 1 trong 3 trờng hợp sau: TH1: 0 0 a < < TH2: 0 0 ( 1) 0 1 2 a af s < > < TH3: 0 0 (0) 0 0 2 a af s < > > Kết hợp kết quả của 3 trờng hợp trên ta tìm đợc các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán. Bài toán7: Tìm các giá trị của tham số m 0 để bất phơng trình f(x) = -m 2 x 2 + 2(m+2)x -1 > 0 thỏa mãn với mọi x thuộc đoạn [0 ; 1]. Chỉ dẫn: Trong bài toán này ta thấy rằng nếu m 0 thì hệ số a < 0, nên bài toán chỉ có một khả năng duy nhất xảy ra nh sau: 7 [ ] 0 1 Từ đó ta có lời giải của bài toán nh sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn điều kiện: 0 (0) 0 (1) 0 a af af < < < Giải hệ trên ta đợc các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán. Bài toán 8: Tìm các giá trị của tham số m 0 để bất phơng trình f(x) = mx 2 +2(m+1)x + 4m > 0 thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (-2; +). Chỉ dẫn: Đây là một bất phơng trình mà hệ số a ta cha biết là âm hay dơng, khi gặp bài toán này thờng học sinh rất lúng túng. Nhng nếu dựa vào đồ thị ta có nhận xét về các trờng hợp có thể xảy ra nh sau: Nếu hệ số a < 0 thì đồ thị của f(x) quay bề lõm xuống dới nên không có trờng hợp nào xảy ra thỏa mãn điều kiện bài toán. Nếu hệ số a > 0 thì (về đồ thị) ta có các trờng hợp (có thể) xảy ra thỏa mãn điều kiện bài toán nh sau: Với trờng hợp a) thì tơng ứng điều kiện là: 0 0 a > < 8 a) ( -2 + b) ( -2 + c) ( -2 + Với trờng hợp b) và c) thì tơng ứng điều kiện là: 0 0 . ( 2) 0 2 2 a a f s > Từ những nhận xét đó ta có lời giải của bài toán nh sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn 1 trong 2 trờng hợp sau: TH1: 0 0 a > < TH2: 0 0 ( 2) 0 2 2 a af s > Kết hợp kết quả của 2 trờng hợp trên ta tìm đợc các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán. Bài toán 9: Tìm các giá trị của tham số m 0 để bất phơng trình f(x) = mx 2 +4(m-1)x + m 1 < 0 thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (- ; 1). Chỉ dẫn: Bài toán này có dạng giống nh bài toán 8, khi giải nó ta cũng có nhận xét nh sau: Vì m 0 nên hệ số a 0 Nếu hệ số a > 0 thì không có trờng hợp nào thỏa mãn điều kiện bài toán. Nếu hệ số a < 0 thì (về đồ thị) ta có các trờng hợp (có thể) xảy ra thỏa mãn điều kiện bài toán là: 9 a) c)b) - 1 ) - 1 ) - 1 ) Với trờng hợp a) thì tơng ứng điều kiện là: 0 0 a < < Với trờng hợp b) và c) thì tơng ứng điều kiện là: 0 0 (1) 0 1 2 a af s > Từ những nhận xét đó ta có lời giải của bài toán nh sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn 1 trong 2 trờng hợp sau: TH1: 0 0 a < < TH2: 0 0 (1) 0 1 2 a af s > Kết hợp kết quả của 2 trờng hợp trên ta tìm đợc các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán. Bài toán 10: Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình f(x) = x 2 -2(m+1)x -2m -2 0 thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng [-1 ; 1). Chỉ dẫn: Vì hệ số a =1 > 0 nên (về đồ thị) ta có các trờng hợp sau có thể xảy ra thỏa mãn điều kiện bài toán nh sau: 10 a) [ ) -1 1 b) c) d) e) [ ) -1 1 [ ) -1 1 [ ) -1 1 [ ) -1 1 [...]... giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán 14 IV Kết luận: Việc sử dụng đồ thị của một hàm số bậc hai để giải toán là điều hoàn toàn hợp lí và phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh Nếu biết nhìn nhận đúng đắn chúng ta cũng có thể nhận xét đợc nhanh kết quả của một số bài toán mà không cần phải giải nó, giả sử ta có các bài toán sau đây: Bài toán 13: Tìm các giá trị của tham số m để bất... trị của tham số m để bất phơng trình f(x) = -(2m2+1)x2+ 2mx +m - 2 > 0 thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (- ; 1) Với hai bài toán 13; 14 và cũng giống nh bài toán 2 đã nêu trong phần I, thì đây là những bài toán vô nghiệm (nghĩa là không tồn tại giá trị nào của tham số m thỏa mãn điều kiện của bài toán) Điều này đợc giải thích dựa trên đồ thị của nó nh sau: Nếu hệ số a > 0 thì đồ thị của hàm số bậc... trị nào của tham số m thỏa mãn đợc điều kiện bài toán Nếu hệ số a < 0 thì đồ thị của hàm số bậc hai chỉ có thể có một phần ứng với x (x1 ; x2) nằm trên trục Ox mà thôi Do đó với bài toán 14 thì cũng không thể tồn tại giá trị nào của tham số m thỏa mãn đợc điều kiện bài toán (Với x1 và x2 nói trong 2 trờng hợp trên là nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = 0) Với việc sử dụng đồ thị của một hàm số bậc hai... trờng hợp Với trờng hợp Giải: Từ nhận xét đó ta có lời giải của bài toán này nh sau: Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn 1 trong 4 trờng hợp sau: 12 TH1: a > 0 < 0 TH2: a > 0 0 af (1) > 0 s < 1 2 TH3: a > 0 0 af (3) > 0 s >3 2 TH4: a > 0 0 af (0) > 0 af (2) > 0 s 0 < 2 < 2 Kết hợp kết quả của 4 trờng hợp trên ta tìm đợc các giá trị của tham số m thỏa mãn điều... ứng điều kiện Giải: a > 0 0 là: af (1) > 0 s >1 2 a > 0 0 là: af (1) 0 s 1 2 Từ nhận xét đó ta có lời giải của bài toán này nh sau: Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn 1 trong 3 trờng hợp sau: TH1: TH2: TH3: a > 0 < 0 a > 0 0 af (1) > 0 s >1 2 a > 0 0 af (1) 0 s 1 2 Kết hợp kết quả của 3 trờng hợp trên ta tìm đợc các giá trị của tham số m thỏa mãn... s >5 2 a > 0 0 d) thì tơng ứng điều kiện là: af (1) > 0 af (4) > 0 s 1 < 2 < 4 Nếu m < 1 thì (về đồ thị) ta có duy nhất trờng hợp sau có thể xảy ra thỏa mãn điều kiện bài toán: [ ] 0 1 [ 4 ] 5 e) Với trờng hợp này thì tơng ứng điều kiện là: a < 0 af (0) < 0 af (5) < 0 Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn 1 trong 5 trờng hợp sau: TH1: a > 0 < 0 TH4: a > 0 0... hợp kết quả của 3 trờng hợp trên ta tìm đợc các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán Bài toán 11: Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình f(x) = x2 +m(m+1)x +6m - 3 > 0 thỏa mãn với mọi x thuộc tập [-1 ; 0] [2 ; 3] Chỉ dẫn: Vì hệ số a = 1 > 0 nên (về đồ thị) ta có các trờng hợp sau có thể xảy ra thỏa mãn điều kiện bài toán: 11 a) [ -1 ] 0 b) [ 2 ] 3 [ -1 c) [ -1 ] 0 [ 2 ] 3 ]... Kết hợp kết quả của 4 trờng hợp trên ta tìm đợc các giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán Bài toán 12: Tìm các giá trị của tham số m 1 để bất phơng trình f(x) = (m -1)x2 +2mx + 6m 2 - 3 > 0 thỏa mãn với mọi x thuộc tập [0 ; 1] [4 ; 5] Chỉ dẫn: Nếu m > 1 thì (về đồ thị) ta có các trờng hợp sau có thể xảy ra thỏa mãn điều kiện bài toán: a) [ 0 ] 1 b) [ 4 ] 5 [ 0 c) [ 0 ] 1 [ 4 ] 5 ] 1 [ 4 ]... thỏa mãn đợc điều kiện bài toán (Với x1 và x2 nói trong 2 trờng hợp trên là nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = 0) Với việc sử dụng đồ thị của một hàm số bậc hai đúng đắn, học sinh có thể áp dụng nó để giải quyết các dạng bài toán đã nêu ở trên và các bài toán tơng tự một cách hiệu quả./ 15 16 17 18 19 20 . có lời giải bài toán 5 nh sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện bài toán thì m thỏa mãn điều kiện sau: 0 . (1) 0 . (2) 0 a a f a f > Giải hệ. 0 thì hệ số a < 0, nên bài toán chỉ có một khả năng duy nhất xảy ra nh sau: 7 [ ] 0 1 Từ đó ta có lời giải của bài toán nh sau: Giải: Tham số m thỏa