Tr ng THPT Triu Sn 2 GV: Nguyn Th Thc đề cơng ôn tập giải tích khối 12 Chơng ứng dụng của đạo hàm I. sự đồng biến nghịch biến của hàm số A. Tóm tắt sách giáo khoa: 1. Định lí Lagrăng: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [ ] b;a và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại một điểm ( ) b;ac sao cho: f(b) f(a) = f (c)(b a) hay ( ) ( ) ( ) ab afbf cf ' = . 2. Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). a) Nếu f (x) > 0 với mọi ( ) b;ax thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng đó. b) Nếu f (x) < 0 với mọi ( ) b;ax thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó. 3. Điểm tới hạn: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và ( ) b;ax 0 . Điểm x 0 đợc gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f (x) không xác định hoặc bằng 0. B. Ph ơng pháp giải toán : Để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) ta thực hiện các bớc: 1) Tìm điểm tới hạn. 2) Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn. 3) Từ đó suy ra chiều biến thiên của hàm số trong mỗi khoảng. C. Bài tập: Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: a) y = 2x 2 3x + 5; b) y = 4 + 3x x 2 ; c) y = x 4 2x 2 + 3; d) .2x8x3x 3 1 y 23 += Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: a) ;x3x 2 1 xx 4 1 y 234 += b) ; 1x 3x3x y 2 + ++ = c) 2 3 x4 x y = . Bài 3: Xác định m để hàm số ( ) 1x m1x1m2mx y 22 ++ = giảm trong từng khoảng xác định. Bài 4: Xác định m để hàm số sau luôn nghịch biến: y = (m 3)x (2m + 1)cosx. Bài 5: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a. ln(1 + x) < x (với x > 0); b. 2 x 1xcos 2 > (với x > 0). II. cực đại và cực tiểu A. Tóm tắt sách giáo khoa: 1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và điểm ( ) b;ax 0 . . x 0 là điểm cực đại của f f(x) < f(x 0 ); x ( ) V (x x 0 ) ( ) V là lân cận của x 0 f(x 0 ) gọi là giá trị cực đại của f. . x 0 là điểm cực tiểu của f f(x) > f(x 0 ); x ( ) V (x x 0 ) f(x 0 ) gọi là giá trị cực tiểu của f. 2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị: . Nếu f có đạo hàm tại x 0 và f đạt cực trị tại x 0 thì f(x 0 ) = 0. . ý nghĩa hình học: Nếu hàm số có đạo hàm và đạt cực trị tại x 0 thì tại điểm đó tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M(x 0 , f(x 0 )) cùng phơng với trục hoành. 3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: a/ Dấu hiệu 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b); ( ) b;ax 0 và f(x 0 ) = 0. Nếu khi x qua x 0 thì f (x) đổi dấu thì f đạt cực trị tại x 0 . b/ Dấu hiệu 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x 0 và f(x 0 ) = 0, 0)x(f 0 " thì x 0 là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa : 1) Nếu 0)x(f 0 " > thì x 0 là điểm cực tiểu. 2) Nếu 0)x(f 0 " < thì x 0 là điểm cực đại. Nói cách khác, 1) f(x 0 ) = 0, 0)x(f 0 " > x 0 là điểm cực tiểu. 2) f(x 0 ) = 0, 0)x(f 0 " < x 0 là điểm cực đại. B. Ph ơng pháp giải toán : 1. Tìm cực trị của hàm số: Thực hiện các bớc sau: . Tìm miền xác định của hàm số. . Tính đạo hàm y . . Tìm các điểm tới hạn và lập bảng biến thiên + Nếu y đổi dấu từ - sang + khi qua x 0 thì y đạt cực tiểu tại x 0 . + Nếu y đổi dấu từ + sang - khi qua x 0 thì y đạt cực đại tại x 0 . Lu ý: hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm có đạo hàm bằng 0 hoặc tại những điểm không tồn tại đạo hàm (điểm tới hạn của hàm số). 2. Điều kiện để hàm số có cực trị: y có cực trị hay không và bao nhiêu cực trị tuỳ thuộc vào y có nghiệm (hoặc không có y ) và tại các giá trị đó y có đổi dấu hay không khi x qua x 0 . Đặc biệt nếu y là tam thức bậc hai thì hàm số có cực trị y = 0 có hai nghiệm phân biệt. C. Bài tập: Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số sau: a) y = 2x 3 + 3x 2 36x - 10; b) y = xe -x ; c) y = x 4 + 2x 2 - 3; d) xln x y 2 = . Bài 2: Tuỳ theo a hãy tìm cực trị của hàm số: y x a b-x 0 + y - 0 + CT x a b-x 0 + y y + 0 - CĐ a) ;x x a y += b) y = x 3 2ax 2 + a 2 x . Bài 3: Cho hàm số ( ) .1x1mmmxx 3 1 y 223 +++= Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1. Bài 4: Xác định m để hàm số y = 2x 3 3(2m + 1)x 2 + 6m(m + 1)x + 1 đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 , x 2 . Chứng minh rằng khi đó x 2 - x 1 không phụ thuộc vào m. III. giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số A. T óm tắt sách giáo khoa : 1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D a. ( ) ( ) ( ) = = Mxf:Dx Dx,Mxf xfmaxM 0 D . b. ( ) ( ) ( ) = = mxf:Dx Dx,mxf xfminm 00 D . 2. Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: . Lập bảng biến thiên của hàm số trên D. . Trờng hợp đặc biệt D = [ ] b;a . Thực hiện các bớc sau: + Tìm các điểm tới hạn x 1 , x 2 , .,x n của f(x) trên đoạn [ ] b;a . + Tính f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ), .,f(x n ). + So sánh các số vừa tính. Trong các số đó, số lớn nhất là giá trị lớn nhất, số nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ ] b;a . B. Bài tập: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 2 x5x2y += . Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2xlg 1 xlgy 2 2 + += . Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau đây trong đoạn đã chỉ ra: a) y = 2x 3 + 3x 2 12x +1 trong [ ] 5;1 ; b) x45y = trong [ ] 1;1 . Bài 4: Dựng hình chữ nhật có diện tích lớn nhất biết rằng chu vi của nó không đổi và bằng 16cm. IV. tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị A. Tóm tắt sách giáo khoa: 1. Tính lồi lõm của đồ thị: Định nghĩa: (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) trong khoảng (a; b) và giả sử f có đạo hàm trong khoảng (a; b). Nếu tại mỗi điểm của (C) tiếp tuyến luôn ở phía trên (C) ta nói (C) là đồ thị lồi, nếu tiếp tuyến luôn ở phía dới (C) ta nói (C) là đồ thị lõm. Định lí: Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (a; b) có đồ thị là (C) . Nếu ( ) b;ax0)x(f " > thì (C) là đồ thị lõm trên (a; b). . Nếu ( ) b;ax0)x(f " < thì (C) là đồ thị lồi (a; b). 2. Điểm uốn: Điểm I(x 0 ; f(x 0 )) ngăn cách giữa phần lồi và lõm của (C) gọi là điểm uốn của (C). Nếu )x(f " đổi dấu khi x đi qua x 0 thì I(x 0 ; f(x 0 )) là điểm uốn của (C). B. Ph ơng pháp giải toán : 1. Tìm khoảng lồi,lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số. Phơng pháp: . Tìm miền xác định của hàm số y = f(x). . Tính đạo hàm cấp hai y . . Giải phơng trình y = 0 và xét dấu y. + Nếu y > 0 trên (a; b) thì đồ thị (C) lõm trên (a; b). + Nếu y < 0 trên (a; b) thì đồ thị (C) lồi trên (a; b). + Nếu y đổi dấu khi x qua x 0 thì M(x 0 ; f(x 0 )) là điểm uốn của đồ thị (C). Chú ý: Tại điểm uốn của đồ thị, tiếp tuyến xuyên qua đồ thị. 2. M(x 0 , y 0 ) là điểm uốn của đồ thị y = f(x) () () = = 0 " 00 0 " x.qua.x.khi.dau.doif yxf 0xf . C. Bài tập: Bài 1: Tìm các khoảng lồi lõm và điểm uốn của đồ thị các hàm số sau đây: a) y = x 4 6x 2 + 3; b) ; x 4xx y 2 + = c) ;x1y 2 += d) y = ln(1 + x 2 ). Bài 2: Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số y = 2x 3 6x 2 + 3 có hệ số góc nhỏ nhất. Bài 3: Xác định a, b để I(2, -6) là điểm uốn của đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + x 4. Bài 4: Chứng minh rằng đồ thị hàm số 1x x y 2 + = có ba điểm uốn nằm trên cùng một đờng thẳng. Bài 5: Xác định hoành độ các điểm uốn của đồ thị hàm số .ey xx 2 + = V. Tiệm cận A. Tóm tắt sách giáo khoa: 1. Tiệm cận đứng: Cho đồ thị (C) của hàm số y = f(x) x = x 0 là tiệm cận đứng của (C) ( ) = xflim 0 xx . 2. Tiệm cận ngang: y = y 0 là tiệm cận ngang của (C) ( ) 0 x yxflim = . 3. Tiệm cận xiên: y = ax + b (a 0) là tiệm cận xiên của (C) ( ) ( ) [ ] 0baxxflim x =+ . Công thức tính của tiệm cận xiên: ( ) ; x xf lima x = ( ) [ ] .axxflimb x = B. Bài tập: Bài 1: Tìm tiệm cận các hàm số sau đây: a) ; 3x 3x6x y 2 + = b) ; 3x2 3 1x5y + += c) ; 1x 1xx y 2 3 + = d) x xsin xy += . Bài 2: Chứng minh đồ thị hàm số 2 x1y += có hai tiệm cận xiên. Tìm các tiệm cận đó. Bài 3: Tuỳ theo m tính số tiệm cận của các đồ thị hàm số: a) ; 1x 1mxx y 2 ++ = b) ; mx4x 2x y 2 + + = c) ; 2x 2x6mx y 2 + + = d) 2x3x 1mx y 2 3 + = . Bài 4: Cho hàm số 2x cbxax y 2 ++ = . Xác định a, b, c biết hàm số có cực trị bằng 1 khi x = 1 và đờng tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đờng thẳng 2 x1 y = . VI. Khảo sát hàm số. Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số A. Tóm tắt sách giáo khoa: 1. Sơ đồ khảo sát hàm số: * Tìm tập xác định của hàm số. (Xét tính chẳn lẻ, tính tuần hoàn(nếu có)). * Khảo sát sự biến thiên của hàm số + Xét chiều biến thiên của hàm số . Tính đạo hàm . Tìm các điểm tới hạn . Xét dấu của đạo hàm . Suy ra chiều biến thiên của hàm số + Tính các cực trị + Tìm các giới hạn của hàm số . Khi x dần tới vô cực . Khi x dần tới bên trái và bên phải các giá trị của x tại đó hàm số không xác định . Tìm các tiệm cận (nếu có) + Lập bảng biến thiên (ghi tất cả các kết quả đã tìm đợc vào bảng biến thiên) + Xét tính lồi, lõm và tìm đỉêm uốn của đồ thị hàm số (đối với các hàm số trong ch- ơng trình) . Tính đạo hàm cấp 2 . Xét dấu của đạo hàm cấp 2 . Suy ra tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị * Vẽ đồ thị + Chính xác hoá đồ thị + Vẽ đồ thị 2. Hàm số bậc ba: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a 0 ) * Miền xác định: D = R * y = 3ax 2 + 2bx + c; y = 6ax + 2b a > 0 a < 0 y y ’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt y ’ = 0 cã nghiÖm kÐp y ’ = 0 v« nghiÖm 3. Hµm sè y = ax 4 + bx 2 + c (a )0 ≠ . MX§: D = R . y ’ = 4ax 3 + 2bx ; y ” = 12ax 2 + 2b a > 0 a < 0 y ’ = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt y ’ = 0 cã 1 nghiÖm 4 . Hµm sè dcx bax y + + = (c 0 ≠ , D = ad bc – 0 ≠ ) y” = ( ) 2 dcx bcad + − ; TiÖm cËn ®øng: ; c d x −= TiÖm cËn ngang: . c a y = D = ad – bc > 0 D = ad – bc < 0 0 y 0 x x xx y y 0 0 y O Ox x y y O O yO Oy y x x xO y y x O 5. Hàm số '' 2 bxa cbxax y + ++ = (aa )0 aa > 0 aa < 0 y = 0 có 2 nghiệm y = 0 vô nghiệm 6. Các bài toán liên hệ đến khảo sát hàm số: a. Vị trí tơng đối giữa hai đờng cong + Giả sử (C 1 ) và (C 2 ) là đồ thị của hàm số: y 1 = f(x) và y 2 = g(x) Phơng trình hoành độ giao đỉêm của (C 1 ) và (C 2 ) là: f(x) = g(x) (1) . Nếu (1) vô nghiệm thì (C 1 ) và (C 2 ) không có điểm chung. . Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì (C 1 ) và (C 2 ) cắt nhau tại n điểm phân biệt. . Nếu (1) có nghiệm kép x = x 0 thì (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc tại điểm có hoành độ x = x 0 Vậy muốn khảo sát vị trí tơng đối của (C1) và (C2): ta biện luận số nghiệmcủa(1). + Điều kiện tiếp xúc của (C1) và (C2): O O I I I I I I x x y y O y O O O y y x x x x (C1) tiếp xúc (C2) ( ) ( ) ( ) ( ) = = x'gx'f xgxf có nghiệm. Nghiệm x0 (nếu có) là hoành độ tiếp điểm. Trờng hợp đặc biệt: Điều kiện để đờng thẳng tiếp xúc với đờng cong: Cho (C): y = f(x) và đờng thẳng d: y = ax + b . d tiếp xúc (C) f(x) = ax +b (1) f(x) = a (2) có nghiệm. Khử a giữa (1) và (2) ta đợc phơng trình: f(x) = xf(x) + b (3). Nghiệm của (3) là hoành độ tiếp điểm của d và (C). (3) gọi là phơng trình hoành độ tiếp điểm của d và (C). b. Biện luận số nghiệm của phơng trình bằng đồ thị: Cho phơng trình f(x, m) = 0 (1) (m là tham số) . Đa (1) về dạng: f(x) = m (2) . Xét dấu hàm số (C): y 1 = f(x) có đồ thị (C) y 2 = m có đồ thị d d là đờng thẳng song song với trục tung tại tung độ y = m. Số nghiệm của phơng trình (1) chính là số giao điểm của (C) và d. c. Tìm tập hợp điểm: Giả sử phải tìm tập hợp (L) các điểm M thoả mãn điều kiện cho trớc. Từ các điều kiện cho trớc, tính toạ độ của điểm M: M ( ) ( ) = = mhy mgx ( m là tham số thoả mãn điều kiện cho trớc). . Khử m giữa x và y, tìm hệ thức x, y độc lập với m: F(x, y) = 0. . Kết hợp điều kiện tồn tại M suy ra phơng trình của (L). d. Họ đờng cong: Biện luận số đờng cong đi qua một điểm cho trớc. Cho họ đờng cong (C m ) có phơng trình: y = f(x, m), m là tham số. . Xét điểm A(x 0 , y 0 ). Ta có A ( ) ( ) m,xfyC 0m = (1). . Xem (1) là phơng trình theo ẩn m. * Nếu (1) vô nghiệm (theo m) thì không có đờng cong nào của họ (C m ) đi qua A. * Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đờng cong của họ (C m ) đi qua A. * Nếu (1) đợc nghiệm đúng với mọi m thì mọi đờng cong của họ (C m ) đi qua A. Khi đó A gọi là điểm cố định của họ (C m ). B. Bài tập: Bài 1: Cho hàm số y = x 3 4x 2 +4x. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tiếp tuyến của (C) tại gốc toạ độ cắt (C) ở điểm A. Tính toạ độ của điểm A. 3. Biện luận theo k vị trí tơng đối của (C) và đờng thẳng d: y = kx. Bài 2: Cho hàm số y = x(3 x) 2 . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và các đờng thẳng x = 2, x = 4. 3. Một đờng thẳng d đi qua gốc toạ độ O có hệ số góc m. Với giá trị nào của m thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt? Gọi ba điểm phân biệt lần lợt là O, A, B. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB khi m thay đổi. Bài 3: Cho hàm số y = x 3 3x 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: x 3 3x + m = 0. 3. Tính diện tích hình hữu hạn bị chắn về phía trên bởi đờng thẳng y = 2 và về phía dới bởi đồ thị (C). Bài 4: Cho hàm số y = x 3 3x 2 +3mx + 3m + 4 . 1. Xác định m để hàm số có cực trị. 2. Xác định m để (C m ) tơng ứng nhận điểm I(1, 2) làm điểm uốn. 3. Xác định m để (C m ) tơng ứng tiếp xúc với trục hoành. 4. Tìm điểm cố định của (C m ) khi m thay đổi. Bài 5: Cho hàm số y = 2x 2 x 4 . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: x 4 2x 2 + m = 0. 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng cong (C) và trục hoành. Bài 6: Cho hàm số y = x 4 + 2mx 2 + m +1. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = -1. 2. Gọi đồ thị của hàm số đã cho là (C m ). Với những giá trị nào của m thì (C m ) luôn luôn lồi. 3. Khi m = 1, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 2]. Bài 7: Cho hàm số y = 2 1 x 4 - ax 2 + b. với a và b là các tham số. 1. Tìm a và b để hàm số đạt cực trị bằng -2 khi x = 1. 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 1, b = 2 3 . 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. Bài 8: Cho hàm số ( ) 2mx 3mx1m y + +++ = , m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2. 2. Với những giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), các trục Ox, Oy và đờng thẳng x = 2. Bài 9: Cho hàm số 4x 4 )x(fy == , 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm A(2, 0) và có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao đỉêm của d và (C). Từ đó suy ra phơng trình tiếp tuyến của (C) xuất phát từ A. 3. Gọi (H) lầ phần hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và hai đờng thẳng x = 0, x = 2. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) một vòng xung quanh trục Ox. Bài 10: Cho hàm số 1x 2x y + = , 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. M là một điểm có hoành độ a -1, và thuộc đồ thị. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M. 3. Tính khoảng cách từ điểm I(-1, 1) đến tiếp tuyến đó. Xác định a để khoảng cách này là lớn nhất. Bài 11: Cho hàm số x 1x y 2 + = , 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) kẻ từ điểm M(-2, 0). Kiểm nghiệm rằng hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. 3. Tính diện tích tam giác chắn bởi trục Oy và hai tiếp tuyến trên. Bài 12: Cho hàm số 3x 15x2x y 2 + = , 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục toạ độ. 3. (C) cắt trục hoành tại hai điểm A và B. Viết phơng trình các tiếp tuyến của (C) tại hai điểm này, rôi tìm toạ độ giao ddieermcuar hai tiếp tuyến đó. Bài 13: Cho hàm số 1x 1 3xy += , 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), đờng tiệm cận xiên của (C) và hai đờng thẳng x = 2, x = ( > 2). 3. M(x 0 , y 0 ) là một điểm bất kì trên (C). Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M đến hai đờng tiệm cận của (C) bằng một hằng số (không phụ thuộc m). Bài 14: Cho hàm số mx 1mx)1m(mx y 422 ++ = , 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2. Chứng tỏ rằng với mọi m, hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu. 3. Tìm tập hợp điểm cực đại của đồ thị hàm số khi m thay đổi. . Tr ng THPT Triu Sn 2 GV: Nguyn Th Thc đề cơng ôn tập giải tích khối 12 Chơng ứng dụng của đạo hàm I. sự đồng biến nghịch biến của. 2x 3 + 3x 2 12x +1 trong [ ] 5;1 ; b) x45y = trong [ ] 1;1 . Bài 4: Dựng hình chữ nhật có diện tích lớn nhất biết rằng chu vi của nó không đổi và bằng