Đang tải... (xem toàn văn)
Các dạng bài và phương pháp giải bài tập giới hạn phục vụ cho sinh viên tham khảo môn toán cao cấp và giải tích ( đối với các trường kĩ thuật )............................................................................
CÁC DẠNG BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN Đây phần Giải Tích I bạn nên nắm để áp dụng cho dạng tập sau Bước làm câu giới hạn lấy số x tiến tới thay vào biểu thức tính lim để phân dạng ^^ x x thay x vào biểu thức ta VD: lim Câu thuộc dạng Có tất dạng tính lim bất định cần nhớ Khi ta thay x vào mà tính giá trị bt giá trị lim x 1 DẠNG 1: CÁC BÀI TẬP DẠNG 1, Cách giải - Về dạng bạn gặp nhiều lớp 11 cách giải không thay đổi - Ta thường dùng cách nhân liên hợp 2, Ví dụ Tính lim x 1 x x Thay x vào ta thấy dạng => Nhân liên hợp 1 x x lim x x lim lim 0 x x x x x x x 3, Bài tập: a ) lim x x2 x x b) lim x DẠNG 2: CÁC BÀI TẬP DẠNG x3 x x , 1, Cách giải - Dạng ta áp dụng quy tắc L’Hospital f x f ' x - Quy tắc L’Hospital: lim lim x x g x x x g ' x 0 - Có thể áp dụng L’Hospital nhiều lần để đưa biểu thức tính lim dạng dễ tính x3 x Tính lim x 2 x x 2, Ví dụ => L’ x3 x L ' 6x 1 lim lim L’ lần ta lim x 2 x x x 12 x x 12 Thay x vào ta thấy dạng 3, Bài tập arctan x 2arctan x ( K 60) x 0 x3 a )lim sin x ( K 59) x 0 e x b)lim DẠNG 3: CÁC BÀI TẬP DẠNG 0. 1, Cách giải 0 0. / - Ta có => đưa dạng 0. 1/ - Cách làm tương tự 2, Ví dụ 2 Tính lim x ln arctan x x Thay x vào ta thấy dạng 0. Ta ưu tiên để ln tử để sử dụng L’ dễ dàng 2 1 ln arctan x 2 lim x arctan x lim x ln arctan x lim x x x 1 x x x2 2 lim x x arctan x 3, Bài tập x a )lim tan ln x x1 b) lim ln x.ln x 1 x1 Dạng 4: Tính giới hạn phương pháp thay vô bé(VCB), vô lớn(VCL); ngắt bỏ VCB bậc cao, VCL bậc thấp 1, Cách giải - Phương pháp quan trọng bạn cần phải nắm vững sau áp dụng cho nhiều tập - Một số VCB tương đương x ( Học thuộc) ax 1 x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln( x 1) ~ e ~ ln a x2 cos x ~ 1 x ~ x - Quy tắc ngắt bỏ VCB, VCL x + VCB: Nếu f(x) bậc cao h(x) f ( x) g ( x) ~ g ( x) Làm ví dụ cho dễ hiểu x x x8 x lim lim x0 x sin x x0 x Vì x x x x8 x bậc thấp nên ta ngắt x x8 + VCL: Ta ngắt bỏ ngược với VCB x 3x x4 lim Ví dụ: lim x x x x x 2, Ví dụ dùng VCB tương đương Tính giới hạn sau sin x a )lim x x0 e arctan x 1 ex x2 2 b)lim c) lim x 1 cos d )lim x0 x x x x0 x x tan x sin x x 0 e x Cách 1: Thay x vào thấy dạng 0/0 => dùng L’ a) lim Cách 2: Thay x vào thấy sin x e3 x => sin x e3 x VCB Vậy sin x ~ x; e3 x ~ x sin x x lim x x 0 e x 0 x Nên lim arctan x x 0 x x Cách 1: ……… Cách 2: Nhìn mẫu có tổng tiến tới => Ngắt bỏ VCB trước arctan x arctan x lim lim x 0 x x x0 2x Thay x thấy arctan x => arctan x VCB arctan x ~ x arctan x arctan x x lim lim lim x0 x x x 0 x0 x 2x => Nên ngắt bỏ VCB trước thay VCB 1 c) lim x 1 cos x x Cách 1:…… Cách 2: câu để ý chút thay x x b) lim 1 1 x X Ta có cos X ~ X có nên cos ~ x x 2 1 1 2 2 x lim x 1 cos lim x x x x 2 => VCB không thiết phải x thay biểu thức biểu thức tiến tới x e x x2 d) lim x0 x tan x Cách 1:…… Cách 2: Ta thấy e x tan x VCB thay tử e x x nguyên tắc thay thể VCB vào tổng nên ta tách làm lim thay VCB 3 ex x2 ex x2 x3 x2 lim lim lim lim 1 lim x 0 x0 x tan x x0 x tan x x0 x.x x0 x.x x tan x => Nếu muốn thay VCB vào tổng tách thành lim 3, Chú ý Chỉ thay VCB VCB đứng tích muốn thay vào tổng phải tách thành lim Không thay VCB vào hiệu tan x sin x VD: lim x 0 x3 tan x sin x xx lim 0 x 0 x 0 x x3 + Cách thay VCB trực tiếp lim + Cách 2: sin x 1 1 x tan x sin x cos x lim cos x lim cos x lim lim lim x 0 x 0 x 0 x 0 x cos x x0 x cos x x3 x3 x2 Vậy cách sai sml ^^ 4, Bài tập a )lim arctan x ln x x3 x x ln x 4.3x b) lim x x x 2ln x 5.2 x 2.3 x x 0 c)lim x 0 x sin x tan x arcsin x x x3 arctan x x.sin x.tan x.arcsin x x0 sin x.arcsin x.arctan x d )lim e)lim sin x.sin x x x x 0 DẠNG 4: CÁC BÀI TẬP DẠNG 1 ,00 , 1, Cách giải a) Dạng 1 : Ta học thuộc công thức biến đổi sau lim v ln u v u 1 v v u v 0 lim u e u 1 v Sau dùng VCB b) Dạng 0 00 Ta học thuộc công thức biến đổi sau lim v ln u lim u e u v 0 Sau dùng L’ Dạng 00 tương tự 2, Ví dụ x2 Tính a ) lim x x x2 a) lim x x x 5 b) lim 1 x x 5 2x c)lim x x x 0 x 5 Thay x thấy dạng 1 lim v ln u v Ốp công thức lim u e u 1 v u 1 v x2 lim x x x 5 e Khi x thấy x2 lim x x x2 lim x 5 ln x x 1 e lim x 5 ln 1 x x 1 ln 1 VCB x 1 x 1 x 5 e x2 lim x 5 ln x x 1 e lim x 5 ln 1 x x 1 Ta thấy sau thay VCB e lim x giải nhanh lim u e u 1 v u 1 v b) lim 1 x x5 2x Thay x thấy dạng 1 Ốp công thức ta lim 1 x x 5 c) lim x x 2x e lim x x x 5 x0 Thay x thấy dạng 00 Ốp công thức ta lim x x e x 0 lim x ln x x0 e2 x2 nên dạng 1 có công thức x 1 x 1 lim v u 1 v x 5 x 1 eA 1 L' ln x x3 x A lim x ln x lim 2 lim lim 0 x 0 x 0 x x 0 2 x 3 x0 2 x e 3, Bài tập x a )lim e x x 0 x b)lim tan x x 0 x tan x arcsin c)lim x0 sin x x DẠNG 5: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG NGUYÊN LÝ KẸP VÀ HÀM BỊ CHẶN 1, Cách giải a) Nguyên lý kẹp có g ( x) f ( x) h( x) Mà lim g ( x) lim h( x) a lim f ( x) a x x0 x x0 x x0 b) Hàm bị chặn Nếu hàm số f ( x) bị chặn lim g ( x) x x0 Thì lim f ( x) g ( x) x x0 2, Ví dụ Tính lim x.sin x 0 x 1 x Ta có x.sin lim x 0 x lim x x 0 sin