Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung Trang Mục lục Mục lục A Đặt vấn đề .2 I Lời nói đầu II.Thực trạng vấn đề Thực trạng 2 Kết quả, hiệu thực trạng B Giải vấn đề4 I Các giải pháp thực hiện.4 Chơng 1: Đại cơng phép biến hình.4 Đại cơng phép biến hình Phép chiếu theo phơng v lên đờng thẳng .5 Phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng Chơng 2: Các phép dời hình11 1.Khái niệm phép dời hình11 2.Một số phép dời hình thờng gặp 11 2.1.Phép ®èi xøng trôc…………………………………………………….11 2.2.phÐp quay…………………………………………………………………16 Phô lôc……………………………………………………………… 20 C kÕt luận 21 Kết nghiên cứu.21 Kiến nghị, đề xuất 24 Tài liệu tham khảo25 A đặt vấn đề I lời nói đầu Chủ đề phép biến hình mặt phẳng chủ đề rộng hình học, bao gồm: đại cơng phép biến hình, phép dời hình (Phép tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục, phép quay, phép dời hình), phép đồng dạng(Phép vị tự, phép đồng dạng) Trong đề tài tác giả giới hạn nghiên cứu sâu số phép dời hình mặt phẳng (Không đề cập phép đồng dạng) dới góc độ hình học sơ cấp, đặc biệt hình học giải tích, véc tơ tọa độ mặt phẳng, phù hợp với đối tợng học sinh THPT, không tiếp cận dới góc độ hình học cao cấp hay toán học đại Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung Nội dung tài đợc chia thành hai chơng: - Chơng 1: Đại cơng phép biến hình Trong chơng nghiên cứu sâu phép biến hình: phép chiếu theo phơng v lên đờng thẳng ( Còn gọi phép chiếu song song), phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng ( Còn gọi phép chiếu trực giao) - Chơng 2: Các phép dời hình Trong chơng nghiên cứu sâu phép biến hình: phép đối xứng trục, phép quay Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chuyên môn đà tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành đề tài này, nh đồng nghiệp nhiệt tình đóng góp ý kiến, giúp đỡ động viên tác giả để đề tài hoàn thiện Mặc dù tác giả đà cố gắng nhiều trình nghiên cứu trình bày, song không tránh khỏi khiếm khuyết Rất mong đợc đóng góp ý kiến độc giả! II thực trạng vấn đề Thực trạng: Trong chơng trình Hình Học 10 (SGK chỉnh lí hợp năm 2000NXBGD) đà trình bày đại cơng phép biến hình (Chơng III), sau chơng trình Hình Học 11( Chơng trình chuẩn nâng cao- NXBGD năm 2007) có trình bày biểu thức tọa độ phép: tịnh tiến, đối xứng trục (Với trục đối xứng Ox Oy), không trình bày biểu thức tọa độ phép quay, SGV Hình Học nâng cao có nói đến biểu thức tọa độ phÐp ®èi xøng trơc ®i qua gèc täa ®é, nhng cha nói rõ cách xác định hay giá trị cos sin Ngoài giáo trình Toán tập tác giả Jean Marie Monier (NXBGD-2000) có trình bày biểu thức tọa độ đầy đủ phép đối xứng trục, nhng việc áp dụng vào chơng trình THPT không đơn giản Cha đề cËp ®Õn biĨu thøc täa ®é cđa phÐp quay Kết quả, hiệu thực trạng trên: Kết quả, hiệu thực trạng cha đáp ứng đợc nhu cầu tìm tòi sáng tạo học sinh giáo viên, cha tiếp cận đợc với Hình Học cao cấp Toán học đại, số chỗ cha nói lên rõ đợc chất (cốt lõi) vấn đề (Định lí không đợc nêu, hệ đợc phát biểu thành định lí), đặc biệt cha tiếp cận đợc với xu hớng thi trắc nghiệm môn Toán Chẳng hạn ta xét tình ''Tìm ảnh d' đờng thẳng d: 2x + y - = qua phÐp tÞnh tiÕn theo véc tơ v = (3;-1)'' Thông thờng (theo phơng pháp cũ) để giải tình ta làm nh sau:  x ' 1  +LÊy M(1;0) thuộc d xác định ảnh M' = T v (M):  y ' 0   M'(4;-1)  +Vì d' // d (hoặc trùng d) d' qua M' nên phơng trình d' là: 2.(x- 4) +1.(y+1) =  d': 2x + y - = Qua đòi hỏi học sinh phải nắm đợc biểu thức tọa độ phép tịnh tiến tính chất ''Phép tịnh tiến biến đờng thẳng thành đờng thẳng song song trùng với nó'' tác giả đà giải tình nh sau: +Lấy tích vô hớng n = (2;1) v = (3;-1): v n 2.3 15 +Phơng trình d' là: 2x + y - - =  2x + y - = Vậy tình đợc giải đơn giản nhiều Kết đợc trình bày dạng tổng quát định lí nh sau: *định lí Cho v = (a; b) đờng th¼ng  : Ax + By +C = Khi T v biến thành đờng thẳng ' có phơng trình : ' : ( ) - v n = (  ) - vế trái đờng thẳng Về phép đối xứng tâm ta có định lí 2 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung *định lí Cho I (a; b) đờng thẳng : Ax + By +C = Khi ĐI biến thành đờng thẳng ' có phơng trình là: ' : (  ) -2  = ®ã  = aa + Bb + C Mét t×nh huèng khác " Ngoài phơng pháp cộng đại số, (phơng pháp Gauss), phơng pháp định thức (phơng pháp Cramer), phơng pháp thế, phơng pháp đồ thị, phơng pháp đoán nhận nghiệm Còn phơng pháp để giải hệ hai phơng trình bậc hai ẩn cách tơng đối ngắn gọn hay không?" Trong chơng có cách giải Từ thực trạng mạnh dạn tìm tòi, nghiên cứu đa sáng kiến với mục tiêu nghiên cứu sâu phép biến hình mặt phẳng dới góc độ hình học sơ cấp, đặc biệt hình học giải tích, véc tơ tọa độ mặt phẳng, phù hợp với đối tợng học sinh THPT, không tiếp cận dới góc độ hình học cao cấp hay toán học đại Trong đề tài chóng ta cung cÊp mét sè kiÕn thøc míi bỉ xung phép biến hình mặt phẳng, đa số phơng pháp giải toán, rèn luyện t lôgic, t trừu tợng, tiếp cận với phơng pháp nghiên cứu khoa học, tìm tòi sáng tạo học tập, nghiên cứu giáo viên học sinh có ví dụ, tập vận dụng nhằm minh họa hay rèn luyện kĩ định Đặc biệt đáp ứng với nhu cầu đổi phơng pháp dạy học xu hớng tiếp cận với hình thức thi trắc nghiệm môn Toán, đòi hỏi phải giải nhanh, đắn xác toán với thời gian câu ngắn b Giải vấn đề I Các giải pháp thực Để giải vấn đề đặt cần nắm đợc kiến thức bản, tơng đối thành thạo kĩ định chơng trình Hình Học 10 (Chơng trình chuẩn nâng cao- NXBGD 2006) Từ đa toán nhỏ hay ví dụ minh họa hay dẫn dắt tới khái niệm, định nghĩa, định líđợc trình bày chơng chơng Trong chơng có tập tự giải theo phơng pháp đà nêu đề tài (có thể giải theo phơng pháp cũ để kiểm chứng) chơng 1: đại cơng phép biến hình 1.đại cơng phép biến hình 1.1.Ví dụ mở đầu Trong mặt phẳng cho đờng thẳng cố định véc tơ v cho v không véc tơ phơng Với điểm M , ta xác ®Þnh M’ nh sau: vÏ d ®i qua M nhËn v làm véc tơ phơng M = d Nh theo cách với điểm M xác định đợc M 1.2.Định nghĩa Phép biến hình mặt phẳng qui tắc cho tơng ứng điểm M xác định điểm M thuộc mặt phẳng Điểm M định nghĩa gọi điểm tạo ảnh (Gọi tắt là: tạo ảnh) Điểm M định nghĩa gọi điểm ảnh (Gọi tắt là: ảnh) M Ta nói phép biến hình biến M thành M Nếu ký hiệu phép biến hình F ta viết: F(M) = M’ hc M’ = F(M) hc F: M  M’ Ví dụ Trong ví dụ mở đầu, ta gọi phép biến hình là: phép chiếu theo phơng v (M) = M v lên đờng thẳng Ta cã thĨ kÝ hiƯu lµ: F VÝ dơ Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung Đặc biệt ví dụ mở đầu, v véc tơ pháp tuyến ta gọi phép biến hình là: phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng ( Còn gọi phép chiếu trực giao) Kí hiệu lµ: F   M  M' *Chó ý: PhÐp biến hình biến điểm M thành M gọi phép đồng 1.3.ảnh hình qua phép biến hình Cho hình H Tập hợp điểm {M=F(M) với M H} gọi ảnh hình H qua phÐp biÕn h×nh F KÝ hiƯu F(H) = H’ 1.4.TÝch cđa hai phÐp biÕn h×nh Cho hai phÐp biến hình f g, g(M) = M f(M) = M Khi phép biến hình biến M thàmh M kết việc thực liên tiếp hai phép biến hình g f đợc gọi tích (hay: hợp thành) f g.Ký hiệu f g *Định nghĩa Tích (hay: hợp thành) hai phép biến hình f g phép biến hình h có đợc cách thực liên tiếp hai phép biến hình g f.Ký hiệu là:H = f g Nh vậy, theo định nghĩa:H(M) = f  g(M) = F(G(M)) (Cã thÓ më réng cho tích số phép biến hình) Sau nghiên cứu kĩ phép chiếu theo phơng v lên đờng thẳng phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng 2.phép chiếu theo phơng v lên đờng thẳng Trong ví dụ mở đầu ta mô tả phép chiếu theo phơng v lên đờng thẳng Sau ta định nghĩa xác phép biến hình 2.1.Định nghĩa Trong mặt phẳng cho đờng thẳng véc tơ v không véc tơ phơng đờng thẳng Phép biến hình biến điểm M thành M’ cho:  MM ' k v    M '  (I) gäi lµ phÐp chiÕu theo phơng v lên đờng thẳng Kí hiệu là: F Ký hiệu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  : Ax + By + C = Ký hiệu n = (A;B) véc tơ pháp tuyến u = (B;-A) véc tơ phơng -Với điểm M(xM ; yM), ta ký hiÖu  (M) = AxM + ByM + C số thực thay tọa độ M vào vế trái ; -Nếu M0(x0;y0) = Ax0 + By0 + C; -NÕu M(x; y) bÊt k× th× (  ): =  (M): = Ax + By + C Bài toán Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng thẳng d: x = x0 + at , y = y0 + bt vµ ®êng th¼ng  : Ax + By +C = HÃy xác định tọa độ giao điểm d biết aa +Bb Giải Đặt v = (a;b) véc tơ phơng d, tacó v n = aa +Bb 0.Ta cần xác định giá trị t0 tháa m·n : A(x0 + at) +B(y0 + bt) + C =0 v  S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Ngun Xu©n Chung  (aa +Bb)t0 + (Ax0 + By0 + C) =  t0 = - Ax  By  C aA  bB =- 0 v.n Thay giá trị t0 vào phơng trình d ta xác định đợc tọa độ giao điểm: x0 = x0 + at0 , y’0 = y0 + bt0 2.2.BiÓu thức véc tơ phép chiếu theo phơng v Bài toán cho phép ta chứng minh định lí sau *Định lí Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  : Ax + By +C = vµ v = (a;b) cho v n = aa +Bb Khi F có biểu thức véc tơ là: MM ' k v (Ia)   ®ã k = , (  ) = Ax + By +C v v.n *Chú ý: Ta xác định n = (A;B) theo phơng trình giữ nguyên mệnh đề Chẳng hạn : : 6x – 9y +2 = th× ta lÊy n =(6; - 9) mà không lấy n =(2; - 3) Muốn lấy n =(2; - 3) ta phải biến đổi vỊ d¹ng  : 2x  3y  0 2.3.BiĨu thøc täa ®é cđa phÐp chiÕu theo ph¬ng v Tõ biĨu thøc vÐc t¬ ta suy biểu thức tọa độ sau *hệ : Nếu F v ®ã k = -  x'  x  ka  y '  y  kb biÕn M(x;y) thành M(x;y) : , ( ) = Ax + By +C vµ  v.n  v (Ib) = (a;b) VÝ dơ H·y t×m tọa độ giao điểm hai đờng thẳng có phơng tr×nh : d: 2x + y - = vµ  : 2x – y + = Giải Kí hiệu v = u =(1;-2) n =(2; - 1) ta cã: v n =4 0 LÊy d M0(0;1) trªn d   = 2.0 -1.1 +3 = Khi ®ã k0 =- 0 v.n =- 1  x '      2 hay d   = (- ; 2) VËy   y ' 1  ( 2) 2  *ý nghÜa Tõ ta cã thªm mét phơng pháp để giải hệ hai phơng trình bậc hai ẩn Nó khác với phơng pháp đà biết nh: phơng pháp cộng đại số, (phơng pháp Gauss), phơng pháp định thức (phơng pháp Cramer), phơng pháp thế, phơng pháp đồ thị Hiển nhiên phơng pháp có u điểm nhợc điểm riêng phải cho kết quả, chất chúng phải tơng đơng Ưu điểm phép chiếu theo phơng v là: Ta chọn điểm M0(x0;y0)  d cho viƯc tÝnh to¸n  = Ax0 + By0 + C lµ thn tiƯn vµ dƠ dµng nhÊt: NÕu v n = aa +Bb = 0 hai đờng thẳng song song tức hệ vô nghiệm ; Nếu v n = aa +Bb = vµ  = hai đờng thẳng trùng nhau, tức hệ có vô số nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung Ngoài phần sau ta có øng dơng quan träng cđa phÐp chiÕu theo ph¬ng v Ví dụ Tìm giao điểm hai đờng thẳng : d: 2x +3 y +1 =  : 4x+5 y -6 = Gi¶i XÐt v = u =(3;-2) vµ n =(4; 5)  v n =2 0 LÊy M0(1;-1)  d   = d -7 Khi ®ã k0 =- 0 v.n = 7 23   x0 ' 1   VËy  hay d   = ( 23 ;-8)  y '   ( 2)   *nhËn xét Từ phép chiếu theo phơng v lên đờng thẳng  , chóng ta cã thĨ më réng nghiªn cøu phép đối xứng trợt với trục đối xứng 3.phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng 3.1.Định nghĩa Trong mặt phẳng cho đờng thẳng véc tơ pháp tuyến n Phép biến hình biến điểm M thµnh M’ cho: MM ' k n  M ' (II) gọi phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng Kí hiệu là: F   *Lu ý : ta thêng vÉn sö dụng H thay cho M 3.2.Biểu thức véc tơ *Định lí Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho : Ax + By +C = Khi ®ã F   biÕn M(x;y) thµnh H cã biĨu thøc vÐc tơ xác định bởi: (IIa) MH k n k = -   n , (  ) = Ax + By +C Chøng minh Ta cÇn chứng minh hai điều: MH phơng với n (1), H (2).Thật vậy: Xét hai trờng hợp - NÕu M   nghÜa lµ  (M) = suy k = 0.Khi ®ã tõ (IIa) dƠ dµng suy H M - NÕu M   Khi hiển nhiên (IIa) suy (1) Từ k = -   n  k n2 = - ( ) so sánh với (3) ta có : +C) MH n (3) Nhân vô híng hai vÕ cđa (IIa) víi n = - (  )  A(xH- x) +B(yH- y) = - ( Ax + By  AxH + ByH +C=0 suy (2) (đpcm) *Chú ý : Trong định lí chọn v = n ta có định lí 3.3.Biểu thức tọa độ Từ biểu thức véc tơ dễ dàng suy biểu thức tọa độ sau *hệ 1: Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung x H x  kA  y H  y  kB NÕu F   biÕn M(x;y) thµnh H(xH;yH) : k = - n (IIb) , (  ) = Ax + By +C Ví dụ Cho điểm M(1;2) : 3x + 4y -1 =0 HÃy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H M Giải: Tính giá trị k0 =- F  n =-   =- 2 4   x H 1   biÕn M(x;y) thµnh H(xH;yH)    H(- ; ) 2 5  y H 2   5  VÝ dô Cho tam gi¸c ABC cã A(0;1), B(-2;5), C(4;9) H·y x¸c định tọa độ chân đờng cao AH tam giác Giải Phơng trình đờng thẳng BC: x y    : 2x-3y+19 =0 42 M0 A(0;1) suy k0 =-  0  n =- 9   19 2    3 =- 16 13 16 32   x H 0  13  13 32 61 Suy täa ®é cđa H :  ) ;  H(  16 61 13 13  y H 1  ( 3)  13 13  3.4.Các hệ khác *hệ Hai điểm M1 M2 phía đờng thẳng :   (M1)  (M2) > *hƯ qu¶ Với điểm M(x; y) ta có : d(M, ) =MH =   = n Ax  By  C A2  B Tõ c¸c hƯ phép chiếu theo phơng v lên đờng thẳng ta chứng minh đợc định lí sau Nội dung ý nghĩa định lí : biết phơng trình ba cạnh tam giác, ta dựa vào véc tơ pháp tuyến để viết đợc phơng trình đờng phân giác góc tam giác mà không cần giải tìm tọa độ ba ®Ønh ®Ĩ xÐt dÊu ký hiƯu Víi a = (a1, a2) vµ b = (b1, b2) ta ký hiƯu T = a2b1 định thức cấp hai tạo a vµ b a b = a1 b1 a2 b2 = a1b2- *Định lí Cho tam giác mà ba cạnh có phơng trình : D1: A1x +B1y+C1=0; D2: A2x +B2y +C2=0; D3: A3x +B3y +C3=0 Gäi d1 lµ đờng phân giác góc đối diện cạnh Khi ®ã  D2   D3  a)NÕu T1 = n n1 < phơng trình d1 lµ : n  n ; n2 n3 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm b) NÕu T1 = n1 n2 n1 n3 Ngun Xu©n Chung > phơng trình d1 : D2 n2 D3 n3 Chẳng hạn ta xét ví dụ sau đây: Cho D1: 3x + 4y – = ; D2: 4x +3y – = ; D3: y = Gäi A = D1  D2 ; B = D2  D3 ; C = D3  D1 H·y viÕt ph¬ng trình đờng phân giác góc A (Đề 16 Bộ đề thi tuyển sinh) Ta giải ví dụ trớc chứng minh định lí sau: Giải : Do A đối diện với D nên ta xÐt T3 = n3 n2 n3 n1 = 3 = 12 > Do phơng trình đờng phân giác cđa gãc A lµ d3: 4x  3y   32  3x  y  32   d3: x + y = (Ta giải tìm tọa độ B, C viết phơng trình d3 theo phơng pháp cũ) Bây ta chứng minh định lí Gọi A, B, C lần lợt đỉnh tam giác đối diện với cạnh D1, D2, D3 d1 đờng phân giác gãc A - PhÐp chiÕu theo ph¬ng u ( B ; A ) lên D2 biến B thành A, ta cã: 3 D2 ( B )  B3  x A x B  u n2  nhân vế lần lợt với A1, B1 cộng D2 ( B )  y A yB  ( A3 ) u3 n2 lại cộng thêm C1, vµ B thuéc D1 ta cã: D1(A) = - A1 B3  A3 B1 D2 ( B ) u3 n2 =- n1.u3 D2 ( B ) n2 u3 (a) - Tơng tự (đối với C): D1(A) = - Với chó ý r»ng (D1(A))2 = - n1.u D3 (C ) n3 u n2 u3  n3 u2 ( n1 u ).(n1 u ) ( n u ) (b) nhân vế (a) vµ (b) ta cã: D2 ( B) D3 (C ) >  T1.D2(B)D3(C) < (c) - Ta giả thiết M thuộc d1 khác A (M trùng A hiển nhiên mệnh đề đúng), đó: d(M, D2) = d(M, D3) (d) ®ång thêi  D2 ( M ).D2 ( B )    D3 ( M ).D3 (C )   D ( M ).D ( B )  hc   D2(M)D3(M)D2(B)D3(C) >  D3 ( M ).D3 (C )  (e) - Nh©n hai vÕ cđa (c) vµ (e) suy T1.(D2(M).D3(M)) < (f) Cuèi cïng tïy theo dÊu cđa T1 mµ tõ (f) vµ (d) khẳng định định lí (Dựa vào định thức cấp ba việc tìm tọa độ giao điểm đờng thẳng , ta chứng minh đợc định lí 5)(Xem[6]) Chúng ta mở rộng nghiên cứu phép chiếu theo phơng v lên mặt phẳng ( Còn gọi phép chiếu song song), phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng, mặt phẳng ( Còn gọi phép chiếu trực giao) không gian đề tài khác Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung Chơng 2: Các phép dời hình 1.khái niệm phép dời hình Ví dụ phép dời hình Cắt mảnh giấy theo hình tùy ý (Chẳng hạn: hình trái tim), đặt hình lên trang giấy di chuyển hình trang giấy cách tùy ý Kết là: hình thay đổi vị trí tất yếu tố khác hình không thay đổi.Tính chất có đợc khoảng cách hai điểm không thay đổi di chun ë vÞ trÝ (1) ta di chun ®Õn vÞ trÝ (2) ta ®· thùc hiƯn mét phÐp dời hình 1.1.Định nghĩa Phép biến hình bảo toàn khoảng cách hai điểm gọi phép dời hình *Cho F phép biến hình biến cặp điểm M, N lần lợt thành M, N.Để chứng minh F phép dời hình ta chứng minh: MN = MN *Nhận xét -Theo định nghĩa dễ dàng suy ra: tích hai phép dời hình phép dời hình -Hiển nhiên: Phép đồng phép dời hình 1.2.Tính chất *Định lí Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự thẳng hàng ba điểm Chứng minh Giả sử phép dời hình F biến ba điểm thẳng hàng A, B, C với B A C lần lợt thành A, B, C(1) Ta phải chứng minh A, B, C thẳng hàng với B A C(2).Thật vậy: (2) AB +BC = A’C’  AB + BC = AC  (1)(V× theo định nghĩa (1) ta có: AB = AB, BC = BC, AC = AC) (đpcm) 1.3.Định nghĩa Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình *Nhận biết hai hình thực tế: hai hình khác vị trí (Nếu có) Từ định nghĩa tính chất ta có hệ sau *hệ Phép dời hình biến đờng thẳng thành đờng thẳng , tia tành tia, góc, đa giác, đờng tròn thành hình 2.một số phép dời hình thờng gặp 2.1.phép đối xứng trục (phép đối xứng qua đờng thẳng) 2.1.1.Định nghĩa Trong mặt phẳng cho đờng thẳng Phép biến hình biến điểm M thuộc thành M, điểmM không thuộc thành M’ cho  lµ trung trùc cđa MM’ gäi phép đối xứng qua đờng thẳng (gọi tắt phép đối xứng trục) Kí hiệu là: Đ *NhËn xÐt 1: §  (M) = M’  §  (M’) = M VÝ dơ 1Cho h×nh thoi ABCD Khi ĐAC biến: A thành A, C thành C, B thành D, D thành B AC BD trung điểm đờng 2.1.2.Biểu thức véc tơ *định lí Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  : Ax + By +C = Khi ®ã §  biÕn M(x;y) thµnh M(x’; y’) cã biĨu thøc véc tơ xác định bởi: Sáng kiến kinh nghiệm Ngun Xu©n Chung MM ' 2k n (IIIa)   ®ã k = - n , (  ) =  (M) = Ax + By +C Chøng minh Ta cần chứng minh hai điều: MM ' phơng với n (1), trung điểm MM  nÕu M   (2).ThËt vËy: XÐt hai trêng hợp - Nếu M nghĩa (M) = suy k = Khi ®ã tõ (IIIa) dƠ dµng suy M’ M - NÕu M Khi hiển nhiên (IIIa) suy (1) Tõ k = -   n  k n = -( ) (3) Nhân vô hớng hai vế (IIIa) với n so sánh víi (3) ta cã : MM ' n = -2(  )  A(x’-x) +B(y’-y) = -2( Ax + By +C) x ' x )+ B( y ' y ) +C=0 suy (2) ®óng (®pcm)  A( 2 2.1.3.Biểu thức tọa độ Từ biểu thức véc tơ dễ dàng suy biểu thức tọa độ sau *hệ qu¶  x '  x  2kA  y '  y  2kB NÕu §  biÕn M(x;y) thành M(x; y) : ®ã k = - n (IIIb) , (  )=  (M) = Ax + By +C *NhËn xÐt -Nếu Ox có phơng trình : y = A = 0, B = k = - y nªn tõ (IIIb)  x’ = x, y = - y Đây biểu thức tọa ®é cđa phÐp ®èi xøng §Ox -NÕu   Oy có phơng trình : x = A = 1, B = vµ k = - x nªn tõ (IIIb)  x’ = - x, y’ = y Đây biểu thức tọa độ phép đối xứng Đ Oy -Nếu đờng phân giác thø nhÊt: x – y = th× A = 1, B = - 1, 2k = y – x nªn (IIIb)  x’ = y, y’ = x Ta có M(x; y) M(y; x) đối xứng qua ®êng th¼ng y = x quen thc VÝ dơ Cho điểm M(1;2) : 3x + 4y -1 =0 HÃy tìm tọa độ M đối xứng với M qua Giải: Tính giá trị k0 = -  0  n =-   = 32    x' Đ biến M(1; 2) thành M(x; y’)    y ' 2   -  5  M’(- ; - ) 5  5 VÝ dơ Cho ®iĨm M(1; 5) vµ d: x – 2y + = HÃy tìm ảnh M qua Đd (Xem ví dụ trang 12-SBT HH 11 NXBGD 2007) Giải Tính giá trÞ k0 = -  0  n =- 1.1  2.5  12  (  2) 10 = - S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Ngun Xuân Chung Đd biến M(1; 5) thành M(x; y)  x' 1 (  2).1 3   y ' 5  (  2).(  2) 1  M(3; 1) *định lí Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  : Ax + By +C = Khi Đ biến véc tơ u thành u ' xác định bởi: u ' = u -  n (IVa) ®ã  = u.n n , n =( A; B) Chøng minh Chó ý r»ng khái niệm hai véc tơ không phụ thuộc vị trí chúng, nên ta chứng minh hai điều: ( u ' + u )  n (1), vµ u ' = u (2) ThËt vËy: -Céng c¶ hai vế (IVa) với u nhân vô hớng biểu thức nhận đợc với n (Để ý định nghÜa  ) ta cã ( u ' + u ) n = u n -  n = u n - u n = suy (1) đợc chứng minh -Bình phơng vô hớng (IVa) ta có: 2 2 2 2 2  (2) u ' = u +4  n -  u n = u +4  n -  n = u đúng(đpcm) Từ cách chứng minh ý (2) định lí ta có hệ sau *hệ Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách hai điểm (Phép đối xứng trục phép dời hình) Từ nhận xét hệ ta có nhận xét sau *Nhận xét §  (M(x; y)) = M’(x’; y’)  §  (M’) = M   x  x '2k ' A   y  y '2k ' B ®ã k’ = -   ' n (IIIc) , (  ’) = Ax’ + By’ +C Bëi vËy, gi¶ sư M(x; y)   : A1x + B1y + C1 = th× tõ (IIIc) ta cã: = A1x + B1y + C1 =  1(M’) + 2k’( n n ) =  1(M’)- (M) Ta có định lí *định lí Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng thẳng : Ax + By +C = đờng thẳng : A1x + B1y + C1 = Khi Đ biến thành có phơng trình : :  1(  ) - (  1) = (IVb) ®ã  = n1.2n , n n1 =( A1; B1), n =( A; B) VÝ dụ Trong mặt phẳng Oxy cho d: 3x y + = HÃy viết phơng trình đờng thẳng d = Đ Oy (d) (Xem BT2 SGK HH11 trang 11 NXBGD 2007) Giải:Ta có phơng trình Oy: x = 0, n1 =( 3;- 1) , n =( 1; 0)   = n1.2n = n VËy theo định lí phơng trình d = Đ Oy (d) lµ: 2.3(x) – (3x – y + 2) =  d’: 3x + y – = Ví dụ HÃy tìm đờng thẳng d1 đối xøng víi d1 : 5x + y – 14 = 0, d2 đối xứng với d2: 5x + 3y + 10 = qua đờng thẳng có phơng tr×nh :  : 5x + 3y – = 11 Sáng kiến kinh nghiệm Giải:Ta có: 2= n2 n n 14 17 n1 =( 5; 1), NguyÔn Xu©n Chung n2 =(5; 3), n =( 5; 3) suy  = n1.2n = n 14 17 vµ = Do theo định lí ta có phơng trình d1 d2 là: d1: .(5x + 3y – 4) – (5x + y – 14) =  d’1: 55x + 67y + 126 = d’2: 2.1.(5x + 3y – 4) – (5x + 3y + 10) =  d’2: 5x + 3y – 18 = (Cã thĨ kiĨm tra l¹i r»ng song song cách d2 d2 ; đờng phân giác góc tạo d1 d1) Ví dụ Lập phơng trình cạnh tam giác ABC , biết B(2; - 1), đờng cao phân giác qua hai đỉnh A C lần lợt có phơng trình: d1 : 3x - y + 27 = ; d2: x + 2y - = (§Ị 84- Bé đề thi tuyển sinh) Giải A d Phơng trình đờng thẳng BC qua B d1 : 4(x - 2) 3(y + 1) =  4x + 3y - =0 Do CA ®èi xøng víi CB qua d2 nên có phơng trình: C B 4.1  3.2 2 ( x + 2y - 5) – (4x + 3y - 5) =0  CA: y – = d1 2 Do ®ã CA  d1 = A(- 5; 3) Tõ ®ã ta có phơng trình AB: 4x +7y = 2.1.4.Các hệ khác Từ hệ định lÝ ta cã hƯ qu¶ sau *hƯ qu¶ Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự thẳng hàng chúng Phép đối xứng trục biến tia thành tia, góc, đa giác, đờng tròn thành hình Ví dụ Cho hai đờng thẳng c, d cắt hai điểm A, B không thuộc chúng HÃy xác định điểm C c D d cho ABCD hình thang cân có AB cạnh đáy (không cần biện luận) Giải Gọi a trung trực AB a cố định ABCD hình thang cân có AB cạnh đáy (Khi CD cạnh đáy) Đa(A) = B, §a(D) = C Bëi vËy: D  d C d = Đa(d), kết hợp C c ta cã C = d’  c VËy C đợc xác định, D = Đa(C) 2.1.5.Phơng pháp giải toán *Để vận dụng phép đối xứng trục giải toán ta phải xác định đợc trục phép đối xứng (Đặc điểm là: có xuất tạo đờng trung trực đoạn thẳng) Trong mặt phẳng tọa độ -Viết đợc biểu thức tọa độ -BiĨu diƠn täa ®é x; y theo x’; y’ -Thay tọa độ x, y vào phơng trình đờng (C) ta có tập hợp x, y ảnh (C) (C) (ở (C) đờng thẳng , đờng tròn, parabol) Giả sử đợc xác định trung trực MM Khi đó: M thuộc (H) M thuộc (H) =Đ (H) 2.1.6.Các tËp 2.1.1 Cho I(1;-1) vµ  : 3x + 4y +1 =0.Viết phơng trình I = Đ (I) 2.1.2 Cho I(3;-2) vµ  : 3x - 2y +1 =0 Viết phơng trình I = Đ (I) 12 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung 2.1.3 Cho đờng tròn(C) có phơng trình: x2 + y2 4x + 6y – = 0, vµ  : 3x - 2y +1 =0 Viết phơng trình (C) = Đ ((C)) 2.1.4 Trong mặt phẳng Oxy cho A(2; 0) đờng thẳng : x - y +2 =0 a Tìm ®iĨm ®èi xøng cđa O qua  ; b T×m M để đờng gấp khúc OMA ngắn 2.1.5 HÃy tìm đờng thẳng d1 đối xứng với d1 : 2x - y + = 0, vµ d’2 ®èi xøng víi d2: 3x + 4y - = qua đờng thẳng có phơng trình :  : 2x - y + = 2.1.6.ViÕt phơng trình đờng thẳng d1 qua A(0; 4) d2 qua B(5; 0) cho d1 d2 t¹o víi mét gãc nhËn  : 2x -2y + = làm đờng phân giác 2.1.7 Viết phơng trình d qua P(3;0) cắt hai đờng th¼ng D1: 2x – y – = 0; D2: x+ y + = A B cho PA = PB *************************** 2.2.phép quay 2.2.1.Định nghĩa Trong mặt phẳng cho điểm I góc lợng giác Phép biến hình biến I thành I, biến điểm M thành M cho IM = IM vµ (IM’, IM) =  gäi lµ phÐp quay tâm I, góc quay Kí hiệu là: Q(I, ) M *Chú ý Ta gọi I tâm quay, góc quay IM bán kính quay *Nhận xét 1: a.Các phép quay tâm I với góc quay + k2 biến M thành M Bởi ta cần xét -      M Nh vËy ta cã Q(I,  )(M) = M’  Q(I, - ) (M) = M b.Nếu đặt IM ' = u ' , IM = u th× u ' = u , u ' u = u cos  A VÝ dơ Cho tam ®Ịu ABC Khi đó: Q(A, 60 ) biến: A thành A, B thµnh C Nhng Q(A, - 60 ) biÕn: A thành A, C thành B 2.2.2.Biểu thức tọa độ B C Tõ nhËn xÐt 1b ta sÏ cã biÓu thức tọa độ sau *định lí u Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Q(I, ) Khi ®ã Q(I,  =(A; B) thµnh u ' =(A’; B’) xác định bởi: A' A cos B sin    B ' A sin   B cos  ) biÕn vÐc t¬ (IVa) Chøng minh Ta chøng minh ba ®iỊu: Q(I,  ) biÕn I thµnh I (1), u ' = u (2) vµ u ' u = u cos  (3) Thật vậy: với véc tơ u =(A; B) cho tríc, tån t¹i M cho IM = u =(A; B) vµ gäi IM ' = u ' = (A’; B’) -Víi u =(A; B) = (M I) th× tõ (IVa) ta cã u ' = IM ' = (M I) (1) đúng; -Bình phơng vế hệ thức (IVa) cộng lại ta cã A’2 + B’2 = (A2 + B2 )(cos2  + sin2  ) = A2 + B2  (2) đúng; -Nhân lần lợt vế (IVa) với A B cộng lại ta có AA + BB = (A2 + B2) cos   (3) ®óng(®pcm) Tõ cách chứng minh ta có hệ sau *hệ 13 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung Phép quay bảo toàn khoảng cách hai điểm (Phép quay phép dời hình) Từ (IVa) ta có nhận xét sau *Nhận xét 2: ảnh véc tơ qua phép quay không phụ thuộc tâm quay Đặc biệt: = 45o n' ảnh véc tơ pháp tuyến n = (A; B) đờng thẳng chọn n' = (A – B; A + B) hc n' =(A+B; A+B) Ví dụ Viết phơng trình d qua A(2; 1) tạo với : 2x + 3y +4 = mét gãc 45o (§Ị 71- Bé ®Ị thi tun sinh) Gi¶i Theo nhËn xÐt víi n =(2; 3) vµ  = 45o, ta cã n' = (-1; 5) hc o n' = (5; 1) VËy phơng trình d qua A(2; 1) tạo với  gãc 45 lµ: d : - x + 5y – = hc d : 5x + y 11 = Từ cách chứng minh định lí ta cã hƯ qu¶ sau *hƯ qu¶ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Q(I, ) , víi I(a; b) Khi ®ã Q(I,  ) biÕn ®iĨm M (x; y) thành M(x; y) xác định bởi: x'  a  ( x  a ) cos  ( y  b) sin    y ' b  ( x  a ) sin   ( y  b) cos (IVb) Chøng minh ChØ cần đặt IM = u =(x-a; y-b) IM ' = u ' = (x’-a; y’-b) thay vµo (IVa)  (IVb) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3; 3), B(0; 5), C(1; 1) HÃy xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC ảnh tam giác ABC qua phép quay Q(O, 90 ) (Xem BT 1.16-SBT HH11 NXBGD 2007) Giải: -Xác định A (x; y) từ công thức (IVb)  x' 0  (3  0) cos 90  (3  0) sin 90     0  y ' 0  (3  0) sin 90  (3  0) cos 90 A(- 3; 3); -Xác định B(x; y) từ công thức (IVb) B(- 5; 0); -Xác định C(x; y’) tõ c«ng thøc (IVb)  C’(- 1; 1) *NhËn xÐt NÕu  =   th× (IVb)  x’ = 2a – x, y’ = 2b – y Đây biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm I(a; b) biến M(x; y) thành M(x, y) Nếu = O(0; 0) tâm quay th× (IVb)  x’ = – y, y’ = x NÕu  = -  vµ O(0; 0) lµ tâm quay (IVb) x = y, y = - x Theo nhận xét hệ ta cã nhËn xÐt sau *NhËn xÐt Q(I,  )(M(x; y)) = M’ (x’; y’)  Q(I, -  ) (M’) = M   x  a  ( x' a ) cos   ( y ' b) sin    y b  ( x ' a ) sin   ( y ' b) cos  (IVc) Bëi vËy: nÕu M(x; y)   : Ax + By +C = th× b»ng cách nhân vế (IVc) lần lợt với A, B cộng thêm C ta đợc = aA +bB +C +(Acos  - Bsin  )(x’- a) + (Asin + Bcos )(y-b) Đây tập hợp M(x; y) ảnh qua phép quay Q(I, ) 14 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung *định lí 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Q(I,  ) , víi I(a; b) Khi ®ã Q(I, biến đờng thẳng : Ax + By +C = thành có phơng trình: ’: (Acos  - Bsin  )(x -a) + (Asin  + Bcos  )(y-b) +  0= ®ã  =  (I) = Aa +Bb +C Từ hệ định lí 10 ta cã hƯ qu¶ sau ) *hƯ qu¶ PhÐp quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự thẳng hàng chúng Phép quay biến tia thành tia, góc, đa giác, đờng tròn thành hình 2.2.3.Một số hệ khác Từ định lí 10 có trờng hợp đặc biƯt *hƯ qu¶ a.NÕu  =   (khi ®ã cos  = 0) th×: Q(I,  ) biÕn đờng thẳng : Ax +By +C= thành có phơng trình : - B(x -a) +A(y-b) +  0= hc  ’ : B(x -a) - A(y-b) +  0= Vµ ta cã  ’   b.NÕu  =  th× Q(I, ) biến đờng thẳng : Ax + By +C = thành có phơng trình (Phép đối xứng tâm ) : Ax + By +C-  =  c.NÕu I  cos Q(I, ) biến đờng thẳng : Ax + By +C = thành có phơng trình: : (A - Btan  )(x -a) + (Atan  + B )(y-b) = Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng thẳng d: 5x - 3y + 15 = 0 HÃy tìm ảnh d qua Q(O, 90 ) (Xem BT 1.16-SBT HH11 NXBGD 2007) Gi¶i Tính giá trị d0 = 5.0 -3.0 + 15 = 15 Theo hệ (4a) ta có phơng trình d’ = Q(O, 90 ) (d) lµ: d’: - ( - 3)(x-0) + 5(y-0) +15 =  d’: 3x + 5y + 15 = VÝ dô C Viết phơng trình cạnh tam giác ABC, biết A(1; 2), B(3; 4) vµ cosA = 2/ , cosB = 3/ 10 Giải Ta tính đợc tanA = 1 cos A /cosA = 1/2, A B tanB = 1 cos B /cosB = 1/3 Ta cã AB = (2; 2) nên AB có véc tơ pháp tuyến n =(1; - 1) -Phơng trình AB: x y + = +Víi phÐp quay t©m A, gãc quay A biến AB thành AC; Với phép quay tâm B, góc quay - B biến BA thành BC nên theo nhận xét (4c) phơng trình AC BC là: AC: (1 + 1/2)(x - 1) + (1/2 - 1)(y - 2) =  3x – y – = 0; BC: (1 - 1/3)(x - 3) + (- 1/3 - 1)(y - 4) =  x –2y + = +Víi phÐp quay t©m A, gãc quay - A biÕn AB thµnh AC; Víi phÐp quay tâm B, góc quay B biến BA thành BC nên phơng trình AC BC là: AC: (1 - 1/2)(x - 1) + (-1/2 - 1)(y - 2) =  x – 3y + = 0; BC: (1 +1/3)(x - 3) + (1/3 - 1)(y - 4) =  2x –y - = -VËy ta có hai nghiệm là: 2 15 Sáng kiến kinh nghiƯm Ngun Xu©n Chung AB: x – y + = 0; AC: 3x – y – = 0; BC: x –2y + = AB: x – y + = 0; AC: x – 3y + = 0; BC: 2x –y - = 2.2.4.Phơng pháp giải toán *Để vận dụng phép quay giải toán ta phải xác định đợc tâm quay, góc quay, bán kính quay (Đặc điểm là: có xuất tạo điểm cố định, góc không đổi) Trong mặt phẳng tọa độ -Viết đợc biểu thức tọa độ biểu diễn tọa độ x; y theo x; y -Thay tọa độ x, y vào phơng trình đờng (C) ta có tập hợp x, y ảnh (C) (C) (ở (C) đờng thẳng , đờng tròn, parabol) Giả sử phép quay Q(I, ) đợc xác định Q(I, ) (M) = M’ Khi ®ã: M thuéc (H)  M’ thuộc (H) = Q(I, ) (H) 5.5.Các tập 2.2.1 Cho I(1;-1) vµ d: 3x + 4y +1 =0.Viết phơng trình d = Q(I ,90 ) (d) 2.2.2 Cho I(3;-2) vµ d : 3x - 2y +1 =0 Viết phơng trình d = Q(I , - 90 ) (d) 2.2.3 Cho đờng tròn(C) có phơng trình: x2 + y2 – 4x + 6y – = 0.ViÕt ph0 ơng trình (C) = Q(I ,90 ) ((C)) 2.2.4 Viết phơng trình d qua A(2; 0) tạo với đờng thẳng góc 45o, với :x + 3y - = 2.2.6 Cho tam gi¸c ABC Dựng phía tam giác hình vuông ABDE BCGH Chứng minh đờng cao BI, AG, CE đồng qui ******************************** Phụ lục Giả sử đờng thẳng : Ax + By +C =0 Khi biểu thức toạ độ phép x ' x 2kA đối xứng trục (Dạng viÕt gän) lµ:   y '  y  2kB ®ã k = -   n , (  )=  (M) = Ax + By +C Nếu thay k vào biểu thức trên, qui đồng mẫu số rút gọn, ta có biểu  B  A2  AB  AC  x'  B  A2 x  B  A y  B  A2 thức toạ độ dạng đầy đủ: 2  y '   AB x  B  A y   BC  B  A2 B  A2 B  A2 2  AB  AC  BC Và đặt cos = B A , sin  = ,a= 2,b= ta cã: 2 B A B A B A B A  x '  x cos   y sin   a   y '  x sin   y cos   b Ma trËn  cos   sin   sin cos có định thức - 1(dời hình nghịch hay phản dời hình) *Đặc biệt qua gốc toạ độ O(0;0) biểu thức toạ độ Đ là: x '  x cos   y sin    y '  x sin   y cos  *Mặt khác xét phép quay Q(O, ) có biểu thức toạ độ: 16 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xu©n Chung  x ' x cos   y sin    y '  x sin  y cos Vậy Đ Q(O, ) có mối liên hệ gì? 2.Xét hai đờng thẳng qua gốc toạ độ O(0;0) (hoặc chọn giao điểm O hai đờng thẳng làm gốc toạ độ) là: : A1x + B1y =  : A2x + B2y = §Ỉt cos  = A1 A2  B1 B2 n1 n2 A1 B2  A2 B1 vµ sin  = n1 n2 , ta sÏ chøng minh hỵp thµnh:    = Q(O,2  ) +Biểu thức toạ độ Đ (M(x;y)) = M'(x';y') lµ:  x' x cos   y sin    y '  x sin 1  y cos 1 Víi cos  = B1  A1 2 B1  A1 , sin  =  A1 B1 B1 A1 +Biểu thức toạ độ Đ  (M'(x';y')) = M''(x'';y'') lµ:  x' ' x' cos   y ' sin    y ' ' x' sin   y ' cos  2 Víi cos  = B2  A2 B2  A2 2 , sin  =  A2 B2 B2 A2 +Từ cách đặt chứng minh đợc: cos2 = cos2 - sin2  = cos  cos  + sin  sin  sin2  =2sin  cos  = 2(sin  cos  - sin  cos  ) Tõ ®ã suy ra:  x' ' x cos 2  y sin 2   y ' '  x sin 2 y cos Đây biểu thức toạ độ phép quay Q(O,2 )(M) = M'' Nh ta hoàn toàn nghiên cứu phép đối xứng trục phép quay thông qua biểu thức toạ độ chúng dạng tổng quát II Các biện pháp để tổ chức thực Biện pháp1: Để thực nội dung đề tài, trình giảng dạy giáo viên cung cấp kiến thức đợc lồng ghép tiết tập thông qua buổi phù đạo, bồi dỡng cho học sinh cho học sinh giải toán nhỏ để khái quát thành định lí Biện pháp 2: Sáng kiến kinh nghiệm tìm tòi, sáng tạo với nội dung míi nhng phï hỵp víi häc sinh THPT, thêi lợng chơng trình giảm tải nội dung nên mức độ cao hơn, đề tài đợc in sách tham khảo hay cao đợc in trong SGK phần phụ lục đọc thêm C kết luận Kết nghiên cứu: Đề tài đề cập đến sè vÊn ®Ị vỊ biĨu thøc täa ®é cđa mét số phép biến hình mặt phẳng Kết đợc tóm tắt nh sau: 1.1 Về biểu thức tọa độ phép tịnh tiến phép đối xứng tâm nh SGK ta không đa ra, nhng ta có hai định lí sau: 17 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung *định lí Cho v = (a; b) ®êng th¼ng  : Ax + By +C = Khi T v biến thành đờng thẳng ' có phơng trình : ' : ( ) - v n = (  ) -lµ vÕ trái đờng thẳng *định lí Cho I (a; b) đờng thẳng : Ax + By +C = Khi Đ I biến thành đờng thẳng ' có phơng trình là: ' : (  ) -2  = ®ã  = aa + Bb + C 1.2 Định nghĩa số kết phép chiếu theo phơng v lên đờng thẳng Định nghĩa Trong mặt phẳng cho đờng thẳng véc tơ v không véc tơ phơng đờng thẳng Phép biến hình biến điểm M thành M cho: MM ' k v   M '  gọi phép chiếu theo phơng là: F v (I) lên đờng thẳng Kí hiệu v *Định lí Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  : Ax + By +C = vµ v = (a;b) cho v n = aa +Bb Khi F có biểu thức véc tơ là: MM ' k v (Ia)   Trong ®ã k = , (  ) = Ax + By +C v  v.n *hƯ qu¶: NÕu F v  x'  x  ka  y '  y  kb biến M(x;y) thành M(x;y) : (Ib)   , ( ) = Ax + By +C = (a;b) v v.n 1.3 Định nghĩa số kết phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng Định nghĩa Trong mặt phẳng cho đờng thẳng có véc tơ pháp tuyến n Phép biến k = - hình biến điểm M thµnh M’ cho: MM ' k n  M ' (II) gọi phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng Kí hiệu là: F  *Lu ý : ta thêng vÉn sư dơng H thay cho M *Định lí Trong mặt phẳng täa ®é Oxy cho  : Ax + By +C = Khi F biến M(x;y) thành H có biểu thức véc tơ xác định bởi: (IIa) MH k n ®ã k = -   n , (  ) = Ax + By +C  x x  kA *hƯ qu¶ 1: NÕu F biến M(x;y) thành H(xH;yH) : H y H  y  kB ®ã k = -   n , (  ) = Ax + By +C 18 (IIb) S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Nguyễn Xuân Chung *hệ Hai điểm M1 M2 phía đờng thẳng chØ khi:  (M1)  (M2) > *hƯ qu¶ Với điểm M(x; y) ta có : d(M,  ) =  = n Ax  By  C A2 B *Định lí Cho tam giác mà ba cạnh có phơng trình : D1: A1x +B1y+C1=0; D2: A2x +B2y +C2=0; D3: A3x +B3y +C3=0 Gọi d1 đờng phân giác góc ®èi diƯn c¹nh  Khi ®ã  D2   D3  a)NÕu T1 = n n < phơng trình d1 : n n ; b) NÕu T1 = 1 n2 n3 n1 n2 n1 n3 > phơng trình d1 lµ :  D2  n2   D3 n3 1.4 Định nghĩa số kết phép đối xứng trục Định nghĩa Trong mặt phẳng cho đờng thẳng Phép biến hình biến điểm M thuộc thành M, điểmM không thuộc thành M cho trung trực MM gọi phép đối xứng qua đờng thẳng (gọi tắt phép đối xứng trục) Kí hiệu là: Đ *định lí Trong mặt phẳng täa ®é Oxy cho  : Ax + By +C = Khi Đ biến M(x;y) thành M(x; y) có biểu thức véc tơ xác định bởi: MM ' 2k n (IIIa) ®ã k = -   n , (  ) =  (M) = Ax + By +C  x '  x  2kA  y '  y  2kB *hÖ : Nếu Đ biến M(x;y) thành M(x; y) : k = *định lí   n (IIIb) , (  )=  (M) = Ax + By +C Trong mặt phẳng tọa ®é Oxy cho  : Ax + By +C = Khi Đ biến véc tơ u thành u ' xác định bởi: u ' = u - n (IVa) = *định lí u.n n , n =( A; B) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng thẳng : Ax + By +C = đờng thẳng : A1x + B1y + C1 = Khi Đ biến thành có phơng trình : : 1( ) - (  1) = (IVb) ®ã  = n1.2n , n n1 =( A1; B1), 1.3 Định nghĩa số kết phép quay Định nghĩa 19 n =( A; B) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung Trong mặt phẳng cho điểm I góc lợng giác Phép biến hình biến I thành I, biến điểm M thành M cho IM’ = IM vµ (IM’, IM) =  gọi phép quay tâm I, góc quay Kí hiệu là: Q(I, ) *định lí u Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Q(I, ) Khi Q(I, =(A; B) thành u ' =(A; B) xác định bởi: ) biến véc tơ A'  A cos   B sin    B ' A sin   B cos  (IVa) *hệ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Q(I,  ) , víi I(a; b) Khi ®ã Q(I, ) biến điểm M (x; y) thành M(x; y) xác định bởi: x' a ( x  a ) cos  ( y  b) sin    y ' b  ( x  a ) sin   ( y  b) cos (IVb) *định lí 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Q(I,  ) , víi I(a; b).Khi ®ã Q(I, ) biến đờng thẳng : Ax + By +C = thành có phơng trình: ’: (Acos  - Bsin  )(x -a) + (Asin  + Bcos  )(y-b) +  0= ®ã  =  (I) = Aa +Bb +C Đặc biệt phép quay tâm O(0;0) góc quay 900 biến ®êng th¼ng  : Ax + By +C = thành có phơng trình: -Bx + Ay +C = Kiến nghị, đề xuất: Qua đề tài sáng kiến kinh nghiệm nêu trên, tác giả chủ quan cho bổ ích việc dạy học, cung cấp thêm công cụ việc giải toán phép biến hình mặt phẳng, phát huy tìm tòi sáng tạo học tập nghiên cứu, tiếp cận đợc kiến thức Toán học cao cấp Toán học đại, phù hợp với xu hớng thi trắc nghiệm Ngoài mở rộng nghiên cứu số phép biến hình khác , đặc biệt phép biến hình không gian Vì tác giả mong đợc quan tâm giúp đỡ ủng hộ thầy cô giáo học sinh, độc giả đặc biệt Ban ngành chuyên môn quan tâm để đề tài trở thành thực, phổ dụng mang lại hiệu cao dạy học Tài liệu tham khảo Trần Văn Hạo -Nguyễn Mộng Hy- Khu Quốc Anh- Nguyễn Hà ThanhPhan Văn Viện (2007),"Hình Học 11" nhà xuất giáo dục 20 ... đà thực phép dời hình 1.1.Định nghĩa Phép biến hình bảo toàn khoảng cách hai điểm gọi phép dời hình *Cho F phép biến hình biến cặp điểm M, N lần lợt thành M, N.Để chứng minh F phép dời hình ta... gọi phép biến hình là: phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng ( Còn gọi phép chiếu trực giao) KÝ hiƯu lµ: F   M  M'' *Chó ý: Phép biến hình biến điểm M thành M gọi phép đồng 1.3.ảnh hình qua phép. .. Khi phép biến hình biến M thàmh M kết việc thực liên tiếp hai phép biến hình g f đợc gọi tích (hay: hợp thành) f g.Ký hiệu f g *Định nghĩa Tích (hay: hợp thành) hai phép biến hình f g phép biến