MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Qua nhiều năm thực tế giảng dạy, nhận thấy học sinh ngại va chạm với tốn chứng minh bất đẳng thức hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức phần tương đối khó, dạng tập q nhiều, q phong phú thời lượng kiến thức sách giáo khoa Vì tơi ln trăn trở làm để tháo gỡ giúp em bớt khó khăn gặp dạng toán 1.2 Mục đích nghiên cứu: .2 1.3 Đối tượng nghiên cứu: 1.4 Phương pháp nghiên cứu: .2 PHẦN II: NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận: a) Đối với đường cong cho hàm số tiếp tuyến số điểm đồ thị hàm số ln nằm hay nằm đồ thị Dựa vào tính chất này, người ta thiết lập nên phương pháp thú vị để chứng minh bất đẳng thức phương pháp tiếp tuyến: 2.2 Thực trạng vấn đề: 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề: 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: 11 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .11 TÀI LIỆU THAM KHẢO .12 13 PHẦN I: MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Mục tiêu giáo dục nâng cao chất lượng, hiệu việc dạy học, làm cho kết học sinh ngày nâng cao Muốn đáp ứng yêu cầu nhiệm vụ giáo viên học sinh là: " phải dạy học để đạt hiệu cao nhất" Cùng với môn học khác, mơn tốn giữ vai trị quan trọng Dạy tốn tức dạy phương pháp suy luận Học toán rèn luyện khả tư logic Giải toán hoạt động hấp dẫn bổ ích, giúp em nắm vững thêm kiến thức, phát triển bước lực tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo Chứng minh bất đẳng thức hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức tốn khó q trình giải tốn gần thiếu đề thi THPT quốc gia thi chọn học sinh giỏi Mặc dù mảng kiến thức học sinh tiếp cận từ lớp THCS song để học tốt bất đẳng thức điều không dễ phải nhiều thời gian Qua nhiều năm thực tế giảng dạy, nhận thấy học sinh ngại va chạm với toán chứng minh bất đẳng thức hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức phần tương đối khó, dạng tập nhiều, phong phú thời lượng kiến thức sách giáo khoa Vì tơi ln trăn trở làm để tháo gỡ giúp em bớt khó khăn gặp dạng tốn Trong phạm vi nhỏ hẹp này, tơi xin trình bày số kinh nghiệm nhỏ qua thực tế giảng dạy mơn tốn mảng bất đẳng thức cho học sinh THPT, là: " Kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi tốn chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức phương pháp tiếp tuyến" , hy vọng giúp em say mê hứng thú học tốn 1.2 Mục đích nghiên cứu: Mục đích nghiên cứu đề tài rèn luyện cho học sinh kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức phương pháp tiếp tuyến 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Học sinh trường THPT Trần Phú – Nga Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh, đúc rút từ kinh nghiệm giảng dạy - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn 13 PHẦN II: NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận: a) Đối với đường cong cho hàm số y = f ( x ) tiếp tuyến số điểm đồ thị hàm số nằm hay nằm đồ thị Dựa vào tính chất này, người ta thiết lập nên phương pháp thú vị để chứng minh bất đẳng thức phương pháp tiếp tuyến: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) xác định, liên tục có đạo hàm khoảng ( α ; β ) Nếu y = ax + b tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm M ( x0 ; y0 ) , x0 ∈ ( α ; β ) ( C ) ln nằm phía (hoặc phía dưới) tiếp tuyến khoảng ( α ; β ) f ( x ) ≥ ax + b, x0 ∈ ( α ; β ) (hoặc f ( x ) ≤ ax + b, x0 ∈ ( α ; β ) ) Đẳng thức xảy ⇔ x = x0 Như vậy, với x1; x2 ; ; xn ∈ ( α ; β ) thì: f ( x1 ) ≥ ax1 + b f ( x2 ) ≥ ax2 + b f ( xn ) ≥ axn + b f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) + + f ( xn ) ≥ a ( x1 + x2 + x3 + + xn ) + nb Nếu x1 + x2 + + xn = k ( khơng đổi) f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) + + f ( xn ) ≥ ak + nb ( Hoặc f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) + + f ( xn ) ≤ ak + nb ) Đẳng thức xảy ⇔ x1 = x2 = = xn = k n b) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) ( C ) điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng: y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) ⇔ y = f ' ( x0 ) x + f ( x0 ) − f ' ( x0 ) x0 Giả sử phương trình tiếp tuyến : y = ax + b ' Như vậy: a = f ( x0 ) Thao tác sử dụng máy (Caiso fx-570 ES PLUS máy có chức tương đương): Nhấn SHIFT d d W máy ( W) |x=W ( W) nhập dx dx biểu thức f ( x ) , x =W nhập x0 nhấn = , từ suy giá trị a ' Lại có: b = f ( x0 ) − f ( x0 ) x0 Thao tác sử dụng máy: Nhấn f ( x ) − ax (a giá trị vừa tìm được) CALC cho x = x0 nhấn = , từ suy giá trị b 2.2 Thực trạng vấn đề: Khi chữa đề thi thử THPT quốc gia mơn tốn năm 2016 Sở giáo dục đào tạo tỉnh Thanh Hóa cho học sinh lớp 12 có câu số 10 sau: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị lớn 3a − b 3b − c 3c − a  + + ÷  a + ab b + bc c + ca   biểu thức: P = ( a + b + c )  ( Trích từ đề thi khảo sát chất lượng lớp 12 mơn tốn năm học 2015 - 2016 sở GD&ĐT Thanh Hóa) Tơi có hướng dẫn học sinh trình bày lời giải sau: Lời giải: Giả sử a + b + c = k > , đặt a = kx, b = ky, c = kz ⇒ x, y , z > x + y + z = 13 Khi đó:  k ( 3x − y ) k ( 3y − z) k ( 3z − x )  x − y y − z 3z − x = P=k 2 + 2 + 2 + + =  k ( x + xy ) k ( y + yz ) k ( z + zx )  x + xy y + yz z + zx 4x − ( x + y ) y − ( y + z ) 4z − ( z + x ) 4 = + + = − + − + − = x( x + y) y( y + z) z ( z + x) x+ y x y+z y z+x z 5x − y − 5z − + + x − x2 y − y z − z Do a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên b + c > a ⇒ y + z > x  1  1 ⇒ − x > x ⇒ x < tức x ∈  0; ÷, tương tự y, z ∈  0; ÷  2  2 5t −  1 ≤ 18t − ( *) với t ∈  0; ÷ Ta chứng minh t −t  2 = ( 2t − 1) ( 3t − 1) ≤ ** 5t − 18t − 21t + 8t − − 18 t + ≤ ⇔ ≤0⇔ ( ) Thật vậy, ( *) ⇔ 2 t −t t −t t ( 1− t )     Hiển nhiên, (**) ln với t ∈  0; ÷ nên (*) với t ∈  0; ÷  2  2 Áp dụng (*) ta được: P ≤ 18 x − + 18 y − + 18 z − = 18 ( x + y + z ) − = 1 Vậy P đạt giá trị lớn a = b = c Dấu xảy ⇔ x = y = z = ⇔ a = b = c Khi trình bày xong lời giải toán, học sinh đặt câu hỏi là: " làm để tìm biểu thức (*)" Nếu khơng giải thích cho học sinh hiểu lời giải khơng đẹp thiếu tự nhiên Thế cách làm sử dụng "phương pháp tiếp tuyến" Qua thực tế giảng dạy, phương pháp tiếp tuyến học sinh 12 tiếp thu tốt, em vận dụng ngày linh hoạt, sáng tạo để giải lớp toán bất đẳng thức đối xứng, ba biến đề thi chọn học sinh giỏi THPT quốc gia Tuy nhiên, thân suy nghĩ rằng: - Nếu đọc lời giải học sinh lớp 10 11 hiểu được, liệu có mẹo nhỏ để tìm biểu thức (*) để tốn áp dụng cho học sinh lớp 10 11 không? - Trong thực tế THI TRẮC NGHIỆM việc giải nhanh toán cần thiết, liệu máy tính bỏ túi có hỗ trợ cho việc tìm tịi lời giải? Để khắc phục tình trạng nêu trên, tơi nghĩ đề tài " Kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi tốn chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức phương pháp tiếp tuyến" giúp giải số toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nhanh hơn, khoa học hơn, có sở có tính sáng tạo 13 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Nếu gặp bất đẳng thức (tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức) có dạng đối xứng ta nên chuẩn hóa đưa dạng sau: Cho x1 , x2 , x3 , , xn ∈ D , x1 + x2 + x3 + + xn = k  Chứngminh rằng: P = f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) + + f ( xn ) ≥ M (hoặc P ≤ M ) Dấu xảy ⇔ x1 = x2 = x3 = = xn =  k n Hoặc là: Cho x1 , x2 , x3 , , xn ∈ D , x1 + x2 + x3 + + xn = k Tìm giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) biểu thức: P = f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) + + f ( xn ) k (Điều mong ước MaxP ( MinP ) đạt ⇔ x1 = x2 = x3 = = xn = ) n Phương pháp: Nếu sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức tùy thuộc toán ta phải lựa chọn hàm số y = f ( x ) để viết phương trình tiếp tuyến k n Theo ta có: f ( x1 ) ≥ ax1 + b ( f ( x1 ) ≤ ax1 + b ) với x1 ∈ D k Dấu xảy x1 = n f ( x2 ) ≥ ax2 + b ( f ( x2 ) ≤ ax2 + b ) điểm có hồnh độ x0 = , giả sử phương trình tiếp tuyến y = ax + b f ( xn ) ≥ axn + b ( f ( xn ) ≤ axn + b ) Suy ra: P ≥ a ( x1 + x2 + x3 + + xn ) + nb ( P ≤ a ( x1 + x2 + x3 + + xn ) + nb ) Tuy nhiên, sáng kiến trình bày cách sử dụng máy tính bỏ túi (Casio fx-570 ES PLUS máy có chức tương đương) để tìm a, b thay viết phương trình tiếp tuyến hàm số trên, cụ thể: * Cách tìm a: Nhấn SHIFT d d W máy ( W) |x=W ( W) nhập biểu thức dx dx k nhấn = , từ suy giá trị a n * Cách tìm b: Nhập vào máy f ( x ) − ax (a giá trị vừa tìm được) CALC cho k x = nhấn = , từ suy giá trị b n x y z Ví dụ 1: Cho x, y , z ≥ − x + y + z = CMR: x + + y + + z + ≤ 10 Phân tích: Trước hết ta đánh giá dấu xảy ⇔ x = y = z = x Ta đánh giá để tìm bất đẳng thức phụ sau: ≤ ax + b x +1 d  x  d 18 W nhập - Tìm a: Nhấn SHIFT  ÷|x = nhấn = ta a = dx  x +  dx 25 f ( x ) , x =W nhập 13 - Tìm b: Nhấn AC nhập Lời giải: x 18 x − , nhấn CALC cho x = ta b = x + 25 50 2 x 18 x 50 x − 36 ( x + 1) − ( x + 1) −36 x − 3x + 14 x − − − = = = Xét biểu thức: x + 25 50 50 ( x + 1) 50 ( x + 1) ( x + 3) ( 3x − 1) ≤ 0, ∀x ≥ − 36 x + x − 14 x + =− =− 50 ( x + 1) 50 ( x + 1) x 18 x ≤ + x + 25 50 y 18 y Tương tự: y + ≤ 25 + 50 z 18 z ≤ + z + 25 50 x y z 18 Suy ra: x + + y + + z + ≤ 25 ( x + y + z ) + × 50 = 10 (đpcm) Dấu xảy ⇔ x = y = z = ⇒ Bài tập tương tự: 1 Bài 1: Cho x, y, z ≥ x + y + z = CMR: x + y + z + y + z + x + z + x + y ≤ Bài 2: Cho a, b, c, d > a + b + c + d = CMR: 1 1 16 + + + ≥ 2 2 + 3a + 3b + 3c + 3d a , b , c > a + b + c ≤ Ví dụ 2: Cho CMR: 1 a b c + + ≥ + + 2 + a + b + c + a + b + c2 Phân tích: Ta thấy: Dấu xảy ⇔ a = b = c = 1 a b c − + − + − ≥0 BĐT ⇔ 2 + a + a 1+ b 1+ b 1+ c 1+ c2 a − ≥ ma + n Ta đánh giá để tìm bất đẳng thức phụ sau: + a + a2 d  x x  d − | W nhập m=− - Tìm m: Nhấn SHIFT  ÷ x =1 nhấn = ta dx  + x + x  dx x x − + , nhấn CALC cho x = ta n = - Tìm n: Nhấn AC nhập 1+ x 1+ x 4 Lời giải: Xét biểu thức: 2 a a ( 1+ a ) − a ( 1+ a ) + a ( 1+ a ) ( 1+ a ) − ( 1+ a ) ( 1+ a ) − + − = = + a + a2 4 ( + a2 ) ( + a ) ( a − 1) ( a + 2a + 3) a − 4a + = = ≥0 ( + a2 ) ( + a ) ( + a2 ) ( + a ) Suy ra: a a − ≥ − + Tương tự: 1+ a 1+ a 4 13 b b − ≥− + 1+ b 1+ b 4 c c − ≥− + + c + c2 4 a b c 3 − + − + − ≥ − ( a + b + c) + ≥ − × + = Do đó: 2 1+ a 1+ a 1+ b 1+ b 1+ c 1+ c 4 4 (đpcm) Dấu xảy ⇔ a = b = c = 1 1 Bài tập tương tự: Cho x, y, z > x + y + z ≤ CMR: x + y + z +  + + ÷≥ 19 x y z  Ví dụ 3: Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = CMR: 2  1 1 ( a + b + c ) +  + + ÷ ≥ 15 a b c Phân tích: Do biểu thức điều kiện a + b + c = nên có khác biệt chút Ta đánh giá để tìm bất đẳng thức phụ sau : 3a + ≥ ma + n a d  2  x + ÷|x =1 x2 dx  x Nhập nhấn = ta m = , nhập 3x + − , nhấn CALC cho d 2 x x ) |x =1 ( dx x = ta n = Lời giải: 2 − a ) ( a − 1) Xét biểu thức: 3a + − a − = 6a + − a − 9a = ( ≥0 a 2 2a 2a ( Vì a, b, c > , a + b + c = ⇒ < a, b, c < ) a2 Suy ra: 3a + ≥ + , tương tự: a 2 b2 3b + ≥ + b 2 c2 3c + ≥ + c 2 27 27 1 1 2 Do đó: ( a + b + c ) +  + + ÷ ≥ ( a + b + c ) + = × + = 15 (đpcm) 2 a b c Dấu xảy ⇔ a = b = c = 2 Bài tập tương tự: 1 1 Bài 1: Cho a, b, c > thỏa mãn a + b2 + c = CMR:  + + ÷− ( a + b + c ) ≥ a b c Bài 2: Cho a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c = CMR: 1 + + ≤1 2 a + − a b + − b c + − c2 a ( b + c) b( c + a) c ( a + b) + + ≤ Ví dụ 4: Cho a, b, c > CMR: 2 2 a + ( b + c) b + ( c + a) c + ( a + b) 2 13 Phân tích: Khơng làm tính tổng qt ta giả sử a + b + c = Khi đó, BĐT cho trở thành: a ( 1− a) a + (1− a) 2 + b ( 1− b) b + (1− b) 2 + c ( 1− c) c + (1− c) Ta đánh giá để tìm bất đẳng thức phụ sau : ≤ a ( 1− a) a2 + ( − a ) ≤ ma + n d  x ( 1− x)  d ÷| nhấn = ta W - Tìm m: Nhấn SHIFT nhập  x= dx  x + ( − x ) ÷ dx  27 m = 1, 08 = 25 x ( 1− x) 27 x − CALC cho x = ta - Tìm n: Nhấn AC nhập , nhấn 25 x + (1− x) n= 25 Lời giải: Xét biểu thức: ( a ( 1− a) a2 + ( 1− a ) ) ( ) 2 27 a 25a ( − a ) − 27 a a + ( − a ) − a + ( − a ) − − = 25 25 25 a + ( − a ) ( ) ( 3a − 1) ( 6a + 1) ≥ = = 2 25 ( a + ( − a ) ) 25 ( a + ( − a ) ) a ( 1− a) 27a ≥ + Suy ra: 2 25 25 Tương tự: a + ( 1− a ) b ( 1− b) 27b ≥ + 2 25 25 b + ( 1− b) c ( 1− c) 27c ≥ + 2 25 25 c + ( 1− c) a ( 1− a) b ( 1− b) c ( 1− c) 27 30 + + ≤ ( a + b + c ) + = = (đpcm) Do đó: 2 2 25 25 25 a + (1− a) b + ( 1− b) c + ( 1− c) −54a + 27a − Bài tập tương tự: ( b + c − a ) + ( c + a − b) + ( a + b − c) Bài 1: Cho a, b, c > CMR: 2 ( b + c ) + a ( c + a ) + b2 ( a + b ) + c2 Bài 2: Cho a, b, c > CMR: a3 a3 + ( b + c ) + b3 b3 + ( c + a ) + ≥ c3 c3 + ( a + b ) ≥1 Ví dụ 5: Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + ≥1 b + bc + c c + ca + a a + ab + b Phân tích: Trước hết ta đưa phân số biến a2 a2 = ≥ Ta có: b2 + bc + c − a + bc a2 2a = b + c − 3a − a2 + 13 b2 2b c2 2c ≥ ≥ , c + ca + a − 3b a + ab + b − 3c 2a 2b 2c a2 b2 c2 + + ≥ ⇔ + + ≥ ( ∗) Ta cần chứng minh: 2 2 2 − 3a − 3b − 3c 3− a 3−b 3−c 2 2 x , y , z > x + y + z = Đặt a = x, b = y , c = z , đó: , x y z + + ≥ ( ∗) ⇔ 3− x 3− y 3− z Tương tự: Đến ta dễ dàng đưa lời giải Gợi ý: Ta đánh giá để tìm bất đẳng thức phụ sau: x ≥ ax + b 3− x d  x  d W nhập  ÷|x =1 nhấn = ta a = dx  − x  dx x 3x − , nhấn CALC cho x = ta b = − - Tìm b: Nhấn AC nhập 3− x 4 - Tìm a: Nhấn SHIFT Bài tập tương tự: a b c + + ≥ + bc + ca + ab 10 1 27 + + ≤ Bài 2: Cho a, b, c > a + b + c = CMR: − ab − bc − ca Ví dụ 6: Cho x, y, z ≥ x + y + 3z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x ( − x ) + y ( − 12 y ) + z ( 45 − 162 z ) Bài 1: Cho a, b, c > a + b + c = CMR: Phân tích: 2 Ta có: P = x ( − x ) + y ( − 12 y ) + z ( 45 − 162 z ) = = x2 ( − 6x ) + ( y ) ( − × y ) + ( 3z ) ( − × 3z ) Đặt a = x, b = y , c = 3z Khi đó: a, b, c ≥ a + b + c = Ta cần tìm giá trị nhỏ 2 biểu thức: P = a ( − 6a ) + b ( − 6b ) + c ( − 6c ) Ta đánh giá để tìm bất đẳng thức phụ sau: a ( − 6a ) ≤ ma + n - Tìm m: Nhấn SHIFT m = 1,333333333 = d d W nhập ( x ( − x ) ) |x=1 nhấn = ta dx dx - Tìm n: Nhấn AC nhập x ( − x ) − 4x −7 , nhấn CALC cho x = ta n = 3 Lời giải: ( a − 1) ( 18a + 3a + ) 4a −18a + 15a − 4a + Xét biểu thức: a ( − 6a ) − + = =− ≥0 3 3 Với ∀a ∈ [ 0;1] 4a − Tương tự: 3 4b b ( − 6b ) ≥ − 3 4c c ( − 6c ) ≥ − 3 Suy ra: a ( − 6a ) ≥ 13 ⇒ a ( − 6a ) + b ( − 6b ) + c ( − 6c ) ≥ −17 ( a + b + c ) − 3× = 3   x =1  −17  ⇔ a = b = c =1⇔ y = Vậy MinP =    z = Bài tập tương tự: Cho < a, b, c < a + 2b + 3c = CMR: 2 + + ≥ 54 a ( 4b + 6c − 3) b ( 3c + a − 1) c ( 2a + 4b − 1) Ví dụ 7: Cho x, y, z > x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: x ( 3x + y ) y ( 3y + z ) z ( 3z + x ) P= + + 2 3x − xy + y y − yz + z 3z − zx + x 2 2 Phân tích: x ( 3x + y ) Ta đánh giá để tìm bất đẳng thức phụ sau: ≤ ax + b x − xy + y 2 Ở toán việc đưa biểu thức biến tương đối khó nên để tìm a b ta xem x biến, gán cho y giá trị cụ thể, 10, 100, 1000, (để việc trả biến dễ dàng hơn), hiểu số thân, xong xuôi ta trả lại cho biến đó, cụ thể:  d  x ( x + 1000 ) d  ÷|x =1000 nhấn = ta W nhập - Tìm a: Nhấn SHIFT dx  3x − 2000 x + 10002 ÷ dx  a=4 x ( 3x + 1000 ) − x , nhấn CALC cho x = 1000 ta 3x − 2000 x + 10002 - Tìm b: Nhấn AC nhập b = 4000 = y (Lưu ý việc thực thao tác ấn máy chưa xét dấu xảy ⇔ x = y = , mà xét x = y ) Lời giải: Xét biểu thức: x ( 3x + y ) x − xy + y x ( x + y ) − x ( x − xy + y ) − y ( x − xy + y ) 2 − 4x − y = x − xy + y = ( x − y ) ( 3x + y ) = − ( x − y ) ( 3x + y ) ≤ −3 x + x y + xy − y = =− 2 x − xy + y 3x − xy + y 2x2 + ( x − y ) 2 x ( 3x + y ) Suy ra: ≤ x + y Tương tự: 3x − xy + y 2 y ( 3y + z ) ≤ y + 4z y − yz + z 2 z ( 3z + x ) ≤ z + 4x z − zx + x 2 13 x ( 3x + y ) y ( 3y + z ) z ( 3z + x ) Suy ra: P = + + ≤ ( x + y + z ) = 24 2 x − xy + y y − yz + z 3z − zx + x Vậy MaxP = 24 ⇔ x = y = z = 2 Bài tập tương tự: Bài 1: Cho x, y, z > x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 25 x P= 25 y 25 z + + x + 16 xy + y 2 y + 16 yz + z 2 z + 16 zx + x Bài 2: Cho x, y, z > x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x3 y3 z3 P= + + x + xy + y y + yz + z z + zx + x 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Sáng kiến áp dụng cho học sinh tất khối lớp 10, 11, 12, phần sở lý luận học sinh 10, 11 chưa hiểu song thao tác máy tính xem "mẹo nhỏ", trình trình bày lời giải ta cần có bất đẳng thức phụ, khơng cần thiết trình bày cách tìm bất đẳng thức phụ Đề tài triển khai lớp 10A năm học 2015 - 2016 lớp 12E, 12H năm học 2016 – 2017 mà trực tiếp giảng dạy trường THPT Trần Phú - Nga Sơn Để kiểm tra hiệu đề tài sáng kiến kinh nghiệm tiến hành tổng hợp, phân tích số lượng học sinh làm câu chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức lớp Kết thu sau: Tổng số Số lượng học sinh làm câu chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức phương pháp tiếp tuyến sử dụng máy tính bỏ túi 2015-2016 10A 40 20 2016-2017 12E 42 25 2016-2017 12H 45 03 Năm học Lớp Ghi Đã triển khai đề tài SKKN Đã triển khai đề tài SKKN Chưa triển khai đề tài SKKN Với kết nhận thấy đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang lại kết đáng khích lệ PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 13 Mảng kiến thức bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nội dung quan trọng chương trình mơn Tốn THPT Nhưng học sinh lại mảng kiến thức tương đối khó nên phần nhiều thầy giáo quan tâm Sáng kiến kinh nghiệm góp thêm phần thiết thực vào kho cơng cụ giải tốn bất đẳng thức giáo viên học sinh Nó giúp nhìn thấy cách giải qut vấn đề nhanh chóng hiệu Đề tài kiểm nghiệm năm học mà giảng dạy lớp 10, 12 học sinh đồng tình đạt kết đáng khích lệ Với đề tài này, phát triển thành đề tài rộng là: " Kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi toán đại số" 3.2 Kiến nghị Mặc dù tơi cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn cịn có nhiều thiếu sót hạn chế Tôi mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến tất đồng chí, đồng nghiệp để đề tài sáng kiến kinh nghiệm hoàn thiện XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 12 tháng năm 2017 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Phạm Thị Mai TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Một số đề thi thử THPT quốc gia năm 2015 2016 [2] Đề thi olypic nhiều năm học [3] Sử dụng MTBT giải số tốn chương trình 10, 11, 12 (www.luyenthithukhoa.vn) 13 [4] Những viên kim cương BĐT tốn học (Nhóm tác giả, chủ biên : Trần Phương, nhà xuất Tri thức) [5] Tổng hợp phương pháp chứng minh bất đẳng thức hay mạng internet 13 ... Kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi tốn chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức phương pháp tiếp tuyến" giúp giải số tốn chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, . .. lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức lớp Kết thu sau: Tổng số Số lượng học sinh làm câu chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức phương pháp tiếp tuyến sử dụng máy tính bỏ. .. đề tài rèn luyện cho học sinh kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi tốn chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức phương pháp tiếp tuyến 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Học sinh