ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Vấn đề 1: Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình Giải phương trình a x2011  x  b x2  x   Lời giải: a Đặt f ( x)  x2011  x  f '( x)  2011x 2010    f(x) hàm số đồng biến Mặt khác: f (1)  nên x = nghiệm phương trình b Điều kiện x  x = không nghiệm phương trình Đặt f ( x)  x  x  với x > 1  f '( x)  x   0, x  x 1  f(x) hàm số đồng biến Mặt khác: f (2)  nên x = nghiệm phương trình Giải phương trình Lời giải x   x  7x   Điều kiện phương trình (1)  41  41 x 2 (*) (1)  x   x  x    1 Xét g ( x)  x   x  x    g '( x)  x3   0, x  (*) x  x  7x   g(x) hàm số đồng biến Mặt khác: g(1) = Vậy: x = nghiệm phương trình Thật vậy: Khi x > g(x) > g(1) = nên phương trình vô nghiệm Khi x < g(x) < g(1) = nên phương trình vô nghiệm Giải phương trình sau Lời giải Điều kiện: x  5 x3   x    x (1) (1)  5x3   x   x  Xét f ( x)  x3   x   x  f '( x)  15 x 2  1  x3  3  x  12    hàm số cho đồng biến  ;     >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Mặt khác: f (1)  nên x = nghiệm Kết luận: S  1 Giải phương trình Lời giải x   x   x2   x2 (1) x    x   2x2   2x2 1 1 Xét f (t )  t   t  f '(t )   0 3 (t  1)2 3 t Phương trình (1) viết lại (2)  hàm số đồng biến R x  Mặt khác: (2)  f ( x  1)  f (2 x )  x   x   x    2  x2  x   Giải phương trình log3    x  3x   2x  4x   Lời giải  x2  x    Điều kiện  (đúng x )  2 x  x   (1) (1)  log3 ( x  x  3)  log3 (2 x  x  5)  (2 x  x  5)  ( x  x  3)  log3 ( x  x  3)  ( x  x  3)  log (2 x  x  5)  (2 x  x  5) Xét f (t )  log3 t  t  f '(t )   0, t  t.ln  x  1 Mặt khác: (2)  f ( x  x  3)  f (2 x  x  5)  x  3x      x  2 (2) Vậy: S  1; 2 Giải phương trình 3x  4x  5x Lời giải x (1) x 3  4 (1)        5  5 x x x x  4 3  4  3 Xét f ( x)         f '( x)    ln    ln  0, x 5 5  5 5  f(x) hàm đồng biến R Mặt khác: f (2)  nên x = nghiệm phương trình Giải phương trình 9x  2( x  2)3x  x   Lời giải Đặt t  3x  (1) (loai) t  1 Phương trình trở thành t  2( x  2)t  x     t   x >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Với t   x  3x   x  3x  x   Xét f ( x)  3x  x   f '( x)  3x ln   0, x  f(x) hàm đồng biến Mặt khác: f(1) = nên x = nghiệm phương trình Giải phương trình x  x   x   x  16  14 Lời giải Điều kiện phương trình x  Nhận xét x = không nghiệm phương trình Xét f ( x)  x  x   x   x  16 1 1  f '( x)      0, x  x x  x  x  16  f(x) hàm số đồng biến (5; ) Mặt khác: f (9)  14 nên x = nghiệm phương trình Giải phương trình: x  x   3x   Giải Điều kiện: x  Đặt f  x   x  x   3x   Ta có: f   x   x  3x     f (x) đồng biến ,    3x Mặt khác f (1)  nên phương trình f (x)  có nghiệm x  1 Giải phương trình 2x  x  2x1  ( x  1)2 Lời giải (1)  2 x  x  x 1  x  x   2 x x (1)  x 1  x  x  ( x  1)  x 1  x   x  x  x  x (2) t t Xét f (t )   t  f '(t )  ln   0, t  f(t) hàm đồng biến Mặt khác: (2)  f ( x  1)  f ( x2  x)  x   x  x  x  x    x  Kết luận: x = nghiệm phương trình Giải phương trình 25x  2(3  x)5x  x   (1) Lời giải (l ) t  1 Đặt t  5x  Phương trình trở thành t  2(3  x)t  x    t   x Với t   x  5x   x  5x  x   Xét f ( x)  5x  x   f '( x)  5x ln   0, x  f(x) hàm đồng biến Mặt khác: f (1)  nên x = nghiệm phương trình Giải phương trình log (1  x )  log7 x (1) Lời giải Điều kiện xác định phương trình x > >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Đặt t  log7 x  x  7t t t 1   Phương trình (1) trở thành log (1  )  t          1     t t t t t t t 37 1   1 Xét f (t )       0, t    f '(t )    ln    ln   2   2  f(t) hàm số nghịch biến R Mặt khác: f(3) = nên t   x  343 nghiệm phương trình Giải phương trình log5 x  log7 ( x  2) Lời giải Điều kiện xác định phương trình x  Đặt t  log5 x  x  5t t t 5 1 Phương trình trở thành t  log (5t  2)  5t   7t  5t  7t           7 7 t t t t 5 1 5 1 Xét f (t )         f '(t )    ln    ln  0, t 7 7 7 7 7  f(t) hàm nghịch biến R  phương trình f(t) = có không nghiệm R Mặt khác: f (1)  nên x = nghiệm phương trình Vấn đề 2: Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình Giải bất phương trình x3  3x  x  16    x Lời giải Điều kiện xác định bất phương trình 2  x  Bất phương trình viết lại thành x3  3x2  x  16   x  (2) Nhận thấy x = - nghiệm bất phương trình Xét 3x  3x  f ( x)  x3  3x  x  16   x  f '( x)    0, x  (2; 4) 4 x x  3x  x  16  f(x) hàm số đồng biến (-2; 4) Mặt khác: (2)  f ( x)  f (1)  x  So với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình 2  x  Giải bất phương trình x   x   Lời giải Điều kiện xác định phương trình x  2 Nhận thấy x = -2 không nghiệm bất phương trình cho 1   0, x  2 Xét f ( x)  x   x   f '( x)  x9 2x   f(x) hàm số đồng biến (2; ) >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Mặt khác: x   x    f ( x)  f (0)  x  So với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình x > Giải bất phương trình x4  2 x4  13 Lời giải Điều kiện xác định bất phương trình x  2 Nhận xét x = -2 không nghiệm bất phương trình cho 1 Xét f ( x)  x   2 x   f '( x)  x  4.ln  x4 2x   f(x) hàm số đồng biến (2; ) x4 ln  0, x  2 Mặt khác: x4  2 x4  13  f ( x)  f (0)  x  So với điều kiện ta có x  nghiệm bất phương trình Giải bất phương trình log x   log3 x   Lời giải Điều kiện xác định phương trình x  1 Xét 1 f ( x)  log x   log x   log ( x  1)  log ( x  9) 2 1  f '( x)    0, x  1 2( x  1) ln 2( x  9) ln  f(x) hàm số đồng biến (1; ) Ta có: log x   log3 x    f ( x)  f (0)  x  So với điều kiện ta có x > nghiệm bất phương trình Giải bất phương trình x   5x   x   13x   (*) Giải Điều kiện x  Đặt f  x   x   5x   x   13x  7 13 Ta có: f   x      0 x   5x    (13 x  7)    7x    f (x) đồng biến  ,  Mà f (3)  nên (*)  f (x) < f (3)  x <  7 Vậy nghiệm bất phương trình cho  x  Giải bất phương trình 3  x   2x  2x 1 (1) Lời giải Điều kiện bất phương trình Xét g ( x)  3  x  x 2 (*) 3 10  x  g '( x)     0, x  (*) 2x 1  2x 2x 1 >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1 3  g(x) hàm số nghịch biến  ;  2 2 Mặt khác: g(1) = Khi đó: (1)  g ( x)   g ( x)  g (1)  x  Kết luận: x  nghiệm bất phương trình Giải bất phương trình x2  x   x2  x  11   x  x  Điều kiện bất phương trình:  x  (1) (1)  ( x  1)2   x   ( x  3)2    x t Xét f (t )  t   t , t   f '(t )   0 t 2 t  f(t) đồng biến (0; ) Mặt khác: (1)  f ( x  1)  f (3  x)  x    x  x  So với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình  x  Giải bất phương trình sau Lời giải x   x   49 x2  x  42  181  14 x (1) Điều kiện xác định bất phương trình x  (1)  7 x   x   49 x2  x  42 181  14 x  Đặt t  x   x   t  14 x  49 x  x  42 (t  0) Phương trình trở thành : t  t  182   14  t  13 kết hợp điều kiện (t  0) 6  ta  t  13  (1)  x   x   13 (2); điều kiện x   ;   7  Xét hàm f ( x)  x   x  1 6   f '( x)    ; x  ( ; ) hàm số đồng biến x   ;   7x  7x  7  Mặt khác f (6)  13 nên f ( x)  13  x  nghiệm bất phương trình  x  hay 6  x    7  Giải bất phương trình log7 x  log3 (2  x ) (1) Lời giải: Điều kiện bất phương trình x > Đặt t  log x  Phương trình (1) trở thành t  log3  t  t t 1             1      t t >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! t t t t 1   1   Xét f (t )      0    f '(t )    ln    ln  3    3    f(t) hàm số nghịch biến t t 1   Mặt khác: f(2) = nên         f (t )  f (2)  t   log x   x  49     Giải bất phương trình 8x3  x  ( x  2) x  Lời giải: Điều kiện x  1 (*)  (2 x)3  x  ( x   1) x   (2 x)3  x  ( x  1)3  x   f (2 x)  f ( x  1), f (t )  t  t  2x  x 1 x  x   x   x        4 x  x   0  x   17    Vậy bất phương trình có nghiệm 1  x   17 Vấn đề 3: Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình   x  x  ( y  2) y  Giải hệ phương trình  2  x  y  Lời giải: (1)  x3  x  ( y  2) y   x3  x  ( y  1)3  y   f ( x)  f ( y  1), f (t )  t  t  x  y 1 y   x 1 Thay x  y  vào (2) ta có: y   y      y  1  x  Vậy hệ có nghiệm (1; 0) (0; -1)  x3  y  y  3x  Giải hệ phương trình  2  2x  y  (1) Lời giải (1)  x3  3x  y3  y >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Xét f (t )  t  3t  f '(t )  3t    f(t) hàm số đồng biến R Mặt khác: x3  3x  y3  y  f ( x)  f ( y)  x  y x  y x  y  Ta hệ phương trình sau:   2 x  y   x  2 Hệ phương trình cho có nghiệm (2; 2) (-2; -2)  x   10  y  Giải hệ phương trình   y   10  x  Lời giải Điều kiện xác định hệ phương trình 3  x, y  10 Nhận thấy x = -3, y = 10 không nghiệm hệ phương trình Trừ hai vế hệ cho ta phương trình x   10  x  y   10  y 1 Xét hàm số f (t )  t   10  t  f '(t )    0, t  (3;10) t  10  t  f(t) hàm số đồng biến (-3; 10) x   10  x  y   10  y  f ( x)  f ( y)  x  y Ta hệ phương trình sau x  y x  y x  y x         x   10  x   x   10  y  x  y 1   Kết luận: x = y = nghiệm hệ phương trình  x  x  y  y Giải hệ phương trình  2 y  x3   Lời giải Điều kiện xác định hệ phương trình x  0, y  1 Xét hàm số f (t )  t   f '(t )    0, t  t t  f(t) hàm số đồng biến R \ 0 Mặt khác: x  1  y   f ( x)  f ( y )  x  y x y x  y x  y x  y    Ta hệ phương trình sau  1  2 y  x   x  x    x  1, x   1  Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm x  y  1, x  y  Vấn đề 4: Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận số nghiệm phương trình, bất phương trình >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Tìm m để phương trình m( x  x   1)  x(2  x)  có nghiệm x  0;1   Lời giải: m( x2  x   1)  x(2  x)   m( x  x   1)  ( x  x)  x 1 Đặt t  x  x    t '    x 1 x2  x  Vẽ bảng biến thiên suy x  0;1    t  1; 2 t2  (*)  m  t  1  t    t  m  t  1    m  t 1 2 t 2 t  2t  Xét f (t )  ,1  t   f '(t )   0,1  t  2 t 1  t  1 (*)  f(t) hàm số đồng biến Bất phương trình thỏa m  f ( x)  f (1)   1 x  Tìm m để phương trình sau có nghiệm x( x  1)  4( x  1) x m x 1 Lời giải: Điều kiện phương trình x   x  Với điều kiện (*)  x( x  1)  x( x  1)  m (*) (**) Đặt t  x( x  1) , t  Phương trình (**) trở thành t  4t  m  có nghiệm t  Điều kiện thỏa m  4 Tìm m để phương trình ( x  2)(4  x)  x  x  m có nghiệm Lời giải Điều kiện xác định phương trình 2  x  Đặt t  ( x  2)(4  x) (0  t  3)   x  x  t  Phương trình trở thành 2t  t   m  g (t )  t  2t   m Phương trình có nghiệm g (t )  m  m ax g (t ) 0;3 0;3 Ta có: g '(t )  2t  g '(t )   t  Vẽ bảng biến thiên ta có g (t )  m  m ax g (t )  g (1)  m  g (3)  9  m  5 0;3 0;3 >> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!