Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề dạy thêm xét tính đơn điệu của hàm số. Đây là chuyên đề dùng để dạy thêm đầy đủ nhất về tính đơn điệu của hàm số, bao gồm bài toán đơn điệu của hàm số không chứa m và chứa cả m. Tài liệu dạy thêm có lời giải và đáp án đầy đủ. Bài toán tính đơn điệu gặp nhiều trong kỳ thi thpt quốc gia nên chúng ta hết sức chú ý.
Chuyờn - Hm s n iu CHUYấN TNH N IU CA HM S I CễNG THC TINH AO HAM ( x ) ' = a.x ( x) ' = x ' ổ1ử ữ= - ỗ ữ ỗ ốx ứ x2 a a- a ( e ) ' = u '.e ( ) ( a ) ' = a lna a ( a ) ' = u '.a lna ex ' = ex a ( u ) ' = a.u u ' u' a ( u) ' = u ' ổ1ữ u' a ỗ =- ữ ỗ ốu ứ u ( sin x) ' = cosx (cosx)' = - sin x ( tan x) ' = cos2 x ( cot x) ' = sin2 x a a- x x u u u u ) ' = u '.v + v '.u ( uv ( v ) = u '.vv- v 'u u ' x ( ln x ) ' = x a ( sin u) ' = u '.cosu a (cosx)' = - u '.sin u u' a ( tanu) ' = cos2 u u' a ( cot u) ' = sin2 u ( ln x) ' = ( loga x) ' = u' u u' a ( ln u ) ' = u a ( ln u) ' = u' a ( loga u) ' = x lna u lna II CễNG THC LNG GIAC Hờ thc lng c ban sin2 x + cos2 x = tan x = sin x cosx 1+ tan2 x = cos2x Cụng thc nhõn ụi nhõn ba bõc sin2x = 2sin x.cosx cos2x = cos2 x - sin2 x = 2cos2 x - = 1- 2sin2 x 1- cos2x ; 1+ cos2x ị sin2 x = cos2 x = 2 tan x.cot x = cosx cot x = sin x 1+ cot2 x = sin2 x sin3x = 3sin x - 4sin3 x cos3x = 4cos3 x - 3cosx Cụng thc cụng cung (3sin 4sin) (4cụ cụ) Cụng thc biờn ụi tụng tich a +b a- b cosa + cosb = 2cos cos 2 a +b a- b cosa - cosb = - 2sin sin 2 a +b a- b sina + sinb = 2sin cos 2 a +b a- b sina - sinb = 2cos sin 2 a Cụng thc tinh sin a, cosa theo t = tan sin( a b) = sina.cosb cosa.sinb cos( a b) = cosa.cosb msina.sinb tana + tanb tan ( a + b) = 1- tana.tanb tana - tanb tan ( a - b) = 1+ tana.tanb Mụt sụ cụng thc khac t t = tan sin x + cosx = 2sin ( x + p 4) = 2cos( x - p 4) sin x - cosx = 2sin ( x - p 4) = 2cos( x + p 4) + 1cos4x cos4 x + sin4 x = 1- sin2 2x = a Chuyờn - Hm s n iu + 3cos4x sin 2x = tan x + cot x = sin2x cot x - tan x = 2cot 2x ỡù 2t ùù sin a = 1+ t2 ùù ùù 1- t2 ị ùớ cosa = ùù 1+ t ùù ùù tan a = 2t ùù 1- t2 ợ cos6 x + sin6 x = 1- III PHNG TRINH LNG GIAC C BAN ỡù sin x = ị x = kp ùù c biờt: ùù sin x = ị x = p + k2p ùù ùù sin x = - ị x = - p + k2p ùợ ộ Phng trinh: sin u = sin v ờu = v + k2p ờu = p - v + l 2p ( k;l ẻ Â ) ỡù cosx = ị x = p + kp ùù ù ù cos x = ị x = k p c biờt: ùù ùù cosx = - ị x = p + k2p ùợ ộu = v + k2p Phng trinh: cosu = cosv ờu = - v + l 2p tan u = tan v u = v + kp Phng trinh: p ék : u, v + kp cot u = cot v u = v + kp Phng trinh: ék : u, v kp ùỡ tan x = x = kp c biờt: ùớ ùù tan x = x = p + kp ợ ỡù cot x = x = p + kp ù c biờt: ớù p ùùợ cot x = x = + kp Phng trinh lng giac cụ iờn dang: a sin x + b cosx = c ( 1) iờu kiờn co nghiờm: a2 + b2 c2 Chia hai vờ cho a2 + b2 , ta c: a b c ( 1) sin x + cosx = 2 2 a +b a +b a + b2 a b , cosa = aẻ ộ 0, 2pự t sin a = ỳ 2 ỷ Phng trin tr thanh: a +b a +b c c sin a.sin x + cos a.cosx = cos(x - a) = = cos b 2 a +b a + b2 x = a b + k2p (k ẻ Â) ( ) Phng trinh lng giac ng cõp bõc hai dang: a sin2 x + b sin x cosx + c cos2 x = d ( 2) Kiờm tra xem cosx = co phai la nghiờm hay khụng ? Nờu co thi nhõn nghiờm Khi cosx , chia hai vờ phng trinh ( 2) cho cos2 x , ta c: a.tan2 x + b.tan x + c = d(1 + tan2 x) +c - d = đ t đ x t t = tan x , a vờ phng trinh bõc hai theo t : (a - d)t + bt Phng trinh ụi xng dang: a ( sin x cosx) + b sin x cosx + c = ( 3) p t t = cosx sin x = 2.cos x m ; t Ê ị t2 = 2sin x.cosx ị sin x.cosx = (t2 - 1) ( ) Chuyờn - Hm s n iu Thay vao phng trinh ( 3) , ta c phng trinh bõc hai theo t đ t đ x Phng trinh ụi xng dang: a sin x cosx + bsin x cosx + c = ( 4) ( ) p ; éK : Ê t Ê ị sin x.cosx = (t2 - 1) Giai tng t nh dang trờn Khi tim x cõn lu y phng trinh cha dõu tri tuyờt ụi t t = cosx sin x = cos x m IV PHNG TRINH AI Sễ Phng trinh bõc hai: ax2 + bx + c = ( 1) a/ Giai phng trinh bõc hai Nờu b la sụ le Nờu b la sụ chn Tinh D ' = b'2- ac vi b' = b2 Nờu D ' < ị Phng trinh vụ nghiờm Nờu D ' = ị Phng trinh co b' nghiờm kep: x = a Nờu D ' > ị Phng trinh co hai ộ ờx1 = - b'- D ' a nghiờm phõn biờt: ờ ờx2 = - b'+ D ' a Tinh D = b2 - 4ac Nờu D < ị Phng trinh vụ nghiờm Nờu D = ị Phng trinh co b nghiờm kep: x = 2a Nờu D > ị Phng trinh co hai ộ ờx1 = - b - D 2a nghiờm phõn biờt: ờ ờx2 = - b + D 2a b/ inh li Viet Nờu phng trinh ( 1) co hai nghiờm phõn biờt x1, x2 thi: b Tụng hai nghiờm: S = x1 + x2 = a ị x1 c Tich hai nghiờm: P = x1.x2 = a c/ Dõu cac nghiờm cua phng trinh x2 = ỡù a Phng trinh co hai nghiờm phõn biờt ùớ ùù D > ợ ùớ ùù P > ợ D D' = a a Chuyờn - Hm s n iu ỡù D > ùù ù Phng trinh co hai nghiờm õm phõn biờt ùớ P > ùù ùù S < ùợ Phng trinh co hai nghiờm dng phõn biờt ỡù D > ùù ù ùớ P > ùù ùù S > ùợ d/ So sanh hai nghiờm cua phng trinh bõc hai g(x) = ax2 + bx + c = vi sụ bõt ki ỡù ùù D > ù x2 > x1 > b ùớ a.g( b) > ùù ùù S > b ùợ ỡù ùù D > ù x1 < x2 < b ùớ a.g( b) > x1 < b < x2 a.g( b) < ùù ùù S < b ùợ 2 Phng trinh ba ax3 + b'x2 + c 'x + d ' = ( 2) ộx = a (x - a)( ax2 + bx + c) = ờax2 + bx + c = ( 3) 2 t g(x) = ax + bx + c , D = b - 4ac Phng trinh ( 2) co nghiờm phõn biờt ( 3) co nghiờm phõn biờt ỡù D > x a ùớ ùù g(a ) ùợ Phng trinh ( 2) co nghiờm phõn biờt ( 3) co nghiờm kep x a hoc ( 3) co hai ộùỡ D = ờù ờớù g(a) ờùùợ nghiờm phõn biờt o co nghiờm x = a ờùỡ D > ờù ờớ ờùùùợ g(a) = Phng trinh ( 2) co nghiờm ( 3) vụ nghiờm hoc ( 3) co nghiờm kep x = a ộỡù D = ờù ờớ ờùùùợ g(a) = ờD < Phng trinh bõc bụn trung phng : ax4 + bx2 + c = ( 4) Chuyờn - Hm s n iu t t = x2 éK : t Phng trinh ( 4) at2 + bt + c = ( 5) Phng trinh ( 4) co nghiờm phõn biờt ( 5) co nghiờm dng phõn biờt ỡù D > ùù ù ùớ P > ùù ùù S > ùợ Phng trinh ( 4) co nghiờm phõn biờt ( 5) co nghiờm t = va nghiờm ỡù c = ù t > ùớ - b ùù > ùợ a Phng trinh ( 4) co nghiờm phõn biờt ( 5) co nghiờm trai dõu hoc ( 5) co ộac < ờ nghiờm kep dng ờùỡù D = ờớ ờùù S > ởợ Phng trinh cha cn thc ỡù B A = B ùớ ùù A = B ùợ Phng trinh cha dõu gia tri tuyờt ụi ỡù A ( hay B 0) A = B ùớ ùù A = B ùợ ỡù B A = B ùớ ùù A = B ợ A = B A = B Bõt phng trinh cha cn thc ộỡù B < ờù ờớù A ờùợ A B ờỡù B ờù ờớù ờùùợA B ỡù B ùù ù A Ê B ùớ A ùù ùù A Ê B ùợ Bõt phng trinh cha dõu gia tri tuyờt ụi ộA B A B ờA Ê - B A ÊB -BÊAÊB V HINH HOC PHNG Trong mt phng Decac Oxy cho: o Bụn iờm: A ( xA , yA ) , B ( xB , yB ) , C ( xC , yC ) va M ( xo, yo ) o ng thng D : ax + by + c = Chuyờn - Hm s n iu o ng tron (C m ) : (x - a)2 + ( y - b) = R hay ( C m ) : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = co tõm la I ( a,b) va ban kinh la R = a2 + b2 - c uuur Vect AB = ( xB - xA ; yB - yA ) ị ụ dai oan thng AB = ( xB - xA ) + ( yB - yA ) (khoang cach gia hai iờm A, B) xB - xA x - xA = C ba iờm A ( xA , yA ) ; B ( xB , yB ) va C ( xC , yC ) thng hang yB - yA yC - yA Khoang cach t iờm M ( xo, yo ) ờn ng thng D : ax + by + c = la: d( M , D) = axo + bxo + c a2 + b2 A va B ụi xng qua ng thng D D la ng thng trung trc cua oan thng AB uuur uuur 1 Diờn tich ABC: SD ABC = AB AC sin A = AB 2.AC - AB AC 2 1 abc = p( p - a) ( p - b) ( p - c) = a.ha = bh b = ch c= = pr 2 4R Trong o: R, r , p lõn lt la ban kinh ng tron ngoai tiờp, ban kinh ng tron nụi tiờp va na chu vi A va B nm vờ phia (khac phia) so vi ng thng ( ) D ( axA + byA + c) ( axB + byB + c) < A va B nm vờ cung phia so vi ng thng D ( axA + byA + c) ( axB + byB + c) > A va B cung nm ng tron hay cung nm ngoai ng tron PA / (Cm).PB / (Cm) > ( xA2 + yA2 - 2axA - 2byA + c) ( xB2 + yB2 - 2axB - 2byB + c) > A va B nm vờ hai phia khac ụi vi ng tron (1 iờm phia trong, mụt iờm phia 2 2 ngoai) PA / (Cm).PB / (Cm) < ( xA + yA - 2axA - 2byA + c) ( xB + yB - 2axB - 2byB + c) < Chuyờn - Hm s n iu Chng ng dung ao ham khao sat va ve ụ thi ham sụ Bai 1: S ụng biờn Nghich biờn cua ham sụ Dang toan 1: Xột tớnh n iu (tim khoang tng giam) ca ham sụ y = f(x) Lý thuyờt giao khoa inh ngha: Ham sụ y = f (x) ng biờn trờn K " x1, x2 ẻ K va x1 < x2 ị f (x1) < f (x2) Ham sụ y = f (x) nghich biờn trờn K " x1, x2 ẻ K va x1 < x2 ị f (x1) > f (x2) iờu kiờn cõn: Gia s y = f (x) co ao ham trờn khoang I Nờu y = f (x) ng biờn trờn khoang I thi f '(x) 0, " x ẻ I Nờu y = f (x) nghich biờn trờn khoang I thi f '(x) Ê 0, " x ẻ I iờu kiờn u: Gia s y = f (x) co ao ham trờn khoang I Nờu y ' = f '(x) , " x ẻ I [ f '(x) = tai sụ hu han iờm] thi y = f (x) ng biờn trờn I Nờu y ' = f '(x) Ê , " x ẻ I [ f '(x) = tai sụ hu han iờm] thi y = f (x) nghich biờn trờn I Nờu y ' = f '(x) = 0, thi y = f (x) khụng ụi trờn I c biờt: Nờu khoang I c thay bi oan hoc na khoang thi y = f (x) phai liờn tc trờn o Phng phap giai Bc 1: Tim tõp xac inh cua ham sụ Thng gp cac trng hp sau: Chuyờn - Hm s n iu y= P (x) P (x) ị T Xé: Q(x) y= ị T Xé: Q(x) > y = Q(x) ị T Xé: Q(x) Q(x) Q(x) Bc 2: Tim cac iờm tai o y ' = f '(x) = hoc y ' = f '(x) khụng xac inh, ngha la: tim ao ham y ' = f '(x) Cho y ' = f '(x) = tim nghiờm xi vi ( i = 1; 2; n) Bc 3: Sp xờp cac iờm o theo th t tng dõn va lõp bang biờn thiờn xet dõu y ' = f '(x) Bc 4: Da vao bang biờn thiờn, kờt luõn cac khoang ng biờn va nghich biờn cua ham sụ + f '(x) = y ' ị Ham sụ ng biờn (tng) trờn khoangva + f '(x) = y ' < ị Ham sụ nghich biờn (giam) trờn khoangva Mụt sụ lu ý giai toan Lu ý 1: ụi vi ham phõn thc hu ty thi dõu = khụng xay Lu ý 2: ax + b ụi vi ham dang: y = cx + d thi ham sụ luụn ng biờn (hoc nghich biờn) trờn TX, ngha la luụn tim c y ' > (hoc y ' < ) trờn TX ụi vi ham dang: y = ax + bx + c luụn co it nhõt hai khoang n iờu a ' x + b' ụi vi ham dang: y = ax + bx + cx + dx + e luụn co it nhõt mụt khoang ng biờn va mụt khoang nghich biờn Ca ba ham sụ trờn khụng th luụn n iờu trờn Ă Lu ý 3: Bang xet dõu mụt sụ ham thng gp Nhi thc bõc nhõt: y = f (x) = ax + b , ( a 0) b x a ax + b trai dõu vi a + cung dõu vi a Tam thc bõc hai : y = f (x) = ax + bx + c , ( a 0) Nờu D < , ta co bang xet dõu: x f (x) + cung dõu vi a Nờu D = 0, ta co bang xet dõu: x f (x) cung dõu vi a -b 2a + cung dõu vi a Nờu D > , goi x1, x2 la hai nghiờm cua tam thc f (x) = 0, ta co bang xet dõu: Chuyờn - Hm s n iu x f (x) x1 cung dõu vi a x2 trai dõu vi a + cung dõu vi a ụi vi ham ma co y ' = f '(x) = co nhiờu nghiờm, ta xet dõu theo nguyờn tc: (phng phap chung) Thay iờm lõn cõn xo gõn xn bờn ụ phai cua bang xet dõu vao f '(x) [Thay sụ xo cho d tim f '(x) ] Xet dõu theo nguyờn tc: Dõu cua f '(x) ụi du i qua nghiờm n va khụng ụi du qua nghiờm kộp Lu ý 4: Xem lai sụ cach giai phng trinh lng giac thng gp va ta co thờ a ham sụ lng giac vờ dang a thc sụ trng hp Lu ý 5: Cach tinh ao ham ham sụ dang hu ti (phõn thc) a b c d ax + b ad - cb Cach nh: Tich ng cheo chinh tr tich ng ị y' = = 2 cx + d ( cx + d) ( cx + d) Cach nh: (Anh ban n chao hai lõn bo chay) cheo phu y= a y= b x2 + a c x+ b c a ' c' a ' b' b' c ' ( b'a - a 'b) x2 + 2( c 'a - a 'c) x + ( c 'b - b'c) ax2 + bx + c ị y ' = = 2 a 'x2 + b'x + c ' ( a 'x2 + b'x + c ') ( a 'x2 + b'x + c ') Mụt sụ vi d Vớ du Tỡm cac khong n iu ca cac hm s: a/ y = - x4 + 4x2 - b/ y = x4 - 6x2 + 8x + d/ y = - x3 + 6x2 - 9x + c/ y = x4 + 4x + e/ y = x3 + 3x2 + 3x + f/ y = x2 - 2x g/ y = 2x - x- h/ y = 3x + 1- x i/ y = j/ y = - x2 + 2x - x +2 k/ y = x2 - 8x + x- l/ y = ( n/ y = x + 1- x2 + 3x + ) 6x2 + m/ y = - 3x - 2x x +7 x +2 x2 - x + o/ y = x2 - 2x Bai giai tham khao a/ Tim cac khoang n iờu cua cac ham sụ: y = - x4 + 4x2 - * Ham sụ a cho xac inh trờn D = Ă * Tinh y ' = - 4x3 + 8x ộ4x = * Cho y ' = - 4x + 8x = 4x(- x + 2) = - x +2= * Bang xet dõu: x - 2 y' + + 1 y 3 ộx = ờx2 = + ộx = x= Chuyờn - Hm s n iu * Da vao bang biờn thiờn: ( ) ( ) Ham sụ nghich biờn trờn: ( - 2;0) va ( 2;+Ơ ) Ham sụ ng biờn trờn: - Ơ ; va 0; b/ Tim cac khoang n iờu cua cac ham sụ: y = x4 - 6x2 + 8x + * Ham sụ a cho xac inh trờn D = Ă ộx = - * Tinh y ' = 4x - 12x + = = 4( x - 1) ( x + 2) Cho y ' = 4( x - 1) ( x + 2) = ờx = * Bang xet dõu: 2 - Ơ x y' - - + +Ơ + +Ơ y +Ơ - 23 * Da vao bang biờn thiờn, ham sụ nghich biờn trờn ( - Ơ ;- 2) va ng biờn trờn ( - 2;1ựỷỳẩ ộởờ1; +Ơ ) hay ham sụ ng biờn trờn khoang ( - 2;+Ơ ) c/ Tim cac khoang n iờu cua cac ham sụ: y = x4 + 4x + * Tõp xac inh: D = Ă * Tinh: y ' = 4x3 + Cho y ' = 4x3 + = x = - * Bang biờn thiờn: - Ơ x y' - - +Ơ + +Ơ +Ơ y = f (x) * Da vao bang biờn thiờn: Ham sụ nghich biờn trờn: ( - Ơ ;- 1) Ham sụ ng biờn trờn: ( - 1; +Ơ ) d/ Tim cac khoang n iờu cua cac ham sụ: y = - x3 + 6x2 - 9x + * Ham sụ a cho xac inh trờn D = Ă ộx = Â y = x + 12 x = * Tinh y ' = - 3x + 12x - Cho ờx = 10 Chuyờn - Hm s n iu Giai ổ pử ữ 0; ữ ỗ p dung bõt ng thc: sin x + tan x > 2x, " x ẻ ỗ cho ba goc nhon cua D ABC , ta c: ữ ỗ ữ ố 2ứ ùù sin A + tan A > 2A ỹ ù sin B + tan B > 2B ùý ị sin A + sin B + sinC + tan A + tan B + tanC > 2( A + B +C ) = 2p ù sinC + tanC > 2C ùùù ỵ ộ pự 0; ỳ b/ CMR : sin x Ê x , " ẻ x ờ 2ỳ ỷ ộ pự 0; ỳ * Xet ham sụ f ( x) = sin x - x liờn tuc trờn oan ờ 2ỳ ỷ ộ pự ộ pự 0; ỳị f ( x) nghich biờn trờn oan ờ0; ỳ * Ta co: f '( x) = cosx - Ê 0, " x ẻ ờ 2ỳ 2ỳ ỷ ỷ ộ pự 0; ỳ: x ị f ( x) Ê f ( 0) sin x - x Ê sin00 - sin x - x Ê ( épcm) * Luc o: " x ẻ ờ 2ỳ ỷ c/ CMR : sin x < < 1, " x ẻ p x * Vi x > 0thi: sin x < ổ pử ỗ ữ ỗ0; ữ ữ ữ ỗ ố 2ứ sin x ị g( x) < g( 0) = x cosx - sin x < 0; " x ẻ ỗ ữ ữ ỗ ố 2ứ ị f '( x) = x cosx - sin x x2 ổ pử ổ pự ữ ỗ ữ < 0; " x ẻ ỗ 0; ị f x 0; ỳ ỗ ỗ ( ) ngh i ch bi n trờn ữ ỗ ỗ ữ ố 2ứ ố 2ỳ ỷ p sin ổ pự ổ p p sin x ữ sin x > ; " x ẻ ữ : x < ị f ( x) > f ỗ > ỗ0; ỳ ỗ * Vi võy: " x ẻ ỗ ữ ữ ỗ ỗ x p x p ố 2ỳ ố2ứ ỷ ổ sin x p ữ < < 1, " x ẻ ỗ ỗ0; ữ * T ( 1) va ( 2) ị ( épcm) ữ ữ ỗ p x ố 2ứ 39 ổ pử ỗ ữ ỗ0; ữ ( 2) ữ ữ ỗ 2ứ ố Chuyờn - Hm s n iu d/ CMR : sin x > x - x3 ,"x ẻ 3! ổ pử ỗ ữ ỗ0; ữ ữ ữ ỗ ố 2ứ * Xet ham sụ f ( x) = sin x - x + x3 liờn tuc trờn oan x ẻ ộ pử ờ0; ữ ữ 2ữ ứ ữ x2 Do dõu cua f '( x) xet cha c, nờn ta xet tiờp ham sụ: ộ pử x2 ữ 0; ữ g( x) = cosx - 1+ liờn tuc trờn na khoang ữ ứ ữ ộ pử ộ pử ờ0; ữ ữ ữ g '( x) = - sin x + x 0, " x ẻ ờ0; ữ ị g x (theo cõu b) ( ) ụ ng bi n trờn 2ữ 2ữ ữ ứ ứ ữ 2 ộ pữ x x2 ữ " x ẻ 0; : x ị g x g cos x + cos0 + cos x + Do o, ( ) ( ) 2ữ ữ 2 ứ ộ pử ộ pử x2 ờ0; ữ ữ ữ 0; ữ ị f x * Vi võy, f '( x) = cosx - 1+ 0;x ẻ ( ) ng bi n trờn 2ữ 2ữ ữ ứ ứ ữ ộ pử ổ pử x x3 ữ ữ ị " x ẻ ờ0; ữ : x ị f x f = sin x x + sin x > x ,"x ẻ ỗ ỗ0; ữ ( ) ( ) ữ ữ 2ữ ữ ỗ 3! ứ ố ứ ổ pử x2 x4 ữ + ,"x ẻ ỗ 0; ữ ỗ e/ CMR : cosx < 1ữ ỗ ữ 24 ố 2ứ * Ta co: f '( x) = cosx - 1+ ộ pử x2 x4 ữ 0; ữ liờn tuc trờn na khoang ữ ứ 24 2ữ ộ pử ộ pử x ữ ữ Ê 0, " x ẻ ờ0; ữ ị f ( x) nghich biờn trờn ờ0; ữ * Ta co: f '( x) = - sin x + x (theo cõu d) ữ 2ữ 2ữ ứ ứ ở ữ ộ pử x2 x4 x2 x4 ữ ị " x ẻ ờ0; ữ : x > ị f x < f = cos x + < cos x < + ( ) ( ) ( épcm) 2ữ 24 24 ứ ữ * Xet ham sụ f ( x) = cosx - 1+ ổ sin x ữ ữ f/ CMR : ỗ ỗ ữ > cosx, " x ẻ ỗ ố x ữ ứ ổ pữ ỗ ữ ; ỗ ỗ 2ữ ữ ố ứ * Theo cõu d, ta co: sin x > x - x3 ,"x ẻ ổ pử ỗ ữ ỗ0; ữ ữ ữ ỗ ố 2ứ 3 ổ x2 ổ sin x x2 sin x x2 x4 x6 ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ị > ỗ > ỗ1= 1+ ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ x 6ứ 12 216 ố x ứ ố 3 ổ ổ sin x ữ x2 x2 x4 x4 ổ x2 ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ > = + + ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ 6ứ 24 24 ố 9ứ ố x ứ ố ổ pử x2 ữ ữ * Vi x ẻ ỗ 0; ị > 0ị ỗ ữ ỗ ữ ố 2ứ ổ sin x x4 ữ ỗ ữ > x + ỗ ữ ỗ x ứ ữ 24 ố Mt khac, theo cõu e, ta co: 1- x + x4 > cosx, " x ẻ 24 40 ổ pử ỗ ữ ỗ0; ữ ữ ữ ỗ ố 2ứ Chuyờn - Hm s n iu ổ sin x ữ ữ ị ỗ > cosx, " x ẻ ỗ ữ ữ ỗ x ố ứ ổ pử ỗ ữ ỗ0; ữ ( épcm) ữ ữ ỗ 2ứ ố a ổ pử ổ sin x ữ ỗ ữ ỗ 0; ữ ỗ ữ thi ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố 2ứ ố x ứ sin x < 1, " x ẻ Nhõn xet: Ta co < sin x < x ị < x ổ sin x ữ ỗ ữ , " Ê ỗ ữ ữ ỗ ố x ứ Thớ du Chng minh cac bõt ng thc: x2 x < < x, " x > x +1 a/ x c/ x+1 b/ 22sin x + 2tan x > 22 n n n n n n 1+ + 1 , "x ẻ ộ ờ0; p ) - 2y vi 4x2 + x > - y - 2y ( ) ( ) Bai giai tham khao a/ CMR : x - x2 x < < x, " x > x +1 Chng minh: x x +1 Ta co: " x > ị < x, " x > x +1 > 1 x +1 x ị g( x) ng biờn trờn ( 0;+Ơ ) Ta co: g '( x) = x +1 Do o, " x ẻ ( 0; +Ơ ) : x > ị g( x) > f ( 0) = * T ( 1) va ( 2) ị x b/ CMR : 2sin x tan x +2 x x2 x - 1+ > x < 2 x +1 x +1 ( 2) x2 x < < x, " x > ( épcm) x +1 x+1 >2 , "x ẻ ộ ờ0; p ) * p dung bõt ng thc Cauchy cho hai sụ dng: 22sin x va 2tan x ta c: ổ ữ ỗsin x+ tan xữ 2.ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 22sin x + 2tan x 22sin x.2tan x = 22sin x+tan x = 2 * Bai toan tr chng minh : 41 ổ 1 ữ ộổ ỗ ỗ ữự ữ ỗsin x+ tan xữ ữ ỗ ữ ỗ ỗỗỗốsin x+2 tan xữữứỳ ố ứ = ờ2 ỳ = 2.2 ỳ ỷ Chuyờn - Hm s n iu ổ ữ ỗsin x+1 tan xữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ x+1 ổ ữ ỗsin x+1 tan xữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ x > 22 sin x + tan x > x, " x ẻ 2 ộ * Xet ham sụ y = sin x + tan x - x liờn tuc trờn na khoang ờ0; p 2 * Ta co: 2.2 >2 ) ộ0; p ) 2cos3 x - 3cos2 x + ( cosx - 1) ( 2cosx + 1) y ' = cosx + = = 0, " x ẻ ộ ờ0; p 2 2 2cos x 2cos x 2cos x x ộ ị y = f ( x) = sin x + tan x - ng biờn trờn ờ0; p 2 3 ị "x ẻ ộ ờ0; p : x > ị f ( x) > f ( 0) = sin x + tan x - x > sin x + tan x > x 2 2 ) ) ) c/ CMR : n n n n n n 1+ + 1 f ( ) - 2y 2x > - 2y x > - 2y ( épcm) Thớ du Chng minh x z y x y z + + + + z y x y z x a b c b/ Cho a,b,c > Chng minh rng: + + a +b b +c c +a a/ Cho x y z Chng minh rng: 42 ( ) - 2y Chuyờn - Hm s n iu Bai giai tham khao a/ Cho x y z CMR : x z y x y z + + + + z y x y z x x z y ổ x y zử ữ + + - ỗ + + ữ , " x > (biờn sụ la x va xem y, z la hng sụ) ỗ ữ ỗ ữ z y x ốy z x ứ ổ ổy ổ1 1ử zử 1ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ 0; " x > = y z ỗ ỗ ỗ * Ta co: f '( x) = ỗ ( ) ữ 2ữ 2ữ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ x ứ ốz y ứ ốx ốyz x ứ ị f ( x) ng biờn trờn ộ ở0; +Ơ ) x z y ổ x y zử ữ ỗ + + ữ * Do o: " x y > ị f ( x) f ( y) = + + ỗ ( épcm) ữ ữ z y x ỗ ốy z x ứ * Xet ham sụ: f ( x) = b/ Cho a,b,c > CMR : a b c + + a +b b +c c +a b c a * t x = , y = , z = ị xyz = Khi o bõt ng thc cõn chng minh tr thanh: a b c 1 + + + x + y 1+ z * Gia s: z Ê ị xy 1, nờn ta co: 1 2 z + = 1+ x 1+ y 1+ xy 1+ z 1 z 2t + + + = + = f ( t ) vi t = z Ê 1+ x 1+ y + z + z 1+ z + t + t 2( 1- t ) 2t f '( t ) = Ê Ê ị f ( t ) nghich biờn trờn oan ộ0;1ự 2 ỳ ỷ 2 + t 1+ t ( ) 1+ t ị ( ) ( ) ị t Ê ị f ( t ) f ( 1) = , " t Ê ( épcm) Bai tõp ren luyờn Bai Chng minh rng ộ pự 1/ sin x Ê x, " x ẻ ờ0, ỳ 2ỷ ỳ ổ pữ 0; ữ 3/ tan x > sin x, " x ẻ ỗ ỗ ố 2ứ ổ pử 0; ữ 5/ tan x + 2sin x > 3x, " x ẻ ỗ ỗ ữ ố 2ứ 2/ tan x > x, " x ẻ ( 0; p 2) x3 ổ pử , "x ẻ ỗ 0; ữ ỗ ữ ố 2ứ 3! x3 ổ pử 0; ữ 6/ tan x > x + , " x ẻ ỗ ỗ ữ ố 2ứ 4/ sin x > x - 43 Chuyờn - Hm s n iu ổ pữ < x, " x ẻ ỗ 0; ữ ỗ ố 2ứ 7/ + cot x sin x ổ pử sin x + tan x > x, " x ẻ ỗ 0; ữ 9/ ỗ ữ ố 2ứ 3 x3 x5 + , "x > 11/ sin x < x 120 13/ a - sina < b - sinb, < a < b < p p 15/ a - tana < b - tanb, < a < b < 17/ sin x > 2x p , " x ẻ ( 0; p 2) x3 < sin x < x, " x > 8/ x 16/ x - ( ) ổ sin x ữ 20/ ỗ ữ > cosx, " x ẻ ữ ỗ ố x ứ ổ pử ỗ 0; ữ ỗ ữ ố 2ứ 22/ + x2, " x ẻ Ă 1 > 1, " x ẻ ( 0; +Ơ ) x 6x2 x2 1 + x < + x < + x, " x > 25/ 2 x ổ pử ( p - 4x2) , " x ẻ ỗỗố0; ứữ 27/ sin x > x + p 12p 2ữ x+1 p 2sin x tan x 29/ +2 > , 0Ê x < Bai Chng minh rng 23/ x sin x3 x3 x5 < sin x < x + , x>0 6 120 18/ x > ln( 1+ x) , " x ẻ ( 0;+Ơ ) , " x ẻ ( 0; +Ơ ) 19/ ln( + x) - ln x > 1+ x a ổ sin x ổ pữ ữ > cosx, " x ẻ ỗ 0; ữ 21/ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố 2ứ ố x ứ + x ln x + + x2 x2 x4 + , "x ẻ 24 ổ pử ỗ 0; ữ ỗ ữ ố 2ứ tan x x p < , 0< x < y < 12/ tan y y x 14/ e > 1+ x, " x ẻ ( 0;+Ơ ) 10/ cosx < 1- 1 ổ pử < + 1- , " x ẻ ỗ 0; ữ ỗ ữ ố 2ứ sin x x p 26/ x > - , " x ẻ ( 1; +Ơ ) x x ổ pử 0; ữ 28/ sin x < ( p - x) , " x ẻ ỗ ỗ ữ ố 2ứ p n n n n n + 1< 2, " n > 30/ n + n n 24/ x z y x y z 1/ " : x y z ta luụn co: z + y + x y + z + x 4 2 2 2 2/ " : x,y, z > thi : x + y + z + xyz ( x + y + z) xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + zx ( z + x ) a b c + + 3/ " : a,b,c > ta luụn co: a +b b + c c + a ( c - a) 2a 2b 2c + + Ê + 4/ " : c b a > ta luụn co: b +c c +a a +b a ( c + a) (1+ x) 5/ tan55 > 1,4 HD: tan550 = tan(450 + 100) Xet ham f ( x) = (1- x) 6/ 13 < sin20 < 720 HD: xet ham f ( x) = 3x - 4x va f (x) ng biờn trờn ( - 12; 12) 7/ log2 > log3 HD: xet ham f (x) = logx ( x + 1) vi " x ẻ ( 1; +Ơ ) Dang toan 4: ng dung tớnh n iu giai phng trinh bõt phng trinh va h phng trinh C s lý thuyờt: 44 Chuyờn - Hm s n iu Gia s ham sụ y = f ( x) tng hoc giam trờn khoang Gia s ham sụ y = f ( x) tng trờn khoang Gia s ham sụ y = f ( x) giam trờn khoang Nờu ( a,b) ( a,b) ( a,b) ta co: ta co: f (u) = f (v) u = v f (u) < f (v) u < v ta co: f (u) < f (v) u > v va la ham hng hoc ham sụ giam trờn thi phng a,b) y = g( x) ( a,b) ( trinh f ( x) = g( x) co nhiờu nhõt mụt nghiờm thuục khoang ( a,b) Noi cach khac, nờu co x ẻ ( a,b) cho f ( x ) = g( x ) thi phng trinh f ( x) = g( x) co nghiờm nhõt trờn ( a,b) y = f ( x) tng trờn o o Phng phap giai: o Giai phng trinh: f ( x) = g( x) ( *) Bc 1: Chon c nghiờm xo cua phng trinh (thụng thng chon nghiờm lõn cõn 0) Bc 2: Xet cac ham sụ y = f (x) ( C 1) va y = g(x) (C ) Ta cõn chng minh mụt ham ng biờn va mụt ham nghich biờn Khi o ( C 1) va ( C ) giao tai mụt iờm nhõt co hoanh ụ xo o chinh la nghiờm nhõt cua phng trinh (*) Giai bt phng trinh: f ( x) > g( x) Bc 1: Xet tinh n iờu cua ham sụ h ( x) = f ( x) - g( x) ( ng bin) ộh ( x1) > h ( x2 ) x1 > x2 Bc 2: Chng minh la ham n iờu h(x) ị ( nghich bin) h ( x1) > h ( x2 ) x1 < x2 Mụt sụ vi d Thớ du Gii cac phng trỡnh sau: ( ( ) ( 3x - 1) c/ 2x3 + 7x2 + 5x + = 3x - ( ) b/ 2x3 + x2 - 3x + = 3x - a/ 2x = 6- x ) ( )( e/ 3x + 9x + + 4x + d/ x3 - 4x2 - 5x + = 7x2 + 9x - ) 1+ x + x2 + = Bai giai tham khao a/ Giai phng trinh: 2x = - x ỡù f ( x) = 2x ù * Xet hai ham sụ: ùù g( x) = 6- x ùợ 45 3x - Chuyờn - Hm s n iu x * Ta co: ham sụ f ( x) = ng biờn trờn Ă , g( x) = 6- x nghich biờn trờn Ă va ỡù f ( 2) = 2x = ù ùù g( 2) = - x = ùợ ị x = la nghiờm nhõt cua phng trinh b/ Giai phng trinh: 2x3 + x2 - 3x + = 2( 3x - 1) 3x - * iờu kiờn: x ( 1) ( * Ta co: ( 1) 2x3 + x2 + = ) ( 3x - + ) 3x - + f ( x) = f ( ) 3x - * Xet ham sụ f ( t ) = 2t + t + liờn tuc trờn khoang ( 0;+Ơ ) Ta co: f '( t ) = 6t + 2t > 0, " t ẻ ( 0; +Ơ ) ị Ham sụ f ( t ) ng biờn trờn ( 0;+Ơ ) ị f ( x) = f ( ộ ờx = - > 3x - x = 3x - x2 = 3x - ờ ờx = + > ) c/ Giai phng trinh: 2x3 + 7x2 + 5x + = 2( 3x - 1) * iờu kiờn: x (N) (N ) ( 3x - 1) ( 2) ỡù 2x3 + 7x2 + 5x + = 2y3 ù * t y = 3x - Khi o: ( 2) ùù 3x - = y2 ùợ ( 3) ( 4) Cụng vờ theo vờ cua ( 3) cho ( 4) , ta c: 2( x + 1) + ( x + 1) = 2y3 + y2 f ( x + 1) = f ( y) 3 * Xet ham sụ: f ( t ) = 2t + t liờn tuc trờn khoang ( 0;+Ơ ) f '( t ) = 6t2 + 2t > 0, " t ẻ ( 0; +Ơ ) ị Ham sụ f ( t ) ng biờn trờn ( 0;+Ơ ) ị f ( x + 1) = f ( y) x + = y * Thay y = x + 1vao ( 3) , ta c: 2x3 + 6x2 + 6x + = 2x3 + 7x2 + 5x + x2 - x + = ị Phng trinh a cho vụ nghiờm d/ Giai phng trinh: x3 - 4x2 - 5x + = 7x2 + 9x - * Tõp xac inh: D = Ă * t y = 7x2 + 9x - Khi o, phng trinh a cho c viờt lai hờ: ỡù x3 - 4x2 - 5x + = y ỡù x3 - 4x2 - 5x + = y ỡù x3 - 4x2 - 5x + = y ù ù ù ù ( a) 3 ùù 7x + 9x - = y ùù y + y = x + 3x + 4x + ùù y + y = ( x + 1) + x + ( *) ợù ợù ùợ * Khi o, ( *) co dang: f ( y) = f ( x + 1) ( * *) Xet ham sụ: f ( t ) = t + t, " t ẻ Ă Ta co: f '( t ) = 3t + > 0, " t ẻ Ă ị f ( t ) ng biờn trờn Ă 46 Chuyờn - Hm s n iu Luc nay, ( * *) y = x + ùỡ x3 - 4x2 - 5x + = y Va hờ phng trinh ( a) ùớ ùù y = x + ợ ( ) e/ Giai phng trinh: 3x + 9x + + ( 4x + 2) ( ) ( 1) 1+ x + x2 + = * Tõp xac inh: D = Ă ổ ữ= ( 2x + 1) ổ ỗ + ( - 3x) + 3ữ 2+ Luc phng trinh ( 1) ( - 3x) ỗ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố * t u = - 3x ; v = 2x + 1vi u, v > ( 2) ( ) ( ) u + u2 + = v + v2 + ộx = ờ ờx = - ùỡ x3 - 4x2 - 6x + = ùớ ùù y = x + ợ ( 2x + 1) ữ ( 2) + 3ữ ữ ữ ứ ( 3) * Xet ham: f ( t ) = 2t + t + 3t liờn tuc trờn khoang ( 0;+Ơ ) Ta co: f '(t) = + 2t + 3t t + 3t > 0; " t > ị f ( t ) ng biờn trờn ( 0;+Ơ ) * Khi o phng trinh ( 3) f ( u) = f ( v) u = v - 3x = 2x + x = - Thớ du Gii cac bõt phng trỡnh sau: a/ 5x - + x + b/ 3- 2x + c/ 2x3 + 3x2 + 6x + 16 < + - x c/ 2x - ( x + 2)( 2x - 1) - - 2x Ê x + Ê 4- ( x + 6)( 2x - 1) + x + Bai giai tham khao a/ Giai bõt phng trinh: * iờu kiờn: x 5x - + x + ộ1 ữ ; +Ơ ữ * Xet ham sụ: y = 5x - + x + liờn tuc trờn na khoang ữ ờ5 ữ ứ ộ1 1 + > ; " x > ị f ( x) la ham sụ ng biờn trờn ; +Ơ * Ta co: f '( x) = ờ5 5x - x + * Mt khac: f ( 1) = Khi o bõt phng trinh a cho f ( x) f ( 1) x b/ Giai bõt phng trinh: 3 - 2x + * iờu kiờn: 2x - - 2x Ê ( 1) 5: + Xet ham sụ: f ( x) = ( )( x +2+ x +6 ) 2x - - liờn tuc trờn khoang ( 5;+Ơ ) ổ 1 x +2+ x +6 ữ ỗ ữ ỗ f ' x = + 2x - - + > 0; " x > + Ta co: ( ) ỗ ữ ữ ỗ2 x + 2 x + 6ứ ữ ố 2x - ( ) ị f ( x) luụn ng biờn trờn khoang ( 5;+Ơ ( 2) f ( x) Ê f ( 7) ) va co f ( 7) = Do o: x Ê Ê xÊ ùỡù 4x2 + x2= ( 1- y) - 2y b/ ùớ ùù 4x + y2 + 3- 4x = ùợ 48 ỡùù x + 2x = y d/ ùù y + 2y = x ùợ Thớ*duK3 trỡnh sau: ờt Gii hpcac vihiphng ờu kiờn, nghi ờm cua bõt phng trinh la: ỡù 2x + + - y = ù a/ ùớ ùù 2y + + - x = ùợ ỡù x3 - 3x = y3 - 3y ù c/ ùù x + y6 = ùợ ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( ) ( 1) éH ( ( 2) ( 1) ( 2) A.2010) Chuyờn - Hm s n iu Bai giai tham khao ỡù 2x + + - y = () ù a/ Giai hờ phng trinh: ùớ ùù 2y + + - x = ( 2) ùợ Cach giai 1: * iờu kiờn: - Ê x, y Ê * Lõy ( 1) tr ( 2) ta c: 2x + - - x = 2y + - 4- y ( 3) ộ ự - ;4ỳ - t liờn tuc trờn oan ờ ỳ ỷ ộ ự 1 + > ; " x ẻ ờ- ;4ỳị f ( t ) luụn ng biờn trờn khoang * Ta co: f '( t ) = ỳ 2t + - t ỷ ổ3 ỗ ữ - ;4ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ * Xet ham sụ: f ( t ) = 2t + - ị ( 3) f ( x) = f ( y) x =y ộx = ị Thay x = y vao ( 1) Giai phng trinh ta tim c: ờx = 11 ộy = ờ 11 ờy = ỡù ỹ ổ ùù 11 11ử ữ ù ỗ ữ S = x ; y = 3;3 , ; ỗ Võy nghiờm cua hờ la: ( ) ớù ( ) ỗ 9 ữ ý ữ ùù ố ứ ùợ ỵ Cach giai 2: Ê x, y Ê * Lõy ( 1) tr ( 2) ta c: 2x + * iờu kiờn: - ( ( 2x + - ) ( 2y + + ( 2x + 3) - ( 2y + 3) ) 2x + + 2y + + - x = 2y + - 4- y - ) 4- x = ( - y) - ( 4- x) 4- y - 4- y 4- x =0 ổ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ( x - y) ỗ + =0 ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ y x 2x + + 2y + ỗ ữ ố ứ ộx = y ờ + = ( *) 4- y - 4- x 2x + + 2y + ( ( ) ) 49 Chuyờn - Hm s n iu * Do ( ) 2x + + 2y + + 4- y - 4- x > nờn phng trinh ( *) vụ nghiờm * Vi x = y , thay vao phng trinh ( 1) , ta c: 2x + + - x = x + + ( 2x + 3) ( - x) = 16 - 2x2 + 5x + 12 = 9- x ỡù - x ùớ ùù 9x - 38x + 33 = ợù ộx = ờ 11 ị ờx = ộy = ờ 11 ờy = ỡù 4x2 + x = 1- y - 2y ( ) ù b/ Giai hờ phng trinh: ùớ ùù 4x + y2 + - 4x = ùợ Cach giai 1: ỡù ùù x Ê ù * iờu kiờn: ùù ùù y Ê ùợ ( ( ) ) ( 1) éH ( ( 2) ( A.2010) ) 2 * Khi o: ( 1) 4x + x + ( y - 3) 5- 2y = 4x + 2x + 2( y - 3) - 2y = ộ ự ộ ự ờ( 2x) + 1ỳ( 2x) = ( - 2y) - 2y ờ( 2x) + 1ỳ( 2x) = ( - 2y + 1) - 2y ỳ ỳ ỷ ỷ ộ ự ộ ự ờ( 2x) + 1ỳ( 2x) = - 2y + 1ỳ - 2y co dang f ( 2x) = f - 2y ỳ ỳ ỷ ỷ ( ( ) ( ) ( ) ) * Xet ham sụ f ( t ) = t t + liờn tuc trờn Ă + Ta co: f '( t ) = 3t + > 0, " t ẻ Ă ị f ( t ) luụn ng biờn trờn Ă + Do o: f ( 2x) = f ( ùỡù x > - 2y 2x = - 2y ùớ ùù ( 2x) = 5- 2y ùợ ) ổ 5- 4x2 ữ ỗ ữ * Luc nay, phng trinh ( 2) 4x + ỗ + - 4x = ữ ỗ ữ ỗ ứ ố ỡù ùù Ê x Ê ùớ ùù - 4x2 ùù y = ùợ ( 3) ổ 3ử ổ - 4x2 ữ ỗ ỗ ữ 0; ữ ữ ỗ * Xet ham sụ: g( x) = 4x + ỗ liờn t u c trờn kho a ng + x ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ 4ứ ỗ ố ố ứ ổ 3ử ổ 3ử ữ ỗ ữ ữ < 0, " x ẻ ỗ ; ị g x 0; ữ ỗ ỗ Ta co: g '( x) = 4x 4x - ngh i ch bi n trờn va co ( ) ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ố ứ ố 4ứ - 4x ổử 1 ữ gỗ = ị ( 3) co nghiờm nhõt la x = ị y = ỗ ữ ữ ữ ỗ ố2ứ 2 ( ) ổ ữ ;2ữ ỗ * So vi iờu kiờn, nghiờm cua hờ la: S = ( x;y) = ỗ ữ ỗ ữ ố ứ Cach giai 2: 50 Chuyờn - Hm s n iu ỡù ùù x Ê * iờu kiờn: ùớ ùù ùù y Ê ùợ ỡù ùù Ê x Ê ổ - 2y ữ ử3 ổ - 2y ữ ỗ ỗ ù ữ +ỗ 2x = 2- 5y ữ ữ ( 1) 4x + x = ỗỗỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ù x2 ữ ữ ỗ ỗ ùù y = ố ứ ố ứ ùùợ 2 ổ 5- 4x2 ữ + 3- 4x = 16x4 - 25x2 + 3- 4x - = ( 2) 4x2 + ỗỗỗỗ ữ ữ ữ ố ứ ( ) ( ) 16x4 - 25x2 + + )( ) ( ) ( ị ( 2x + 1) 4x2 - < ị ( 2x + 1) 4x2 + ( ) * Võy nghiờm cua hờ la: x = Cach giai 3: ) ( - 4x + ( ) ) 16 - 4x + 1 ị y = 2 ỡù ùù u = 2x ; uÊ ù * t: ùù v = y ; v ùùợ 2 * Khi o: ( 1) u + u = v + v ị u = v ( 16( 1- 2x) ộ ờx = ự 16 ỳ= ỳ ờ2x + 4x2 + - 4x + 1ỷ ) ờ( ộ ( 2x - 1) ờ( 2x + 1) 4x + * Vi Ê x Ê ( 3- 4x - = 4x2 - 4x2 - + ) ỡù 2x = 5- 2y ù * Ta co hờ: ùớ ùù 4x + y2 + - 4x = ùợ * t t = y - 1;w = 3- 4x = 3- 2u ỡù u2 = 3- 2t ùỡù u = 3- 2t ùù ùù ù ị t = 3- 2w ớù t2 = 3- 2w u = t = w = ùù ù ùù w = 3- 2u ùùù w2 = 3- 2u ợ ùợ ỡù x3 - 3x = y3 - 3y ù c/ Giai hờ phng trinh: ùù x + y6 = ùợ ùỡù - Ê x Ê * T ( 1) va ( 2) ị iờu kiờn: ùù - Ê y Ê ợ * T ( 1) f ( x) = f ( y) ( *) ( 1) ( 2) ự * Xet ham sụ f ( t ) = t - 3t liờn tuc trờn oan ộ ờ- 1;1ỳ ỷ 51 ùỡù ùớ x = ùù y = ùùợ =0 16 - 4x + = ( 3) ị ( 3) : vụ nghiờm Chuyờn - Hm s n iu ( ) ựị f ( t ) luụng nghich biờn trờn oan ộ- 1;1ựnờn * Ta co: f '( t ) = t - Ê 0; " t ẻ ộ ờ- 1;1ỳ ỳ ỷ ỷ ( *) x = y * Thay x = y vao ( 2) , ta c nghiờm cua hờ la: x = y = ỡù x3 + 2x = y ù d/ Giai hờ phng trinh: ùù y + 2y = x ùợ Cach giai 1: ( 1) ( 2) * Xet ham sụ f ( t ) = t + 2t liờn tuc trờn Ă * Ta co: f '( t ) = 3t + > 0, " t ẻ Ă ị f ( t ) ng biờn trờn Ă ỡù f ( x) = y ( 3) ù * Hờ phng trinh a cho tr thanh: ùù f ( y) = x ( 4) ùợ * Nờu: x > y ị f ( x) > f ( y) ị y > x (do ( 3) va ( 4) dõn ờn mõu thuõn) ị x =y * Nờu: x < y ị f ( x) < f ( y) ị y < x (mõu thuõn) ( ) * Thay x = y vao ( 1) , ta c: x + x = x x + = x = (do x2 + > 0, " x ) * Võy hờ phng trinh co nghiờm nhõt: ( x;y) = ( 0;0) Cach giai 2: ( ) 3 2 * Tr ( 1) cho ( 2) , ta c: x - y + 3x - 3y = ( x - y) x + y + xy + = ộổ ự yử 3y2 ờỗ ỳ ữ ( x - y) ờỗ x+ ữ + + 3ỳ= x = y ữ ỗ ữ 2ứ ờố ỳ ỷ * Thay x = y vao ( 1) , ta c: x + x = x x + = x = (do x2 + > 0, " x ) ( ) * Võy hờ phng trinh co nghiờm nhõt: ( x;y) = ( 0;0) Bai tõp ap dng Bai Giai cac phng trinh sau 1/ 3/ 5/ x + + x + + x + = 7/ 3x + 4x = 5x 9/ 3x + + x + 7x + = 2/ x5 + x3 - 1- 3x + = 4/ x2 + 15 = 3x - + x2 + 6/ ln( x - 4) = - x 8/ 2x + 3x + 5x = 38 10/ 5x3 - + 2x - + x = 11/ x3 - 4x2 - 5x + = 7x2 + 9x - 12/ 2x - + x2 + = - x 13/ x + x- 5= x + x - + x + + x + 16 = 14 14/ 4x - + 4x - = ( 2- ) ( x + 2+ ) x = 2x 16/ log2 ( + x ) = log7 x 15/ 2x- - 2x - x = ( x - 1) 52 Chuyờn - Hm s n iu ổx2 + x + ữ ỗ ữ = x2 + 3x + 17/ log3 ỗ ữ ỗ ữ ỗ2x + 4x + 5ứ ố 19/ x - = - x3 - 4x + 21/ x = 1- 2x + 2x2 - x3 18/ 4x - + 4x2 - = 20/ x - = + x - x2 22/ x - 1+ x +2 = Bai Giai bõt phng trinh x 1/ 2x < 32 + 2/ 5x + 12x > 13x 3/ ( x + 2) ( 2x - 1) - x + Ê - ( x + 6) ( 2x - 1) + x + 4/ 2x3 + 3x2 + 6x + 16 < + - x 5/ x + + 5x - + 7x - + 13x - < 6/ 2x + x + x + + x2 + 7x < 35 Bai Giai hờ phng trinh ỡù x3 - 3x = y3 - 3y ù 1/ ùù x + y6 = ùợ ỡù 1 ùù x =yx y 3/ ùớ ùù ùùợ 2x - xy - = ỡù 2x + = y3 + y2 + y ùù ù 6/ ùớ 2y + = z + z + z ùù ùù 2z + = x3 + x2 + x ùợ ỡù x3 + 2x = y ù 2/ ùù x + 2x = y ùợ ỡù x = y3 + y2 + y - ùù ù 5/ ùớ y = z + z + z - ùù ùù z = x3 + x2 + x - ùợ ỡù ùù y = 2x ỡù y3 - 9x2 + 27x - 27 = ỡù ùù 1- x2 ùù ùù 2x = y + ùù ù 2y y ù ù 7/ 8/ z = 9/ ùớ z - 9y + 27y - 27 = ù ù ùù 1- y ùù ùù ùù 2y = x + ù ùùợ x - 9z + 27z - 27 = x ùợ ùù x = 2z ùùợ 1- z2 ỡù y3 = 6x2 - 12x + ỡù cot x - cot y = x - y ỡù tan x - tany = x - y ùù ùù ùù ùù ùù ù 10/ z = 6y - 12y + 11/ 5x - 8y = 2p 1/) ùớ tan x + tany = ùù ùù ùù ùù x3 = 6z2 - 12z + ùù x, y ẻ (0, p) ùù x, y ẻ (0, p) ùợ ùợ ùợ ỡù 1 ùù x =yx y 4/ ùớ ùù ùùợ 2y - x =1 Bai Chng minh rng phng trinh x + x x - - 2011 = co ung nghiờm dng phõn biờt Bai Chng minh rng x4 - x + > 0, " x ẻ Ă Bai Chng minh rng phng trinh 2x2 x - = 11 co nghiờm nhõt 53