Giải Tích 12 – CHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN Diện tích hình phẳng 2x + HOẠT ĐỘNG : Hãy tính diện tích hình thang vng giới hạn đường thẳng : y = – 2x – ; y = ; x = ; x = y= S1=SABCD= (AD+BC)xAB/2 = 28 Ở Hđ1 ta tính diện tích S hình thang vng giới hạn đường thẳng : y = 2x + ; y = ; x = ; x = S Ta có : [ ] S = ∫ (2 x + 1)dx = xsánh diện tích hai Các em so + x = 30 − = 28 S1 hình S S1, cho nhận xét ðó : −x ] = −30 + = −28 – 2x y= ∫ (−2 x − 1)dx = [− x 1 nên ta có viêt : S1 = S = ∫ (2 x + 1)dx = 28 – Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành Cho (C) : y = f(x) liên tục [a;b] f(x)≥0 đoạn [a;b] Hình thang cong giới hạn đồ thị (C), trục hồnh đường thẳng x=a ; x=b có diện tích S tính theo cơng thức : b S = ∫ f ( x)dx a Trường hợp f(x) ≤ đoạn [a;b] : b S = SaABb= SaA’B’b = ∫ [− f ( x)]dx a Tổng quát Cho (C) : y = f(x) liên tục đoạn [a;b] Hình thang cong giới hạn đồ thị (C), trục hoành đường thẳng x=a ; x=b có diện tích S tính theo cơng thức : b S = ∫ f ( x) dx a VD : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành đường thẳng x=-1 ; x=2 Giải : Vì x3 ≤ đoạn [-1;0] x3 ≥ đoạn [0;2] nên: 2 −1 −1 S = ∫ x dx = ∫ (− x )dx + ∫ x 3dx x S=− x + −1 17 = Diện tích hình phẳng giới hạn hai đuờng cong Cho hai hàm số y=f(x),y=g(x) liên tục [a;b] Trong trường hợp f(x) ≥ g(x) ∀x∈[a;b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường: y=f(x), y=g(x), x=a, x=b là: b S = S1 − S = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx a Trong trường hợp tổng quát ta có cơng thức b S = ∫ f ( x) − g ( x) dx a b S = ∫ f ( x) − g ( x) dx a Chú ý : Nếu x[α;β],f(x)–g(x)≠0 : β β α α S = ∫ f ( x) − g ( x) dx = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx Do để tính diện tích S theo công thức ta cần khử dấu trị tuyệt đối tích phân cách : • Giải phương trình f(x) – g(x) = , giả sử pt có nghiệm c , d (a < c < d < b) • Trên đoạn [a;c], [c;d], [d;b] f(x) – g(x) khơng đổi dấu • Đưa dấu trị tuyệt đối khỏi tích phân đoạn Vd : Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường thẳng : x = 0, x = π đồ thị hàm số : y = sinx , y = cosx Giải : Pthđgđ : sinx = cosx ⇔ x = π/4 ∈ [0; π] Vậy diện tích hình phẳng : π S = ∫ sin x − cos x dx π S= π ∫ sin x − cos x dx + π∫ sin x − cos x dx π S= π ∫ (sin x − cos x)dx + π∫ (sin x − cos x)dx S = (cos x + sin x) π π + (cos x + sin x) π = 2 Vd : Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong : y = x3 – x y = x – x2 Giải : Pthđgđ : x3 – x = x – x2 ⇔ x3 + x2 – 2x = ⇔ x = -2 ; x = ; x = ∫ x + x − x dx −2 S= x– −2 ( x + x − x)dx + ∫ ( x + x − x)dx ∫ y= S= y = x3 x -x Vậy diện tích hình phẳng : x x x x 2 2 S =  + +x  + + +x        −2  0 37 S= + = 12 12 Củng cố: Cho (C) : y = f(x) ; em viết cơng thức tính diện tích hình phẳng sau (khơng cịn dấu trị tuyệt đối) S2 S1 S1 = ∫ f ( x)dx −1 S = ∫ [− f ( x)]dx −1 a b c a b S = ∫ [-f(x)]dx + ∫ f(x)dx + ∫ [-f(x)]dx + ∫ f(x)dx 10 y b x) = y y = f( f( x) Củng cố: Cho hai đường cong (C1): y = f(x) (C2): y = g(x); em viết công thức tính diện tích hình phẳng sau (khơng cịn dấu trị tuyệt đối) = y g( x ) S = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx a = g( x ) a b a S = ∫ [ g ( x) − f ( x)] + ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx 11 ... Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành đường thẳng x =-1 ; x=2 Giải : Vì x3 ≤ đoạn [-1 ;0] x3 ≥ đoạn [0;2] nên: 2 −1 −1 S = ∫ x dx = ∫ (− x )dx + ∫ x 3dx x S=− x + −1... : Pthđgđ : x3 – x = x – x2 ⇔ x3 + x2 – 2x = ⇔ x = -2 ; x = ; x = ∫ x + x − x dx −2 S= x– −2 ( x + x − x)dx + ∫ ( x + x − x)dx ∫ y= S= y = x3 x -x Vậy diện tích hình phẳng : x x x x 2 2 S =... dấu trị tuyệt đối) S2 S1 S1 = ∫ f ( x)dx −1 S = ∫ [− f ( x)]dx −1 a b c a b S = ∫ [-f(x)]dx + ∫ f(x)dx + ∫ [-f(x)]dx + ∫ f(x)dx 10 y b x) = y y = f( f( x) Củng cố: Cho hai đường cong (C1): y