Đề thi học sinh giỏi môn thi : toán lớp 7 Câu 1 : (2 điểm) Tính : a) A= 68 1 52 1 8 1 51 1 39 1 6 1 + + b) B= 512- 32 2 512 2 512 2 512 .- 10 2 512 Câu 2 : (2 điểm) a) Tìm x,y nguyên biết : xy+3x-y=6 b) Tìm x,y,z biết : zyx yx z zx y yz x ++= + = ++ = ++ 211 (x,y,z 0) Câu 3 : (2 điểm) a) Chứng minh rằng : Với n nguyên dơng ta có S=3 n+2 -2 n+2 +3 n -2 n chia hết cho 10 b) Tìm số tự nhiên x,y biết : 7(x-2004) 2 = 23-y 2 Câu 4 : (3 điểm) Cho tam giác ABC , AK là trung tuyến . Trên nửa mặt phẳng không chứa B , bờ là AC , kẻ tia Ax vuông góc với AC ; trên Ax lấy điểm M sao cho AM=AC . Trên nửa mặt phẳng không chứa C , bờ là AB , kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy điểm N thuộc Ay sao cho AN=AB . Lấy điểm P trên tia AK sao cho AK=KP . Chứng minh : a) AC//BP. b) AK vuông góc với MN. Câu 5 : (1 điểm) a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác vuông với c là cạnh huyền . Chứng minh rằng : a 2n + b 2n c 2n ; n là số tự nhiên lớn hơn 0. đáp án đề thi học sinh giỏi môn thi : toán lớp 7 Câu 1 : (2 đ) a) (1đ) A= 3 4 4 1 3 1 ) 17 1 13 1 2 1 ( 4 1 ) 17 1 13 1 2 1 ( 3 1 == + + b)(1đ) B=512(1- 1032 2 1 . 2 1 2 1 2 1 ) 0,25 B=512 ) 2 1 2 1 ( .) 2 1 2 1 () 2 1 2 1 () 2 1 1( 109322 0,5 B=512 +++ ) 2 1 2 1 . 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1( 109322 B=512 . 10 2 1 =512. 2 1 1024 1 = 0,25 Câu 2 : (2 đ) a) (1đ) xy+3x-y=6 (xy+3x)-(y+3)=3 0,25 x(y+3)-(y+3) =3 (x-1)(y+3)=3=3.1=-3.(-1) 0,25 Có 4 trờng hợp xảy ra : =+ = 13 31 y x ; =+ = 33 11 y x ; =+ = 13 31 y x ; =+ = 33 11 y x Từ đó ta tìm đợc 4 cặp số x;y thoả mãn là : (x=4;y=-2) ; (x=2;y=0) ; (x=-2;y=-4) ; (x=0; y=-6) 0,5 b : (1đ) Từ 211 + = ++ = ++ yx z zx y yz x , suy ra 211 + = ++ = ++ yx z zx y yz x = = 2 1 )(2 = ++ ++ zyx zyx , suy ra x+y+z= 2 1 0,5 Từ đó ta có x+y= z 2 1 ; x+z= 2 1 -y ; y+z= 2 1 -x 0,25 Thay vào ta tìm đợc x= 2 1 ; y= 2 1 ; z=- 2 1 0,25 Câu 3 : (2đ) a) (1đ) S=(3 n+2 + 3 n )-(2 n+2 + 2 n ) =3 n (3 2 + 1) - 2 n-1 (2 3 + 2) 0,5 S=3 n .10 - 2 n-1 .10=10(3 n - 2 n-1 ) chia hết cho 10 0,5 b) (1đ) 7(x-2004) 2 = 23-y 2 7(x-2004) 2 + y 2 =23 (*) Vì y 2 0 nên (x-2004) 2 7 23 , suy ra (x-2004) 2 =0 hoặc (x-2004) 2 =1 0,5 Với (x-2004) 2 =0 thay vào (*) ta có y 2 =23 (loại) Với (x-2004) 2 =1 thay vào (*) ta có y 2 =16 0,25 Từ đó ta tìm đợc (x=2005;y=4) ; (x=2003; y=4) 0,25 Câu 4 : (3 đ) a) (1đ) Chứng minh PKBAKC = (c.g.c) (0,5đ) Suy ra 13 PA = , từ đó suy ra AC//BP (0,5đ) b) (2đ) Chứng minh góc ABP=góc NAM (cùng bù góc BAC) (0,5đ) Chứng minh NAMABP = (c.g.c) (0,5đ) Suy ra 11 NA = Gọi H là giao điểm của AK và MN Chứng minh 0 12 90 =+ AA (0,5đ) Suy ra 12 NA + =90 0 . Do đó AK NM tại H (0,5đ) Câu 5 : (1đ) Với n=1 , theo định lí Pythagore ta có : a 2 + b 2 = c 2 (Đúng) 0,25 1 3 2 1 1 x y M N H P K CB A Giả sử đúng với n=k , ta có a 2k + b 2k c 2k Với n= k+1 , ta có a 2(k+1) + b 2(k+1) = =(a 2k + b 2k )(a 2 + b 2 ) - a 2 b 2k - b 2 a 2k c 2k c 2 =c 2(k+1) 0,5 Vậy bất đẳng thức đúng với n=k + 1 Do đó ta có a 2n + b 2n c 2n ; n là số tự nhiên lớn hơn 0. 0,25 . Đề thi học sinh giỏi môn thi : toán lớp 7 Câu 1 : (2 điểm) Tính : a) A= 68 1 52 1 8 1 51 1. rằng : a 2n + b 2n c 2n ; n là số tự nhiên lớn hơn 0. đáp án đề thi học sinh giỏi môn thi : toán lớp 7 Câu 1 : (2 đ) a) (1đ) A= 3 4 4 1 3 1 ) 17 1 13 1