MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN Việc vận dụng kiến thức toán học vào giải vấn đề thực tiễn vấn đề quan trọng dạy học toán trường phổ thông Điều thể từ đề thi THPT quốc gia năm học 2014-2015, 2015 – 2016 gần đề thi minh họa Bộ Giáo dục Trong chương trình sách giáo khoa Toán hành, chương trình Đại số Giải tích , có nhiều chủ đề kiến thức có nhiều lợi việc lồng ghép toán mang tính thực tế cao, chẳng hạn: Hệ bất phương trình bậc hai ẩn, Phương trình bậc hai, Bất phương trình bậc hai (Lớp 10), Giải tích tổ hợp, Xác suất, Cấp số cộng, Cấp số nhân (lớp 11) , Đạo hàm (Lớp 12), Những chủ đề có vai trò quan trọng việc rèn luyện cho học sinh kỹ vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn Tuy nhiên, nhiều lý quan tâm, ý khai thác người dạy người học toán Trong chuyên đề này, cố gắng làm công việc sau đây: - Phân loại tập theo chủ đề kiến thức; - Cố gắng sưu tầm nhiều tốt tt́nh thực tiễn từ nêu lên toán cần phải giải quyết, vận dụng kiến thức toán đă học để giải vấn đề; - Xây dựng hệ thống tập theo chủ đề kiến thức Mặc dù đă cố gắng khả hạn chế nên chuyên đề chắn nhiều hạn chế, kính mong quí thầy, cô đóng góp ý kiến để tài liệu tốt tương lai Chuyên đề Toán ứng dụng Trang 1 Chủ đề đạo hàm Đây công cụ hữu hiệu việc tìm cực trị; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Thông qua việc dạy học kiến thức này, ta cho học sinh giải toán thực tiễn hấp dẫn mang nhiều ý nghĩa Ví dụ 1: Một ảnh chữ nhật cao 1,4m đặt độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính đầu mép ảnh) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn Hãy xác định vị trí đó? C Lời giải : Với toán ta cần xác định OA để góc BOC lớn nhất, điều xảy tgBOC lớn Đặt OA = x (m) với x > 0, ta có tgBOC = tg(AOC - AOB) AC AB − tgAOC− tgAOB OA OA = = AC.AB + tgAOC.tgAOB 1+ OA Xét hàm số f(x) = 1, B 1, 1,4 1,4x x = = 3,2.1,8 x + 5,76 1+ x2 A 1,4x x2 + 5,76 Bài toán trở thành tìm x > để f(x) đạt giá trị lớn − 1,4x2 + 1,4.5,76 Ta có f'(x) = , f'(x) = ⇒ x = ± 2,4 (x2 + 5,76)2 Ta có bảng biến thiên x f'(x ) + 2, 40 _ + 84 193 f(x) 0 Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn cách ảnh 2,4m Chuyên đề Toán ứng dụng Trang O Ví dụ 2: Từ khúc gỗ tròn hình trụ, cần xẻ thành xà có tiết diện ngang hình vuông miếng phụ hình vẽ Hãy xác định kích thước miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn nhất? Ta có lời giải toán sau: Gọi x, y chiều rộng, chiều dài miếng phụ Hình vẽ Gọi d đường kính khúc gỗ, ta có tiết diện ngang xà có cạnh < x < d d(2 − 2) ,0 0) chiều rộng, chiều dài chiều cao hố ga Ta có: k = h ⇔ h = kx x V V = xh kx2 V = xyh⇔ y = Nên diện tích toàn phần hố ga là: S = xy + 2yh + 2xh = (2k + 1)V + 2kx2 kx Áp dụng Đạo hàm ta có S nhỏ x = y = 23 2kV , h= (2k + 1)2 Hình 2.18 ( 2k + 1) V Khi 4k2 k(2k + 1)V Chuyên đề Toán ứng dụng Trang Ví dụ 5: Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định trạm trung chuyển hàng hóa C xây dựng đường từ C đến D Biết vận tốc đường sắt v1 đường v2 (v1 < v2) Hãy xác định phương án chọn địa điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D ngắn nhất? Lời giải : Gọi t thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D Ta có: t= = AC CD AE − CE CD + + = = v1 v2 v1 v2 l− h h l − h.cotα h − tanα + sinα = v1 v2 sinα v1 v2 Xét hàm số: t(α) = l − h.cotα h − v1 v2 sinα Ứng dụng Đạo hàm ta t (α) nhỏ cosα = v2 Vậy để t nhỏ ta chọn C v1 cho cosα = v2 v1 Hình 2.20 Ví dụ 6: Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang mương S,  độ dài đường biên giới hạn tiết diện này, - đặc trưng cho khả thấm nước mương; mương đựơc gọi có dạng thuỷ động học với S xác định,  nhỏ nhất) Cần xác định kích thước mương dẫn nước để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang hình chữ nhật) Lời giải : Gọi x, y chiều rộng, chiều cao mương Theo ta có: Chuyên đề Toán ứng dụng Trang S = xy;  = 2y + x = Xét hàm số (x) = Ta có ' (x) = 2S + x x 2S + x x − 2S x2 − 2S + = x2 x2 ' (x) = ⇔ x2 − 2S = ⇔ x = 2S , y = S = x S Dễ thấy với x, y mương có dạng thuỷ động học, kích thước mương x = 2S , y = S mương có dạng thuỷ động học Ví dụ 7: Cần phải đặt điện phía bàn hình tròn có bán kính a Hỏi phải treo độ cao để mép bàn nhiều ánh sáng Biết cường độ sáng C biểu thị công thức C = k sinα ( α góc nghiêng r2 Đ tia sáng mép bàn, k - số tỷ lệ r phụ thuộc vào nguồn sáng) h Lời giải: Gọi h độ cao đèn so với mặt bàn (h > 0) Các ký hiệu r, M, N, Đ, I Hình 2.22 Ta có sinα = h 2 h = r − a , suy r N a I α Hình 2.22 cường độ sáng là: C = C(r) = k Chuyên đề Toán ứng dụng r2 − a2 (r > a) r3 Trang M Ứng dụng Đạo hàm ta có C lớn r = a h= a N Ví dụ 8: Một vật ném lên trời xuyên góc α so với phương nằm M → ngang, vận tốc ban đầu v0 = m/s a) Tính độ cao vật quỹ đạo xác định thời điểm mà , v0 α K P x đạt độ cao (g = 10m/s2) Hình 2.23 b) Xác định góc α để tầm ném cực đại Lời giải: → a) Véc tơ v phân tích thành tổng hai véc tơ theo hai phương vuông góc với (phương ngang phương thẳng đứng) (Hình 2.23) Vật cao uuur uuuu r uuur 2 MN = − MP , MP = gt (1) , MN = v − MK 2 2 Suy MN = v0 − v0 cos α (2) Từ (1) (2) ⇒ g2t2 = v20(1− cos2 α) ⇔ t = Vậy h lớn t = v0 sinα g v0 sinα đó: g v0 sinα maxh = v0 sinα = g v20 sin2 α g b) Vì quỹ đạo vật ném xiên Parabol nên tầm ném vật tính x v sinα v20 sin2α = = MK.2t = v cosα g g v20 sin2α Ứng dụng Đạo hàm hàm f( α ) = , cho ta tầm ném cực g đại α = 450 Chuyên đề Toán ứng dụng Trang Ví dụ 9: Hai tàu vĩ tuyến cách hải lý Đồng thời hai tàu khởi hành, chạy hướng Nam với hải lý/giờ, tàu chạy vị trí tàu thứ với vận tốc hải lý/ Hãy xác định mà thời điểm mà khoảng cách hai tàu lớn nhất? A B d B A1 Lời giải : Tại thời điểm t sau xuất phát, khoảng cách hai tàu d Ta có d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12 = (5 - 7.t)2 + (6t)2 Suy d = d(t) = t = 85t2 − 70t + 25 Áp dụng Đạo hàm ta d nhỏ (giờ), ta có d ≈ 3,25 (hải lý) 17 Ví dụ 10: Cần phải dùng thuyền để vượt sang bờ đối diện dòng sông chảy xiết mà vận tốc dòng chảy vc lớn vận tốc vt thuyền Hướng thuyền phải để độ dời theo dòng chảy gây nên nhỏ nhất? y B b C z Kx D hα B1 → vt α1 A → E Lời giải toán sau: Giả sử hướng uu r uu r thuyền, hướng dòng nước chảy theo véctơ vận tốc vt , (Hình 2.25) Gọi góc véctơ vận tốc thuyền dòng nước α , y độ dời thuyền dòng nước chảy, b khoảng cách hai bờ sông, ký hiệu x, h, z, α1 , A, B, C, D, E, B1, K (Hình 2.25) Ta có h.vn = vt.vn.sin α (vì diện tích hình bình hành ACDE) Nên h = vt sin α Do α1 + α = 1800 (tổng hai góc phía), Chuyên đề Toán ứng dụng Trang Suy z = - vtcos α ⇒ x = - (-vtcos α ) ⇒ x = + vtcos α (x = CD - z) Mặt khác ta có b(vn + vt cosα) bx x h = = (Do KD // BB1) ⇔ y = h vt sinα y b Xét hàm số y(α) = b(cotgα + ) vt sinα Ứng dụng Đạo hàm ta có y nhỏ cosα = − vt Ví dụ 11: Một nguồn điện với suất điện động E Er điện trở r nối với biến trở R Với giá trị biến trở công suất tỏa nhiệt mạch đạt R cực đại? Lời giải : Theo công thức: P = RI2 với I = E R+r E2R Suy P = , ( R > 0) (R + r)2 Áp dụng Đạo hàm ta thu P lớn R = r Ví dụ 12: Viết phương trình phản ứng tạo thành nitơ (IV) ôxít từ nitơ (II) ôxít ôxy Hãy xác định nồng độ khí ôxy tham gia phản ứng để phản ứng xảy nhanh nhất? Lời giải : Phương trình phản ứng: 2NO + O2 = 2NO2 Vận tốc phản ứng: v = kx2y = kx2(100 - x) = -kx3 + 100kx2 (0 < x < 100) Trong x nồng độ % khí NO, y nồng độ % khí O 2, k số phụ thuộc vào nhiệt độ mà không phụ thuộc vào chất tham gia phản ứng Áp dụng Đạo hàm ta thu v lớn x = 66,67% Lúc này, nồng độ % khí ôxy y = 33,33% Chuyên đề Toán ứng dụng Trang Ví dụ 13: Trong môi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn cấy vào Bằng thực nghiệm xác định số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian qui luật: p(t) = 1000 + 100t (t thời gian (đơn vị giờ)) 100 + t2 Hãy xác định thời điểm sau thực cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên lớn nhất? Áp dụng Đạo hàm ta thu P lớn t = 10 (giờ) Chủ đề hàm số Từ tình thực tế cần giải quyết, tiến hành thực nghiệm, thu thập số liệu từ lập hàm số sau khảo sát hàm số tt́m phương án tối ưu cho vấn đề cần giải Ví dụ 1: (đo chiều cao cổng parabol ) (SGK BAN KHTN) Khi du lịch đến thành phố Lui (Mĩ) ta thấy cổng lớn dạng Parabol bề lừm quay xuống Đó cổng Acxơ ( hình vẽ ) Làm để tính chiều cao cổng? (khoảng cách từ điểm cao cổng đến mặt đất) Vấn đề đặt ra: Tính chiều cao cổng ta dùng dụng cụ đo đạc để đo trực tiếp Cổng dạng Parabol xem đồ thị hàm số bậc hai, chiều cao cổng tương ứng với đỉnh Parabol Do vấn đề giải ta biết hàm số bậc hai nhận cổng làm đồ thị Đơn giản vấn đề : chọn hệ trục tọa độ Oxy cho gốc tọa độ O trùng chân cổng (như hỡnh vẽ) Chuyên đề Toán ứng dụng Trang 10 không khó khăn ta đưa vào giảng dạy thay lồng ghép dạy (như Bài 5, 7, 8, 9, 10, 12) Một số lại việc vận dụng Bất đẳng thức Côsi cần phải biến đổi, dùng đến kỹ thuật dùng làm tập dành cho học sinh giỏi (như Bài 6, 11, 13, 14, 15) Các toán dùng dạy Bất đẳng thức Mục Bất đẳng thức Côsi Chương trình Đại số 10 THPT 16 Trước hết ta đặt Bài toán thành hệ bất phương trình Gọi x, y (x, y ∈ N) số xe loại MITSUBISHI, loại FORD cần thuê y Từ toán ta hệ bất phương trình 0 ≤ x ≤ 10 0 ≤ x ≤ 10 0 ≤ y ≤ 0 ≤ y ≤   ⇔ (*)  20 x + 10 y ≥ 140 x + y ≥ 14   0,6x + 1,5y ≥ 2x + 5y ≥ 30 14 B A I Tổng chi phí T(x,y) = 4x + 3y (triệu đồng) Thực chất Bài toán tìm x, y nguyên O C x 10 15 không âm thoả mãn hệ (*) cho T(x, y) nhỏ Bước ta tìm miền nghiệm hệ bất phương trình Miền nghiệm miền tứ giác lồi IABC Ta cần xác định toạ độ (x, y) điểm thuộc miền tứ giác IABC (kể biên) cho T(x, y) = 4x + 3y đạt cực tiểu Xét họ đường thẳng cho phương trình: 4x + 3y = T (T ∈ R) hay 4 T y = − x + , ta thấy đường thẳng song song với đường thẳng y = − x 3 (T ≠ 0) Khi T tăng, đường thẳng tịnh tiến song song lên phía Khi T giảm, đường thẳng tịnh tiến song song xuống phía Giá trị nhỏ T đạt đỉnh I tứ giác IABC giao điểm hai đường thẳng 2x + 5y = 30 2x + y = 14 Toạ độ I (x I = 5; yI = 4) Như thuê xe hiệu MITSUBISHI xe hiệu FORD chi phí vận tải thấp 17 Gọi x, y số kg sản phẩm loại I, loại II với x, y ≥ Bài toán đưa đến tìm x, y thoả mãn hệ bất phương trình: Chuyên đề Toán ứng dụng Trang 58 x ≥ y ≥   x + 2y ≤ 100 2x + y ≤ 80 cho 4x + 3y đạt giá trị lớn Giải tương tự Bài 16, ta có x = 20, y = 40 có mức lời cao 18 Gọi x, y số bánh Đậu xanh, bánh Dẻo (x, y ∈ N) 6x + 7y ≤ 30000 Bài toán trở thành tìm x, y ≥ thoả mãn hệ  2x + y ≤ 5000 cho L = 2x + 1,8y lớn x = 625 Giải tương tự Bài 16, ta có  y = 3750 19 Gọi x, y số bìa cắt theo cách thứ nhất, thứ hai 3x + 2y ≥ 900  Bài toán đưa đến tìm x, y ≥ thoả mãn hệ x + 3y ≥ 1000 6x + y = 900  cho L = x + y nhỏ Đáp số: x = 100, y = 300 * Các toán thực tiễn ứng dụng kiến thức Hệ bất phương trình bậc hai ẩn (như Bài 16, 17, 18, 19), việc giải chúng không thực khó khăn lắm, vậy, ta chọn hai đưa vào giảng dạy (chẳng hạn, Bài 16 Bài 17) khác (như Bài 18, 19) làm tập cho học sinh dạy Hệ bất phương trình bậc Chương trình Đại số 10 THPT 20 Gọi x (tấn) số cá dự định đánh bắt ngày theo kế hoạch Thời gian đánh bắt theo kế hoạch 1800 ngày Số cá đánh bắt ngày x  1800 − bị bão 3(x - 20) Số cá phải đánh bắt  x  Chuyên đề Toán ứng dụng  3 ngày lại  Trang 59 là: 1800 - 3(x - 20) = 1860 - 3x Số cá đánh bắt ngày sau bão là: x + 20 Số ngày đánh bắt cá sau bão 1860− 3x ngày x + 20 1860− 3x  1800  − 3 − = Theo ta có phương trình:  x + 20  x  ⇔ 1800 1860− 3x − = ⇔ 2x2 + 160x - 36000 = Giải phương trình ta x x + 20 x = 100 thoả mãn yêu cầu toán Vậy kế hoạch đánh bắt 18 ngày, ngày đoàn tàu phải đánh bắt 100 cá 21 Gọi v, v0 (km/h) vận tốc du thuyền nước đứng yên, vận tốc dòng nước (cũng vận tốc trôi bè gỗ) Theo ta có hệ phương trình: 20  20 + = (1) v+ v v − v  0   20 + = 12 (2)  v + v0 v − v0 v0 Đặt k = v (k ≠ 0) suy v = kv0 thay vào (2) ta phương trình: 3k2 - 7k = v0 suy k = 7/3, thay v = v0 vào phương trình (2) ta kết v = 7km/h, v0 = 3km/h Đáp số: Vận tốc thuyền xuôi dòng 10km/h; vận tốc dòng nước 3km/h 22 Gọi x (Đồng) số tiền mà người dự định đóng góp cho chuyến Du lịch Sinh thái Suy x + 30000 (Đồng) số tiền mà người đóng góp Gọi y (người) số người dự định lúc đầu, suy y - (người) số người tham gia chuyến du lịch Điều kiện y ∈ N, y > Chi phí dự kiến chuyến du lịch chi phí ghi hợp đồng xy (Đồng) chi phí thực tế Chuyên đề Toán ứng dụng Trang 60 người tham gia đóng góp là: (x + 30000)(y - 2) Ta có phương trình xy = (x + 30000)(y - 2) (1), với điều kiện 700 ≤ xy ≤ 750000 (2) Từ (1) suy xy = xy - 2x + 30000y - 60000 ⇔ x = 15000y - 30000 (3) Thay (3) vào (2) suy 700 ≤ y(15000y - 30000) ≤ 750000 y2 − 30000 y − 700000≥  15000  3y2 − 6y − 140≥   y2 − 30000 y − 750000≤ ⇔  3y2 − 6y − 150≤ Ta hệ  15000 y > y >   ⇔ 3+ 429 + 459 Do y ∈ N suy y = từ ta suy ≤ y ≤ 3 x =15000.8 -30000 = 90000 Đáp số: Số người lúc đầu dự định Du lịch người Mỗi người dự kiến đóng góp 90000 đồng Chi phí chuyến Du lịch Sinh thái 720000 đồng 23 Gọi x (giờ), y (giờ) thời gian người thứ nhất, người thứ hai làm xong công việc Đổi 36 phút người thứ làm 18 Số công việc Số công việc người thứ hai làm x x 13 y +  3x 3y = 18  Khi ta có hệ:  y 1 + =  x y 18 x = x = Giải hệ đối xứng loại I ta hai nghiệm   y = y = Do thời gian người làm riêng xong công việc Người thứ giờ, người thứ hai giờ; hoặc: Người thứ giờ, người thứ hai 24 Gọi x (km/phút) vận tốc ôtô, y (km/phút) vận tốc xe đạp Theo ta nhận thấy chuyển động ôtô từ A đến chỗ gặp lần thứ hai trường hợp số thời gian chuyển động Chuyên đề Toán ứng dụng Trang 61 ôtô từ chỗ gặp lần thứ đến B hai trường hợp thời gian Ta tính thời gian trường hợp Sau gặp xe đạp lần thứ nhất, ôtô chạy thêm phút theo chiều đến B Trên đường ngược lại tới chỗ gặp lần thứ cần phút Trong thời gian xe đạp 6y km tính từ chỗ gặp lần thứ Ôtô để gặp xe đạp lần thứ hai với vận tốc chênh lệch (x - y) km/phút cần thời gian 6y phút Trên đường x−y ngược lại từ chỗ gặp lần thứ hai tới chỗ gặp lần thứ bị phút, nghĩa + + 6y x−y 6y 12y =6+ phút Lý luận tương tự ta được: x−y x−y 15 15 y y 60y 7 + 1+1+ = 2+ phút Hai thời gian 15 15 7x − 15y x− y x− y 7 ta phương trình: + 60y 12y =2 + x−y 7x − 15y Bái toán dẫn đến phương trình bậc hai: 7x - 16xy - 15y = x Đặt t = y (tỉ số vận tốc ôtô xe đạp) Giải phương trình ta t = thoả mãn Ôtô xe đạp (gặp lần 2) D C (gặp lần 1) A B * Các Bài 20, 21, 22, 23, 24 tập điển hình vận dụng kiến thức Phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình bậc hai đặc biệt vận dụng phương pháp giải toán Hệ đối xứng loại I, Chuyên đề Toán ứng dụng Trang 62 Phương trình bậc hai Vì Bài 22 dùng dạy Sơ lược hệ bất phương trình bậc hai, Bài 21, 23 dùng dạy Hệ phương trình bậc hai, Bài 20, 24 dùng dạy Phương trình bậc hai Chương trình Đại số 10 THPT 25 Từ ngày tháng đến ngày tháng số ngày có là: 31 + 28 + 31 + 30 = 120 (ngày) Số tiền bỏ ống An ngày tăng theo cấp số cộng với công sai 100 đồng Do tổng số tiền có An đến ngày tháng là: 120 120.121.100 (2.100+ (120− 1)100) = = 726000đồng 2 Vậy An có đủ tiền mua quà sinh nhật cho 26 Nếu người làm vườn có x Xoài người khách hàng thứ mua: x x+1 x+1 x+1 + = )+ = quả; người thứ mua: (x − quả; 2 2 2 22 người khách hàng thứ mua: x+1 x+1 x+1 (x − − ) + = quả; 2 2 người khách hàng thứ mua: x+1 27 Ta có phương trình: x+1 x+1 x+1 1 + + + = x ⇔ (x + 1)( + + + ) = x (1) 2 2 2 Tính tổng số hạng cấp số nhân ngoặc ta được: 1 1 + + + = 2 2 27 = 127 128 1− Do phương trình (1) ⇔ (x + 1) 127 = x ⇔ x = 127 128 Vậy bác nông dân thu hoạch 127 Xoài đầu mùa * Hai toán điển hình việc vận dụng cấp số để giải toán thực tiễn phù hợp dạy học Cấp số cộng, Cấp số nhân Chương trình Đại số Giải tích 11 THPT Chuyên đề Toán ứng dụng Trang 63 12 12  2500  25 27 a) Gọi x tỷ lệ phải tìm, ta có phương trình: x =   =   , suy  2200  22 lgx = 12(lg25− lg12) Áp dụng Bảng số tính lôgarit máy tính ta có x ≈ 4,6 Một bóng đèn có sáng gấp lần bóng đèn chân không Suy rằng, bóng đèn chân độ sáng 50 nến bóng chứa đầy có độ sáng 50x4,6 = 230 nến b) Gọi y phần trăm phải tăng nhiệt độ tuyệt đối Ta có phương trình 12 y lg2 y   )= , dùng Bảng số máy tính ta 1 +  = ⇔ lg(1 + 100 100 12  tính y ≈ 6% c) Dùng lôgarit số 10 từ x = (1,01) 12, suy lgx = 12lg(1,01), ta tính x ≈ 1,13 nghĩa độ sáng tăng 13% Tương tự với tăng nhiệt dây tóc 2%, ta tính mức tăng độ chiếu sáng 27%, tăng nhiệt độ lên 3% mức tăng độ chiếu sáng 43% Chính mà kỷ nghệ làm bóng đèn điện người ta nghiên cứu làm tăng nhiệt độ dây tóc * Bài toán thể vai trò quan trọng việc ứng dụng Lôgarit để tính toán thực tế, tính toán với số mũ lớn, có thức bậc lớn Bài dùng dạy học Hàm số lôgarit Chương trình Đại số Giải tích 11 THPT 28 Với toán ta cần xác định OA để góc BOC lớn Điều xảy tgBOC lớn Đặt OA = x (m) với x > 0, ta có tgBOC = tg(AOC - AOB) = Chuyên đề Toán ứng dụng tgAOC− tgAOB = + tgAOC.tgAOB C 1, 4B 1, A Trang 64 x O AC AB − OA OA = AC.AB 1+ OA 1,4 1,4x x = = 3,2.1,8 x + 5,76 1+ x Xét hàm số f(x) = 1,4x x + 5,76 Bài toán trở thành tìm x > để f(x) đạt giá trị lớn Ta có − 1,4x2 + 1,4.5,76 f'(x) = , f'(x) = ⇔ x = ± 2,4 (x2 + 5,76)2 Ta có bảng biến thiên x + f'(x) 2, 40 + _ 84 193 f(x) 0 Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn cách ảnh 2,4m 29 Gọi t thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D Thời gian t là: t = AC CD AE − CE CD + + = = v1 v2 v1 v2 h h − tgα = + sinα v1 v2 Xét hàm số t (α) = nhỏ cosα = =  − h cotgα h − v1 v sinα D A α C h B E   − h.cotgα h − Ứng dụng Đạo hàm ta t (α) v1 v sinα v2 v2 Vậy để t nhỏ ta chọn C cho cosα = v1 v1 30 Gọi x, y chiều rộng, chiều dài miếng phụ Hình vẽ Gọi d đường kính khúc gỗ, ta có tiết diện ngang xà có cạnh d < x x< d d(2 − 2) ,0 0) chiều rộng, chiều dài đáy hố ga Chuyên đề Toán ứng dụng h Trang 66 y x Gọi h chiều cao hố ga (h > 0) Ta có k = suy h = kx (1), V = hxy ⇒ y = h x V V = (2) hx kx Diện tích toàn phần hố ga là: S = 2xh + 2yh + xy = 2xh + 2h S = 2kx2 + y = V V + 2x kết hợp (1) (2) ta suy kx kx (k + 1)V Áp dụng Đạo hàm ta có S nhỏ x = kx k+1 V, 2k2 4kV k(k + 1)V , h = (k + 1)2 33 Tại thời điểm t sau xuất phát, khoảng cách hai tàu d d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12 = (5 - 7.t)2 + (6t)2 Ta có Suy d = d(t) = 85t2 − 70t + 25 A d Áp dụng Đạo hàm ta d nhỏ t = (giờ), ta có d ≈ 3,25 Hải lý 17 B B A1 34 Giả sử hướng thuyền, hướng dòng nước chảy theo véctơ vận → → tốc vt , Hình vẽ Gọi góc hai véctơ vận tốc thuyền dòng nước α , y độ dời thuyền dòng nước chảy, b khoảng cách hai bờ sông, ký hiệu x, h, z, α1 , A, B, C, D, E, B1, K Hình vẽ Ta có h.vn = vt.vn.sin α (vì diện tích hình bình hành ACDE) Suy h = vt sin α Do α1 + α = 1800 (tổng hai góc phía), suy z = - vtcos α ⇒ x = - (-vtcos α ) ⇒ x = + vtcos α (x = CD - z) Mặt khác ta có x h = (Do KD // BB1) y b Chuyên đề Toán ứng dụng Trang 67 suy y = b(vn + vt cosα) bx = h vt sinα Xét hàm số y(α) = b(cotgα + y B ) vt sinα b C z Kx h → Ứng dụng Đạo hàm ta có y nhỏ cosα = − vt vt α 1A α B1 D E → T β 35 Giả sử người cứu hộ vị trí C, cần cứu người vị trí T Anh ta chọn D x điểm O điểm xuống hồ Với C ký hiệu Hình vẽ bên ta có thời gian t người cứu hộ là: t = x + h 12 CO OT + = + v u v 36 Gọi h khoảng cách tính từ mặt đất A h h1 B  sinα v = sinβ u C B đến đầu cánh tay Cần cẩu (0 < h < H) A O ( − x )2 + h 22 u với ≤ x ≤  Ứng dụng Đạo hàm ta có t nhỏ Các ký hiệu α , A, B, C, E Hình vẽ α h2 α H E Khi cánh tay cần cẩu AC là: AC = L (α) = Ta có L' ( α ) = (H-h) H−h  + với < α < 90o sinα cosα − cosα sinα  + sin2 α cos2 α 3 L' ( α ) = ⇔ (H - h) cos α = sin α ⇔ tg α = Chuyên đề Toán ứng dụng H−h ⇔  Trang 68 H−h ⇔ tg α = , cos α =  ,  H − h   +1    Dễ thấy với α AC AC = (H - h) sin α = ,      +1  H − h      +1 +  H − h +   H − h   + , độ dài cánh tay nâng phải    AC = (H - h)      + +  H − h    H − h   +1    37 Gọi x, y chiều rộng, chiều cao mương Theo ta có: S = xy;  = 2y + x = Ta có ' (x) = 2S 2S + x Xét hàm số (x) = + x x x − 2S x2 − 2S + = x2 x2 ' (x) = ⇔ x2 − 2S = ⇔ x = 2S , y = S = x S Dễ thấy với x, y mương có dạng thuỷ động học, kích thước mương x = 2S , y = S mương có dạng thuỷ động học y x 38 Gọi h độ cao đèn so với mặt bàn (h > 0) Các ký hiệu r, M, N, Đ, I Hình vẽ Ta có sinα = Chuyên đề Toán ứng dụng h 2 h = r − a , suy cường độ sáng là: r Trang 69 r2 − a2 C = C(r) = k (r > a) Ứng dụng Đạo hàm ta có C lớn r3 Đ a r = a , h = 2 r h I N a α M * Công cụ Đạo hàm dùng hiệu việc giải toán cực trị Các toán cực trị giải phương pháp dùng Bất đẳng thức Côsi, nhiên toán (các Bài từ 28 đến 38) việc sử dụng Bất đẳng thức Côsi gặp nhiều khó khăn, điều thể rằng, chủ đề Đạo hàm có nhiều tiềm việc khai thác toán có nội dung thực tiễn Các mức độ vừa phải (như Bài 30, 32, 33, 37, 38) đưa vào dạy học lớp, có mức độ nâng cao (như Bài 28, 29, 35, 36) dùng làm tập cho học sinh, khó (như Bài 31, 34) dùng cho học sinh giỏi dạy học Cực đại cực tiểu, Giá trị lớn nhỏ hàm số Chương trình Giải tích 12 THPT 2.4 Một số gợi ý phương pháp dạy học sử dụng Hệ thống tập xây dựng Hệ thống tập xem sở quan trọng việc lồng ghép toán thực tiễn vào dạy học Tuỳ vào chương, hay mục, chi tiết cụ thể mà ta có kế hoạch dạy học, rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn cách phù hợp Những toán Hệ thống tập vận dụng vào dạy mang tính chất điểm tựa, để dạy thêm sinh động, tận dụng nhiều hội liên hệ thực tế Trong nhiều trường hợp ta cần sáng tạo thêm số toán Chuyên đề Toán ứng dụng Trang 70 khác đơn giản hơn, cụ thể hơn, sát thực đời sống thực tế không phức tạp việc giải chúng Cụ thể sử dụng giảng dạy Hệ thống tập cần ý điểm sau đây: Thứ nhất: Về việc khai thác Hệ thống tập giảng dạy Mặc dù Hệ thống tập có nội dung thực tiễn lựa chọn, cân nhắc cách thận trọng nội dung hình thức số lượng theo chủ đề kiến thức Toán Chương trình THPT; trình giảng dạy cần ý vận dụng linh hoạt vào trường hợp cụ thể, chẳng hạn: +) Đối với chủ đề chưa có tập Hệ thống, ta sáng tạo toán có lời văn mang nội dung thực tiễn toán khác làm ví dụ minh họa cho học sinh: Ví dụ 1: Ở Các phép toán tập hợp Đại số 10 THPT, ta đưa vào ví dụ: Nhà bạn An có hai mèo ba chó Nhà bạn Bình có mèo, hai chó gà Gọi A tập vật nhà bạn An, B tập hợp vật nhà bạn Bình Hãy tìm: a) A  B = ? b) A  B = ? c) B \ A = ? Trong Ví dụ trên, học sinh thường hay mắc sai lầm rằng, vật nhà bạn An giống vật nhà bạn Bình (chẳng hạn, học sinh nghĩ sai rằng: mèo nhà bạn An giống mèo nhà bạn Bình) Ví dụ 2: Ở Phương trình bậc hai SGK Đại số 10 THPT hành, ta đưa vào Ví dụ sau: Một người xe đạp dự định buổi sáng hết quãng đường 60km Khi quãng đường, thấy vận tốc vận tốc dự định, đạp nhanh vận tốc dự định 3km/h, đến nơi chậm 45 phút Hỏi vận tốc dự định người xe đạp bao nhiêu? Lời giải: Chuyên đề Toán ứng dụng Trang 71 Gọi v (km/h) vận tốc dự định người xe đạp (v > 0) Theo ta 30 30 60 + = + có phương trình v+ v ⇔ 3v2 - 51v + 180 = (1) v Giải phương trình (1) ta hai nghiệm v = 12 (thoả mãn) v = (loại) Trong Bài toán trên, nghiệm v = thoả mãn điều kiện toán (v > 0), nghiệm bị loại hai lý thực tế sau: thứ nhất, vận tốc 5km/h chậm không phù hợp với vận tốc bình thường xe đạp; thứ hai là, với vận tốc 5km/h, buổi sáng hết quãng đường 60km dự định TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ (2000), Đại số 10 (Sách chỉnh lí hợp năm2000), Nxb Gd, Hà Nội Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh, Ngô Xuân Sơn, Vũ Tuấn 2003), Đại số Giải tích 11 (Sách chỉnh lí hợp năm 2000, tái lần thứ ba), Nxb Giáo dục, Hà Nội Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình (1981), Giáo dục học môn Toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội Luận Văn Nguyễn Văn Tân Hồ Thị Bích Hiệp SGK Toán lớp 10, 11, 12 ban khoa học tự nhiên hành Chuyên đề Toán ứng dụng Trang 72 ... cao 185,6m Trên thực tế cổng Acxơ cao 18 Ví dụ 2: ( Xây dựng cầu) Chuyên đề Toán ứng dụng Trang 11 Một sông rộng 500m, để tạo điều kiện cho người dân hai bờ sông lại giao lưu buôn bán, người ta... hợp 1: thời gian sử dụng máy năm mua máy thứ tiết kiệm Trường hợp 2: thời gian sử dụng nhiều hai năm mua máy thứ Nhưng thực tế máy bơm sử dụng thời gian dài Do trường hợp người nông dân nên mua... nhiều dạng toán gần gũi với đời sống thực tiễn như: Bài toán vận tải, Bài toán sản xuất đồng bộ, Bài toán thực đơn, Bài toán lập kế hoạch sản xuất điều kiện tài nguyên hạn chế, Bài toán vốn đầu