TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GỊN Bài giảng QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH GV Thái Trần Phương Thảo 1/2015 MỤC LỤC Chương 1: Bài tốn quy hoạch tuyến tính 1.1 Vấn đề thực tiễn dẫn đến tốn quy hoạch tuyến tính 1.2 Các dạng tốn quy hoạch tuyến tính 1.3 Phương pháp hình học giải tốn quy hoạch tuyến tính .11 1.4 Phương pháp đơn hình 15 1.5 Hiện tượng suy biến 28 Chương 2: Bài tốn đối ngẫu 2.1 Định nghĩa tốn đối ngẫu .39 2.2 Các định lý .42 2.3 Một số ứng dụng tốn đối ngẫu 43 Chương 3: Bài tốn vận tải 3.1 Phát biểu tốn vận tải 52 3.2 Một số tính chất bảng .54 3.3 Các phương pháp phân phối thuật tốn vị 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính CHƢƠNG 1: BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 Vấn đề thực tiễn dẫn đến lập mơ hình tốn tối ƣu tuyến tính Ví dụ Bài Tốn lập kế hoạch sản xuất Một xí nghiệp gỗ dự định sản xuất bàn, ghế tủ Biết định mức tiêu hao yếu tố sản xuất làm sản phẩm cho bảng sau: Yếu tố sản xuất Sản phẩm Bàn Ghế Tủ Gỗ loại 0.5 Gỗ loại 2 0.5 3.5 Ngồi biết giá bán sản phẩm bàn, ghế, tủ 4; triệu đồng Xí nghiệp có 100 tạ gỗ loại 1, 120 tạ gỗ loại Hỏi xí nghiệp cần sản xuất sản phẩm bàn, ghế tủ cho thỏa mãn u cầu: gỗ loại khơng vượt q 100 tạ, gỗ loại khơng vượt q 120 tạ đồng thời tổng doanh thu lớn Giải Gọi x1 , x2 , x3 số sản phẩm bàn, ghế tủ cần sản xuất  Điều kiện biến gọi (số sản phẩm phải số thực khơng âm): x1  0, x2  0, x3   Điều kiện gỗ loại khơng vượt q 100 tạ: x1  0.5 x2 3 x3 100  Điều kiện gỗ loại khơng vượt q 120 tạ: x1  0.5 x2 3.5 x3 120  Tổng doanh thu thu được: z  x1  x2  x3  max Vậy ta thiết lập mơ hình tốn sau: tìm x1 , x2 , x3 cho max z  x1  x2  x3 2 x1  0.5 x2  3x3  100 đồng thời thỏa điều kiện sau  2 x1  0.5 x2  3.5 x3  120  x  0, x  0, x   Ví dụ Bài tốn phần thức ăn Biết u cầu chất dinh dưỡng Protit, Lipit ngày loại gia súc Tỉ lệ 0 lượng chất dinh dưỡng có loại thức ăn A,B,C giá thức ăn cho bảng sau: theo khối Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Chất dinh Khối lƣợng Khối lƣợng tối dƣỡng tối thiểu(g) đa(g) Protit 40 Lipit 20 Tỉ lệ % loại thức ăn A B C Khơng hạn chế 60 50 30 40 30 40 20 32 40 25 Giá(đồng/g) Ngồi ra, u cầu chế biến thức ăn tỉ lệ loại thức ăn A B phải 2:3 Hãy lập mơ hình tìm khối lượng thức ăn cần mua ngày cho tổng chi phí nhỏ Giải Gọi x1 , x2 , x3 số g thức ăn loại A,B,C cần mua ngày  Điều kiện biến gọi (số g thức ăn phải số thực khơng âm): x1  0, x2  0, x3   Điều kiện chất dinh dưỡng  - Protit: 0.6 x1  0.5 x2  0.3x3  40 - 0.3 x1  0.4 x2  0.2 x3  40 Lipit:  0.3 x1  0.4 x2  0.2 x3  20 - Tỉ lệ loại thức ăn A:B=2:3 có nghĩa là: x1   x1  x2  3x1  x2  x2 Tổng chi phí là: z  32 x1  40 x2  25 x3  Vậy ta thiết lập mơ hình tốn sau: tìm x1 , x2 , x3 cho z  32 x1  40 x2  25 x3 0.6 x1  0.5 x2  0.3x3  40 0.3x  0.4 x  0, x  40  đồng thời thỏa điều kiện sau: 0.3x1  0.4 x2  0.2 x3  20 3x  x    x1  0, x2  0, x3  Ví dụ Bài tốn pha cắt vật liệu Một xí nghiệp may mặc cần sản xuất 2000 quần 1000 áo Mỗi vải có cách cắt sau: Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Cách cắt Quần Áo 90 35 80 55 70 70 60 90 120 100 Hãy tìm phương án cắt quần áo cho tổng số vải Giải Gọi x j ( j  1, 2, ,6) số vải cắt theo cách thứ j  Điều kiện biến gọi: x j   Điều kiện sản xuất quần xí nghiệp phải sản xuất 2000 quần: 90 x1  80 x2  70 x3  60 x4  120 x5  (0 x6 )  2000  Điều kiện sản xuất áo: 35 x1  55 x2  70 x3  90 x4  (0 x5 )  100 x6  1000  Tổng số vải cần là: z  x1  x2  x3  x4  x5  x6  Vậy ta thiết lập mơ hình tốn sau: tìm x j ( j  1, 2, ,6) cho z  x1  x2  x3  x4  x5  x6 90 x1  80 x2  70 x3  60 x4  120 x5  2000  đồng thời thỏa điều kiện sau: 35 x1  55 x2  70 x3  90 x4  100 x6  1000  x  0( j  1, 2, , 6)  j Ví dụ Bài tốn vận tải Cần vận chuyển xi măng từ kho K1 , K , K tới cơng trường xây dựng T1 , T2 , T3 , T4 Biết xi măng có cơng trường xây dựng giá cước vận chuyển (ngàn đồng) xi măng từ kho tới cơng trường sau: Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Kho xi măng K1 : 170 Cơng trƣờng xây dựng T1 : 130 20 (ngàn đồng/tấn) T2 : 160 T3 : 120 T4 : 140 18 22 25 K : 200 15 25 30 15 K : 180 45 30 40 35 Tìm kế hoạch vận chuyển xi măng từ kho tới cơng trường cho kho giao hết lượng xi măng có , cơng trường nhận đủ lượng xi măng cần tổng chi phí vận chuyển nhỏ Hãy lập mơ hình tốn Giải Gọi xij (tấn) lượng xi măng cần vận chuyển từ kho Ki (i  1, 2,3) tới cơng trường Tj ( j  1, 2,3, 4)  Điều kiện biến gọi (lượng xi măng số thực khơng âm): xij  0, i  1, 2,3; j  1, 2,3,  Điều kiện kho giao hết lượng xi măng có: Kho K1 giao hết lượng xi măng có: x11  x12  x13  x14  170 Kho K giao hết lượng xi măng có: x21  x22  x23  x24  200 Kho K giao hết lượng xi măng có: x31  x32  x33  x34  180  Điều kiện cơng trường nhận đủ xi măng cần: Cơng trường T1 nhận đủ lượng xi măng cần: x11  x21  x31  130 Cơng trường T2 nhận đủ lượng xi măng cần: x12  x22  x32  160 Cơng trường T3 nhận đủ lượng xi măng cần: x13  x23  x33  120 Cơng trường T4 nhận đủ lượng xi măng cần: x14  x24  x34  140  Tổng chi phí vận chuyển: z  20 x11  18 x12  22 x13  25 x14 15 x21  25 x22  30 x23  15 x24 45 x31  30 x32  40 x33  35 x34  Vậy ta có mơ hình tốn là: Tìm xij , i  1, 2,3; j  1, 2,3, cho Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính z  20 x11  18 x12  22 x13  25 x14 15 x21  25 x22  30 x23  15 x24 45 x31  30 x32  40 x33  35 x34 thỏa điều kiện sau:  x11  x12  x13  x14  170  x  x  x  x  200  21 22 23 24  x31  x32  x33  x34  180   x11  x21  x31  130   x12  x22  x32  160  x13  x23  x33  120   x14  x24  x34  140  x  0, i  1, 2,3; j  1, 2,3,  ij 1.2 Các dạng tốn tối ƣu tuyến tính (quy hoạch tuyến tính) 1.2.1 Dạng tổng qt I Phát biểu tốn Từ ví dụ ta có tốn qui hoạch tuyến tính tổng qt cụ thể sau: tìm x  ( x1 , x2 , , xn ) cho: min(max) z  c1 x1  c2 x2   cn xn a11 x1  a12 x2   a1n xn (, , ) b1 , a x  a x   a x (, , ) b2 ,  21 22 2n n thỏa mãn điều kiện ràng buộc sau:  (2)  am1 x1  am x2   amn xn (, , ) bm , x j (≥ 0,≤ 0, tùy ý), j  1, 2, , n (3) đó:  n z  c1 x1  c2 x2   cn xn   ci xi :hàm mục tiêu i 1  n Hệ ràng buộc (2) gọi ràng buộc chung bao gồm  aij x j (, ) bi , i  1, 2, , m : ràng buộc j 1 n bất đẳng thức a x j 1 ij j  bi , i  1, 2, , m : ràng buộc đẳng thức Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính  Hệ ràng buộc (3) gọi ràng buộc dấu (ràng buộc biến) x j (≥ 0,≤ 0, tùy ý), j  1, 2, , n : ràng buộc dấu Bài tốn qui hoạch tuyến tính tốn tìm cực tiểu (hoặc cực đại) hàm mục tiêu tuyến tính với ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức tuyến tính (bậc theo biến x j ) II Các định nghĩa  x  ( x1 , x2 , , xn ) thoả mãn điều kiện (2) (3) gọi phương án tốn QHTT  Tập phương án tốn QHTT gọi miền ràng buộc Kí hiệu D  x*  ( x1* , x2* , , xn* ) gọi phương án tối ưu (hay nghiệm tối ưu) tốn x  D, cT x*  cT x , với c T  (c1 , c , , c n )T  x*  ( x1* , x2* , , xn* ) gọi phương án tối ưu (hay nghiệm tối ưu) tốn max x  D, cT x*  cT x , với c T  (c1 , c , , c n )T  Một ràng buộc gọi chặt phương án x ta thay x vào ràng buộc n dấu “=” xảy ra, ví dụ a x j 1  ij j  bi x j  Một ràng buộc gọi lỏng phương án x ta thay x vào ràng buộc n dấu bất đẳng thức xảy ra, ví dụ  aij x j  bi j 1  n a x j 1 ij j  bi Phương án x  ( x1 , x2 , , xn ) tốn QHTT phương án cực biên x thỏa chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính  Phương án x  ( x1 , x2 , , xn ) tốn QHTT phương án cực biên suy biến số ràng buộc thỏa chặt nhiều số ràng buộc chặt độc lập tuyến tính Ví dụ Xét tốn QHTT sau: z  2 x1  x2  x3 2 x1  x2  x3    x1  x2  x3  18 x , x x   2, Hỏi X  (0,8, 2); Y  (1,8,1) có phải phương án cực biên tốn? Giải Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Xét X  (0,8, 2) , thay X vào hệ ràng buộc ta được: -2(0) + 1(8) - 2(2) = (rbc) 1(0) +2(8) +1(2) =18 (rbc) x1  (rbc) x2  (rbl) x3  (rbl)  2 2  Ta trích hệ số ràng buộc chặt, ta được:   , định thức ma trận  nên 1 0   ràng buộc thỏa chặt độc lập tuyến tính Vậy số rbc = 3= rbcdltt = số biến nên X  (0,8, 2) phương án cực biên tốn Xét Y  (1,8,1) , thay Y vào hệ ràng buộc ta được: -2(1) + 1(8) – 2(1) = (rbc) + 2(8) + = 18  18 (rbc) x1   (rbl) x2   (rbl) x3   (rbl) Vậy số rbcdltt = < số biến nên Y  (1,8,1) khơng phương án cực biên tốn Ví dụ Xét tốn QHTT sau: z  x1  x2 2 x1  x2   x  x    3 x1  x2   x1 , x2  Chứng minh X  (1, 2) phương án cực biên suy biến Giải Xét X  (1, 2) thay X vào hệ ràng buộc ta 2(1) + 1(2) = (rbc) -1(1) + 2(2) = (rbc) 3(1) – 1(2) = (rbc) Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính x1   (rbl) x2   (rbl) Vậy X phương án tốn Ta chứng minh X phương án cực biên suy biến Ma trận hệ số 2 1   ràng buộc thỏa chặt A   1   rank (A )  , nên ràng buộc thỏa chặt có  1   ràng buộc độc lập tuyến tính Nên X phương án cực biên suy biến Chú ý: Ta chuyển tốn max tốn nhờ mối quan hệ max z = - min(-z) 1.2.2 Dạng chuẩn Xét tốn có dạng z  c1 x1  c2 x2   cn xn a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1  a21 x1  a22 x2   a2 n xn  b2   a x  a x   a x  b mn n m  m1 m 2  x j  0, j  1, , m Chú ý: Bài tốn dạng chuẩn tốn có dạng tổng qt, thỏa điều kiện sau: - Các ràng buộc “  ” - Các biến khơng âm Ràng buộc: ai1 x1  ai2 x2   ain xn  bi  ai1 x1  ai2 x2   ain xn  bi , ta đưa ràng buộc “  ” ràng buộc “  ” cách nhân hai vế bất đẳng thức với -1 đổi dấu bất đẳng thức 1.2.3 Dạng tắc I Phát biểu tốn Xét tốn QHTT có dạng sau: z  c1 x1  c2 x2   cn xn a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1  a21 x1  a22 x2   a2 n xn  b2 thỏa mãn điều kiện ràng buộc sau:    a x  a x   a x  b mn n m  m1 m 2  x j  0, j  1, , n Ta biểu diễn lại tốn dạng ma trận: Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Thu Phát a1 b1 bj bn c11 cij c1n xij x11 cij ci1 cin xij xi1 xin cmj c m1 am x1n cmn xmj xm1 xmn Ơ giao dòng i cột j kí hiệu (i,j) Các thành phần , b j , cij thành phần biết xij chưa biết 3.2 Một số tính chất bảng Định nghĩa a) Dây chuyền bảng vận tải dãy thỏa điều kiện: i) Hai cạnh nằm hàng cột ii) Khơng có ba nằm hàng cột Dãy có dạng (i1 , j1 )(i1 , j2 )(i2 , j2 )(i3 , j3 ) gọi dây chuyền b) Một dây chuyền khép kín gọi chu trình Dãy có dạng (i1 , j1 )(i1 , j2 )(i2 , j2 )(i3 , j3 ) (ik , jk )(ik , j1 ) chu trình c) Bài tốn vận tải cân thu-phát tốn thỏa điều kiện m n i 1 j 1    b j d) Với phương án cực biên tốn vận tải (i,j) gọi chọn chứa biến xij biến sở 54 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Ví dụ Bảng X X X X X X Bảng (1,1)(1,4)(2,4)(2,3)(3,3)(3,1) lập thành chu trình Bảng X X X X X X Bảng (1,4)(1,2)(2,2)(2,3)(3,3)(3,1) dây chuyền Bảng Bảng ta xác định hai chu trình cách  Xóa bỏ cột 1,3,5,6,7,9,25,16,11 13  Xóa hàng  Xóa cột Định lý Bài tốn vận tải cân thu phát ln có phương án tối ưu Định lý Hệ ràng buộc chung tốn vận tải có hạng m  n  Hệ Cho bảng vận tải gồm mn số chọn phương án cực biên tốn vận tải m  n  phương án cực biên có m  n  thành phần dương phương án cực biên khơng suy biến 3.3 Các phƣơng pháp phân phối thuật tốn vị 55 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Bài tốn vận tải tốn QHTT ta giải tốn thuật tốn đơn hình Tuy nhiên việc giải tốn phương pháp đơn hình phức tạp số lượng biến q lớn Do đó, dựa vào cấu trúc đặc biệt tốn vận tải người ta chuyển tốn vận tải dạng bảng tìm phương án cực biên ban đầu áp dụng thuật tốn vị để giải Một số phương pháp thơng dụng để tìm phương án cực biên ban đầu là: - Phương pháp cực tiểu cước phí - Phương pháp gốc Tây-Bắc - Phương pháp cực tiểu cước phí theo dòng - Phương pháp cực tiểu cước phí theo cột - Phương pháp Fogels - … Trong nội dung giảng trình bày phương pháp: phương pháp cực tiểu cước phí phương pháp gốc Tây-Bắc Các phƣơng pháp phân phối Phương pháp cực tiểu cước phí: - Bước 1: Trong bảng vận tải ta tìm có chi phí bé Phân phối cho lượng hàng tối đa - Bước 2: Phân phối vào lượng hàng tối đa xij  min{ai , b j } a) Nếu  b j (phát  thu) x ij  Xố dòng i, b'j  b j  b) Nếu  b j (phát  thu) x ij  b j Xố cột j, ai'   b j c) Nếu  b j (phát  thu) x ij  xố dòng i, x ij  b j xố cột j , khơng xố đồng thời - Bước 3: Ghi kết quả, bị chưa có giá trị qui ước giá trị Cuối ta nhận phương án cực biên ban đầu ma trận X Ví dụ 2a Tìm phương án cực biên ban đầu tốn vận tải sau theo phƣơng pháp cực tiểu cƣớc phí 56 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Thu 20(0) 50(10)(0) 30(0) 10 30 Phát 40(30) 60(40)(0) 20 40  10 30  Vậy phương án X    phương án cực biên ban đầu có số thành phần   20 40   m  n     Vậy X phương án cực biên khơng suy biến Phương pháp gốc Tây-Bắc: - Bước 1: Trong bảng vận tải ta tìm bảng,ơ(1,1) , phân phối cho lượng hàng tối đa - Bước 2: Phân phối vào ơ(1, 1) lượng hàng tối đa xij  min{ai , b j } a) Nếu  b j (phát  thu) x ij  Xố dòng i, b'j  b j  b) Nếu  b j (phát  thu) x ij  b j Xố cột j, ai'   b j - Nếu  b j (phát  thu) x ij  xố dòng i, x ij  b j xố cột j - Bước 3: Ghi kết quả, chưa có giá trị qui ước giá trị Ví dụ 2b Tìm phương án cực biên ban đầu tốn vận tải sau theo phƣơng pháp gốc TâyBắc Thu 20(0) 50(30)(0) 30 Phát 40(20)(0) 20 60(30)(0) 20 30 30  20 20  Vậy phương án X    phương án cực biên ban đầu có số thành phần   30 30   m  n     Vậy X phương án cực biên khơng suy biến Thuật tốn vị 57 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính - Bƣớc 1: Kiểm tra điều kiện áp dụng Nếu thỏa điều kiện tổng phát = tổng thu: - m n i 1 j 1    b j sang bước Bƣớc 2: Tìm phƣơng án cực biên ban đầu Nếu phương án cực biên ban đầu khơng suy biến sang bước Ngược lại, thêm khơng phải chọn cho đủ m  n  với điều kiện thêm vào khơng tạo thành chu trình với chọn (Lưu ý thêm thêm vào có xij  ) - Bƣớc 3: Tìm hệ thống vị (pi,qj) X  ( xij ) phương án cực biên khơng suy biến, có đủ m  n  chọn Ta xây dựng hệ thống vị (pi,qj) theo cơng thức: pi  q j  cij , với chọn (i,j) Qui ước chọn p1 =0 Ví dụ Tính thế vị dòng vị cột bảng sau: Thu Phát 40 60 qj 20 50 30 pi 10 30 p1  20 40 q1  q2  p2  1 q3  Cách tính chọn bảng ơ: (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) p1  c12  p1  q2   q2  c13  p1  q3   q3  c21  p2  q1  c22  p2  q2   p2  1 Thế p2  1 vào phương trình c21  p2  q1   q1  Ví dụ Tính vị dòng vị cột bảng sau: 58 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Thu Phát 40 60 qj - 20 50 30 20 20 30 30 q2  q3  q1  pi p1  p2  1 Bƣớc 4: Kiểm tra tính tối ƣu Tính hệ số ước lượng ij  pi  q j  cij khơng chứa biến sở Ta có trường hợp sau xảy ra: Trường hợp 1: ij  0, i, j : Bài tốn vận tải có phương án tối ưu a) Nếu ij  0, i, j : Bài tốn có phương án tối ưu Tính z   xij cij , chọn  dừng b) Nếu ij  : Bài tốn có vơ số phương án tối ưu Tính z   xij cij , chọn  dừng Trường hợp 2: ij  : Bài tốn chưa có phương án tối ưu sang bước - Bƣớc 5: Cải thiện phƣơng án tối ƣu Bước 5.1: Chọn vào Ơ vào có ij  lớn (nếu có nhiều thỏa ta chọn tuỳ ý số đó) Bước 5.2: Xác định chu trình - Xố bỏ dòng cột chứa chọn - Xác định chu trình: xuất phát từ vào đến chọn theo qui tắc: ngang lấy ơ, dọc lấy ơ kết thúc trùng với vào đánh số theo thứ tự (1) (2)… Bƣớc 5.3: Cập nhật phương án tối ưu 59 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính d  min{xij có vị trí chẵn vòng  x ij (cũ) - d ô chẵn vòng  xij (mới)  x ij (cũ) + d ô lẻ vòng  x ij (cũ ) ô lại - Bƣớc 6: Quay lại bƣớc Ví dụ Cực tiểu hố cước phí tốn vận tải sau: 1    T  (15,10,17,18), P  (20,30,10), C     10    Giải Lập bảng vận tải sau: Thu 15 10 17 18 20 30 10 10 Phát Lặp Bƣớc 1: Bài tốn thoả điều kiện áp dụng tổng thu = tổng phát Bƣớc 2: Tìm phương án cực biên ban đầu phương pháp cực tiểu cước phí ta bảng sau: Thu Phát 20(5)(0) 30(20)(2)(0) 10(0) 15(0) 10(0) 17(12)(2) 18(0) 15 5 10 18 10 10 60 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính 15  Vậy phương án X   10 18  phương án cực biên ban đầu có số thành phần   0 10     m  n     Vậy X phương án cực biên khơng suy biến Bƣớc 3: Tìm hệ thống vị (pi,qj) Thu Phát 20 30 10 qj 15 10 17 18 15 5 10 18 10 10 q1  q2  q3  pi p1  p2  p3  q4  1 Bƣớc 4: Kiểm tra tính tối ƣu 12  p1  q2  c12     4 14  p1  q4  c14     4  21  p2  q1  c21      31  p3  q1  c31     4  32  p3  q2  c32     8  34  p3  q4  c34    10  11 Bƣớc 5: Chọn vào (2,1) Xố bỏ dòng cột chứa chọn Xác định chu trình: vào (2,1) theo hàng ngang qua (2,3) đánh số (2) (vì (2,2) bị xố) Đi theo hàng dọc đến (1,3) đánh số (3), theo hàng ngang đến (1,1) đánh số (4) cuối trở xuất phát (2,1) ta chu trình khép kín 61 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính d  min{2,15}  x11  x11  d  15   13 x13  x13  d    x21  x21  d    x23  x23  d    13  Các vị trí xij lại giữ ngun Vậy ta có phương án cực biên X   10 18   0 10    Lặp - Bƣớc 3: Tìm hệ thống vị (pi,qj) Thu Phát 20 30 10 qj pi 15 10 17 18 p1  p2  13 7 10 18 10 10 q1  q2  Bƣớc 4: Kiểm tra tính tối ƣu 62 q3  q4  p3  Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính 12  p1  q2  c12     14  p1  q4  c14      23  p2  q3  c23     4  31  p3  q1  c31     4  32  p3  q2  c32     4  34  p3  q4  c34    10  7 13  Vậy tốn có vơ số phương án tối ưu phương án X   10 18  phương án tối ưu  0 10    tốn với z  13.1  7.2  2.4  10.7  18.6  10.2  233 Lưu ý: Trong trường hợp tốn có vơ số phương án tối ưu ta chọn phương án tối ưu khác cách chọn có ij  làm vào bước 3.4 Các trƣờng hợp đặc biệt tốn vận tải Bài tốn vận tải khơng cân thu-phát Phương pháp chung: tìm cách chuyển tốn vận tải cân Trường hợp tổng phát  tổng thu: m i 1 m n i 1 j 1 n  a  b i j 1 j : ta thêm “điểm thu giả” bn 1 với lượng hàng bn 1     b j chi phí ci ,n1  0, i Lúc tốn trở tốn cân thu phát Áp dụng thuật tốn vị để giải phương án tối ưu ta bỏ cột điểm thu giả thu phương án tối ưu cho tốn ban đầu Trường hợp tổng phát  tổng thu: n m j 1 i 1 m n i 1 j 1    b j : ta thêm “điểm phát giả” am1 với lượng hàng am1   b j   chi phí cm1, j  0, j Lúc tốn trở tốn cân thu phát Áp dụng thuật tốn vị để giải phương án tối ưu ta bỏ dòng điểm phát giả thu phương án tối ưu cho tốn ban đầu Lưu ý: Khi tìm phương án cực biên ban đầu ta ưu tiên cho khơng “điểm thu giả” “điểm phát giả” trước Bài tốn vận tải có cấm 63 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Giả sử ta khơng thể vận chuyển hàng từ đến b j tương ứng với (i,j) bảng vận tải, nên (i,j) khơng thể phân phối hàng vào được, cấm Tại cấm ta đặt cước phí cij  M  ( M số lớn) Dùng thuật tốn vị để giải tốn M ta phương án tối ưu X * ( M ) - Nếu X * ( M ) có thành phần ứng với cấm tốn vận tải ban đầu có phương án tối ưu - Nếu X * ( M ) có thành phần ứng với cấm  tốn vận tải ban đầu khơng có phương án tối ưu 64 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính BÀI TẬP CHƢƠNG Giải tốn vận tải với vectơ phát A , vectơ thu B ma trận cước phí C cho sau đây: 1 2 a) A  (50,80, 20), B  (20, 40, 60,30), C     5    1 b) A  (13,3,10), B  (3, 6,5,12), C     2 3   7 5 c) A  (25, 20, 45), B  (10,30,50), C     2   7 4 d) A  (9,5,11), B  (5,8, 4,8), C    7 5   4  e) A  (4, 6, 6,3), B  (6,8, 4), C   7  5 5  1 2  3  3   f) A  (100,80, 20), B  (60, 70, 40,30), C     5    14    10 15   A  (38, 45, 66, 45), B  (52, 45,38,59), C  g) 10 10     13 14   16 10 14    10 18 12 20  h) A  (105, 65,55, 45), B  (85, 75, 60,50), C    14 18     8 12  65 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính i) A  (50,80,30), B (60,40,20,40),  6    C 4  3    6 7   10 11   j) A  (100,300,150, 250), B  (120, 280,130, 270), C   10    12 13  5  k) A  (5,15, 20,30), B  (10,10,10, 20, 20), C   4  6 4 6  l) A  (120,150,150, 25), B  (20,100,145,30,150), C   2  3  4 m) A  (50, 40, 70), B  (80, 20, 60), C    6 1   ĐS  20 0 30    a) X   20 60  , z  260  20 0    *  0 12    b) X   0  , z  34 3    *  10 15    c) X   20  , z  255 10 35    * d) vơ số phương án tối ưu z  96 f) vơ số phương án tối ưu z  460 66 7  8 9  11 1 4 5  3 6  7 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính 3  * e) X   0  3 0  0 , z  54 4  0  31    38 0  *  g) X  , z  1192  0 59     45 0  h) vơ số phương án tối ưu z  2080  0 10 40  i) X   60 10 10  , z  280  30 0    * j) vơ số phương án tối ưu z  5590 k) vơ số phương án tối ưu z  435   0 120   0 0 150  *  l) X  , z  1040  20 75 25 30    0   25  50 0    m) X   20 20  , z  470  30 40    * 67 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Quốc Khánh, Trần Huệ Nương, Quy hoạch tuyến tính, NXBGD, 2002 [2] Phan Quốc Khánh, Vận Trù Học, NXBGD, 2002 [3] Phạm Trí Cao, Tối Ưu Hóa Ứng Dụng, NXB Thống Kê, 2009 [4] Ngơ Thành Phong, Đại Số Tuyến Tính & Quy Hoạch Tuyến Tính, NXB ĐHKHTN TPHCM, 2000 [5] Nguyễn Thành Cả, Tối Ưu Hố Tuyến Tính, NXB Lao Động, 2011 [6] Nguyễn Quốc Huy, Đinh Ngọc Thanh, Trần Thị Ngọc Tuyết, Giáo Trình Tốn Kinh Tế, Vĩnh Long, 2007 [7] Nguyễn Hải Nam, Tốn Ứng Dụng(Giáo Trình Sau Đại Học), NXB ĐHSP Hà Nội, 2005 [8] Bùi Phước Trung, Giáo trình tối ưu hóa, NXB Thống Kê 2010 [9] Christopher Grin, Linear Programming: Penn State Math 484 Notes, Ver 1.8 [10] Matthias Ehrgott , Muticriteria Optimization, Springer, Berlin, 2000 68 ... Chương 1: Bài tốn quy hoạch tuyến tính 1.1 Vấn đề thực tiễn dẫn đến tốn quy hoạch tuyến tính 1.2 Các dạng tốn quy hoạch tuyến tính 1.3 Phương pháp hình học giải tốn quy hoạch tuyến... phân phối thuật tốn vị 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính CHƢƠNG 1: BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 Vấn đề thực tiễn dẫn đến lập mơ hình tốn tối ƣu tuyến... tối ưu - Ngược lại,  j  tốn ta qua bước 17 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Bƣớc 4: Xác định biến vào sở, biến sở, phần tử then chốt - Quy tắc chọn biến vào (  ): biến vào x j chọn ứng  j dương