§1 §2 §3 §4 §1 Hoạt đợng 1: Xét hai mệnh đề chứa biến: n n P(n): “ < n +100 ” Q(n): “  n ” với nN* a) Với n = 1,2,3,4,5 P(n), Q(n) đúng hay sai b) nN* P(n) , Q (n) đúng hay sai Trả lời: n P(n): “ < n + 100 ” Q(n): “ 2n > n ” a) n = : < 101 (Đ) a) n = : 2>1 (Đ) n = : < 102 (Đ) n=2: 4>2 (Đ) n = : 27 < 103 (Đ) n=3: 8>3 (Đ) n = : 81 < 104 (Đ) n=4: 16 > (Đ) n = : 243 < 105 (S) n=5: 32 > (Đ) b) nN* P(n) sai, n = P(5) sai b) Q(n) có đúng với nN* không vẫn chưa kết ḷn được, ta khơng thể thử trực tiếp với mọi n §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC I Phương pháp quy nạp Toán học: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên n = k  (gọi giả thiết quy nạp) Bước3 : Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + II Ví dụ áp dụng : Ví dụ 1: Giải: Chứng minh với nN* : + + + + (2n – 1) = n2 (1) 1) Khi n = 1: VT = 1, VP = 12 = Vậy (1) đúng 2) Đặt VT = Sn Giả sử với n = k  ta có: Sk = + + + + (2k –1) = k2 (gt quy nạp) 3) Ta chứng minh : Sk+1=1 + + + …+ (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k +1) Thật vậy: Sk+1= Sk+ [2(k + 1) – 1] = k2 + 2k + = ( k + 1)2 Vậy: (1) đúng với mọi nN* n n 5.5 4.4 = 12 Mệnh đề phụ thuộc vào số tự +nhiên = nN* = 22 3.3 2.2 1.1 + + = = 32 + + + = 16 = 42 + + + + = 25 = 52 + + + + + + (2n – 1) = n2 Ví dụđợng 2: 2: (Củng cố) Hoạt … … … … Chứng minh với nN* n3 – n chia hết cho Giải : Đặt An = n3 – n 1) Với n = 1, ta có : A1= 2) Giả sử với n = k  1, ta có: Ak = (k3 – k) (giả thiết quy nạp) 3) Ta chứng minh Ak+1 Thật vậy: Ak+1 = (k+1)3- (k+1) = k3 +3k2 +3k +1- k -1 = (k3- k) +3(k2+k) = Ak+ 3(k2+k) Ak 3(k2+k) nên Ak+1 Vậy: An = n3 – n chia hết cho với mọi nN* Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n  p ( p số tự nhiên ) : •Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p •Ở bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên n = k  p •Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 Dặn dò: 1/ Nhớ học 2/ Làm Hoạt động 2/81 BT 1, trang 82 SGK 3/ Xem : “ BẠN CÓ BIẾT ? ” ... 1) Với n = 1, ta có : A1= 2) Giả sử với n = k  1, ta có: Ak = (k3 – k) (giả thiết quy nạp) 3) Ta chứng minh Ak +1 Thật vậy: Ak +1 = (k +1) 3- (k +1) = k3 +3k2 +3k + 1- k -1 = (k 3- k) +3(k2+k)... Ta chứng minh : Sk +1= 1 + + + …+ (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k +1) Thật vậy: Sk +1= Sk+ [2(k + 1) – 1] = k2 + 2k + = ( k + 1) 2 Vậy: (1) đúng với mọi nN* n n 5.5 4.4 = 12 Mệnh đề phụ thuộc... P(n): “ < n + 10 0 ” Q(n): “ 2n > n ” a) n = : < 10 1 (Đ) a) n = : 2 >1 (Đ) n = : < 10 2 (Đ) n=2: 4>2 (Đ) n = : 27 < 10 3 (Đ) n=3: 8>3 (Đ) n = : 81 < 10 4 (Đ) n=4: 16 > (Đ) n = : 243 < 10 5 (S) n=5: