I Tìm ngun hàm định nghĩa tính chất 1/ Tìm nguyên hàm hàm số x f(x) = x2 – 3x + 2x + x2 x −1 x2 ( x − 1) x2 f(x) = f(x) = f(x) = f(x) = f(x) = f(x) = f(x) = − x x ( x −1) x x −1 f(x) = 3 ĐS F(x) = x + 3x + x + C ĐS F(x) = x − 33 x + C ĐS F(x) = x − x + ln x + C ĐS F(x) = x − x + C x sin x3 − 2x + + C x ĐS F(x) = x +3 x +4 x x 3x − + ln x + C 2x3 − +C ĐS F(x) = x ĐS F(x) = lnx + x + C ĐS F(x) = x ĐS F(x) = x – sinx + C 10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C 11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = 12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C sin x cos x cos x 14 f(x) = sin x cos x 13 f(x) = 15 f(x) = sin3x 17 f(x) = ex(ex – 1) 18 f(x) = e (2 + ĐS F(x) = tanx - cotx + C ĐS F(x) = - cotx – tanx + C − cos x + C ĐS F(x) = − cos x − cos x + C ĐS F(x) = e x − e x + C ĐS F(x) = 16 f(x) = 2sin3xcos2x x 1 x + sin x + C e −x ) cos x ĐS F(x) = 2ex + tanx + C 2a x 3x + +C ln a ln 3 x +1 e +C 19 f(x) = 2ax + 3x ĐS F(x) = 20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = 2/ Tìm hàm số f(x) biết f’(x) = 2x + f(1) = ĐS f(x) = x2 + x + f’(x) = – x2 f(2) = 7/3 ĐS f(x) = f’(x) = x −x ĐS f’(x) = x - + f(1) = x2 f(4) = f’(x) = 4x3 – 3x2 + f(-1) = ĐS x3 +1 x x x 40 − − f(x) = 3 x2 f(x) = + + x − x 2x − ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x + f’(x) = ax + b , f ' (1) = 0, f (1) = 4, f (−1) = x2  1) ∫  x + dx    x 2) ∫ ĐS f(x) = x − 3x − x  x +  dx 3) ∫    x 5) ∫( 4) ) 7) ∫  x +  dx    x 9) ∫ (ax ) dx ∫( )3 x + 23 x dx  x +  dx 6) ∫    x x + ( x - x + ) dx x2 + + x 8) ∫ x 10) + b dx + 4x dx x x4 + x−4 + ∫ x3 11) ∫ x ( x + a )( x + b ) dx 12) ∫ x e x dx 13) 14) dx 15) (2 x − e x ) dx ∫ ∫ x e +e -x 16) ∫ − 2dx x-1 dx 17) ∫ x +1 e x + e - x + 2dx ∫ 18) ∫ e 2-5x e +1 x dx - cos2xdx 19) ∫ 4sin x dx + cosx II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số Tính I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx cách đặt t = u(x)  Đặt t = u(x) ⇒ dt = u ' ( x)dx  I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx ∫ (3 − x) ∫(5 x −1) dx ∫ ∫( x +5) x dx ∫ dx 2x −1 ∫(2 x ∫ x +1.xdx x dx ∫ x +5 10 ∫ dx x (1 + x ) 13 ∫sin x cos xdx tgxdx x ∫ cos +1) xdx 11 ln x ∫ x dx 14 ∫ cos sin x dx x ∫ −2 x dx 3x + 2x3 12 ∫x.e x + dx dx 15 ∫cot gxdx 16 dx dx 17 ∫ sin x 21 ∫ e x dx 22 e −3 ∫x 25 18 ∫ cos x x − x dx 29 ∫cos x sin xdx ∫ 2x ∫x x + 1dx 19 ∫tgxdx e tgx ∫ cos x dx dx 26 ∫ 1+ x2 30 ∫x − x dx ∫x 25 23 ∫ 31 x dx 1−x ∫e ∫x 28 dx +1 32 ∫ x x x e x − x2 dx + x +1 x +1.dx x + 2dx xdx ∫ x2 + xdx ∫ ∫ x2 + ln x dx x ∫ e x dx ∫ ex + dx ∫ x ln x ∫e x2 xdx x dx x 3dx ∫ x4 + x5 + dx ∫ cos2 x (2x-3)dx cosxdx ∫ sin2 x x cos xdx x2 dx xdx ∫ x2 − 3x + ∫ + x2 ∫ x3 + ∫ tgxdx ∫ cot gxdx ∫ tg3xdx ∫ cot g(2x + 1)dx ∫ + cos2 x dx ( lnx ) m dx ∫e 3x2 − 5x + ∫ sin sin2x ∫ e2x + a ∫ (6x-5)dx x x ∫ e sin(e )dx + tgx e 2x dx ∫2 ∫e x sin x cos xdx − x3 x dx 3) 9) ∫ ∫ x 1+ x x3 x − 2x + dx xdx ∫ ∫ (e 8) dx ∫ 6) dx ∫ xlnx 5) ∫ x x + 1dx 7) 2x − 2) 4) 1) ∫ ( 3x + 1) dx ∫ x − 4x + 2x x + x −1 x )3 x+4 x − 2x + x +1 x 13) ∫cos xdx 14) ∫ 15) ∫ x 16) ∫ 19) ∫ tg xdx x dx dx dx 10) ∫ x −2 12) ∫ x 17) ∫ (2x +1) dx + dx 11) ∫ ( x + 1) 2x - 1dx dx 2 +1dx dx sin xcos x x dx (x − 4)2 18) ∫ sin x cos xdx 20) ∫ e x x dx dx dx 24 ∫ −x dx 27 ∫ x − dx 20 ∫ 21) ∫ e tgx cos x 22) dx 23) ∫ x 3 + x dx 24) ∫ 1− x ln 1+ x dx 1− x dx ∫ x ln x ln( ln x ) 25) ∫ x x - 1dx Phương pháp lấy nguyên hàm phần Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I ∫u ( x).v' ( x)dx =u ( x).v( x) −∫v( x).u ' ( x)dx Hay ∫udv = uv − ∫vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm hàm số sau: ∫ x sin xdx ∫ x cos xdx ∫( x +5) sin xdx ∫ ( x + x + 3) cos xdx ∫ x sin xdx ∫ x cos xdx ∫x.e x dx ∫ln xdx ∫ x ln xdx 13 x ∫ cos x 10 ∫ln 14 ∫ xtg xdx dx 17 ∫e x cos xdx 21 ∫ x lg xdx 11 ∫ xdx 18 ∫ x e x 15 ∫sin dx 22 ∫2 x ln(1 + x)dx ln xdx x 12 ∫e 16 ∫ln( x x dx 19 ∫ x ln(1 + x )dx 23 ∫ ln(1 + x) dx x2 24 ∫ x cos xdx 2) ∫ x e x dx 3) ∫ ln xdx 4) ∫ e x sin xdx 5) ∫ cos( ln x ) dx 6) ∫ xe   7) ∫  − dx ln x   ln x 1+ x 9) ∫ x ln  dx 1 − x  8) ∫ e 2x sin xdx dx NGUYÊN HÀM HÀM HỮU TỶ Tìm ngun hàm sau: Bµi1: TÝnh nguyên hàm sau đây: 1) 3) x2 x2 + x 2) dx x2 + x + dx ∫ 4) ∫ +1) dx 20 ∫2 x xdx 1) ∫ ( 2x + 1) cos xdx x x dx x2 + x + dx x2 − a2 dx 5) dx ∫ 6) 13) 15) x3 − ∫ 4x − x ∫ x7 (x +1 ) Bµi2: 1) Cho hµm sè y = ∫ x − 3x + dx dx x3 − 10) ∫ 12) ∫ 14) dx ∫ 8) x − 3x + x +1 dx (a ≠ 0) 7) ∫ x − a2 x+1 dx 9) ∫ x −1 x+1 dx 11) ∫ x ( x - 1) x2 + x + ∫ dx x + 4x + dx x + 2x - xdx x − 3x + dx 3x + x + x − 3x + a) X¸c định số A, B, C để: A B C + + y= ( x − 1) ( x 1) x + b) Tìm họ nguyên hàm hàm y Bài3: a) Xác định sè A, B cho 3x + ( x + 1) = A ( x + 1) + B ( x + 1) 3x + b) Dựa vào kết để tìm họ nguyên hµm cđa hµm sè : f(x) = ( x + 1) ( + 2x ) dx ∫ x (1+ x ) 2 ∫ ( + x ) dx ( x 1+ x ) dx ∫ 2x2 + NGUYÊN HÀM HÀM LƯỢNG GIÁC Tìm nguyên hàm sau: 1) dx 2) ∫ sin xdx ∫ sin x cos x x 4) ∫ cos x cos dx 6) ∫ 5) dx 7) ∫ cosx.cos2x.sin4xdx sin x + 2sinxcosx - cos x 8) ∫ tg xdx 9) dx ∫ cosx ∫ 4sinx + 2cosx + dx 3) ∫ dx cos x 10) ∫ dx ∫ + 9x2 dx sin x ∫ 11) cos2x cos x.sin x dx ∫ 12) dx 13) ∫ sin2x.cos3xdx sin x cos x 14) ∫ cos xdx 15) ∫ cos x sin 8xdx 16) ∫ cos xdx 17) ∫ sin xdx 18) ∫ tg xdx 19) ∫ sin x.cosxdx tgx 20) ∫ 23 ∫ cos2 x sin x dx cos x 21) ∫ cos sin x + dx cos2x 2 22 ∫ + cos x dx x +1 cos x + cos2x 24 ∫ tg xdx 26 ∫ cos3 x sin 2xdx 25 ∫ cot g xdx NGUN HÀM HÀM VƠ TỶ Tìm ngun hàm sau: dx 1) ∫ −x 4) ∫x 7) ∫ dx 2) ∫ x + x − dx 1- x dx x+1+3 x+1 10) ∫ − 4x − x dx 13 ∫ dx 16 ∫ 3-3x 5) ∫ 8) ∫ 11) ∫ 14 ∫ 3) x + dx x-1 x +1 dx x +1+ x +1 dx − 3x + x − dx − x2 ∫ dx x ( x + 2) 6) ∫ 9) x+1+2 ∫ ( x + 1) − x + dx − x dx 12 ∫ 15 ∫ x2 − x dx x dx − 25x dx − 9x TÍCH PHÂN I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: ∫ ( x + x + 1)dx ∫ x + 1dx e ∫ ( x + π 1 + + x )dx x x2 ∫ (2sin x + 3cosx + x)dx π 1 ∫ ( x + x x )dx x 10 ∫ (e + x + 1)dx ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx 2 11 ∫ ( x + x x + x )dx 3 ∫ x − dx 1 x ∫ (e + x )dx π ∫ (3sin x + 2cosx + ) dx x π 12 ∫ ( x − 1)( x + x + 1)dx 12 ∫ ( x + 1).dx −1 15 dx x+2 + x−2 ∫ e2 x.dx 13 ∫ x +2 -1 ( x + 1).dx 16 ∫ x + x ln x 7x − x − dx x ∫ 14 π cos3 x.dx 17 ∫ sin x π 18 π tgx dx cos2 x ∫ 21 4x + 8x e x − e− x dx 19 ∫ x e + e− x ln dx ∫ 1 24 ∫ (2 x + x + 1)dx −1 ∫ 22 2 e x dx ∫ 20 e x + e− x π dx ∫ + sin x 22 25 ∫ (2 x − x − )dx ∫ x( x − 3)dx 26 −2 27 .dx x e + e− x   + dx x  1 x ∫ ( x − 4)dx 28 ∫  −3 29 x − 2x ∫ x dx 1 e ∫ 30 e e2 16 dx x 31 ∫ x dx ∫ 32 1 x + − 7x dx x   33 ∫  x − dx    x  II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: π ∫ sin xcos xdx π π π 2 ∫ sin xcos xdx π π π 1 ∫x x + 1dx ∫ (1 + 3x ) 2 ∫ + 4sin xcosxdx ∫x 1 − x dx 10 ∫ x − x dx ∫x ∫x 1 dx 13 ∫ x + 2x + −1 π dx sin x 16 ∫ e cosxdx π x + 1dx 0 dx x3 + 1 dx 12 ∫ + x2 15 π x ∫ sin x ∫ + 3cosx dx ∫ cot gxdx tgxdx ∫ π 11 14 ∫ π dx x3 + 1 dx x2 + cosx 17 ∫ e sin xdx π x 18 ∫ e +2 π 19 ∫ sin xcos xdx xdx π π cosx 21 ∫ e sin xdx π π 24 ∫ sin xcos xdx x 22 ∫ e 25 π 28 π sin x ∫ ∫x 29 x + 1dx 1 + 4sin xcosxdx ∫x − x dx 31 ∫x x + 1dx x2 ∫ x − x dx e e sin(ln x) dx 36 ∫ x e2 ∫ ∫ 1 + 3ln x ln x dx x e 2ln x +1 dx 38 ∫ x e ∫ 1+ 41 1 43 ∫ x x + 1dx dx x +1 − x 46 sin(ln x) dx 47 ∫ x e2 ∫ e 48 e x +1 dx x ∫ 1 + 3ln x ln x dx x e 2ln x +1 dx 49 ∫ x e e2 + ln x dx 50 ∫ x ln x e dx 51 ∫ cos (1 + ln x) e 52 ) 54 ∫ 4x + 11 62 ∫ x2 + 5x + 6dx − x dx 55 ∫e x +3 x dx 2x + dx ∫ 58 ∫e −x dx − 60 ∫ − x dx 57 x 59 ∫ (2x + 1)3 dx 0 dx 56 + x2 ∫ ∫ x x + 5dx sin x + cos xdx + ln x dx x ∫ 46 x dx x −1 dx x +1 + x ∫ 44 dx + ln x dx x ∫ 35 e ∫( ∫ dx dx 40 ∫ cos (1 + ln x) e x dx 2x +1 π x3 + 1 37 e e2 + ln x dx 39 ∫ x ln x e 34 x3 + ∫x ∫ 32 0 53 26 tgxdx ∫ 45 π 0 42 π π π ∫ + 3cosx dx π sin x 20 ∫ e cosxdx 23 ∫ sin xcos xdx xdx 27 ∫ cot gxdx 33 +2 π π 30 π 2x − 63 ∫ x2 − 4x + 4dx 61 ∫ x − xdx x3 64 ∫ x2 + 2x + 1dx π 65 ∫ (sin6 x + cos6 x)dx 0 71 ∫ (cos x − sin x)dx 74 + cos x cos x dx ∫ − sin x 77 ∫ cos3 x sin xdx 70 ∫ ex + 1dx −2 π ∫ cos sin 3x dx cos x + 73 ∫ 2x + dx x + 2x − 79 xdx 81 ∫ sin 2x(1 + sin x)3dx 82 e π + ln x dx x ∫ cos x 87 ∫ dx − 5sin x + sin x 0 π π 89 ∫ cos x + sin x dx 90 ∫ + sin x 0 π 95 ∫ sin x − cos x π π + sin x dx 96 ∫ 98 ∫ (e sin x + cos x) cos xdx cos x + sin x dx 88 tg x dx cos 2x ∫ 94 ∫ (1 − tg x) dx + cos x π 97 ∫ sin x cos x dx + cos x dx x x π sin x + sin x + x −1 99 ∫ dx x −x −3 ln e + 2e π dx 91 ∫ ln(tgx ) dx 93 ∫ π sin x 92 ∫ sin x dx ( + sin x ) ∫ cos dx ln sin x π π π x + ln x dx 85 ∫ x π 6 86 ∫ x (1 − x ) dx sin 4x ∫ + cos e 84 ∫ dx cos x π π 80 ∫ x − x dx 76 1 ∫ 75 78 ∫ π 72 ∫ cos x dx + sin x π π e cos x π dx x + 2x + 83 67 ∫ + sin 2xdx π −1 66 ∫ 4sin x dx + sin 2x + cos 2x dx 69 ∫ sin x + cos x π 68 ∫ cos 2xdx ∫ π π π π dx 100 + ln x ln x dx x π 101 ∫ − sin x dx + sin x 104 ∫ − x2 102 dx ∫ − x dx 1 105 ∫ x2 − x + 1dx 1 103 ∫ + x dx x 106 ∫ x + x2 + dx π 107 ∫ dx + cos x + sin x 110 ∫x 2 113 116 ∫ π ∫ 119 ∫ 122 x −1 x x2 −1 + cos2 x 114 x x −1 dx x −5 ∫ π + x dx ∫ 120 ∫ x x2 + ∫ ex + (1 + x )5 dx 1+ x4 115 ∫ + x dx dx + + 3x 118 ∫ dx ∫ 121 dx 124 x3 ∫ + x2 dx x +1 dx 3x + dx 126 ∫ 1− x ∫ dx 117 ∫ −1 x + 2x + 2 112 123 125 ∫ x x + 1dx cos x dx + cos x ln2 + 3x dx x2 dx 2 109 ∫ x − x dx dx − x2 dx cos x ∫x ∫ 101 dx x2 108 2 x x2 + II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b Cơng thức tích phân phần : ∫ u( x)v'(x)dx = u ( x)v( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx b a a Tích phân các hàm số dễ phát hiê ̣n u và dv sin ax    @ Da ̣ng ∫ f ( x) cosax dx α e ax    u = f ( x) du = f '( x)dx   sin ax  sin ax       ⇒    dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx   e ax  eax        β β @ Da ̣ng 2: ∫ f ( x) ln(ax)dx α dx  u = ln(ax)  du = x ⇒ Đă ̣t   dv = f ( x)dx v = f ( x)dx  ∫ β ax sin ax  @ Da ̣ng 3: ∫ e  dx cosax  α Ví du ̣ 1: tính các tích phân sau u = x e x x 2e x  dx đă ̣t  a/ ∫ dx ( x + 1)  dv = ( x + 1)  u = x x8 dx  b/ ∫ x 3dx đă ̣t  ( x − 1)  dv = ( x − 1)3  1 1 dx + x2 − x2 dx x dx = dx = ∫ − = I1 − I c/ ∫ (1 + x )2 ∫ (1 + x ) + x ∫ (1 + x ) 0 0 dx Tinh I1 = ∫ bằ ng phương pháp đổ i biế n số ́ + x2 x dx Tính I2 = ∫ bằ ng phương pháp từng phầ n : đă ̣t (1 + x )2 u = x  x  dv = dx  (1 + x )  Bài tập e ln x ∫ dx x 1 e ∫ x ln xdx ∫x ln xdx + 1)dx e e ∫ x ln( x ∫ x ln xdx π ( x + cosx)s inxdx ∫ e 10 ( x + ) ln xdx ∫ x 13 ∫ ln x dx x5 11 ∫ ln( x + x)dx 12 π 14 ∫ ∫ e cos xdx x ∫ x tan xdx π 1 x cos xdx 15 ∫ xe x dx 0 π 16 π π π 17 ∫ ( x −1) cos xdx 18 ∫ (2 − x) sin xdx 0 π 19 e ∫ x sin xdx 20 ∫ (1 − x ) ln x.dx 1 22 23 π x ∫ ( x +1).e dx 24 26 ∫ ( x + x ) sin x.dx π 28 ∫ x cos2 xdx π 31 ∫ x + sin xdx cos2 x ln(1 + x) dx 34 ∫ x2 2 27 29 ∫ e sin xdx 30 ∫ sin xdx 0 32 ∫ x sin x cos xdx π 33 ∫ x(2 cos2 x − 1)dx 35 ∫ (x + 1) e dx ln x dx x5 ∫ π2 x π ∫ x cos x.dx π ∫ x cos x.dx 1 π 25 ∫ x ln x.dx 2 ∫ x ln(3 + x ).dx 21 2x e 36 ∫ (x ln x) dx e π 37 ∫ cos x.ln(1 + cos x)dx 2x 40 ∫ ( x − 2)e dx π 43 ∫ ( x + cos x) sin xdx III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: x −1 dx ∫ x − 3x + 2 −1 ∫ 39 ∫ xtg xdx e e 41 ∫ x ln(1 + x ) dx 42 ∫ dx 44 ∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx 45 ∫ ln( x − x )dx x b ln x ∫ ( x + a)( x + b) dx a dx x + 2x + x + x +1 dx ∫ x +1 1− x dx ∫ x (1 + x 2008 ) 2008 x n −3 dx 10 ∫ n (1 + x ) dx 13 ∫ 4+x 2 ∫x ln x 38 ∫ ( x + 1)2 dx 1 x2 dx ∫ (3 x +1) x4 dx ∫ ( x −1) 2 x2 − dx 11 ∫ x ( x + x + 2) 1 dx ( x + 3) 2 2x − 6x + 9x + dx ∫ x − 3x + −1 ∫ ( x + 2) 12 ∫ x(1 + x ) dx x dx 14 ∫ 1+ x 15 dx − 2x + x dx 16 ∫ (1 + x ) dx 17 ∫ 2 x − 2x + x 19 1− x2 ∫ + x dx 20 ∫1 + x 3 3x + x + dx 18 ∫ x − 3x + dx 21 x6 + x5 + x4 + dx ∫ x6 +1 22 − x dx ∫ 1+ x2 25 ∫ dx x + x +1  x −2  − x + 1dx x −1  −1  28 ∫  23 + x dx ∫ + x6 26 x +2 ∫ x −1 dx 2 x −1   29 ∫  x + − x −1dx  0 24 ∫ x + 11 dx x2 + 5x +  2x −  − dx x +1  0 27 ∫  30 x + 2x + ∫ x + dx 0  x2 + x +1  31 ∫  x − − x + 1dx    −1 1  2x + x −  dx 32 ∫  x + − x + 1dx 33 ∫    0 x + 4x + 3 34 x + x +1 ∫ x + dx 35 ∫ 2x + x + 2x − 2x − x − dx IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: π ∫ sin x cos xdx π ∫ (sin π ∫ sin x cos xdx 3 x + cos x )dx π ∫ sin x cos xdx π π 2 cos x (sin x + cos x) dx ∫ 0 dx ∫ π sin x π (2 sin x − sin x cos x − cos x)dx ∫ π ∫ (sin 10 x + cos 10 x − cos x sin x )dx π π 2 dx ∫ − cos x 10 π dx 12 ∫ π sin x cos x π 13 cos x ∫ + cos x dx π ∫π − cos x 15 ∫ − cos x dx sin x − cos x + dx sin x + cos x + 18 xdx 24 26 sin x + cos x + ∫ sin x + cos x + dx 27 19 π 4 sin x 29 ∫ + cos x dx dx 32 ∫ π sin x − sin x ∫ + tgx dx + sin x dx 22 π 33 sin x dx x ∫ cos \ π 25 ∫ 28 xdx dx cos x cos( x + π π ) dx ∫ sin x + cos x + 13 π 30 + cos x + sin x dx ∫ sin x + cos x ∫ cot g π π π 2 ∫ tg xdx ∫ cos xdx ∫ π (1 − cos x ) π 0 ∫ sin x + cos x + dx 2π sin x ∫ + sin x dx π ∫ tg π π π π π 16 π 21 sin x ∫ + cos x dx dx x + sin x cos x − cos x π 23 π 20 ∫ sin 11 π cos x 14 ∫ + cos x dx 17 π ∫ + sin x dx π 31 sin x ∫ + cos x dx π 34 sin x(1 + sin x) dx ∫ π 3 π 35 ∫ cos x sin x dx 36 ∫ π sin x − sin x dx sin xtgx 37 π 38 dx ∫ sin x + ∫ 42 π 42 sin xdx x ∫ + cos π π π 40 π π 41 π 39 ∫ cos x sin xdx dx ∫ sin x +1 dx ∫ + sin x + cos x π π dx ∫ sin x cos x π 43 ∫ π 6 dx sin x sin( x + π ) π sin xdx 45 ∫ π cos x dx sin x cos( x + π π ) 46 π ∫ tgxtg ( x + )dx π 47 π sin xdx ∫ (sin x + cos x) 48 − 2 ∫ x cos xdx 51 0 57 55 ∫ cos(ln x)dx 58 sin xdx ∫e 2x ∫ x sin x cos xdx 61 0 π dx xdx ∫ (2 x −1) cos 60 x π xdx x dx + sin x π π ∫ xtg ∫ + cos x e sin xdx 54 ∫ sin x − sin x + 6 2 π 52 x+ ∫ sin x.e dx ln(sin x) dx 56 ∫ cos x π ∫ sin π sin x sin x dx 53 ∫ π tgx + cot g x π 2 π 59 49 π π 50 ∫ π π sin x (2 + sin x) 0 π ∫e sin x sin x cos xdx π 62 ∫ ln(1 + tgx )dx 63 ∫ sin x sin xdx − π dx ∫ (sin x + cos x) π 65 π 64 π π 66 ∫ (1 − sin x) cos x ∫ (1 + sin x)(2 − cos cos x(sin x + cos x) dx x) dx π π 4sin x dx + cos x ∫ 67 π ∫ cos x cos 3xdx 68 69 π − ∫ sin x sin xdx π − 2 π π 4 70 ∫ sin x cos xdx 71 ∫ sin xdx 0 V TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: b ∫ R( x, f ( x))dx Trong R(x, f(x)) có dạng: a +) R(x, +) R(x, a2 x2 n ) Đặt x = ax + b cx + d ) Đặt t = +) R(x, f(x)) = n (ax + b) αx + βx + γ αx + βx +γ a2 + x2 +) R(x, x2 a2 ) Đặt x = n n , đặt t = , t∈ [0; π ] \ { } cos x ) ∫ dx − x + 12 x + 2 ∫ ∫x 1 11 ∫ x + 2008 x +1 x +1 dx dx (1 + x ) ∫ ∫ + x dx (1 − x ) dx 10 2 ∫ 12 2 ∫ 13 dx ∫ 2 ∫ x + x dx x +1 x + 2008dx 1 dx ∫x x x −1 dx ∫ (2 x + 3) dx ∫ x x2 + π x ; x ; ; i x Gäi k = BCNH(n1; n2; ; ni) Đặt x = tk ax + b , t ∈[− ; ] a ) Đặt x = n1 Với ( αx + βx + γ )’ = k(ax+b) a tgt +) R(x, ( a cos t ax + b cx + d Khi đặt t = +) R hc x = a sin t 14 2 ∫ 1+ x dx 1− x dx (1 − x ) x dx 1− x2 15 π cos xdx ∫ π ∫ ∫ 25 π ∫ 20 1+ x xdx 2x +1 24 ∫ x 15 + x dx 26 ln ∫1+ x + 31 e 12 x − x − 8dx 1+ x 32 dx 34 −1 35 cos x + 3tgx cos x dx cos x ∫ 37 π cos xdx ∫ 39 ∫ x +2 x +3 ln x ∫ ln x ln x + ln (e x + 1) π ∫ dx e x dx 36 ∫ 38 + cos x x − x + x dx ln 2x ∫ x(e + x + 1)dx π ∫ 0 33 + ln x ln x dx x 30 ∫ e x +1 ∫ e x dx ∫ 28 x +1 x5 + x3 e x +1 dx ∫ ln dx ∫ x +1 −1 29 ∫x+ x dx − cos x sin x cos xdx 10 − x dx 22 27 2x + + ∫x dx ∫ + cos x x dx 23 18 ∫ sin x + sin x dx + cos x 21 π cos xdx ∫ 19 16 ∫ sin x cos x − cos x dx + cos x 17 π cos xdx + cos x 2a 40 dx ∫ x + a dx VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: Bµi toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục [-a; a], ®ã: a ∫ −a a f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (−x)]dx VÝ dơ: +) Cho f(x) liªn tơc trªn [- 3π 3π ; 2 3π TÝnh: ∫π f ( x)dx − +) TÝnh x + sin x dx ∫ −1 + x ] tháa m·n f(x) + f(-x) = − cos x , a ∫ f ( x)dx = Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục lẻ [-a, a], đó: a ln( x + VÝ dô: TÝnh: + x )dx −1 π ∫π cos x ln( x + + x )dx a Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục chẵn [-a, a], đó: f ( x)dx = −a a ∫ f ( x)dx VÝ dô: TÝnh ∫x π −1 x + cos x dx − sin x ∫ x dx x +1 a Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn [-a, a], đó: (1 b>0, a) x +1 ∫1 + VÝ dô: TÝnh: π 2 x Bài toán 4: Nếu y = f(x) liªn tơc trªn [0; VÝ dơ: TÝnh sin x sin x cos x dx 1+ ex ∫π dx π ], th× π π ∫ f (sin x) = ∫ f (cos x)dx 0 π π sin 2009 x ∫ sin 2009 x + cos 2009 x dx sin x sin x + cos x Bài toán 5: Cho f(x) xác định [-1; 1], đó: ∫ xf (sin x)dx = π π π x ∫ + sin x dx VÝ dơ: TÝnh Bµi to¸n 6: ∫ a b f ( a + b − x )dx = ∫ f ( x )dx VÝ dô: TÝnh ∫ f (sin x)dx x sin x ⇒ b ∫ b f (b − x ) dx = ∫ f ( x ) dx π x sin x ∫ + cos π a π dx ∫ + cos x dx b a f ( x) ∫a1 + b x dx = ∫ f ( x)dx − dx x ∫ sin x ln(1 + tgx)dx Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục R tuần hoàn với chu kì T thì: a +T a T f ( x )dx = ∫ f ( x )dx VÝ dô: TÝnh ⇒ 2008π ∫ cos x dx Các tập áp dông: 1 ∫ −1 1− x dx 1+ 2x π ∫π − x7 − x5 + x3 − x + dx cos x nT ∫ T f ( x )dx = n ∫ f ( x ) dx ∫ (1 + e −1 x dx )(1 + x ) 1− x ∫1cos x ln(1 + x )dx − x + cos x dx x ∫π − sin − 2π ∫ sin(sin x + nx)dx π ∫ π −π sin x + cos x tga dx cot ga e e xdx ∫1+ x2 + ∫ dx =1 x(1 + x ) (tga>0) VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 2 ∫ x −1dx −3 ∫x − x + dx π ∫ x x − m dx − π ∫ π ∫ sin x dx π − sin x dx − π ∫ π tg x + cot g x − 2dx 3π 2π ∫ sin x dx ∫ π + cos x dx ∫ ( x + − x − )dx 10 ∫2 x − dx −2 π 11 ∫ cos x cos x − cos x dx 12 π − 13 ∫ ( x + − x − )dx −3 14 ∫ π x 15 ∫ − 4dx 2π 17 ∫ + sin xdx − 3x + 2dx −1 ∫x 16 ∫ x2 + − 2dx x2 + cos 2xdx 2 18 ∫ x − x dx VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = π Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x =4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = π Bµi 1: Cho (p) : y = x2+ vµ đờng thẳng (d): y = mx + Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn hai đờng có diện tích nhỏ nhẩt Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn (c) 0x có diện tích phía 0x phía dới 0x x x3 Bài 3: Xác định tham số m cho y = mx chia hình phẳng giới h¹n bëi y =  o ≤ x ≤ y=  Cã hai phÇn diƯn tÝch b»ng Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới x2+y2 = thành hai phần.Tính diện tích phần x + 2ax + 3a  y = 1+ a4 Bµi 5: Cho a > TÝnh diƯn tích hình phẳng giới hạn Tìm a để diÖn  y = a − ax  + a tÝch lín nhÊt Bµi 6: Tính diện tích hình phẳng sau:  x2 y = −  1) (H1):  y = x   4) 7) y = x  (H4):  x = −y  ln x  y=  x   (H7): y = x = e  x =   y = x − 4x +  2) (H2) :  y = x +  −3x −  y = x −  3) (H3): y = x =   y = x  5) (H5):  y = − x  y2 + x − = 6) (H6):  x + y − =  y = x − 2x  8) (H8) :   y = − x + 4x  3  y = x + x − 2 9) (H9):  y = x   y − 2y + x = 10) (H10):  x + y = 13)  y = 2x +   y = x−  (C ) : y = x  11)  (d ) : y = − x  (Ox)   (C ) : y = e x  12)  (d ) : y =  (∆ ) : x =   y = − − x   x + y = y= x  15)  x + y − = y=  14)  x2  y = ln x, y =  y =  y = 2x  16  17  18)  y=  x = e , x = e  y = x, y = 0, y =  + x 1  y = ;y =  sin x cos x  19  20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tun cđa (p) ®i qua M(5/6,6)  x = π ;x = π    y = x − 4x +  21)  y = − x +  y = x − 11   y = − x + 6x −  22)  y = − x + x −  y = 3x − 15   y = / x − 1/ 24)   y = / x /+ 25) y= x + 27)   y = 4− x  y = x − 2x +  28)  y = x + x + y=   y = x3  30)  y =  x = − 2; x =   y = x + 2x 33)   y = x+ 2 y = x  y =  23)  x y =  x = e  y = x   y = x  26)  y = − 3x − / x / +  y=  y = / x − / 29)   y = − x +  y = sin x − cos x  y = x + 3+   31)  y = 32)  x  x = 0; x = π  y =   y = 2x − 2x  34)  y = x + 3x −  x = 0; x =  35)  y = / x − 5x + /  y=  y = 2x  36)  y = x − x − y=   y = / x − 5x + / 38)   y = x+  y = / x − 3x + / 37)  y=  y = / x − 3x + / 39)   y = − x  x2 y= 42)  x −x  x = 0; x =   y = eÏ  −x 41)  y = e x =   y = 2x  44)  y = x − x − y=   y = ( x + 1) 47)   x = sin π y  y = sin/ x / 43)   y = / x /− π  y = 2x  45)  x + y + = y=   y = x (a − x ) 46)  a   y = / x − 1/ 48)  x= 2  x2  y = 4−  34)  x2 y=    x = / y − 1/ 49)  x= 2  x = ( y + 1)  32)  y = sin x 33) x=     x = 0;  x =   x ;y = y = 1− x4  y=  y = x  35)  y = 36)   x + y = 16  x = 0; y = − x  x−  ax = y 40)   ay = x 40)  y = / x − 4x + /  y= (a>0)  y =   37)  y =   y =  y= x  41)  y = sin x + x 42) 0 ≤ x ≤ π  x2 x2 27 27 x  y = (4 − x)   y = x 38)   y = / log x /  39)  y =   x = , x = 10  10  y = x 43) x2/25+y2/9 = vµ hai tiÕp   27 y = 8( x − 1) tuyÕn ®i qua A(0;15/4) 44) Cho (p): y = x2 điểm A(2;5) đờng thẳng (d) qua A có hệ số góc k Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn (p) vµ (d) nhá nhÊt 45)  y = x − 2x + 4x −  y= TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY Cơng thức: O y x=a a x=b (C ) : y = f ( x ) y=0 b b x y b x=0 y=b (C ) : x = f ( y ) y=a a x O b V = π ∫ [ f ( y )] dy V = π ∫ [ f ( x )] dx a a Bài 1: Cho miền D giới hạn hai đường : x2 + x - = ; x + y - = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn đường : y = x; y = − x; y = Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường : y = (x − 2)2 y = Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy Bài 4: Cho miền D giới hạn hai đường : y = − x ; y = x + Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox x2 Bài 5: Cho miền D giới hạn đường : y = ; y = x +1 Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 6: Cho miền D giới hạn đường y = 2x2 y = 2x + Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 7: Cho miền D giới hạn đường y = y2 = 4x y = x Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox x Bài 8: Cho miền D giới hạn đường y = x e ; y = ; x= ; x = Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 9: Cho miền D giới hạn đường y = xlnx ; y = ; x = ; x = e Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài10: Cho miền D giới hạn đường y = x ln(1 + x ) ; y = ; x = Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox  y = ( x − 2) 1)  y=  y = x , y = 4x 2)  y= quay quanh trôc a) 0x; b) 0y quay quanh trôc a) 0x; b) 0y  y=  3)  x +1  y = 0, x = 0, x = quay quanh trôc a) 0x; b) 0y  y = 2x − x 4)  y= quay quanh trôc a) 0x; b) 0y  y = x ln x  5)  y =  x = 1; x = e  quay quanh trôc a) 0x;  y = x ( x > 0)  6) (D)  y = − 3x + 10 quay quanh trôc a) 0x; y=1  7)  y = x   y = x ( H) n»m ngoµi y = x2 quay quanh trục a) 0x; 8) Miền hình tròn (x – 4)2 + y2 = quay quanh trôc a) 0x; b) 0y 9) MiÒn (E):  y = xe Ï  10)  y =  x = 1, ;0 ≤ x ≤  x2 y2 + =1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y quay quanh trôc 0x;   y = cos x + sin x  11)  y = quay quanh trôc 0x;  π x = ;x = π   y = x2 12)   y = 10 − 3x quay quanh trôc 0x; 13) Hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = quay quanh trôc a) 0x; b) 0y    14)  y =  x−  x = 0; x =  y = x−1  15)  y =  x = 0; y =  quay quanh trôc 0x; quay quanh trôc a) 0x; b) 0y ... lấy nguyên hàm phần Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I ∫u ( x).v'' ( x)dx =u ( x).v( x) −∫v( x).u '' ( x)dx Hay ∫udv = uv − ∫vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm hàm... ln x   ln x 1+ x 9) ∫ x ln  dx 1 − x  8) ∫ e 2x sin xdx dx NGUYÊN HÀM HÀM HỮU TỶ Tìm nguyên hàm sau: Bài1: Tính nguyên hàm sau đây: 1) 3) ∫ x2 x2 + x 2) dx x2 + x + dx ∫ 4) ∫ +1) dx 20... ( x − 1) ( x − 1) x + b) Tìm họ nguyên hàm hàm y Bài3: a) Xác định số A, B cho 3x + ( x + 1) = A ( x + 1) + B ( x + 1) 3x + b) Dựa vào kết để tìm họ nguyên hàm hàm số : f(x) = ( x + 1) ( + 2x