Họ và tên : .Lớp 11A1 - Trờng THPT Kim Bôi Luyện tập phơng trình lợng giác Bài 1 : Giải các phơng trình sau : 1.) Sin(3x+20 0 ) + sin4x = 0 2.) 2sin2x + 5cosx = 0 3.) (tan2x - 1)cos2x = 0 4.) 2cos 2 x + cos2x + sinx = 0 5.) = 0 6.) = 0 7.) sinx + cosx = cos2x 8.) sinx + sin2x + sin3x = 0 9.) tan4xtanx = -1 10.) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 11.) sin 4 x + cos 4 x - cos2x + sin 2 2x - 2 = 0 12.) 3( tanx + cotx ) = 2( 2 + sin2x) 13.) sin 2 3x - cos 2 4x = sin 2 5x - cos 2 6x 14.) = 2( 1 + sinx) 15.) tg2x tg3x tg5x = tg2xtg3xtg5x 16.) 2tan 2 x + + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 17.) = cot2x - 18.) tan 4 x + 1 = 19.) tanx + cosx - cos 2 x = sinx (1+ tanx tan) 20.) cotx - 1 = + sin 2 x - sin2x 21.) 3 - tanx( tanx + 2sinx ) + 6cosx = 0 22.) cos2x + cosx( 2tan 2 x - 1 ) = 2 23.) cotx - tanx + 4sin2x = 24.) cos4x - 8cos 6 x + 2cos 2 x + 3 = 0 25.) = 1 26.) sin 2 ( - 4 )tan 2 x = cos 2 27.) = cosx 28.) (sinx + cosx) 3 - ( sin2x + 1) + sinx + cosx - = 0 29.) 2cos2x - 8cosx + 7 = 30.) 2sin 3 x + cos2x - cosx = 0 31.) = tan2x 32.) sin( - x) = sin( + 3x) 33.) cos( - x) = - sin( x + ) 34.) tan(2x + ) - cot(2x + ) = 2 35.) cos(2x + ) + 4cos( - x) = 36.) sin 3 (x + ) = sinx 37.) sin(3x - ) = sin2x.sin(x + ) 38.) sin 4 x + cos 4 x = cot(x + )cot( - x) 39.) 8cos 3 ( x + ) = cos3x 40.) sin 2 (x - 4 ) + tan 2 2x = 0 41.) cosxcos2xcos4xcos8x = 16 1 42.) sinx + sin2x +sin3x +sin4x = cot 43.) cosxcos2xcos3x sinxsin2xsin3x = 2 1 44.) sin 3 xsin3x + cos 3 xcos3x = 4 2 45.) + cosx = 0 46.) 2sin( x + ) = + 47.) 0sin2)1(cos2cossin 322 =++ xxtgxxx 48.) 8cos 6 x + 2sin 3 x sin3x - 6cos 4 x - 1 = 0 49.) cos2x + 5 = 2( 2 - cosx )(sinx - cosx ) 50.) = 1 51.) sin 2 x + sin 2 3x = cos 2 2x + cos 2 4x 52.) 3tan 3 x- tanx + -8cos 2 ( - )= 0 53.) 2sin 3 x - sinx = 2cos 3 x - cosx + cos2x 54.) tg2x + sin2x = cotgx 55.) = 56.) sinxcosx + cosx = - 2sin 2 x - sinx + 1 57.) cos = cos 2 58.) sin2x + cos2x + tanx = 2 59.) sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x = 2 60.) 6sinx - 2cos 3 x = 5sin2xcosx Bài 2 : Tìm nghiệm thuộc khoảng )2,0( của phơng trình : 32cos) 2sin21 3cos3sin (sin5 += + + + x x xx x Bài 3 : Xác định m để phơng trình sau có nghiệm : 4 4 2( ) 4 2sin2 0sin x cos x cos x x m+ + + - = 1 Hä vµ tªn : .Líp 11A1 - Trêng THPT Kim B«i Bµi 4 : Cho ph¬ng tr×nh : sin 3 x + cos 3 x = msinxcosx a.) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = b.)T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. Bµi 5 : Cho ph¬ng tr×nh : 2 2 2 2 . . ( )cos x sin x cosx sinx cos x m sinx cosx+ + = + a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 2 b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x ∈ [0 ; ] Bµi 6 : T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh : cos2x + (2m - 1)cosx + 1 - m = 0 cã nghiÖm x ∈ ( ; π) -------------------HÕt--------------------- 2 onthioline.net Bài : Giải phương trình sau cos2x + 3sin x = ;2 4sin4 x + 12cos2 x = 7; 25sin2 x + 100cos x = 89 sin 2x + cos 2x = sin2xcos2x 4 sin6 x + cos6 x = tan2x ;5 cos x − sin2 x = ,7,2sin2x – cos2x - 4sinx + = 0;8,9cos2x - 5sin2x - 5cosx + = cos x π π 9) 5sinx(sinx - 1) - cos2x = 3;10)cos2(3x + ) – cos23x – 3cos( - 3x) + = 2 11;cos2x + sin x + 2cosx + = 0;12; 3cos2x + 2(1 + + sinx)sinx – (3 + ) = 13, tg2x + ( - 1)tgx – = 0;14) = cot gx + sin x 2 sin x + sin x − − cos x cos x(cos x + sin x ) + sin x(sin x + ) 15; = ;16; =1 cos x sin x − Bai 2Chuyên Đề PT bậc Sin cos 1) cos 3x + sin 3x = ;2, cos x cos x − sin x = − sin x sin x 2π 6π 3;Tìm nghiệm x ∈ ( ; ) PT: cos x − sin x = − 4) 2 (sin x + cos x) cos x = + cos x ; Bai 3:Chuyên Đề : PT đcấp bậc sin cos 1) sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - = ;2) sin2x – 3sinxcosx + = 3) sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x + 5/2 5π π 3π + x) cos( + x) − sin ( + x ) = 4) sin (3π − x) + sin( 2 1 5)[ĐHAN_98]a sin x + cos x = ;b sin x + cos x = cos x cos x 2 6) cos x – 3sinxcosx – 2sin x – = 7) 6sin2x + sinxcosx – cos2x = Bai 4:Chuyên Đề 8: PTLG Đxứng sin2n cos2n 1)[ĐHBKHN_96] sin4x + cos4x = cos2x;2)[ĐH Huế_99] sin6x + cos6x = 7/16 3) sin6x + cos6x = sin x ;4) sin6x + cos6x = cos4x 5)[HVCTQG TPHCM_00]:16(sin6x + cos6x – 1) + 3sin6x = 13 x x 6)[ĐHQG_98] cos6x – sin6x = cos22x;7)[ĐHCĐ_01] sin ( ) + cos ( ) = − sin x 2 Bai 5: Chuyên Đề 9: sử dụng ct hạ bậc sin x + sin x = cos 2 x + cos x sin x + sin 2 x − sin x = 17 sin x + sin 2 x + sin x = 4; sin x + cos8 x = cos 2 x 16 5) cos2x + cos22x + cos23x = 3/2;6)cos2x + cos22x + cos23x = 7)[ĐH Huế] sin2x + sin22x + sin23x = 3/2 ;8)[ĐHY_98] sin23x – sin22x – sin2x = 9)[ĐHQG_98] sin2x = cos22x + cos23x 10)[ĐH_B02]sin23x – cos24x = sin25x – cos26x ;11)cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 12) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3/2 tan2 x + C – Phương trình biến đổi tích onthioline.net Bài : Giải phương trình cos x + cos x + cos x + cos x = ;2 cos x + cos x + cos x = 3) sinx + sin2x + sin3x = + cosx + cos2x ;4) sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x 5)[ĐH Nông Lâm TPHCM_01]:1 + cosx + cos2x + cos3x = 6)[HVQHQT_99] cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 7)[ĐHSP Vinh_97] sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 8)[ĐH Đà Nẵng_B97] sin3x – sinx + sin2x = 7) cos10x – cos8x – cos6x + = ;8)[HVQHQT_00] cosx + cos3x + 2cos5x = 9)[ĐHNTHN_97] 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 10)[ĐHNT TPHCM_00]1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 12) (2sinx – 1)(2sin2x + 1) = – 4cos2x 13)[ĐHYHN_96] (cosx – sinx)cosxsinx = cosxcos2x 14)[ĐHHH_00] (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx – 4) + 4cos2-x = 15)[ĐH Đà Nẵng_99] cos3x – sin3x = sinx – cosx 16)[ĐH Thuỷ Sản Nha Trang_96] cos3x + sin3x = sinx – cosx 17)[ĐHCSND_00] cos3x + sin3x = sin2x + sinx +cosx 18)[HVQY_00] cos2x + sin3x + cosx = 19)[HVNH_99] cos3x + cos2x + 2sinx – = 20)[HVNH TPHCM_00] sinx + sin2x + cos3x = 21)[HVBCVT TPHCM_97] cos2x – 4sinxcosx = Chuyên Đề 13: sd CT biến đổi tích thành tổng 1) cos11x.cos3x = cos17x.cos9x 2) sin18x.cos13x = sin9x.cos4x 3) sin2x + sin2xsin4x + sin3xsin9x + sin4xsin16x = 4) (sinx + cosx)sin3x = PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX A. NHẬN DẠNG : * Là phương trình có dạng : a.sinx+b.cosx=c B. CÁCH GIẢI 1. Chia hai vế phương trình cho : 2 2 0a b+ > 2. Phương trình có dạng : 2 2 2 2 2 2 sinx+ osx= a b c c a b a b a b+ + + 3. Đặt : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin ; os = ; os = ;d/k:c a b c c c a b a b a b a b ϕ ϕ α = ≤ + + + + . 4. Khi đó phương trình trở thành : ( ) sinx.sin +cosx.cos =cos cos x- osc ϕ ϕ α ϕ α ⇔ = 5. Giải : ( ) 2 2 2 2 x k x k k Z x k x k ϕ α π ϕ α π ϕ α π ϕ α π − = + = + +   ⇔ ⇔ ∈   − = − + = − +   C. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Giải các phương trình sau : a. 2 sin os 3 osx=2 2 2 x x c c   + +  ÷   b. ( ) ( ) ( ) 1 2sin osx 3 1 2sin 1 sinx x c x − = + − c. ( ) 3 sinx+cosxsin2x+ 3 os3x=2 cos4x+sinc x d. 3 os5x-2sin3xcos2x-sinx=0c Bài 2. Giải các phương trình sau : a. ( ) 4 4 4 sin os 3 sin 4 2x c x x+ + = b. ( ) 2 2 sinx+cosx osx=3+cos2xc c. ( ) cos2 3 sin 2 2 sinx+cosxx x= + d. 4 4 sin os 2 3sinxcosx+1x c x− = Bài 3. Giải các phương trình sau : a. 2 4 4sin sin sin 4 3 osx.cos os 2 3 3 3 3 x x x c x c x π π π π         + − + + + =  ÷  ÷  ÷  ÷         b. 3 2sin 4 16sin . osx 3cos2 5x x c x+ + = c. 6 6 3 1 sin 4 os sin 8 x c x x+ = + Bài 4. Giải các phương trình sau : a. ( ) sin8 os6x= 3 sin 6 os8xx c x c− + b. ( ) os7x-sin5x= 3 os5x-sin7xc c c. 3 3sin 3 3 os9x=1+4sin 3x c x− d. 3 os5x+sin5x-2cos2x=0c II. PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. ĐỊNH NGHĨA : *Là phương trình có dạng : 2 2 2 2 .sin sin 0 . os sin 0 .tan tan 0 .cot .cot 0 a u b u c a c u b u c a u b u c a u b u c + + = + + = + + = + + = . (1). Với u=u(x) Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011 Trang 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN II. CÁCH GIẢI : - Đặt : ( ) 2 sin 1 osu=t t 1 0 2 tan cot u t t c at bt c u t t R u t t R  = → ≤  → ≤  ⇒ + + =  = → ∈   = → ∈  - Giải phương trình (2) để tìm t - Kiểm tra điều kiện đối với t , để chọn t phù hợp . - Sau đó giải phương trình : u=u(x)=t . III. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG . Bài 1. Giải các phương trình sau : a. cos3x+sin3x 5 sinx+ 3 os2x 1 2sin 2 c x   = +  ÷ +   b. 2 2 cos 3 . os2x-cos 0x c x = b. 4 4 3 cos sin os x- .sin 3 0 4 4 2 x x c x π π     + + − − =  ÷  ÷     d. 2 4.sinxcosx+3sin 6sinx x= Bài 2. Giải các phương trình sau a. 2 2 2 2 sin 3 os 4 sin 5 os 6x c x x c x− = − b. 2 2 2 sin tan os 0 2 4 2 x x x c π   − − =  ÷   c. tan 2 tan 2 2 2 2 x x π π     + + =  ÷  ÷     d. ( ) 2 5.sinx-2=3 1-sinx .tan x Bài 3. Giải các phương trình sau : a. 1 1 2sin3 2cos3 sinx osx x x c − = + b. ( ) 2 osx 2sinx+3 2 2cos 1 1 1 sin 2 c x x − − = + c. x 3x x 3 1 cos . os . os sinx.sin .sin 2 2 2 2 2 x x c c − = d. 3 4cos 3 2 sin 2 8cosx x x+ = Bài 4. Giải các phương trình sau : a. ( ) cos 2 os 2x- 4sin 2 2 1 sinx 4 4 x c x π π     + + + = + −  ÷  ÷     b. ( ) 2 2 3cot 2 2 sin 2 3 2 osxx x c+ = + c. 2 2 4sin 2 6sin 9 3cos 2 0 osx x x x c + − − = c. Cho : 1 2 ( ) sinx+ sin 3 sin5 3 5 f x x x= + . Hãy giải phương trình : f'(x)=0. Bài 5. Giải các phương trình sau : a. 2 5 sin 5cos .sin 2 2 x x x= b. ( ) 2 sin 2 cot tan 2 4cosx x x x+ = c. 2 6 2cos 1 3cos 5 5 x x + = d. 3 tan t anx-1 4 x π   − =  ÷   Bài 6. Giải các phương trình sau : Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - Tháng 7 năm 2011 Trang 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: CƠ BẢN- ĐƠN GIẢN a. 4 4 4 sin 2 os 2 os 4 tan tan 4 4 x c x c x x x π π + =     − +  ÷  ÷     b. ( ) 4 2 1 2 48 1 cot 2 .cot 0 os sin x x c x GSTT GROUP Một số bài tập giải phương trình lượng giác- gstt group Bài 1: x x x x 3 2 2cos2 sin2 cos 4sin 0 44                   . Pt  x x x x x(sin cos ) 4(cos sin ) sin2 4 0         xk 4      ; x k x k 3 2 ; 2 2      Bài 2: 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x   x x x x 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6    x x xcos (cos7 cos11 ) 0  k x k x 2 9           Bài 3. Tìm nghiệm trên khoảng 0; 2     của phương trình: x xx 22 3 4sin 3sin 2 1 2cos 2 2 4                           pt  xxsin 2 sin 32              x k k Z a x l l Z b 52 ( ) ( ) 18 3 5 2 ( ) ( ) 6                Vì 0 2 x ;      nên x= 5 18  . Bài 4. x x x xx 11 sin2 sin 2cot2 2sin sin2     pt 2 2 2 2 2 20 x x x x x cos cos cos cos sin         cos2x = 0  xk 42   Bài 5. cos2 5 2(2 cos )(sin cos )   x x x x 1) (1)  x x x x 2 (cos –sin ) 4(cos – sin ) – 5 0  x k x k22 2          Bài 6. x x xx 3sin2 2sin 2 sin2 .cos   2(1 cos )sin (2cos 1) 0 sin 0, cos 0        x x x xx  2cosx – 1 = 0  2 3     xk Bài 7, Tìm các nghiệm thực của phương trình sau thoả mãn 1 3 1 log 0x sin .tan2 3(sin 3tan2 ) 3 3  x x x x ) (2)  (sin 3)(tan2 3) 0  xx  ; 62     x k k Z GSTT GROUP Kết hợp với điều kiện ta được k = 1; 2 nên 5 ; 36  xx Bài 8, 33 2 3 2 cos3 cos sin3 sin 8  x x x x pt  cos4x = 2 2  16 2   xk Bài 9, (sin2 sin 4)cos 2 0 2sin 3      x x x x PT  (2cos 1)(sin cos 2) 0 2sin 3 0           x x x x  2 3   xk Bài 10, Tìm nghiệm của phương trình: 23 cos sin 2  x cos x x thoả mãn : 13x PT  (cos 1)(cos sin sin .cos 2) 0    x x x x x  2  xk . Vì 1 3 2 4     xx nên nghiệm là: x = 0 Bài 11, Giải phương trình: 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 PT  (1– sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0  1– sinx = 0  2 2   xk Bài 12, sin cos 4sin2 1  x x x Đặt sin cos , 0  t x x t . PT  2 4 3 0tt    xk 2   . Bài 13, cos 2 3x.cos2x – cos 2 x = 0. Dùng công thức hạ bậc. ĐS: () 2  x k k Z Bài 14, 3sin2 2sin 2 sin2 .cos   x x xx PT  2 1 2 0 00 x x x xx ( cos )(sin sin ) sin , cos         2 3     xk Bài 15 GSTT GROUP 22 1 sin sin cos sin 2cos 2 2 4 2         x x x xx PT 2 sin sin 1 2sin 2sin 1 0 2 2 2               x x x x  4          xk xk xk Bài 16     2 cos . cos 1 2 1 sin sin cos    xx x xx PT  (1 sin )(1 sin )(cos 1) 2(1 sin )(sin cos )     x x x x x x    1 sin 0 1 sin 0 2 2 1 sin cos 1 0 sin cos sin cos 1 0 2                              x x xk xx x x x x xk Chúc các em yêu quý sớm trở thành tân sinh viên nhé! GSTT GROUP luôn bên cạnh các em! HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 23. log x  log y   log   log 27 ( x  y )    log x  log y  24.  ĐS:( 2 ; )  x  y  16 ĐS:(3;6) & (6;3) 25.  5 log x  log y  log   log y   log x 26.  log ( x  y )  log ( x  y )    xy  27.  xy  a   2 lg x  lg y  (lg a )  ĐS:(a3; ) & ( ,a3) 28. lg ( x  y )   lg y  lg x  lg ĐS:(-10;20) & ( log (3x  y )  29.  x log (3 y  x)   ĐS:(3;1) & ( a ) 3 ; ) a 10 20 ; ) 3 ĐS:(5;5) y 30.  x log3 y  y log3 x  27  log y  log x  31. 3x   x log  log y  y  log 2   x log 12  log x  y  log y 3   x log8 y  y log8 x  log x  log y  32.  2(log y x  log x y )  33.   xy  34. 32 ĐS:(2 ; 1 ĐS:(3;9) & ( ; ) ĐS:(1;2) 1 ĐS:(8;2) & ( ; ) ĐS:(4;2) & (2;4) log ( x  y )  log x   log ( x  y )  x  log ( xy  1)  log (4 y  y  x  4)  log y   Hồng Ngọc Phú ĐS:(2;1) với (a;a) với a  R* Page 35. x y  e  e  (log y  log x)( xy  1)  2  x  y  log x  log y  2 x  y   log x ( x  y )    log x  log x y   log x ( x  1)  lg 1,7 38.  ĐS:(5;2) ĐS:(  log (3   x  x )  0,5  y  lg x  39.     29 ; ) 2 ĐS:( 10 ;4)  y  lg x  log y  ĐS:(2;4) 41.  x log x 1 ( y  23)  46. 2 ; ) 2 ĐS:(1;1) vµ (4;2) 36.  37. ĐS:( 2   xy  log ( x  y )   log ( xy)  2   2  x  y  xy x  y  xy 3  81  2   xy   x   x  2     x  y y   y  2   x  y  xy    x  y  xy  ln(1  x)  ln(1  y)  x  y 47.  2  x  12 xy  20 y  0.  Xét PT thứ ln(1+x)-x=ln(1+y)y Đặt f(t)=ln(1+t)t (t>1) f (t )  t 1  t 1 t 1 Nếu 10 f’(t)0 x=10y hay x=2y cho x>0, y>0 Nếu 10 nên nhận nghiệm t=1 x y 1 x  y   x  y x  y Vậy hệ cho tương đương với:  log x  log y  1  x  y  x  y       log x  2log x      log x  1 log x      Với t=1 Hồng Ngọc Phú Page  2 x    x      x  y     2   y1 log x  2 y        x  y   x  24        x  16  log x  y        y  16  1   4   Kết luận: Tập nghiệm hệ phương trình S   ;  , 16;16    3 .2  972 log  x  y   x y 105.  x y  3x.2 y  972  x  y  3 .2  972  Hệ phương trình:     y 3 y  x  y  3 .2  972  log  x  y    x  y  x    y  Kết luận: Hệ pt có nghiệm  x; y    5;2  y  6  36   log ( x  y )   log ( xy)  113.  x2  xy  y2  81  3  23 x  y  y 114.  x  x 1 y  x  2 ĐS : (0;1), (2;4)  log ( y  x)  log y  115.   x  y  25   x 1   y  116.  3log9 (9 x )  log y    x  y 1  117.  3x   18 y  x.2 y  972 118.   log 3 x  y   log y x  log x y  x  y  12  119.  x y   y x   32 120.       log x  y   log x  y  Hồng Ngọc Phú ĐS : (2;2), (-2;-2) ĐS : (3;4) ĐS : (1;1), (2;2) ĐS : ( ;log 4) ĐS : (5;2) ĐS : (3;3) ĐS : (2;1) Page  y   log x ĐS : (16;3), (1/64;-2) y x  4096  121.   x4 y 3 122.   log x  log y 0 ĐS : (1;1), (9;3) 3 x.2 y  1152 123.  ĐS : (-2;7)  log ( x  y )  2  log1 x (1  y  y )  log1 y (1  x  x )  124.   log1 x (1  y)  log1 y (1  x)  4log3 ( xy )   ( xy )log3 125.  ĐS : (1;3), (3;1) 2   x  y  3x  y  22  x2  y  y  x 126.   2 x y 2 5 ĐS : ( ; ) ĐS : (-1;-1), (1;0)  x 1  x  y ln(1  x)  ln(1  y )  x  y ĐS : (0;0) 127.  2  x  12 xy  20 y  y 1  x  x  2x   1 128.  x 1   y  y  y   1 ĐS : (1;1)  x  y  11 log x  log y   log 15 149.   x  y  11  log x  log y   log 15 Điều kiện: x > y > :   x  y  11   log xy  log 30  x  y  11 .   xy  30 X  x, y nghiệm phương trình: X2 –11X + 30 =   . ĐS : (5 ; 6), (6 ; 5) X    lg x  y   lg 150.  Điều kiện: x + y > x –y > lg x  y   lg x  y   lg lg x  y   lg lg x  y  lg 10  lg             lg x 