Đặt vấn đề Là giáo viên dạy toán trong các trờng THCS tôi nhận thấy phần đông các em học yếu môn toán vì các lý do sau : 1/ Không hiểu kiến thức và không nắm vững kiến thức . 2/ Lý do quan trọng hơn là : Các em cha biết cách làm toán mà ta gọi là ph- ơng pháp, nhất là các phơng pháp đặc trng cho từng dạng, cho từng loại toán.Muốn chứng minh cho một đẳng thức, một bất đẳng thức thì phải làm sao ? Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức hàm số thì phải làm thế nào? . Các em không nắm chắc. Vì vậy làm thế nào để giúp HS hiểu rõ bản chất của các loại toán, vân dụng kiến thức vào để giải hay cụ thể hơn là phơng pháp giải các loại toán thế nào. Giải quyết đợc vấn đề đó không phải dễ khi mà phân phối chơng trình môn toán THCS không dành một tiết nào cho giáo viên dạy một cách hệ thống các phơng pháp giải các bài toán một cách cụ thể mà chúng chỉ xuất hiện đơn lẻ. Trong chơng trình toán THCS các bài toán tìm GTLN, GTNN chiếm một vị trí quan trọng. Các bài toán này rất phong phú, nó đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức, vân dụng một cách hợp lý, khá độc đáo và nhiều cách giải. Vì vậy các bài toán tìm GTLN, GTNN gọi chung là Những bài toán cức trị theo tôi là dạng toán rất hay, nó giúp HS phát triển trí thông minh, sáng tạo, khả năng t duy toán học cao. Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức, đọc các tài liệu, nghiên cứu thực tế giảng dạy của giáo viên, cách học tập của HS, qua những năm dạy toán ở trờng THCS, kết hợp với vốn kiến thức sau những năm đợc đào tạo tại trờng S phạm tôi đã rút ra đợc một số bài học kinh nghiệm và mạnh dạn lấy đề tài nghiên cứu Bài toán cực trị và phơng pháp giải. Nội dung đề tài 1 I/ Yêu cầu : 1/ Với giáo viên : - Xây dựng cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị và phơng pháp giải cho từng dạng toán. - Phân loại các bài tập và hệ thống từ dễ đến khó. - Rèn luyện nâng cao khả năng t duy sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc tham khảo kiến thức trong khi nghiên cứu. - Trong quá trình giảng dạy, phải chú ý tìm ra những vớng mắc, sai sót mà HS hay mắc phải khi giải các bài tập. 2/ Đối với HS : - Hiểu đợc bản chất các loại toán. - Nhận dạng từng loại bài tập, vận dụng phơng pháp hợp lý của từng dạng vào giải toán. - Phát huy khả năng t duy sáng tạo trong khi giải, biết suy luận từ bài dễ đến bài khó và có cách giải hay hơn. II/ Nội dung cơ bản : * Khái niệm về toán cực trị . Trong thực tế có những bài toán yêu cầu ta đi tìm cái nhất trong những mối quan hệ đã biết. Đó là việc tìm GTLN (cực đại) hay GTNN (cực tiểu) của một đại l- ợng và gọi chung là những bài toán cực trị. 1/ Cực trị đại số. 2/ Cực trị hình học. Phần I : Cực trị đại số. * Một số kiến thức cơ sở : Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một miền xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại giá trị của biến để A = k thì k đợc gọi là GTLN (GTNN) của biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc miền xác định nói trên. Nh vậy để tìm GTLN của biểu thức A ta cần : - Chứng minh rằng A k giá trị của biến và với k là hằng số. - Chỉ ra dấu = có thể xảy ra giá trị nào đó của biến. Ta ký hiệu Min A là GTNN của A, Max A là GTLN của A. * Chú ý : 1/ Nếu chỉ chứng minh đợc A k hoặc A k thì cha đủ để kết luận về GTNN hoặc GTLN của biểu thức . Ví dụ : Tìm GTNN của biểu thức : A = (x 1) 2 + (x 3) 2 2 Giải : Ta có : (x 1) 2 0 x (1) (x 3) 2 0 x (2) A 0 x nhng không thể kết luận đợc Min A = 0 vì không xảy ra đồng thời (1) và (2). Ta có : A = x 2 2x + 1 + x 2 6x + 9 = 2(x 2 4x + 5) = 2(x - 2) 2 + 2 2 x Vậy Min A = 2 đạt đợc x 2 = 0 x = 2. 2/ Một biểu thức có thể có GTLN, GTNN hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên : Ví dụ : Xét biểu thức A = x 2 ta thấy x 2 luôn 0 x và x 2 = 0 x = 0 Vậy A có GTNN khi x = 0 , A không có GTLN. Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức là một vấn đề không đơn giản. Nhất là đối với học sinh THCS khi mà các em cha tiếp cận một cách đầy đủ các kiến thức cơ bản để giải loại toán này. Trong khuôn khổ đề tài nhỏ tôi chỉ đề cập đến một số loại toán cực trị thờng gặp ở chơng trình THCS. Phân dạng bài tập và ví dụ minh hoạ A/ với các đa thức nguyên : I/ Phơng pháp tìm cự trị dựa vào tính chất của luỹ thừa bậc hai 1/ Lý thuyết áp dụng, các ví dụ : A 2 0 x (x là biến của biểu thức A) A 2k 0 x Ví dụ 1: Tìm Min của biểu thức A = 2(x 3) 2 3 Giải : Ta thấy (x 3) 2 0 x 2(x 3) 2 0 x 2(x 3) 2 3 - 3 x Min A = - 3 (x 3) = 0 x = 3 Vậy Min A = - 3 x = 3 Ví dụ 2 : Tìm GTNN của biểu thức B = (x 1) 2 + (x 5) 2 Giải : Ta có B = (x 2 2x + 1) + (x 2 10x + 25) = 2x 2 12x + 26 = 2(x 2 6x + 9) + 8 = 2(x 3) 2 + 8 Ta thấy 2(x 3) 2 0 x 2(x 3) 2 + 8 8 Min B = 8 đạt đợc x 3 = 0 x = 3 3 Vậy Min B = 8 x = 3 Chú ý : Khi giải bài toán này HS có thể mắc sai lầm sau : Ta có (x 1) 2 0 x (x 5) 2 0 x Min B = 0. ở đây kết luận MinB = 0 là sai vì không xảy ra đồng thời hai bất đẳng thức trên. Ví dụ 3 : Tìm GTLN của biểu thức C = - x 2 + 6x 15 Giải : C = - x 2 + 6x 15 = - (x 2 - 6x + 9 + 5) = - (x - 3) 2 6 Ta có (x - 3) 2 0 x - (x - 3) 2 0 x - (x - 3) 2 6 - 6 x Max C = - 6 đạt đợc x 3 = 0 x = 3 Vậy Max C = - 6 x= 3 Ví dụ 4 : Tìm GTNN của D = Giải : TXĐ : Đ = { x R/ x 2004} Chú ý : Khi tìm GTLN, GTNN của biểu thức có chứa căn thức ta phải chú ý tới miền xác định của biểu thức. 4 2004xx Đ 4 8017 x 4 8015 D MinVậy Đ 4 8017 x2004 -x == == 2 1 0 2 1 4 8015 2 == 2004 -x khi D Min ( ) Đ x2004 -x : cóTa 2004 -x 2004x2004-x 2004 2004x - 2004) - x2004xx D += ++= +== 0 2 1 4 8015 2 1 4 8015 4 1 ( 2 2 2 Đ x2004 -x + 4 8015 4 8015 2 1 2 VÝ dô 5: T×m GTNN cña biÓu thøc E = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) Gi¶i : E = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = (x 2 + 5x + 4)( x 2 + 5x + 6) = (x 2 + 5x + 4) 2 + 2( x 2 + 5x + 6) + 1 – 1 = (x 2 + 5x + 4 + 1) 2 – 1 = (x 2 + 5x + 5) 2 – 1 Ta cã (x 2 + 5x + 5) 2 ≥ 0 ∀x ⇒ (x 2 + 5x + 5) 2 – 1 ≥ - 1 ∀x ⇒ Min E = - 1 ⇔ x 2 + 5x + 5 = 0 ⇒ VËy Min E = - 1 ⇔ VÝ dô 6 : T×m GTNN cña biÓu thøc F(x,y) = x 2 + 2y 2 – 2xy – 4y + 5 Gi¶i : F(x,y) = x 2 + 2y 2 – 2xy – 4y + 5 = x 2 – 2xy + y 2 + y 2 – 4y + 4 + 1 = (x – y) 2 + (x – 2) 2 + 1 Ta cã (x – y) 2 ≥ 0 ∀x,y (x – 2) 2 ≥ 0 ∀x,y ⇒ (x – y) 2 + (x – 2) 2 + 1≥ 1 ∀x,y ⇒ Min F = 1 ⇔ x – y = 0 y – 2 = 0 hay x = y = 2 VÝ dô 7 : T×m GTNN cña biÓu thøc G = x 2 + 2y 2 – 3z 2 – 2xy + 2xz – 2x – 2y – 8z +2010 Gi¶i : Ta cã : G = x 2 + 2y 2 – 3z 2 – 2xy + 2xz – 2x – 2y – 8z +2010 = (x- y + z – 1) 2 + (y + z – 2) 2 + (z – 1) 2 +2004 V× : (x- y + z – 1) 2 ≥ 0 ∀ x,y,z (y + z – 2) 2 ≥ 0 ∀ y,z (z – 1) 2 ≥ 0 ∀ z ⇒ (x- y + z – 1) 2 + (y + z – 2) 2 + (z – 1) 2 +2004 ≥ 2004 ∀x,y,z x- y + z – 1 = 0 ⇒ Min G = 2004 ⇔ y + z – 2 = 0 ⇔ x = y = z = 1 z – 1 = 0 VËy Min G = 2004 ⇔ x = y = z = 1. 5 2 5 - 5 - x hoÆc 2 5 5 - x = + = 2 5 - 5 - x hoÆc 2 5 5 - x = + = 2/ Các bài tập áp dụng : Bài 1 : Tìm GTNN của các biểu thức : A = 2x 2 + 3x + 1 B = (x - 1)(x - 2)(x - 3) C = x 4 + 2x 3 + 3 D = Bài 2 : Tìm GTLN của các biểu thức : E = - 5x 2 - 4x + 1 F = - (2x 1) 2 1 Bài 3 : Tìm GTNN của biểu thức : H = x 2 + 2y 2 - 2xy + 2x I = x 2 + 6y 2 + 14z 2 8yz + 6xz 4xy Ghi nhớ : Qua các ví dụ và các bài tập trên ta thấy nhng biểu thức có dạng tam thức bậc hai ax 2 + bx + c hoặc có thể đa về dạng tam thức bậc 2, hoặc đa về dạng bình ph- ơng đều có thể giải theo phơng pháp sử dụng tính chất của luỹ thừa bậc hai. II. Phơng pháp tìm cực trị dựa theo tính chất trị tuyệt đối : 1/ Lý thuyết áp dụng, các ví dụ : A + B A + B A - B A - B Đẳng thức xảy ra A.B = 0 Ví dụ 1 : Tìm GTNN của biểu thức : A = x - 1+x - 3 Giải : Ta có A = x - 1+x - 3=x - 1+3 - x x 1 + 3 - x= 2 A 2 x Vậy Min A = 2 (x 1)(3 x) 0 1 x 3 Ví dụ 2 : Tìm GTNN của biểu thức Giải : Ta có : Min B = 2 x(2 x) 0 0 x 2 6 1993xx 4 4 4xxx B 22 ++= 2x2xx2 x) - (2 4 4xxx B 22 x 22 =++=+= ++= x Ví dụ 3 : Tìm GTNN của biểu thức Giải : Tập xác định : D = { x R/ x - 1} Ta có : Vậy Min C = 2 Ví dụ 4 : Tìm GTLN của biểu thức Giải : Tập xác định : Đ = { a R/ a 1} Ta có : Vậy Max D = 2 a 16 2/ Các bài tập áp dụng : Tìm GTNN của các biểu thức : III. Phơng pháp tìm cực trị dựa theo bất đẳng thức Cauchy : 7 )1(2) 1 x x1 x 2(1 x C +++++++= )1(2) 1 x x1 x 2(1 x C +++++++= 1211 22 ++++++++= ++++++= 1 xx1 x2 1 x 1 xx1 x2 2 x 0 x11 x1 x +++ 0)1)(1( 1 a 815a1 a 4 - 3 a D ++= 1 a 815a1 a 4 - 3 a D ++= 24242 )4)2 164 22 =+= = ++= 1 a 1 a 1 a 1 a D 1 a (1 a ( D 1 a 8 1 -a1 a 4 - 1 -a D 22 x 16x - 64x E ++= 232 1997 3994x - xxx F +++= 2 19963992 )1)1 ++++++= 3333 x 2(1 xx 2(1x G 4 1 44 +++= xxxx 22 H 21111 )1()1( 22 =++++++++= ++++= 1 x1 x1 x1 x 1 x1 x 0x1hay1 x1 x +++ 0)1)(1( ( )( ) 042 1 -a1 -a 1a 1/ Lý thuyết áp dụng, các ví dụ : Bất đẳng thức Cauchy : Cho n các số không âm a 1 , a 2 , , a n . Ta luôn có : Đẳng thức xảy ra khi a 1 = a 2 = = a n Chú ý : Từ đó ta suy ra hai mệnh đề cho ta GTLN và GTNN của tổng sau đây : a/ Nếu a 1 + a 2 + + a n là hằng số (a 1 .a 2 a n )Max a 1 = a 2 = = a n b/ Nếu a 1 .a 2 a n là hằng số (a 1 + a 2 + + a n )Min a 1 = a 2 = = a n Ví dụ 1 : Tìm GTNN của biểu thức : Giải : A 4 Vậy Min A = 4 Ví dụ 2 : Cho x, y là các số thay đổi sao cho 0 x 3, 0 y 4. Tìm GTNN của biểu thức : B = (3 - x)(4 - y)(2x + 3y) Giải : Ta có : B = (3 - x)(4 - y)(2x + 3y) Với 0 x 3, 0 y 4 thì 6 2x 0 ; 12 3y 0 ; 2x + 3y 0. áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm ta có : (6 - 2x)(12 - 3y)(2x + 3y) Vậy Max B = 36 6 - 2x = 12 - 3y = 2x + 3y x = 0 ; y = 2 8 n n21 n21 a aa n a .aa +++ 0x với x x A + + = 3 16 ( ) 3 3 26 3 25 36 3 25 3 3 25 3 9 3 259 3 16 + + + + + +++= + + += + + + + = + + = + + = x x25 x x x x x x x x x x x x x x A 4x 33 25 3x = + =+ 3y)y)(2xx).3(4.2(3 6 1 += 36B.6 6 1 B 3 3y)3y)(2x2x)(12(6 3 = + 3 6 3y)3y)(2x2x)(12(6 6 1 += Ví dụ 3 : Cho a, b là hai số dơng, các số dơng x, y thay đổi sao cho Tìm GTNN của biểu thức : C = x + y. Giải : Ta có : C = (x + y) = (x + y) áp dụng BĐT Cauchy với hai số ta có : Vậy ta có : Ví dụ 4 : Cho a, b là hai số dơng, thoả mãn 5a + 3b = 12. Tìm GTNN của biểu thức : D = a.b Giải : Vì a, b là hai số dơng 5a, 3b cũng là hai số dơng. áp dụng BĐT Cauchy ta có : 12 = 5a + 3b Ví dụ 5 : Cho a, b là hai số dơng, thoả mãn ab = 216. Tìm GTNN của biểu thức : E = 6a + 4b Giải : Vì a, b là hai số dơng 6a, 4b cũng là hai số dơng. áp dụng BĐT Cauchy ta có : 6a + 4b Vậy Min E = 144 đạt đợc 6a = 4b a = 12, b = 18 Ghi nhớ : Qua các ví dụ áp dụng BĐT Cauchy ta thấy bất đẳng thức Cauchy chỉ áp dụng đợc với hai số dơng. Ngoài điều kiện đó ta không thể áp dụng đợc. + Nếu biết đợc tổng của các số dơng là hằng số thì ta tìm đợc giá trị lớn nhất của các số đó. + Nếu biết đợc tích của các số dơng là hằng số thì ta tìm đợc giá trị nhỏ nhất của các số đó. 2/ Bài tập áp dụng : Bài 1 : Tìm GTLN của biểu thức sau : F = Bài 2 : Tìm GTNN của biểu thức sau : 9 1 =+ y b x a 1 =+ y b x a + y b x a + y bx x ay y bx x ay , ab y bx x ay 2 + b a y x y bx x ay ab2ba ab2ba MinC 0yx,C ==++ ++ = > 5 6 b2,a65b3a 5 12 DMax:Vậy 5 12 D15D3615ab65a.3b2 ===== 144E4.6.2162E6a.4b2 2 x1x + 0x với x 44xx G 2 > ++ = Bài 3 : Cho hai số dơng x, y thoả mãn x + y = xy. Tìm GTNN của biểu thức K = x + y Bài 4 : Cho hai số x, y, z thoả mãn xy + yz + xz = 100.Tìm GTNN của biểu thức I = xyz. IV. Phơng pháp tìm cực trị theo BĐT Bunhiacopxki : 1/ Lý thuyết áp dụng và các ví dụ: BĐT Bunhiacopxki : Cho n cặp số bất kỳ a 1 , a 2 , , a n , b 1 , b 2 , , b n ta có BĐT (a 1 b 1 + a 2 b 1 + + a n b n ) 2 (a 2 1 + a 2 2 + + a 2 n )( b 2 1 + b 2 2 + + b 2 n ) Dấu = xảy ra Ví dụ 1 : Cho x, y thoả mãn x 2 + 4y 2 = 25. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức : M = x + 2y. Giải : áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có : (x + 2y) 2 (x 2 + 4y 2 )(1 2 + 1 2 ) = 50 |x + 2y| Hay - M Vậy Max M = 5 Min M = - 5 Ví dụ 2 : Cho x, y là hai số thực thoả mãn x 2 + y 2 =1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức : N = Giải : áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có : N 2 = Ta có (x 2 + y 2 ) 2(x 2 + y 2 ) = 2 Ví dụ 3 : Cho x, y, z là ba số thực thoả mãn xy + yz + xz = 4. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức : P = x 4 + y 4 + z 4 Giải : áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có : (xy + yz + xz) 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) (x 2 + y 2 + z 2 ) (1) 10 b a b a b a n n 2 2 1 1 === 50 50 50 2 4 25 2 25 = = y x 2 4 25 2 25 = = y x 1xy1yx +++ ( ) ( ) ( ) ( ) 2yxN 2yxyx1xy1yx 22 2 ++ ++++++ 22;22 2222 22 +=+= +++ +++ NMin N MaxVậy N22N 222yx 2 [...]... Cho hai số dơng a và b Tìm GTNN của biểu thức : 1 + 1 a b A = ( a + b ) 28 Tài liệu và sách tham khảo 1/ Sách giáo khoa toán 7, 8, 9 (NXB giáo dục) 2/ Một số vấn đề phát tri n đại số 7, 8, 9 (tác giả Vũ Hữu Bình) 3/ Toán phát tri n hình học 8(tác giả Vũ Hữu Bình, Vũ Dơng Thuỵ) 4/ Toán bồi dỡng học sinh lớp 8(tác giả Vũ Hữu Bình) 5/ Bất đẳng thức chọn lọc cấp II (tác giả Nguyễn Vũ Thanh) 6/ Các phơng... của biểu thức Mục tiêu - Học sinh hiểu rõ khái niệm GTLN, GTNN của biểu thức từ đó hình thành phơng pháp giải toán - Biết vận dụng kiến thức cơ bản vào giải các bài tập thông qua các dạng toán - Phát tri n t duy lô gíc toán học, óc sáng tạo, tính chính xác trong giải toán Chuẩn bị - Thầy : Các dạng bài tập phổ biến về cực trị của biểu thức trong chơng trình toán THCS - Học sinh :+ Ôn lại các kiến thức . chung là Những bài toán cức trị theo tôi là dạng toán rất hay, nó giúp HS phát tri n trí thông minh, sáng tạo, khả năng t duy toán học cao. Qua nghiên cứu