SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 LÀM TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ CÂU HỎI ỨNG DỤNG THỰC TẾ Người thực hiện: Lê Nguyên Huấn Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán THANH HÓA NĂM 2017 MỤC LỤC - Mục Nội dung Trang Bìa sáng kiến kinh nghiệm Mục lục Danh mục viết tắt sáng kiến kinh nghiệm 1 Phần mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Các giải pháp sử dụng giải vấn đề 18 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị 18 Tài liệu tham khảo Danh mục SKKN đạt giải cấp tỉnh 20 21 DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT Kí hiệu viết tắt SGK THPT THPT SKKN MTCT ycbt TN TXĐ GV HS HN Ý nghĩa Sách giáo khoa trung học phổ thông Trung học phổ thông Sáng kiến kinh nghiệm Máy tính cầm tay Yêu cầu toán Trắc nghiệm Tập xác định Giáo viên Học sinh Hà Nội PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Thực chủ trương đường lối, sách pháp luật Đảng nhà nước, nghị TW4 khoá VII Căn vào phương hướng, nhiệm vụ kế hoạch chuyên môn trường THPT Triệu Sơn năm học 2016-2017 Với xu thi trắc nghiệm THPT Quốc gia sử dụng kiến thức liên môn vào học Những câu hỏi ứng dụng liên môn đề thi làm cho HS lúng túng, hay bỏ qua đánh xác suất dẫn đến kết không cao Trong chương trình toán THPT, kiến thức ứng dụng liên môn thực tế dạy, học hạn chế, tài liệu tham khảo đề cập đến Câu hỏi dạng đòi hỏi HS phải vận dụng kiến thức đa dạng toán học có kiến thức vật lí, sinh học, hóa học…để giải Đó khâu khó khăn mà em chưa thể phối hợp đồng liên môn để giải nhanh vận dụng tìm kết Những toán ứng dụng thực tế tập vận dụng thấp vận dụng cao đề thi Đặc biệt thi THPT Quốc gia Trong thực tế toán dạng phong phú đa dạng Các em gặp lớp toán bất đẳng thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất, toán lãi xuất ngân hàng, toán vật lí chuyển động, phản ứng hạt nhân, chu kỳ bán rã Bài toán xác suất sinh học Bài toán tỉ lệ tăng dân số địa lí… Đòi hỏi sử dụng phương pháp đạo hàm, công thức liên môn để giải Chỉ có số em biết phương pháp giải trình bày lúng túng chưa gọn gàng, chí hướng giải Tại lại vậy? Lý là: Trong chương trình SGK THPT hành kiến thức giới thiệu, không sâu vào tâp, dạy Khác xa với đề thi THPT Quốc gia, đề thi học sinh giỏi, đề thi MTCT Bài tập SGK đưa sau học hạn chế Mặt khác số tiết phân phối chương trình cho phần nên trình giảng dạy, giáo viên đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Nhưng thực tế, để biến đổi giải xác đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ cao phải có lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thục Ngoài ứng dụng đạo hàm, tích phân, công thức hình học, sử dụng nhiều công thức môn khác vât lí, hóa, sinh… Mỗi môn học chương trình toán phổ thông có vai trò quan trọng, trình dạy, giáo viên trình bày kiến thức dần hình thành kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh Thực tế dạy học cho thấy có nhiều vấn đề cần giải cho phân môn toán học phổ thông, vấn đề giải câu hỏi ứng dụng thực tế đề thi THPT QG vấn đề cộm thầy trò năm đầu thi trắc nghiệm toán Xuất phát từ thực tế trên, chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm toán trắc nghiệm câu hỏi ứng dụng thực tế” 1.2 Mục đích nghiên cứu Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 trường THPT Tôi tổng hợp, khai thác hệ thống hoá lại dạng toán ứng dụng liên môn, cách giải đề thi trắc nghiệm THPT QG Học sinh cần nắm định nghĩa tính chất có liên quan Rèn luyện cho học sinh kỹ giải tập nhiều nhớ công thức vận dụng, công thức liên môn Trang bị cho học sinh kiến thức vững vàng, chuẩn bị bước vào kỳ thi học sinh giỏi, THPTQG để tuyển sinh đại học cao đẳng Học sinh nhớ khắc sâu thêm kiến thức liên quan đến hàm số dạng toán khác có liên quan giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa tham số, ứng dụng vật lí, hóa, sinh… Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp tổng quát số kỹ phát hướng giải Học sinh thông hiểu trình bày toán trình tự, logic, không mắc sai lầm biến đổi Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có nhìn toàn diện phương pháp giải số toán ứng dụng thực tế dựa vào tổng hợp kiến thức liên môn Mục đích: Trang bị đầy đủ cho phương pháp giải lớp toán ứng dụng thực tế 1.3 Đối tượng nghiên cứu Thực tất đối tượng học sinh khối 12 Giải số toán ứng dụng thực tế đề thi, đặc biệt đề thi THPT QG 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận chung Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm hàng năm Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua trình giảng dạy Phương pháp: Học sinh cần nắm vững lý thuyết đạo hàm, nguyên hàm, hình học số bất đẳng thức, công thức lãi xuất, công thức chu kỳ bán rã, phản ứng hạt nhân Xác suất… Thông qua việc giảng dạy trực tiếp lớp khối 12 năm học từ 2010 đến 2017 PHẦN NỘI DUNG: 2.1 Cơ sở lí luận: Khi gặp toán ứng dụng thực tế học sinh phải nắm kiến thức liên môn Đó hạn chế HS GV, HS học qua loa, GV không khắc sâu Khi gặp câu hỏi dạng lúng túng sợ thời gian bỏ qua chọn bừa đáp án, dẫn đến kết không cao Việc nắm vững kiến thức liên môn để giải toán ứng dụng thực tế cần thiết để em HS có điểm cao thi trắc nghiệm Vì câu hỏi chủ yếu kiến thức mức độ vận dụng thấp vận dụng cao Muốn làm tốt dạng toán em phải nắm vững tri thức khoa học môn toán cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết liên môn linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu môn cách có hệ thống chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp toán ứng dụng thực tế đề thi, đặc biệt đề thi THPT QG 2.2 Thực trạng vấn đề Trong thực tế, học sinh thường ngại giải toán ứng dụng thực tế, em khó việc chọn hướng giải vấn đề toán thường đề dài, nhiều giả thiết, khác với dạng toán đơn thuần, thời gian ngắn em lo không đủ để làm bài, chọn ngẫu nhiên đáp án cho nhanh Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ lớp 12, kỳ thi thử THPT QG, thi học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh việc học tập, làm tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua không giải số học sinh làm tập phần Nội dung học dạng với thời lượng dạng đơn giản Đề thi lại khó khăn Nếu phương pháp, đường lối HS giải vấn đề dạng tập 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: 2.3.1 Ứng dụng đạo hàm: 2.3.1.1 Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b) x0 ∈ (a;b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) lim x → x0 f ( x) − f ( x0 ) ∆y = lim x − x0 ∆x →0 ∆x giới hạn gọi đạo hàm hàm số y = f(x) x0 Ký hiệu: f '( x0 ) =lim x → x0 f ( x) − f ( x0 ) x − x0 2.3.1.2 Định nghĩa đạo hàm phía Đạo hàm bên trái hàm số y = f(x) điểm x0, kí hiệu f’(x0), định nghĩa : f '( x0− ) = lim ∆x →0− ∆y ∆x Đạo hàm bên phải hàm số y = f(x) điểm x0, kí hiệu f’(x0), định nghĩa : f '( x0+ ) = lim ∆x →0+ ∆y ∆x 2.3.1.3 Ý nghĩa đạo hàm Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b) có đồ thị (C) Tiếp tuyến với (C) điểm M(x0;y0) có hệ số góc k = f’(x0) PTTT M(x0;y0): y = f’(x0)(x-x0) + y0 2.3.1.4.Các quy tắc tính đạo hàm i Giả sử u,v hàm số biến x, có đạo hàm x đó: (u ± v ) ' = u '± v ' (u.v) ' = u '.v + v '.u '  u  u '.v − v '.u  ÷= v2 v (k u ) ' = k u ' (v ≠ 0) ii Nếu hàm số u= g(x) có đạo hàm theo x u’=g’(x) hàm số y = f(u) có đạo hàm theo u y’ = f’(u), hàm số hợp y = h(x) = f[g(x)] có đạo hàm theo x h(x) = f’(u).g’(x) hay y’ = yu’.ux’ 2.3.1.5 Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp: ( u = u(x)) c ' = (c = const ) ( x n ) ' = n.x n −1 ( x)' = x ' (u n ) ' = n.u '.u n −1 u' ( u)' = u ' 1  ÷=− x  x (a x ) ' = a x ln a u' 1  ÷=− u u (a u ) ' = u '.a u ln a (e x ) ' = e x (ln x) ' = x (sin x ) ' = cos x (cos x ) ' = − sin x (eu ) ' = u '.eu u' (ln u ) ' = u (sin u ) ' = u '.cos u (cos u ) ' = −u 'sin u 2.3.1.6 Đạo hàm cấp cao Giả sử y = f(x) có đạo hàm y’ =f’(x) Nếu hàm số f’(x) lại có đạo hàm, gọi đạo hàm đạo hàm cấp hai kí hiệu y” hay f”(x) Định nghĩa tương tự cho đạo hàm cấp 2,3,4 Một cách tổng quát đạo hàm cấp n ( n>1) hàm số y=f(x), kí hiệu y (n) hay f(n) (x), định nghĩa: f(n)(x) = [f(n-1)(x)]’ 2.3.1.7 Tính đơn điệu dấu đạo hàm Định nghĩa:Cho hàm số y=f(x) xác định K Với x1 < x2 thuộc K Nếu f(x1) < f(x2) hàm số f(x) đồng biến K Nếu f(x1) > f(x2) hàm số f(x) nghịch biến K Định lí:Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K Nếu f’(x) > với x K hàm số f(x) đồng biến K Nếu f’(x) < với x K hàm số f(x) nghịch biến K Chú ý: i.Giả sử f(x) có đạo hàm K Nếu f’(x) ≥0 (f’(x) ≤ 0) f’(x) = số điểm hữu hạn hàm số đồng biến (nghịch biến) K ii.Trong số trường hợp dấu đạo hàm cấp 1, ta xét dấu đạo hàm cấp 2, từ suy dấu đạo hàm cấp 2.3.1.8 Cực đại cực tiểu hàm số Định nghĩa:Cho hàm số y =f(x) liên tục khoảng (a;b) Nếu tồn số h >0 cho f(x)0 cho f(x)>f(x 0) với x0 ∈ (x0-h ;x0+h) x≠x0 ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu x0 Định lý: Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Giả sử hàm số y = f(x) liên tục khoảng K = (x 0-h; x0+h) có đạo hàm khoảng K K \ { x0 } , với h>0 Nếu f’(x) > khoảng (x0-h ; x0) f’(x) < khoảng (x0 ; x0+h) x0 điểm cực đại hàm số f(x) Nếu f’(x) < khoảng (x0-h ; x0) f’(x) > khoảng (x0 ; x0+h) x0 điểm cực tiểu hàm số f(x) 2.3.1.9 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xac định D i Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) tập D f ( x) ≤ M ∀x ∈ D , ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = M ii Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f(x) tập D f ( x) ≥ m∀x ∈ D, ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m 2.3.1.10 Bất đẳng thức CauChy a, b ≥ : a + b ≥ ab a1 , a2 , an ≥ : a1 + a2 + + an ≥ n n a1a2 an Chú ý:Ta sử dụng bất đẳng thức Cau Chy hai chiều 2.3.2 Bài toán diện tích thể tích: Ví dụ 1( Đề thi thử THPT QG Tĩnh Gia II) Cho nhôm hình chữ nhật có chiều dài 12 cm chiều rộng 10 cm Người ta cắt bốn góc nhôm bốn hình vuông nhau, hình vuông có cạnh x (cm), gập nhôm lại hình vẽ để hộp không nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn [ 1] A x = 10 + B x = 11 + 31 C x = 11 − 31 D x = 10 − Hướng dẫn giải: TXĐ: D=(0;5) ;V=x(12-2x)(10-2x) f ( x) = x − 44 x + 120 x f ' ( x) = 12 x − 88 x + 120 Xét  11 + 31 ( L) x =  f ' ( x) = ⇔ ⇒C  11 − 31 x =  Ví dụ 2:( Đề thi thử 12 Lương Thế Vinh- HN)Với miếng tôn hình tròn có bán kính R = 6cm Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình tròn gấp phần lại thành hình nón ( Như hình vẽ) Hình nón tích lớn người ta cắt cung tròn hình quạt [ 1] A π cm B 6π cm C 2π cm D 8π cm Hướng dẫn giải Gọi x (x > 0) chiều dài cung tròn phần xếp làm hình nón Như vậy, bán kính R hình tròn đường sinh hình nón đường tròn đáy hình nón có độ dài x Bán kính r đáy xác định đẳng thức 2π r = x ⇒ r = x 2π Chiều cao hình nón tính theo định lý Pitago là: h = R − r = R − Thể tích khối nón: V = π r H = π x   ÷  2π  R2 − x2 4π x2 4π Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:  x2 x2 x2 + + R − 2 2  4π x x x 4π 8π 8π 4π V2 = (R2 − )≤  8π 8π 4π    Do V lớn x2 x2 = R − 8π 4π  ÷ 4π R ÷= 27 ÷ ÷  2π ⇔ x= R ⇔ x = 6π Ví dụ 3:( Đề thi thử THPT QG Triệu Sơn 5) Cho hình chữ nhật có diện tích 100(cm2 ) Hỏi kích thước để chu vi nhỏ nhất? [ 1] A 10cm × 10cm B 20cm × 5cm C 25cm × 4cm D Đáp án khác Hướng dẫn giải: Gọi chiều dài chiều rộng hình chữ nhật là: x(cm) y (cm) Chu vi hình chữ nhật là: P = 2(x+y) = 2x + 2y Theo đề thì: xy = 100 hay y = 100 200 Do đó: P= 2x + 2y + với x > x x 200 x − 200 = Cho y ' = ⇔ x = 10 x2 x2 Lập bảng biến thiên ta được: Pmin = 40 x = 10 ⇒ y = 10 Kết luận: Kích thước hình chữ nhật 10 × 10 (là hình vuông) Đạo hàm: P '(x) = − Ví dụ ( Nguồn internet ):Một lão nông chia đất cho trai để người canh tác riêng, biết người chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi 800(m) Hỏi chọn kích thước để diện tích canh tác lớn nhất? 10 A 200m × 200m B 300m × 100m C 250m × 150m D.Đáp án khác Hướng dẫn giải Gọi chiều dài chiều rộng miếng đất là: x(m) y(m) (x, y> 0) Diện tích miếng đất: S = xy Theo đề thì: 2(x + y) = 800 hay y = 400- x Do đó: S = x(400- x) =- x2 + 400x với x> Đạo hàm: S'(x) =- 2x + 400 Cho y' = Û x = 200 Lập bảng biến thiên ta được: Smax = 40000 x = 200 Þ y = 200 Kết luận: Kích thước miếng đất hình chữ nhật 200´ 200 (là hình vuông) Ví dụ 5: ( Đề thi thử THPT QG Quỳnh Lưu)Người ta muốn làm cánh diều hình quạt cho với chu vi cho trước a cho diện tích hình quạt cực đại Dạng quạt phải nào? [ 1] a a a 2a C x = ; y = A x = ; y = a B x = ; y = y a x α D.Đáp án khác Hướng dẫn giải: Gọi x bán kính hình quạt, y độ dài cung tròn Ta có chu vi cánh diều a = 2x + y Ta cần tìm mối liên hệ độ dài cung tròn y bán kính x cho diện tích quạt lớn Dựa vào công thức tính diện tích hình quạt S = π R2 α độ dài 360 lR 2π Rα , ta có diện tích hình quạt là: S = Vận dụng toán 360 xy x( a − x) diện tích cánh diều là: S = = = x (a − x) 2 a a Dễ thấy S cực đại ⇔ x = a − 2x ⇔ x = ⇒ y = Như với chu vi cho trước, cung tròn l = diện tích hình quạt cực đại bán kính nửa độ dài cung tròn Đáp án A Ví dụ ( Đề thi thử THPT QG chuyên Hà Tĩnh): Có nhôm hình vuông cạnh 12cm Người ta cắt bốn góc nhôm bốn hình vuông nhau, hình vuông có cạnh x(cm) gấp nhôm lại hình vẽ để hộp không nắp Tìm x để hình hộp nhận tích lớn [ 1] A x = B x = C x = D x = Hướng dẫn giải: Độ dài cạnh đáy hộp: 12 − x Diện tích đáy hộp: (12 − x)2 Thể tích hộp là: V = (12 − 2x)2 x = x − 48 x + 144 x với x ∈ (0;6) Ta có: V '(x) = 12 x − 96 x + 144 x Cho V '(x) = , giải chọn nghiệm x = Lập bảng biến thiên ta Vmax = 128 x = Đáp án C 11 x Ví dụ 7( Đề minh họa BGD) Có nhôm hình vuông cạnh 12cm Người ta cắt bốn góc nhôm bốn hình vuông nhau, hình vuông có cạnh x(cm) gấp nhôm lại hình vẽ để hộp không nắp Tìm x để hình hộp nhận tích lớn [ 1] A x = B x = C x = D x = Hướng dẫn giải: Độ dài cạnh đáy hộp: 12 – 2x Diện tích đáy hộp: (12 – 2x)2 Thể tích hộp là: V = (12 – 2x)2 x = 4x3 – 48x2 + 144x với x ∈ (0;6) Ta có: V '(x) = 12 x − 96 x + 144 x Cho V '(x) = , giải chọn nghiệm x = Lập bảng biến thiên ta Vmax = 128 x = Ví dụ 8(Tài liệu ôn thiTN Đại học Quốc gia HN) Kim tự tháp Kê−ốp Ai Cập xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên Kim tự tháp khối chóp tứ giác có chiều cao 147 m, cạnh đáy dài 230 m Thế tích là: [ 3] A 7776300 m3 B 3888150 m3 C 2592100 m3 D 2592100 m2 Hướng dẫn giải: V = 2302.147 = 2592100m3 Đáp án C 2.3.3 Ứng dụng vật lí Định luật phóng xạ: Theo số hạt (N) Trong trình phân rã, số hạt nhân phóng xạ giảm theo thời gian Theo khối lượng (m) Độ phóng xạ (H) (1 Ci = 3, 7.1010 Bq ) Trong trình phân - Đại lượng đặc trưng cho rã, khối lượng hạt tính phóng xạ mạnh hay yếu nhân phóng xạ giảm chất phóng xạ theo thời gian - Số phân rã giây:H = - −t N(t) = N0.2 T = N0.e − λt N : số hạt nhân −t M(t) = m0.2 T = m0 e − λt m0 : khối lượng phóng ∆N ∆t −t H(t) = H0.2 T = H0.e − λt H : độ phóng xạ thời điểm phóng xạ thời điểm xạ thời điểm ban ban đầu H (t ) :độ phóng xạ lại sau ban đầu đầu N (t ) : số hạt nhân m( t ) : khối lượng thời gian t −t phóng xạ lại sau phóng xạ lại sau H = λN = λ N0 T = λN0e-λt thời gian t thời gian t Ví dụ 1(Nguồn internet ):Chất Iốt phóng xạ 131 53 I dùng y tế có chu kỳ bán rã ngày đêm Nếu nhận 100g chất sau tuần lễ bao nhiêu? [ 2] A 0,87g B 0,78g C 7,8g D 8,7g 12 Hướng dẫn giải t = tuần = 56 ngày = 7.T Suy sau thời gian t khối lượng chất phóng xạ 131 53 I lại : m = m0 t − T = 100.2 −7 = 0,78 gam ⇒ Chọn đáp án B Ví dụ 2( Nguồn internet) Một chất phóng xạ có chu kỳ bán rã 3,8 ngày Sau thời gian 11,4 ngày độ phóng xạ (hoạt độ phóng xạ) lượng chất phóng xạ lại phần trăm so với độ phóng xạ lượng chất phóng xạ ban đầu? [ 2] A 25% B 75% C 12,5% D 87,5% Hướng dẫn giải: T = 3,8 ngày ; t = 11,4 = 3T ngày Do ta đưa hàm mũ để giải nhanh sau m = m0 t − T t − m −3 m ⇔ = T ⇔ m = = = 12,5% m0 ⇒ Chọn : C Ví dụ (Nguồn internet )Pôlôni nguyên tố phóng xạ α , phóng hạt α biến đổi thành hạt nhân X Chu kì bán rã Pôlôni T = 138 ngày a)Xác định cấu tạo, tên gọi hạt nhân X b)Ban đầu có 0,01g Tính độ phóng xạ mẫu phóng xạ sau chu kì bán rã [ 2] Hướng dẫn giải: a)Xác định hạt nhân X + Ta có phương trình phân rã: A Po→ He +Z X 210 = + A  A = 206 → → X : 206 + Theo ĐLBT ta có:  82 Pb 84 = + Z Z = 82 b)Từ 210 84 t  − m = m T m = m −k 0,693.m N A −k   ⇒ = 2,08.1011 Bq H = λN mN A ⇒ H = T A  H = λ m  A N = N A A  Ví dụ 4:( Đề thi thử 12 chuyên Thái Bình) Trong vật lí, phân rã chất t T phóng xạ biểu diễn công thức: m ( t ) = m0  ÷ , m0 khối 2 lượng ban đầu chất phóng xạ (tại thời điểm t = 0); T chu kì bán rã (tức khoảng thời gian để nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác) Chu kì bán rã Cabon 14 C khoảng 5730 năm Cho trước mẫu Cabon có khối lượng 100g Hỏi sau khoảng thời gian t khối lượng bao nhiêu? [ 1] A m ( t ) = 100.e − t ln2 5730 5730 1 B m ( t ) = 100  ÷ 2 − 100 t 100 t 5730 − C m ( t ) = 100  ÷ D m ( t ) = 100.e 5730 2 Hướng dẫn giải: 13 - kt Theo công thức m( t ) = m0e ta có: m( 5730) = ln2 100 ln2 t = 50 = 100.e- k.5730 Û k = suy m( t) = 100e 5730 5730 Đáp án: A Ví dụ 5( Đề thi thử THPT QG- SGD Thanh Hóa):Cho biết chu kì bán rã chất phóng xạ radi Ra226 1602 năm (tức lượng Ra226 sau 1602 năm phân hủy lại nửa) Sự phân hủy tính theo công thức S = A.e rt , A lượng chất phóng xạ ban đầu, r tỉ lệ phân hủy hàng năm ( r < ), t thời gian phân hủy, S lượng lại sau thời gian phân hủy Hỏi gam Ra226 sau 4000 năm phân hủy lại gam (làm tròn đến chữ số phần thập phân)? [ 1] A 0,886 (gam) B 1,023 (gam) C 0,795 (gam) D 0,923 (gam) Hướng dẫn giải: Gọi T chu kì bán rã, suy Do đó: S = 5.e − ln 4000 T − ln A = A.e r T ⇒ r = T 4000   1602 =  ÷ ≈ 0,886 2 2.3.4 Bài toán chuyển động : Học sinh cần ý công thức đạo hàm tích phân: Ví dụ 1:( Đề thi thử lần THPT Triệu Sơn 5) Hai tàu vĩ tuyến cách hải lý Đồng thời hai tàu khởi hành, chạy hướng Nam với hải lý/giờ, tàu chạy vị trí tàu thứ với vận tốc hải lý/ Hãy xác định thời điểm mà khoảng cách hai tàu lớn nhất? [ 1] A 15 B 16 C 17 Hướng dẫn giải: Tại thời điểm t sau xuất phát, khoảng cách hai tàu d Ta có d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12 = (5 - 7.t)2 + (6t)2 D A t = B1 B d Suy d = d(t) = 85t2 − 70 + 25 Áp dụng Đạo hàm ta d nhỏ 18 A1 (giờ), ta có d ≈ 3,25 Hải lý Đáp án A 17 Ví dụ 2:(Đề thi thử lần THPT Triệu Sơn 2) Một vật di chuyển với gia tốc a ( t) = −20 ( + ) −2 (m/s ) Khi t = vận tốc vật 30m / s Tính quảng đường vật di chuyển sau giây (làm tròn kết đến chữ số hàng đơn vị) [ 1] A S = 106m B S = 107m C S = 108m D S = 109m Hướng dẫn giải 14 Ta có v ( t ) = ∫ a ( t ) dt = ∫ −20 ( + 2t ) dt = −2 v ( ) = 30 ⇔ C + 10 = 30 ⇔ C = 20 Vậy 10 + C Theo đề ta có + 2t quãng đường vật sau giây là: 2  10  S = ∫ + 20 ÷dt = ( ln ( + 2t ) + 20t ) = 5ln + 100 ≈ 108m + 2t  0 Ví dụ 3( Đề minh họa 2017 Bộ giáo dục) Một ô tô chạy với vận tốc 10m/s người lái xe đạp phanh gọi “thắng” Sau đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = -5t +10(m/s) Trong t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến dừng bao nhiêu? [ 1] A 0,2m B.2m C.10m D 20m Ví dụ ( Đề thi thử lần THPT Triệu Sơn 5) Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc a(t ) = 3t + t (m/s2) Vận tốc ban đầu vật (m/s) Hỏi vận tốc vật sau 2s [ 1] A 10 m/s B 12 m/s C 16 m/s D m/s Hướng dẫn giải t2 Ta có v(t) = ∫ a (t ) dt = ∫ (3 t + t) dt = t + + C (m/s) 2 Vận tốc ban đầu vật (m/s) ⇒ v(0) = ⇒ C = Vậy vận tốc vật sau 2s là: V (2) = 23 + 22 + = 12 (m/s) Đáp án B Ví dụ 5( Đề thi thử THPT QG- SGD Thanh Hóa) Một vật chuyển động theo quy luật s = 9t − t , với t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt ? [ 1] A 27(m / s) B 15(m / s) C 100(m / s) D 54(m / s ) Hướng dẫn giải s = 9t − t ⇒ v = s ' = 18t − 3t ⇒ v ' = 18 − 6t = ⇔ t = Khi t = ⇒ v = 27; t = ⇒ v = 15 ⇒ vmax = 27 Đáp án A 2.3.5 Bài toán lãi xuất: 2.3.5.1 Lãi đơn, lãi kép: Khái niệm lãi đơn hiểu đơn giản phần lãi tính từ vốn gốc ban đầu,(lãi không cộng vào vốn gốc); lãi kép sau kỳ, tiền lãi cộng dồn với phần gốc tính lãi tiếp dựa phần gốc 15 2.3.5.2 Công thức tính lãi đơn: P = a(1+r.n) với a tiền gốc ban đầu, r % lãi suất, n số kỳ tính lãi (tháng hay quí hay năm) 2.3.5.3 Công thức tính lãi kép sau: P = a(1+r)n với a tiền gốc ban đầu, r % lãi suất, n số kỳ tính lãi (tháng hay quí hay năm) i) Dạng 1: Gửi vào a đồng, lãi suất r%/năm (hoặc tháng quí), lãi hàng năm nhập vào vốn Hỏi sau khoảng năm thu gấp đôi (2a đồng) HD: Áp dụng công thức lãi kép, sau n năm, ta có phương trình 2a = a(1+r)n ⇔ n = log1+ r ii) Dạng : Vay a đồng, lãi suất r%/tháng Cứ sau tháng trả x đồng Định x để sau n tháng hết nợ HD: Sau tháng thứ 1, nợ a(1+r) - x Sau tháng thứ 2, nợ [a(1+r) - x](1+r) - x = a(1+r)2 - [(1+r) + 1] x Sau tháng thứ 3, nợ {a(1+r)2 - [(1+r) + 1] x}(1+r) - x = a(1+r)3 - [(1+r)2 + (1+r) + 1] x Sau tháng thứ n hết nợ, nên a(1+r)n - [(1+r)n-1 + (1+r)n-2 + + 1] x = ⇔ a(1+r)n - ar (1 + r ) n (1 + r ) n − ⇔ x = x= (1 + r ) n − r iii) Dạng : (Ngược dạng 2) Vay a đồng, lãi suất r%/tháng Cứ sau tháng trả m đồng Hỏi sau tháng, hết nợ HD: Theo lập luận trên, ta có phương trình a(1+r) n - (1 + r ) n − m = r (n chưa biết) ⇔ ar(1+r)n = [(1+r)n -1]m ⇔ (1+r)n (m - ar) = m ⇔ n = log1+ r m m − ar ĐK m > ar > Ví dụ 1(Nguồn internet) Gửi triệu, lãi suất 1%/tháng lãi không nhập vào vốn, hỏi sau tháng thu bao nhiêu? [ 2] Trả lời: P = 5(1 + 0,01 6) = 5,3 triệu Ví dụ 2( Nguồn internet): gửi triệu, lãi suất 1%/tháng lãi hàng tháng nhập vào vốn, hỏi sau tháng thu bao nhiêu? Trả lời: P = 5(1 + 0,01)6 ≈ 5,3076 triệu [ 2] Ví dụ 3(Đề thi thử 12 chuyên Hà Tĩnh 2017) Một người gửi vào triệu, lãi suất 8,4%/năm, lãi hàng năm nhập vào vốn Hỏi sau khoảng năm thu gấp đôi (10 triệu) [ 2] A năm B năm C 10 năm D 11năm Trả lời: Áp dụng công thức lãi kép, sau n năm, ta có phương trình 10 = 5(1+0,084)n 16 ⇔ = (1+0,084)n ⇔ n = log1,084 ≈ 8,59 Do n nguyên dương nên chọn n = Ví dụ (Nguồn internet) Vay 100 triệu với lãi suất 1%/tháng Cứ sau tháng trả x đồng Định x để sau tháng, hết nợ [ 2] Trả lời : Áp dụng công thức trên, x = 100.0,01(1 + 0,01) 1,013 ≈ 34,002 triệu = (1 + 0,01) − 1,013 − Ví dụ Một người đem gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 12% năm Biết sau quý ( tháng ) lãi cộng dồn vào vốn gốc Hỏi sau tối thiểu năm người nhận lại số tiền, bao gồm vốn lẫn lãi gấp ba lần số tiền ban đầu A B C 10 D.11 Hướng dẫn giải Gọi số tiền người gửi A, lãi suất quý 0,03 n Sau n quý, tiền mà người nhận là: A ( + 0, 03) ycbt ⇔ A ( + 0,03) = 3A ⇔ n = log1,03 ≈ 37,16 n Vậy số năm tối thiểu xấp xỉ 9,29 năm Vậy đáp án C Ví dụ 6( Nguồn internet) Một bà mẹ Việt Nam anh hùng hưởng số tiền triệu đồng tháng (chuyển vào khoản mẹ ngân hàng vào đầu tháng) Từ tháng năm 2016 mẹ không rút tiền mà để lại ngân hàng tính lãi suất 1% tháng Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn số tiền (gồm số tiền tháng 12 số tiền gửi từ tháng 1) Hỏi mẹ lĩnh tiền? (Kết làm tròn theo đơn vị nghìn đồng) [ 2] A 50 triệu 730 nghìn đồng B 48 triệu 480 nghìn đồng C 53 triệu 760 nghìn đồng D 50 triệu 640 nghìn đồng Ví dụ 7: Số tiền tháng mẹ nhận triệu, gửi đến đầu tháng 12 (được 11 kỳ hạn), vốn lẫn lãi số tiền tháng nhận sinh là: 4.(1 + 11 ) = ×1,0111 (triệu đồng) 100 Tương tự số tiền tháng nhận sinh ra: ×1,0110 (triệu đồng) Số tiền tháng 12 mẹ lĩnh nên là: (triệu đồng) Vậy tổng số tiền mẹ lĩnh là: × 1, 0111 + × 1,0110 + + ×1,01 + = − 1,0112 ≈ 50,730 − 1,01 (50 triệu 730 nghìn đồng) Đáp án A Ví dụ 8( Đề thi thử THPT QG- SGD Thanh Hóa) Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng theo thỏa thuận tháng người trả cho ngân hàng triệu đồng trả hàng tháng hết nợ (tháng cuối trả triệu) Hỏi sau tháng người trả hết nợ ngân hàng [ 1] A 22 B 23 C 24 D 21 17 Hướng dẫn giải Gọi N n số tiền người vay nợ sau n tháng, r lãi suất hàng tháng, a số tiền trả hàng tháng, A số tiền vay ban đầu N1 = A(1 + r ) − a N = [ A(1 + r ) − a](1 + r ) − a = A(1 + r ) − a[1 + (1 + r )] N = A(1 + r ) − a[1 + (1 + r )] (1 + r ) − a = A(1 + r )3 − a[1 + (1 + r ) + (1 + r ) ] { } (1 + r ) m − N m = A(1 + r ) − a[1 + (1 + r ) + (1 + r ) + + (1 + r ) ] = A(1 + r ) − a Khi r a trả hết nợ nghĩa N m = ⇔ (1 + r ) m ( Ar − a) + a = ⇔ m = log1+ r a − Ar m ≈ 21 , Thay số ta được: Do số tháng để trả hết nợ 22 tháng m m −1 m 2.3.6 Bài toán kinh tế: Ví dụ 1(Tài liệu thi trắc nghiệm ĐHQG Hà Nội) Khi nuôi cá thí nghiệm hồ, nhà sinh vật học thấy : Nếu đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình cá sau vụ cân nặng P(n) = 480 − 20n(gam) Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá ? [ 3] A 10 B 12 C 16 D 24 n ( n> 0) Hướng dẫn giải: Gọi số cá đơn vị diện tích hồ Khi : P ( n ) = 480 20 n ( gam ) Cân nặng cá : Cân nặng n cá : n.P(n) = 480n - 20n2(gam) Xét hàm số : f (n) = 480n- 20n2 ,n Î (0;+¥ ) Ta có : f '(n) = 480- 40n , cho f '(n) = Û n = 12 Lập bảng biến thiên ta thấy số cá phải thả đơn vị diện tích hồ để có thu hoạch nhiều 12 Ví dụ 2(Nguồn Internet) Một chuyến xe bus có sức chứa tối đa 60 hành khách Nếu chuyến xe chở x hành khác thi giá cho hành khách x    − ÷ $ Chọn câu đúng: [ 2] 40   A Xe thu lợi nhuận cao có 60 hành khách B Xe thu lợi nhuận cao 135$ C Xe thu lợi nhuận cao 160$ D Không có đáp án Hướng dẫn giải: x x3 Số tiền thu : f (x) = x(3 − ) = x − x + 40 20 1600 Đạo hàm, lập bảng biến thiên ta tìm GTLN f (x) 160 x = 40 Vậy lợi nhuận thu nhiều 160$ có 40 hành khách 18 Ví dụ 3: Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy loại Hiện nay, doanh nghiệp tập trung chiến lược vào kinh doanh xe honda Future Fi với chi phí mua vào 27 (triệu đồng) bán với giá 31 (triệu đồng) Với giá bán số lượng xe mà khách hàng mua năm 600 Nhằm mục tiêu đẩy mạnh lượng tiêu thụ dòng xe ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán ước tính giảm (triệu đồng) số lượng xe bán năm tăng thêm 200 Vậy doanh nghiệp phải định giá bán để sau thực giảm giá, lợi nhuận thu cao nhất? Hướng dẫn giải: Gọi x (x > , đơn vị: triệu đồng) giá bán Khi đó: Số tiền giảm là: 31 − x Số lượng xe tăng lên là: 200(31 − x) Vậy tổng số sản phẩm bán là: 600 + 200(31 − x) = 6800 − 200 x Doanh thu mà doanh nghiệp đạt là: (6800 − 200 x)x Tiền vốn mà doanh nghiệp phải bỏ là: (6800 − 200 x).27 Lợi nhuận mà công ty đạt là: L( x) = Doanh thu – Tiền vốn = (6800 − 200 x) x − (6800 − 200 x).27 = −200 x + 12200 x − 183600 L '(x) = −400 x + 12200 Cho L '(x) = ⇔ x = 30,5 Lập BBT ta thấy lợi nhuật lớn x = 30,5 Vậy giá bán 30,5 (triệu đồng) Ví dụ 4: Một công ti bất động sản có 50 hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với giá 000 000 đồng tháng hộ có người thuê lần tăng giá cho thuê hộ thêm 100 000 đồng tháng có thêm hai hộ bị bỏ trống.Hỏi muốn có thu nhập cao nhất, công ti phải cho thuê hộ với giá trị tháng? (đồng/tháng) A 250 000 B 450 000 C 300 000 D 225 000 Hướng dẫn giải:Gọi x (đồng/tháng) số tiền tăng thêm giá cho thuê hộ ( x ³ 0) 2x Khi số hộ bị bỏ trống là: 100000 (căn hộ) Khi đó, số tiền công ti thu là: Bảng biến thiên x 250 000 T’ + 250 000 T +¥ - T ( x) = T ( 250000) Do max x³ Vậy để có thu nhập cao số tiền cho thuê hộ tháng 19 250 000 đồng Đáp án A Ví dụ 6(Đề thi thử THPT QG Triệu Sơn 4) Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) đất liền Côn Đảo (điểm C) biết khoảng cách ngắn từ C đến B 60km, khoảng cách từ A đến B 100km, km dây điện nước chi phí 5000 USD, chi phí cho km dây điện bờ 3000 USD Hỏi điểm G cách A để mắc dây điện từ A đến G từ G đến C chi phí [ 1] A: 40km B: 45km Hướng dẫn giải: Gọi BG = x(0 < x < 100) ⇒ AG = 100 − x Ta có GC = BC + GC = x + 3600 Chi phí mắc dây điện: C: 55km D: 60km f (x) = 3000.(100 − x) + 5000 x + 3600 Khảo sát f(x) ta đáp án C Ví dụ 7: Một công ty muốn làm đường ống dẫn từ điểm A bờ đến điểm B đảo Hòn đảo cách bờ biển 6km Giá để xây đường ống bờ 50.000USD km, 130.000USD km để xây nước B’ điểm bờ biển cho BB’ vuông góc với bờ biển Khoảng cách từ A đến B’ 9km Vị trí C đoạn AB’ cho nối ống theo ACB số tiền Khi C cách A đoạn bằng: A 6.5km B 6km C 0km Hướng dẫn giải Đặt x = B ' C ( km) , x ∈ [0;9] D.9km BC = x + 36; AC = − x Chi phí xây dựng đường ống C ( x ) = 130.000 x + 36 + 50.000(9 − x )  (USD )  − 5÷  x + 36  25 2 ⇔x= C '( x ) = ⇔ 13x = x + 36 ⇔ 169 x = 25( x + 36) ⇔ x =   C (0) = 1.230.000 ; C  ÷ = 1.170.000 ; C (9) ≈ 1.406.165 2 Vậy chi phí thấp x = 2,5 Vậy C cần cách A khoảng 6,5km Đáp án Hàm C ( x ) , xác định, liên tục [0;9] C '( x ) = 10000  13x A 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 20 Qua nhiều năm giảng dạy bậc THPT luyện thi đại học Từ năm 2017 môn toán có thay đổi hình thức thi trắc nghiệm HS- GV không tránh khó khăn việc học, dạy Đặc biệt câu trắc nghiệm ứng dụng thực tế Tôi sử dụng theo cách nêu để dạy cho học sinh Các em cảm thấy hào hứng không “ sợ sệt” gặp loại câu hỏi Đó thành công bước đầu công tác giáo dục Tôi cảm thấy tự tin, HS Qua sáng kiến kinh nghiệm hy vọng năm sau có kết tốt Đối với học sinh khối 12, em nhận thức cách đầy đủ hàm số, kiến thức liên dạng áp dụng cách phổ biến tập cho học sinh mang tính phong phú, đa dạng khó Đối với học sinh ôn thi học sinh giỏi, ôn thi THPT QG nên phát triển thành chuyên đề rõ ràng với kiến thức thể loại đa dạng phong phú, Giúp học sinh phát có hướng giải xác Kết nhận thấy số lượng học sinh khá, giỏi, trung bình hứng thú với phương pháp giải toán tập dạng em giải thành thạo Tôi thấy học sinh hào hứng làm dạng toán Kết thi thử lần lớp 12 A1(Khi chưa ôn luyện nhiều dạng câu hỏi thực tế) Môn Lớp Sĩ Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém số Toán 12A1 40 SL % SL % SL % SL % SL % 02 5% 20 50% 15 37,5% 03 7,5% 0% Kết thi thử lần lớp 12 A1(Khi ôn luyện nhiều dạng câu hỏi thực tế) Môn Lớp Sĩ số Toán 12A1 40 Giỏi SL 08 % SL 20% 19 Khá Trung bình % SL 47,5% 11 Yếu % SL 27,5% 02 Kém % SL 5% % 0% KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ: 3.1 Kết luận Trên số kinh nghiệm thân trình dạy học Toán Qua thực tế giảng dạy trường THPT với nội dung phương pháp nêu giúp cho học sinh có nhìn toàn diện cách giải số dạng toán Thực tế cho thấy học sinh giỏi, trung bình hứng thú làm hầu hết dạng Mặc dù thân cố gắng nhiều, song năm đổi hình thức thi trắc nghiệm toán Kinh nghiệm kết chưa tổng hợp nhiều năm học Những điều viết không tránh khỏi sai sót 21 hạn chế Tôi mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp bạn đọc nhằm nâng cao hiệu giảng dạy học tập 3.2 Kiến nghị Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ Nhà trường cần tổ chức bổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập Sở giáo dục cần tiếp tục trì cho đơn vị trường viết sáng kiến kinh nghiệm hàng năm để giáo viên nâg cao nghiệp vụ, giao lưu, học hỏi lẫn Những SKKN đạt giải cao, có chất lượng, nên in ấn đưa trường để giáo viên học tập, chia sẻ, để giáo dục phát triển tốt TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 [ 1] Nguồn tài liệu từ đề thi thử trường bạn [ 2] Nguồn tài liệu Internet [ 3] Tài liệu: Hướng dẫn TN toán tác giả Nguyễn Bá Tuấn – ĐHQG Hà Nội XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 30 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lê Nguyên Huấn 23 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Nguyên Huấn Chức vụ đơn vị công tác: Tổ trưởng chuyên môn- Trường THPT Triệu Sơn TT Tên đề tài SKKN Ứng dụng tính chất đơn điệu để giải phương trình, hệ Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Cấp tỉnh Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Xếp loại B Năm học đánh giá xếp loại 2013- 2014 phương trình 24 25 ... môn toán học phổ thông, vấn đề giải câu hỏi ứng dụng thực tế đề thi THPT QG vấn đề cộm thầy trò năm đầu thi trắc nghiệm toán Xuất phát từ thực tế trên, chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 làm. .. làm toán trắc nghiệm câu hỏi ứng dụng thực tế 1.2 Mục đích nghiên cứu Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 trường THPT Tôi tổng hợp, khai thác hệ thống hoá lại dạng toán ứng. .. toán ứng dụng thực tế dựa vào tổng hợp kiến thức liên môn Mục đích: Trang bị đầy đủ cho phương pháp giải lớp toán ứng dụng thực tế 1.3 Đối tượng nghiên cứu Thực tất đối tượng học sinh khối 12 Giải