Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut MC LC: Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut PHN TH NHT T VN Toỏn hc l mt nhng mụn hc v khoa hc t nhiờn Trong cỏc mụn hc trng THCS, mụn Toỏn cú v trớ rt quan trng Cỏc kin thc, k nng ca mụn Toỏn THCS cng c ng dng nhiu cuc sng v cỏc mụn hc khỏc Chuyờn v dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut l mt b phn ca chng trỡnh mụn Toỏn cp THCS Thụng qua cỏc hot ng dy hc toỏn to c hi phỏt trin nng lc tru tng hoỏ, khỏi quỏt hoỏ hc Toỏn; ng thi tip tc phỏt trin kh nng din t ca hc sinh theo mc tiờu ca mụn Toỏn THCS Tuy nhiờn qua nhiu nm ging dy mụn Toỏn tụi nhn thy cỏc em thng hay gp nhiu khú khn vic tỡm dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut ca mt biu thc ú vic dng cỏc hng ng thc cỏc em lm sai rt nhiu m chuyờn dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut l c s cỏc em hc tip cỏc chuyờn chng minh bt ng thc dóy Xut phỏt t nhng lớ trờn giỳp hc sinh hc tt mụn toỏn tụi mnh dn chn ti: Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut Qua ú cú th hc hi, trao i kinh nghim vi ng nghip nõng cao trỡnh chuyờn mụn ca bn thõn Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut PHN TH HAI GII QUYT VN 1)C S L LUN CA VN Muốn nâng cao chất lợng dạy bồi dỡng học sinh giỏi toán trớc hết phải xây dựng đợc nội dung hợp lý, khoa học phơng pháp giảng dạy phù hợp, phát triển đợc khả t linh hoạt, sáng tạo học sinh Qua thực tế tham gia dạy bồi dỡng học sinh lớp trờng thấy đợc thực trạng việc dạy học giải toán nâng cao giáo viên học sinh nhiều vấn đề phải quan tâm Đó là: Nội dung dạy bồi dỡng học sinh giỏi cha đảm bảo logic, giáo viên nghiên cứu tài liệu tham khảo thấy hay chọn để dạy cho học sinh cha phân đợc dạng, loại mạch kiến thức Về phơng pháp dạy giải toán nâng cao cha hợp lí, có phơng pháp giải cha phù hợp với đặc điểm tâm lý khả tiếp thu học sinh; phía chuyên môn cha có tài liệu đạo cụ thể nội dung phơng pháp dạy bồi dỡng học sinh giỏi Toán để giáo viên lấy làm sở Học sinh cha có phơng pháp t logic để giải dạng tập tập dãy số, dóy phõn s vit theo quy lut Chính vậy, chất lợng dạy bồi dỡng học sinh giỏi cha cao Để bớc nâng cao chất lợng bồi dỡng học sinh giỏi, chọn đề tài : Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut 2)THC TRNG CA VN Ngay t u thỏng tụi ó tin hnh kho sỏt hc sinh cht lng mụn toỏn chn mt s hc sinh khỏ gii tiờu chun cho cỏc em vo i tuyn bi dng hc sinh gii Tng s hc sinh: 80 hc sinh Kt qu t c: im gii: 20 hc sinh chim 25% im khỏ: 30 em chim 37,5% Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut im trung bỡnh: 20 em chim 25% im yu, kộm: 10 em chim 12,5% Kt qu trờn trung bỡnh l: 87,5 % Cn c vo kt qu bi kho sỏt ca hc sinh v tỡnh hỡnh thc t tụi nhn thy cú nhng thun li v khú khn sau Thun li: C s vt cht v dựng dy hc ca nh trng khỏ y Hc sinh cú y sỏch giỏo khoa v dựng hc Nh trng luụn tớch cc nhng hot ng nõng cao cht lng Tp th giỏo viờn on kt cú tinh thn tng tr ln a s hc sinh cú ý thc hc tớch cc Ph huynh hc sinh luụn quan tõm ng h vic hc ca em mỡnh Khú khn Do nh hng ca mụi trng xó hi nờn mt s hc sinh cũn mi chi cha chu khú hc tp, gp mt dng khú l cỏc em d b nn, d cú tõm lý li suy ngh, li ng 3) BIN PHP, GII PHP TIN HNH GII QUYT VN : Bc 1: Tin hnh kho sỏt Bc 2: a cỏc kin thc dng Bc 3: Phõn loi cỏc dng toỏn Hng dn phng phỏp gii Xỏc nh nhng sai lm thng gp a li gii ỳng Khai thỏc bi toỏn di mt dng khỏc Tng quỏt húa bi toỏn Kin thc dng Quy ng mu s nhiu phõn s: - Tỡm mu s chung (tỡm BCNN ca cỏc mu) - Tỡm tha s ph ca mi mu - Nhõn t v mu ca mi phõn s vi tha s ph tng ng Cỏc phộp tớnh ca phõn s: a Cng, tr phõn s cựng mu: A B A+B + = (M 0) M M M A B AB = (M 0, A B) M M M Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut b Cng, tr phõn s khụng cựng mu: - Quy ng mu cỏc phõn s - Cng cỏc t ca cỏc phõn s ó c quy ng v gi nguyờn mu chung A C A.C = (B, D 0) B D B.D A C A.D d Chia phõn s: : = (B, C, D 0) B D B.C c Nhõn cỏc phõn s: Tớnh cht c bn ca phộp cng v nhõn phõn s: a Tớnh cht giao hoỏn: a c c a + = + (b, d 0) b d d b a c c a - Phộp nhõn: = (b, d 0) b d d b - Phộp cng: b Tớnh cht kt hp : a c m a c m - Phộp cng : + + = + + (b, d, n 0) b d n b d n a c m a c m - Phộp nhõn: = (b, d, n 0) b d n b d n c Tớnh cht phõn phi ca phộp nhõn i vi phộp cụng (tr): a c m a m c m + = + (b, d, n 0) b d n b n d n Bt ng thc: Bt ng thc cú dng a > b, a < b Tớnh cht: - Tớnh cht bc cu: Nu a > b, b > c thỡ a > c - Tớnh cht n iu ca phộp cng: Nu a > b thỡ a + c > b + c - Tớnh cht n iu ca phộp nhõn: Nu a > b thỡ a c > b c (c > 0) - Cng tng v ca bt ng thc cựng chiu: Nu a > b, c > d thỡ a + c > b + d Mt s tớnh cht ca bt ng thc: 1 a n( n + 1) n n( n + 1) 1 1 b k < k ( k 1) = k k c n +1 n < n n Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut d n n < n+2 n Dng 1: Tớnh tng ca cỏc dóy s vit theo quy lut Vớ d 1: Tớnh tng S100 = + + + + + + + 100 Hng dn: Ta thy s u cng s cui = 101 tng t ta cú s th cng s cui 101 M t n 100 cú 100 s vy cú 50 cp cú tng 101 S100 = 101.2 = 5050 n( n + 1) = + + + + + 100 Tng quỏt: S n = + + + + + n = Vớ d 2: Tớnh tng S100 Sai lm thng gp: S100 = Li gii ỳng: Ta thy tng trờn cú 100(100 + 2) = 5100 (100 2) + = 50 s hng Ta thy s u cng s cui = 102 tng t ta cú s th cng s cui 102 M t n 100 cú 50 s vy cú 25 cp cú tng 102 S100 = 102.25 = 2550 Vớ d 3: Tớnh tng S 99 = + + + + + 99 Lm tng t vớ d ta cú S 99 = 100.25 = 2500 Dng 2: Dng bi toỏn tớnh tng ca cỏc tớch, tng ca cỏc ly tha Vớ d 1: Tớnh tng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99 B = 1.2.3 + 2.3.4 + + 48.49.50 C = 1.3 + 2.4 + + 98.100 D = 12 + 2 + + + 98 E = 1.99 + 2.98 + + 98.2 + 99.1 HDG: Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 98.99.3 = 1.2.( ) + 2.3.( 1) + 3.4.( ) + + 98.99.(100 97 ) = 1.2.3 + 2.3.4 + + 98.99.100 (1.2.3 + 2.3.4 + + 97.98.99 ) = 98.99.100 A = 98.99.100 A = 33.98.100 Từ kết toán ta khai thác dới dạng khác nh sau: Bi 1: Tớnh tng D = 12 + 2 + + + 98 = 1.1 + 2.2 + 3.3 + + 98.98 = 1( 1) + 2( 1) + + 98( 99 1) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99 (1 + + + + 98) = 33.98.100 46.99 D = 3393401 B = 1.2.3 + 2.3.4 + + 48.49.50 B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + + 48.49.50.4 B = 1.2.3.( ) + 2.3.4.( 1) + + 48.49.50( 51 47 ) = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + + 48.49.50.51 (1.2.3.4 + 2.3.4.5 + + 47.48.49.50 ) B = 48.49.50.51 B = 12.49.50.51 Từ kết toán ta khai thác dới dạng khác nh sau: Bi 2: Tớnh tng A = 13 + + 33 + + 100 Hng dn gii S dng (n-1)n(n+1)= n n n = n + (n-1)n(n+1) A = + + 1.2.3 + + 2.3.4 + + 99.100.101 = (1 + + + + 100 ) + (1.2.3 + 2.3.4 + + 99.100.101) = 5050 + 101989800 = 101994850 C = 1.3 + 2.4 + + 98.100 = 1.( + 1) + 2( + 1) + + 98( 99 + 1) = 1.2 + 2.3 + + 98.99 + + + + 98 = 33.98.100 + 46.99 C = 3402799 Vớ d 2: Tớnh tng: Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut A=1.3+.3.5+5.7+ +97.99 Hng dn gii: 6A=1.3.6+3.5.6+5.7.6++97.98.6 =1.3.(5+1)+3.5(7-1)+5.7.(9-3)+ +97.99.(101-95) =3+1.3.5+3.5.7-1.3.5+3.5.7-5.7.9+ +97.99.101 =3+97.99.101 A=161651 Từ kết vớ d ta khai thác dới dạng khác nh sau: Bi 1: Tớnh tng: A= 1.3.5+3.5.7+5.7.9+ .+95.97.99 8A= 1.3.5.8+3.5.7.8+5.7.9.8+ +95.97.99.8 =1.3.5(7+1)+3.5.7(9-1)+5.7.9(11-3)+ +95.97.99(101-93) A=11517600 Từ kết toán ta khai thác dới dạng khác nh sau: Bi 2: Tớnh tng: A= 13 + 33 + 53 + + 99 S dng (n-2)n(n+2)=n 4n n = ( n 2) n( n + 2) + 4n A=1+1.3.5+4.3+3.5.7+4.5+ +97.99.101+4.99 =1+(1.3.5+3.5.7++97.99.101)+4(3+5+7+.+99) =12497500 Vớ d 3: Tớnh tng: Tính tổng: G= + 32 + 33 + 34 +32008 Lời giải: 3G = 32 + 33 + 34 +35 +32009 2G = 3G G = (32 + 33 + 34 +35 +32009) (3 + 32 + 33 + 34 +32008) = 32009 G= 2009 Ta tổng quát toán thành toán sau: Tính tổng: G= a + a2 + a3 + a4++an (với a n số nguyên dơng a 1) Lời giải: aG = a2 + a3 + a4 +a5+ +an Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut (a-1)G = aG G = (a + a3 + a4 +a5+ +an+1) ( a + a2 + a3 + a4+ +an) = an+1 a G= a n +1 a a Từ kết Vớ d ta khai thác dới dạng khác nh sau: Bi : Tớnh tng B= 2100-299+298-297+ +22 Suy 2B = 2101-2100+299-298++23-22suy 2B+B= 2101-2 3B = 2( 2100-1) Suy B = 2(2100-1)/3 Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut Dng 3: Dng bi toỏn kh liờn tip Vớ d 1: Tớnh tng 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 1 = ; = ; = ; ; = Ta có: 1.2 2.3 3.4 99.100 99 100 a) A= 99 1 1 1 + + + + + + =1 = 100 100 2 3 99 99 100 Vậy A = 1+ Từ kết Vớ d 1:ta khai thác dới dạng khác nh sau: Tớnh tng F= 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 Sai lm thng gp: 1 = 1.2.3 1.2 2.3 Li gii ỳng 1 1 = ( ) 1.2.3 1.2 2.3 1 1 F= + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 1 1 1 2F = + + + 1.2 2.3 2.3 3.4 37.38 38.39 1 2F = 38.39 F= Bi toỏn tng t Tớnh tng: G= 1 + + + 1.2.3.4 2.3.4.5 27.28.29.30 Từ kết cỏc vớ d trờn ta khai thác dới dạng khác nh sau: Bi 1: CMR: 19 + 2 + 2 + + 2 < 2 3 10 HDG: VT= 2 32 2 10 1 1 1 + + + = + + = < 2 2 2 2 10 2 10 10 10 Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut Bi 2: cho biu thc 1 + + + 99.100 CM < A < 12 A= HDG: A= 1 + + + = 1.2 3.4 99.100 1 1 1 1 1 + + + = (1 + ) < 99 100 100 1 1 1 1 1 1 + + + = + + + + = + + + > 99 100 5.6 99.100 12 5.6 99.100 12 Vớ d 2:Tính tổng H= 1 1 + + + + 2008 5 5 Ta tính tổng H theo toán cách đặt = a H = a + a2 + a3 + a4++a2008 Tuy ta có cách khác phù hợp hơn: 1 1 + + + + 2007 5 5 1 1 1 1 4H=5H H = ( + + + + + 2007 ) ( + + + + 2008 ) 5 5 5 5 2008 = 1- 2008 = 2008 5 5.H = + H= 2008 4.5 2008 Ta tổng quát toán thành toán sau: Tính tổng H= 1 1 + + + + a a a a a (với a n số nguyên d- ơng a 1) Bài giải: a.H= + 1 1 + + + + a a a a a 11 Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut (a-1)H = aH H = ( + 1 1 1 1 + + + + a ) ( + + + + a ) a a a a a a a a an =1- n = n a a an H= (a 1)a n Từ kết toán ta khai thác dới dạng khác nh sau: Vớ d : Tớnh tng B= 2100-299+298-297+ +22 Suy 2B = 2101-2100+299-298++23-22suy 2B+B= 2101-2 3B = 2( 2100-1) Suy B = 2(2100-1)/3 Dng 4: Tớnh giỏ tr ca biu thc t v mu cú cha dóy vit theo quy lut Vớ d 1: Thực phép tính: A= ữ ữ ữ 1+ 1+ + + + + + 2006 B = 1+ (1 + 2) + (1 + + 3) + (1 + + + 4) + + (1 + + + + 20) 20 Hng dn gii ữ ữ ữ 1 A = (1 + 2).2 ữ (1 + 3).3 ữ (1 + 2006)2006 ữ ữ ữ ữ = 2007.2006 10 18 2007.2006 = 10 2006.2007 12 20 2006.2007 (1) Mà: 2007.2006 - = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008 = 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 (2) Từ (1) (2) ta có: 4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6 2008)(1.2.3 2005) 2008 1004 = = = A= 2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4 2006)(3.4.5 2007) 2006.3 3009 b) A = 1+ 2.3 3.4 4.5 20.21 + + + + = 2 20 12 Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut = 1+ 21 + + + = ( + + + + 21) = 2 2 21.22 = 115 2 = Vớ d 2:: Tớnh giỏ tr ca biu thc: 1 1 1+ + +L + + 97 99 a) A = 1 1 + + +L + + 1.99 3.97 5.99 97.3 99.1 1 1 + + +L + + b) B = 299 984 97 99 100 + + +L + 99 Hng dn: a) Bin i s b chia: (1 + 1 1 1 100 100 100 100 ) + ( + ) + ( + ) +L + ( + ) = + + +L 99 97 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51 Biu thc ny gp 50 ln s chia Vy A = 50 100 100 100 100 99 + + +L + = 99 100 99 100 100 100 = + + +L + ữ + + + L + ữ = 99 99 1 1 1 1 = 100 + 100 + + L + ữ 99 = + 100 + + L + + ữ 99 99 100 3 b) Bin i s chia: Biu thc ny bng 100 ln s b chia Vy B = 100 Dng 5: Chng minh tng ca cỏc dóy vit theo quy lut chia ht cho s Vớ d 1: Tng: a 1 + + + bng phõn s a/b cmr a chia ht cho 149 50 51 99 b cho A = + + + + 1 2.3.4 98 98 CM A chia ht cho 99 1 c C = + + + + Bng phõn s a/b CMR a chia ht cho 97 96 HDG: a 13 Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut 1 1 + + + = + + + + 50 51 99 50 99 74 75 149 149 = + + 50.99 74.75 K = 50.51 .99 B= K l mu chung thỡ tha s ph cỏc mu l k1 , k .k 25 a 149( k1 , k .k 25 ) = b 50.51 99 T chia ht cho s nguyờn t 149 cũn mu khụng cha tha s nguyờn t 149 rỳt gn phõn s n ti gin a chia ht cho 149 4) HIU QU CA SNG KIN Sau nghiờn cu v xõy dng ni dung bi dng hc sinh gii THCS, c th l nhng gi hc n lc ca thy v trũ, cỏc em ó cú nhng tin b rừ rt, cỏc em ó t tin hn, chm ch hn v chc chn hn v kin thc c bn, k nng gii bi tp, kh nng lp lun, suy lun m bo cú tớnh h thng cht ch hn, dng c vo thc tin Cựng vi s tr giỳp ca cỏc ng nghip nờn vic ỏp dng ca tụi t hiu qu tng i tt c th hin qua bi kho sỏt chuyờn Tng s hc sinh tham gia kho sỏt: 20 hc sinh t 20 hc sinh PHN TH BA KT LUN Qua thc t nghiờn cu v ging dy mụn toỏn v ging dy v cỏc bi toỏn Dóy s vit theo quy lut trng THCS, bng nhng kinh nghim ca bn thõn v ng nghim vi mc ớnh xõy dng mt phng phỏp ging dy, tụi ó th hin ny qua ti Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut nhm th hin phng phỏp ging dy cho giỏo viờn v nõng cao cht lng hc nhn thc ca hc sinh Trong ni dung ca ti ny tụi ó a cỏc dng bi toỏn Dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut, phng phỏp tỡm li ging ca tng bi toỏn a cỏch gii c th cho tng bi cú mt bi toỏn tng quỏt cho tng dng bi Qua ti ny tụi mun a n cho hc sinh thúi quen suy ngh v tỡm tũi li gii mt bi toỏn trờn c s kin thc ó c hc ti ny nhm ni gia lý thuyt vi thc hnh toỏn hc Mi bi toỏn tụi a ra: - Phng phỏp tỡm li gii 14 Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut - Cỏc sai lm thng gp - Cỏch gii - Bi toỏn tng quỏt T cỏch a nh th ny, giỏo viờn, hc sinh cú th nhn dng bi toỏn tht d dng nu nhanh cú th c c ỏp s vi nhng bi toỏn thuc quy lut Trờn õy l ton b phn trỡnh by ni dung ca ti Mong rng nhng c cp n ti ny ớt nhiu gúp phn vo vic ging dy, bi dng hc sinh gii 15 Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut TI LIU THAM KHO - Sỏch giỏo khoa toỏn 6, 7, 8, - Nh Xut bn Giỏo - Nõng cao v phỏt trin toỏn 6, 7, 8, - Nh xut bn Giỏo dc - Chuyờn bi dng HSG - Trn Th Võn Anh 16 Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm vng mt s dng bi toỏn dóy s, dóy phõn s vit theo quy lut 17 ... thu học sinh; phía chuyên môn cha có tài liệu đạo cụ thể nội dung phơng pháp dạy bồi dỡng học sinh giỏi Toán để giáo viên lấy làm sở Học sinh cha có phơng pháp t logic để giải dạng tập tập dãy số, ... số, dóy phõn s vit theo quy lut Chính vậy, chất lợng dạy bồi dỡng học sinh giỏi cha cao Để bớc nâng cao chất lợng bồi dỡng học sinh giỏi, chọn đề tài : Mt s kinh nghim giỳp hc sinh khỏ, gii nm... tạo học sinh Qua thực tế tham gia dạy bồi dỡng học sinh lớp trờng thấy đợc thực trạng việc dạy học giải toán nâng cao giáo viên học sinh nhiều vấn đề phải quan tâm Đó là: Nội dung dạy bồi dỡng học